專題31對(duì)角互補(bǔ)模型-初中數(shù)學(xué)模型與解題方法專題訓(xùn)練

31對(duì)角互補(bǔ)模型一、單選題1．Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論:①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∴AD=DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN=90°－∠ADN=∠FDC．∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF=BE+AE=AB．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴結(jié)論①正確．設(shè)AB=AC=a，AE=b，則AF=BE=a－b．∴．∴．∴結(jié)論②正確．如圖，過點(diǎn)E作EI⊥AD于點(diǎn)I，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，ADEF相交于點(diǎn)O．∵四邊形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，∴EO≥EI（EF⊥AD時(shí)取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD時(shí)取等于）=AG．∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴結(jié)論④錯(cuò)誤．∵△EDA≌△FDC，∴．∴結(jié)論③錯(cuò)誤．又當(dāng)EF是Rt△ABC中位線時(shí)，根據(jù)三角形中位線定理知AD與EF互相平分．∴結(jié)論⑤正確．綜上所述，結(jié)論①②⑤正確．故選C．2．如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到CAE，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點(diǎn)共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【詳解】解：如圖，①設(shè)∠1=x度，則∠2=（60x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60x+60+x+60=180度，∴D、A、E三點(diǎn)共線；故①正確；②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE為等邊三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正確；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正確；④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE為等邊三角形，∴DC=DB+DA．故④正確；故選：D．二、填空題3．如圖，在四邊形中，于，則的長(zhǎng)為【答案】【詳解】解：過點(diǎn)B作交DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，如右圖所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案為．4．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為．【答案】4+4．【詳解】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三點(diǎn)共線，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4，∴△DMN的周長(zhǎng)為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4，故答案為4+4．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點(diǎn)C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為．【答案】【詳解】解：將△OBC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，∵OB=OA∴點(diǎn)B落在A處，點(diǎn)C落在D處且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四邊形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三點(diǎn)在同一條直線上，∴△OCD為等要直角三角形，根據(jù)勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=；即BC+AC=.6．如圖，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四邊形ABCD的面積為4，則AC＝．【答案】4．【詳解】解：將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABE．∵四邊形內(nèi)角和360°，∴∠D+∠ABC＝180°．∴∠ABE+∠ABC＝180°，∴E、B、C三點(diǎn)共線．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠EAC＝60度，AE＝AC，∴△AEC是等邊三角形．四邊形ABCD面積等于△AEC面積，等邊△AEC面積，解得AC＝4．故答案為4．三、解答題7．閱讀下面材料：小炎遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，連結(jié)EF，則EF=BE+DF，試說明理由．小炎是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對(duì)集中．她先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB，AD是共點(diǎn)并且相等的，于是找到解決問題的方法．她的方法是將△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，再利用全等的知識(shí)解決了這個(gè)問題（如圖2）．參考小炎同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足_關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+DF；（2）如圖4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的長(zhǎng)．【答案】（1）∠B+∠D=180°（或互補(bǔ)）；（2）∴【詳解】試題分析：(1)如圖，△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，利用全等的知識(shí)可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三點(diǎn)共線，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．(2)把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合，通過證明△AEG≌△AED得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的長(zhǎng)．(1)∠B+∠D=180°（或互補(bǔ)）．(2)∵AB=AC，∴把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合．則∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．∴EC2+CG2=EG2．在△AEG與△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED．∴DE=EG．又∵CG=BD,∴BD2+EC2=DE2．∴．8．一位同學(xué)拿了兩塊三角尺，做了一個(gè)探究活動(dòng)：將的直角頂點(diǎn)放在的斜邊的中點(diǎn)處，設(shè).（1）如圖1所示，兩三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為______，周長(zhǎng)為______.（2）將如圖1所示中的繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到如圖2所示，此時(shí)重疊部分的面積為______，周長(zhǎng)為______.（3）如果將繞旋轉(zhuǎn)到不同于如圖1所示和如圖2所示的圖形，如圖3所示，請(qǐng)你猜想此時(shí)重疊部分的面積為______.（4）在如圖3所示情況下，若，求出重疊部分圖形的周長(zhǎng).【答案】（1）4，；（2）4，8；（3）4；（4）【詳解】解：，，，是AB的中點(diǎn)，，，，重疊部分的面積是，周長(zhǎng)為：；故答案為4，；重疊部分是正方形，邊長(zhǎng)為，面積為，周長(zhǎng)為．故答案為4，8．過點(diǎn)M分別作AC、BC的垂線MH、ME，垂足為H、E，是斜邊AB的中點(diǎn)，，，，，又，，，，在和中，，≌，陰影部分的面積等于正方形CEMH的面積，正方形CEMH的面積是；陰影部分的面積是4；故答案為4．如圖所示，過點(diǎn)M作于點(diǎn)E，于點(diǎn)H，四邊形MECH是矩形，，，，，，在和中，，≌，，，，．四邊形DMGC的周長(zhǎng)為：．9．在內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為，．且，點(diǎn)，分別在邊和上．（1）如圖1，若，請(qǐng)說明；（2）如圖2，若，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析【詳解】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．10．如圖，在中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，連接，，，垂足為．證明：．【答案】見解析【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、，，，，，，，，，，，，，，，，，．11．我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫作“完美四邊形”．（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美"四邊形的是_________（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）；（2）在“完美”四邊形中，，，連接．①如圖1，求證：平分；小明通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下兩種想法，證明平分：想法一：通過，可延長(zhǎng)到，使，通過證明，從而可證平分；想法二：通過，可將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，可證，，三點(diǎn)在一條直線上，從而可證平分．請(qǐng)你參考上面的想法，選擇其中一種想法幫助小明證明平分；②如圖2，當(dāng)時(shí)，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）④

