2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章集合1.3.1交集與并集學(xué)案含解析北師大版必修1

PAGE§3集合的基本運(yùn)算3.1交集與并集內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解兩個(gè)集合的并集和交集的定義，明確數(shù)學(xué)中的“或”“且”的含義．2.借助于Venn圖或數(shù)軸，會(huì)求兩個(gè)集合的交集和并集．3.能夠利用交集、并集的性質(zhì)解決有關(guān)參數(shù)問題.精確分類探討提升數(shù)學(xué)運(yùn)算嫻熟數(shù)形結(jié)合授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第8頁[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)一交集的概念eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P11－12，思索并完成以下問題)(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，這兩個(gè)集合沒有交集．()(2)若A∩B＝?，則A＝B＝?.()提示：(1)×(2)×[(1)不正確．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，這兩個(gè)集合的交集為空集．(2)不正確．A∩B＝?存在三種狀況：①集合A，B均為空集；②集合A，B中有一個(gè)是空集；③集合A，B均為非空集，但無相同元素．]學(xué)問梳理交集的三種語言表示(1)文字語言：由既屬于集合A又屬于集合B的全部元素組成的集合，稱為A與B的交集．(2)符號(hào)語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)圖形語言：如圖所示：學(xué)問點(diǎn)二并集的概念eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)(1)已知A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞0}，則A∪B等于()A．{x|x＞1} B．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}(2)滿意{1}∪B＝{1,2}的集合B的個(gè)數(shù)是________．提示：(1)B(2)2學(xué)問梳理并集的三種語言表示(1)文字語言：由屬于集合A或?qū)儆诩螧的全部元素組成的集合，稱為集合A與B的并集．(2)符號(hào)語言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)圖形語言：如圖所示：學(xué)問點(diǎn)三并集與交集的運(yùn)算性質(zhì)eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)(1)集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”包含哪幾種狀況？提示：集合中的“或”包含三種狀況：①x∈A但x?B；②x∈B但x?A；③x∈A且x∈B.(2)集合A∪B，A∩B與集合A、集合B有何關(guān)系？提示：因?yàn)锳∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，故A?(A∪B)，B?(A∪B)，(A∩B)?A，(A∩B)?B.(3)A∪A，A∩A，A∪?，A∩?分別等于什么？提示：A∪A＝A，A∩A＝A，A∪?＝A，A∩?＝?.學(xué)問梳理并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算性質(zhì)A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪?＝AA∩?＝?A?B?A∪B＝BA?B?A∩B＝A思索：1.“A∪B就是把集合A中的元素和集合B中的元素放在一起形成的新集合．”這種說法正確嗎？提示：不正確．如A＝{1,2}，B＝{2,4}，則A∪B＝{1,2,4}，而不是A∪B＝{1,2,2,4}，即A∪B作為一個(gè)新集合，必需滿意集合中元素的特性．2．“A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，即集合A∪B中的元素不在A中，就肯定在B中，不行能既在A中，又在B中”．這種理解正確嗎？提示：不正確．如A＝{0,1}，B＝{1,2}，則A∪B＝{0,1,2}，對(duì)于元素1，其滿意1∈A，且1∈B.也就是說，對(duì)“或”的理解應(yīng)從三方面把握：(1)x∈A但x?B；(2)x∈B但x?A；(3)x∈A且x∈B.3．能否認(rèn)為A與B沒有公共元素時(shí)，A與B就沒有交集？提示：不能．當(dāng)A與B無公共元素時(shí)，A與B的交集仍存在，此時(shí)A∩B＝?.[自我檢測(cè)]1．設(shè)集合A＝{2,3}，集合B＝{0,1}，則A∪B等于()A．?B．{1,2,3}C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}解析：A＝{2,3}，B＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}．答案：D2．若集合P＝{x|2≤x＜4}，Q＝{x|x≥3}，則P∩Q等于()A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}解析：結(jié)合數(shù)軸，得P∩Q＝{x|3≤x＜4}．故選A.答案：A3．設(shè)集合M＝{x|x＞1}，集合N＝{x|x＜2}，則M∪N＝________，M∩N＝________.解析：由數(shù)軸，得M∪N＝R，M∩N＝{x|1＜x＜2}．答案：R{x|1＜x＜2}授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第9頁探究一交集運(yùn)算[例1]已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求實(shí)數(shù)a的值[思路點(diǎn)撥]eq\x(M∩N＝{3})→eq\x(3∈M)→eq\x(a2－3a－1＝3)→eq\x(計(jì)算a并驗(yàn)證)[解析]∵M(jìn)∩N＝{3}，∴3∈M；∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.但當(dāng)a＝－1時(shí)，集合N中元素不滿意互異性；當(dāng)a＝4時(shí)，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合題意．∴a＝4.方法技巧求兩個(gè)集合的交集的方法：(1)識(shí)別所給集合的意義；(2)化簡(jiǎn)集合，使集合中的元素明朗化；(3)依據(jù)交集的定義干脆視察寫出結(jié)果．