廣東省東莞市虎門外語學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

虎門外語學(xué)校2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期10月月考高二數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.3.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（）A. B.6 C. D.44.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A.1 B.2 C. D.45.如圖，平行六面體，其中，，，，，，則的長為（）A. B. B. D.6.直線上到點(diǎn)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.7.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，，，點(diǎn)H在平面ABC內(nèi)，則當(dāng)點(diǎn)O與H間的距離取最小值時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.8.已知MN是棱長為4的正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（）A.4 B.12 C.8 D.6二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.（多選）給出下列命題，其中是真命題的是（）A.若直線的方向向量，直線的方向向量，則與垂直B.若直線的方向向量，平面的法向量，則C.若平面，的法向量分別為，，則D.若平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則10.（多選題）如圖所示，正方體中，，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A. B.點(diǎn)必在線段上C. D.平面11.如圖，DE是正三角形ABC的一條中位線，將沿DE折起，構(gòu)成四棱錐，為的中點(diǎn)，則（）A.面 B.面C.若面面ABC，則與CD所成角的余弦值為D.若，則二面角的余弦值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.12.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)________.13.已知向量，，且與互相垂直，則________.14.如圖，在長方體中，，，，分別為棱AB，BC上一點(diǎn)，且，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為________.四、解答題：本題共5小題，15題13分，16至17題每小題15分，18至19題每小題19分，共77分.15.已知空間向量，，.（I）若，求；（II）若，求的值.16.已知的頂點(diǎn)，，邊BC的垂直平分線的方程為.（1）求邊BC所在直線的方程；（2）求的面積.17.如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是AB中點(diǎn).（1）用，，表示向量；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由.18.如圖所示，直角梯形ABCD中，，，，四邊形EDCF為矩形，，平面平面ABCD.（1）求證：平面ABE；（2）求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值；（3）在線段DF上是否存在點(diǎn)P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為？若存在，求出線段BP的長；若不存在，請說明理由.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，為AC的中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界）.（1）求點(diǎn)到平面PBC的距離；（2）求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值；（3）若平面PAB，求直線PH與平面ABC所成角的正弦值的取值范圍.

10月月考高二數(shù)學(xué)試題單選：BADAACCC多選：ADBDBCD11.【解答過程】解：若面，因?yàn)?，平面，平面，所以面，又因?yàn)?，所以平面面，但平面與面相交，所以假設(shè)不成立，所以BF不平行面，所以A不正確；對于B，因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，所以面，所以B正確對于C，將沿DE折起，使到，且面面ABC，以ED的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三角形的邊長為2，所以，，，，，，設(shè)與CD所成角的為，則，所以與CD所成角的余弦值為，所以C正確；對于D，設(shè)，因?yàn)?，，所以所以，，，因?yàn)?，所以，所以，，，設(shè)平面，所以，故，設(shè)平面，所以，故，設(shè)二面角所成角為，，因?yàn)闉殁g二面角，所以二面角的余弦值為.所以D正確.故選：BCD.填空題：12.【答案】313..14..【解答過程】解：當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，的面積取最大值，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)，為AB的中點(diǎn)，與重合.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，可取，得.設(shè)，，，.設(shè)直線與平面所成的角為，.，當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)或1時(shí)，的最小值為，直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.故答案為：.15.【解答過程】解：（I）空間向量，，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，所以，解得，則；（II）因?yàn)?，則，解得，所以，故.16..解析（1）由邊BC的垂直平分線的方程為，得，又，邊所在直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€是BC邊的垂直平分線，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，設(shè)，則BC的中點(diǎn)為，將中點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得所以，故，點(diǎn)A到直線BC的距離為，所以.17.【解答過程】解：（1）；（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，使，設(shè)，（），顯然，，因?yàn)?，所以，即，，，，即，解得，所以?dāng)時(shí)，.18.解析（1）證明：在矩形BDCF中，，平面平面ABCD，平面平面，平面，平面，平面，.過D作AB的平行線.交BC于點(diǎn)G.又，四邊形ABGD為平行四邊形，又，即，四邊形ABGD為矩形.，平面，平面，，以為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DE所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面ABE的法向量為，則，即，令，則，又，，，又平面，平面ABE.（2）由（1）得，設(shè)平面BEF的法向量為，則即令，則，設(shè)平面ABE與平面EFB所成的銳二面角為，則，平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值是.（3）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，且，，，，設(shè)直線BP與平面ABE所成的角為，由（1）知平面ABE的一個(gè)法向量為，，化簡得，解得或.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，.綜上，存在滿足題意的點(diǎn)P，且線段BP的長為2.19.解析（1）連接OB，OP，因?yàn)槭且訟C為斜邊的等腰直角三角形，，為AC的中點(diǎn)，所以，，又平面平面ABC，平面平面，，平面PAC，所以平面ABC，又平面ABC，所以，所以O(shè)B，OC，OP兩兩垂直，易得，，，..，所以點(diǎn)O到平面PBC的距離.（2）在三棱錐中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖，則，，，，，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面PAB的法向量為，則，即令，則，同理可求得平面PBC的一個(gè)法向量