（2）①見解析

②；證明見解析【詳解】（1）①平行四邊形的兩鄰邊不一定相等，不符合題意；②菱形一組鄰邊相等，但對(duì)角相等不一定互補(bǔ)，不符合題意；③矩形的兩鄰邊不一定相等，不符合題意；④正方形的組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)，符合題意；故答案為④；（2）解：①想法一：延長(zhǎng)使，連接∵，，∴．∵，∴．∴；．∴．∴．即平分想法二：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊與邊重合，得到，∴．∴；；．∵，∴．∴點(diǎn)，，在一條直線上．∵，∴．∴．即平分②延長(zhǎng)使，連接，由①得為等腰三角形．∵，∴．∴．∴．∴．13．問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)到G，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形中，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形中，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立．探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立．實(shí)際應(yīng)用：210海里．【詳解】解：EF=AE+CF理由：延長(zhǎng)到G，使，連接，在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立．理由：延長(zhǎng)到G，使，連接，在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立．理由：延長(zhǎng)到G，使，連接，∵，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長(zhǎng)AE，BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB=30°+90°+(90°70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的條件∴結(jié)論EF=AE+CF仍然成立；即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為210海里．14．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）思路梳理將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點(diǎn)F，D，G三點(diǎn)共線，易證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為__；（2）類比引申如圖2，在圖1的條件下，若點(diǎn)E，F(xiàn)由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC延長(zhǎng)線上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接寫出DE的長(zhǎng)為________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF?BE；證明見解析；（3）.【詳解】解：（1）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠FDG＝180°，即點(diǎn)F，D，G三點(diǎn)共線，∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF?BE；證明：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADE'，則△ABE≌ADE'，∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠E'AF＝∠BAD?（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD?（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD?∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠E'AF，在△AEF和△AE'F中，，∴△AFE≌△AFE'（SAS），∴FE＝FE'，又∵FE'＝DF?DE'，∴EF＝DF?BE；（3）將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，同（1）可證△AED≌AED'，∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，∴∠ECD'＝90°，在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，故答案為：．15．五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．【答案】見解析【詳解】延長(zhǎng)DE至F，使得，連接AC.∵，，∴∵，，∴△ABC≌△AEF．∴，∵，∴，∴△ADC≌△ADF，∴；即AD平分∠CDE．16．探究問題：(1)方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠BAF＝45°，連接EF，求證DE＋BF＝EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴△GAF≌△________．∴_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法遷移：如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.【詳解】解：（1）如圖①所示；根據(jù)等量代換得出∠GAF=∠FAE，利用SAS得出△GAF≌△EAF，∴GF=EF，故答案為FAE；△EAF；GF；(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假設(shè)∠BAD的度數(shù)為m，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，m°得到△ABG，如圖，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，

∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，

因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．

∵，

∴．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝．即∠GAF＝∠EAF．∵在△AGF和△AEF中，，∴△GAF≌△EAF（SAS）．∴GF＝EF．又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴DE＋BF＝EF．17．在中，，，于點(diǎn),（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，求證：;【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析.【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，，，由勾股定理得，，即，解得，，；（2）證明：，，，在和中，，；（3）證明：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，則，，，，，，在和中，，，，．18．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請(qǐng)證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為．【答案】（1）證明見解析；（2）．證明見解析；（3）．【詳解】解：（1）證明：把△DBM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，則DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴點(diǎn)Q在直線CA上，∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD∠MDN=120°60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；（2）：.理由如下：如圖，把△DAN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，則DN=DP，AN=BP，∵∠DAN=∠DBP=90°，∴點(diǎn)P在BM上，∵∠MDP=∠ADB∠ADM∠BDP=120°∠ADM∠ADN=120°∠MDN=120°60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；（3）如圖，過點(diǎn)M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等邊三角形，∴△BMG是等邊三角形，∴BM=MG=BG，根據(jù)（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根據(jù)MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MHMG=MNBM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=ABAEEG=72.12.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案為：2.819．問題背景如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAFα，連接EF，試探究：線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）特殊情景在上述條件下，小明增加條件“當(dāng)∠BAD＝∠B＝∠D＝90°時(shí)”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．（2）類比猜想類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你幫助小明完成證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）解決問題如圖（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．【答案】（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE【詳解】解：（1）BE+DF＝EF，如圖1，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即點(diǎn)F，D，G共線．由旋轉(zhuǎn)可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案為BE+DF＝EF．（2）成立．如圖2，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴點(diǎn)C，D，H在同一直線上．∵∠BAD＝α，∠EAFα，∴∠BAE+∠FADα，∴∠DAH+∠FADα，∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE，如圖3，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AE′B，連接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，∴CD=BC=BD=3，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易證△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2，解得．20．我們定義：有一組對(duì)角為直角的四邊形叫做“對(duì)直角四邊形”．（1）如圖①，四邊形ABCD為對(duì)直角四邊形，∠B=90°，若AB2AD2=4，求CD2BC2的值；（2）如圖②，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求證：四邊形ABCD為對(duì)直角四邊形；（3）在（2）的條件下，如圖③，連結(jié)AC，若，求tan∠ACD的值．【答案】⑴4；⑵見解析；⑶tan∠ACD的值為3或．【詳解】解：如圖①中，∵四邊形ABCD為對(duì)直角四邊形，∠B=90°，∴∠D=∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2=AD2+DC2，∴CD2BC2=AB2AD2=4．（2）證明：如圖②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于F．∵BD平分∠ADC，BE⊥CD，BF⊥AD，∴BE=BF，∵∠BFA=∠BEC=90°，BA=BC，BF=BE，∴Rt△BFA≌Rt△BEC（HL），∴∠ABF=∠CBE，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴ADC=360°90°90°90°=90°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴四邊形ABCD為對(duì)直角四邊形．（3）解：如圖③中，設(shè)AD=x，BD=y．∵∠ADC=90°，∴tan∠ACD=，AC=，∵AB=AC，∠ABC=90°，∴AB=BC=?，∵，∴，整理得：3x210xy+3y2，∴3（）210?+3=0，∴=3或．∴tan∠ACD的值為3或．21．問題：如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，試判斷之間的數(shù)量關(guān)系．【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，從而發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你利用圖（1）證明上述結(jié)論．【類比引申】如圖（2），四邊形中，，點(diǎn)E、F分別在邊上，則當(dāng)與滿足關(guān)系時(shí)，仍有．【探究應(yīng)用】如圖(3)，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形．已知米，，道路上分別有景點(diǎn)E、F，且米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】發(fā)現(xiàn)證明：證明見解析；類比引申：；探究應(yīng)用：米．【詳解】發(fā)現(xiàn)證明：解：如圖（1），

∵，∴，又∵，即，∴，在和中，，∴．∴．又∵，∴，∴．類比引申：．理由如下：如圖（2），延長(zhǎng)至M，使，連接，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，即．故答案是：．探究應(yīng)用：如圖3，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．

∵，∴．又∵，∴是等邊三角形，∴米．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：，又∵，∴，即點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∴，又∵，∴，在和中，，∴．∴．又∵，∴，∴（米），即這條道路EF的長(zhǎng)約為米．22．如圖，中，，，把一塊含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為，長(zhǎng)直角邊為），將三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).（1）在如圖所見中，交于，交于，證明；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖所見，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，證明.【答案】(1)見解析；（2）見解析.【詳解】證明：（1）連接BD,∵AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°∴BD=AD=CD∴∠ABD=∠A=45°∴∠MBD=∠C=45°∵∠MDB+∠BDN=90°∠NDC+∠BDN=90°∴∠MDB=∠NDC在△MDB和△NDC中；∴△MDB≌△NDC（ASA）∴DM=DN（5分）（2）DM=DN仍然成立．理由如下：連接BD，由（1）知BD⊥AC，BD=CD∴∠ABD=∠ACB=45°∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°∴∠MBD=∠NCD∵BD⊥AC∴∠MDB+∠MDC=90°又∠NDC+∠MDC=90°∴∠MDB=∠NDC在△MDB和△NDC中∴△MDB≌△NDC（ASA）∴DM=DN.23．感知：如圖①，平分，，．判斷與的大小關(guān)系并證明．探究：如圖②，平分，，，與的大小關(guān)系變嗎？請(qǐng)說明理由．應(yīng)用：如圖③，四邊形中，，，，則與差是多少（用含的代數(shù)式表示）【答案】感知：，證明見詳解；探究：與的大小關(guān)系不變，理由見詳解；應(yīng)用：與差是．【詳解】感知：，理由如下：∵，，∴，即，∵平分，∴；探究：與的大小關(guān)系不變，還是相等，理由如下：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠DEB=∠DFC=90°，如圖所示：∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；應(yīng)用：過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，DG⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AD，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB與△DGC都為等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．24．如圖1，正方形中，是對(duì)角線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接（與不垂直），點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析【詳解】解：（1），理由如下；過作的垂線，分別交于，連接，為正方形，,,，垂直平分，，，，，又，，為等腰直角三角形，為斜邊的中點(diǎn)，．（2），理由如下：由（1）中，，由下圖：，四邊形為矩形，，在中，由正方形的性質(zhì)知，，，為等腰直角三角形，又，四邊形為正方形，，同理四邊形為矩形，，，，在中，由正方形的性質(zhì)知，，，為等腰直角三角形，，．（3），理由如下：過點(diǎn)作垂線，分別交于，連接，，，，由（2）得，，，由（2）可得：，為等腰直