有時(shí)要借助于Venn圖或數(shù)軸寫出交集，借助于數(shù)軸時(shí)要留意數(shù)軸上方“雙線”(即公共部分)下面的實(shí)數(shù)組成了交集．跟蹤探究1.若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈N}，B＝{x|x≤2，x∈N}，則A∩B＝()A．{3} B．{x|x≥1}C．{2,3} D．{1,2}解析：由題意，知A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，結(jié)合Venn圖分析，可得A∩B＝{1,2}．答案：D探究二并集運(yùn)算[例2]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3≥3x－2}，求A∪B.[思路點(diǎn)撥]先把集合A、B進(jìn)行化簡(jiǎn)，再在數(shù)軸上表示出來，取它們?nèi)吭貥?gòu)成的集合，即得A∪B.[解析]A＝{x|x＞5}，B＝{x|x≤－1}，在數(shù)軸上表示為：依據(jù)并集的定義，圖中陰影部分即為所求．∴A∪B＝{x|x≤－1或x＞5}．方法技巧1.用描述法表示的數(shù)集，假如干脆視察不出并集的運(yùn)算結(jié)果，那么就要借助于數(shù)軸寫出結(jié)果，此時(shí)要留意：(1)并集是全部部分；(2)當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時(shí)，用“空心圓圈”表示．2．用列舉法表示的數(shù)集，依據(jù)并集的含義，干脆視察或用Venn圖寫出集合運(yùn)算的結(jié)果．跟蹤探究2.已知A＝{x|x≤－2或x＞5}，B＝{x|1＜x≤7}，求A∪B.解析：將x≤－2或x＞5及1＜x≤7在數(shù)軸上分別表示出來．依據(jù)并集的定義，圖中陰影部分即為所求，故A∪B＝{x|x≤－2，或x＞1}．探究三交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用[例3]已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]eq\x(A∪B＝A)→eq\x(B?A)→eq\x(分B＝?和B≠?)→eq\x(結(jié)合數(shù)軸求解)[解析]∵A∪B＝A，∴B?A，∴B＝?或B≠?.(1)當(dāng)B＝?時(shí)，k＋1＞2k－1，∴k＜2.(2)當(dāng)B≠?，則依據(jù)題意如圖所示：依據(jù)數(shù)軸可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1≤2k－1，,－3＜k＋1，,2k－1≤4，))解得2≤k≤eq\f(5,2).綜合(1)(2)可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(kk≤\f(5,2))).方法技巧利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關(guān)注點(diǎn)(1)方法：當(dāng)題目中含有條件A∩B＝A，A∪B＝B，解答時(shí)常借助于交集、并集的定義及集合間的關(guān)系去分析，將關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化如：A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等．(2)關(guān)注點(diǎn)：當(dāng)題目條件中出現(xiàn)B?A時(shí)，若集合B不確定，解答時(shí)要留意探討B(tài)＝?和B≠?的狀況．跟蹤探究3.已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，求(1)A∪B＝A時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍．(2)A∩B＝A時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：(1)∵A∪B＝A，∴B?A.∵A＝{x|0≤x≤4}≠?，∴B＝?或B≠?.當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1＞1－m，解得m＞0.當(dāng)B≠?時(shí)，用數(shù)軸表示集合A和B，如圖所示：∵B?A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤1－m，,0≤m＋1，,1－m≤4，))解得－1≤m≤0.綜上所得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞0或－1≤m≤0，即{m|m≥－1}．(2)∵A∩B＝A，∴A?B.如圖：∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤1－m，,m＋1≤0，,1－m≥4，))解得m≤－3.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤－3}.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第10頁[課后小結(jié)]1．對(duì)并集、交集概念的理解(1)對(duì)于并集，要留意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)分，它們是“相容”的．“x∈A，或x∈B”這一條件，包括下列三種狀況：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由全部至少屬于A、B兩者之一的元素組成的集合．(2)A∩B中的元素是“全部”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分．特殊地，當(dāng)集合A和集合B沒有公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.2．集合的交、并運(yùn)算中的留意事項(xiàng)(1)對(duì)于元素個(gè)數(shù)有限的集合，可干脆依據(jù)集合的“交”“并”定義求解，但要留意集合元素的互異性．(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)無限的集合，進(jìn)行交、并運(yùn)算時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要留意端點(diǎn)值能否取到．[素養(yǎng)培優(yōu)]忽視端點(diǎn)值造成錯(cuò)解易錯(cuò)案例：若非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，則使得A?(A∩B)成立的全部a的集合是________．易錯(cuò)分析：解此類題的關(guān)鍵是由題目給出的條件得到集合關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到a的不等式組，得到a的取值集合；另外肯定要看是否包括端點(diǎn)值．集合問