江蘇省2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中專題復(fù)習(xí)最值問題專題訓(xùn)練

2024-2025學(xué)年度江蘇省八年級(jí)上學(xué)期期中專題復(fù)習(xí)最值問題專題訓(xùn)練一、單選題1．（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，點(diǎn)F為射線上一點(diǎn)．若，則長的最小值是（

）

A．4 B．5.5 C．6 D．82．（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，中，，，線段的兩個(gè)端點(diǎn)D、E分別在邊上滑動(dòng)，且，若點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．3.5 D．43．（23-24八年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，在中，，，面積是24，的垂直平分線分別交、邊于、點(diǎn)，若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為（

）A．8 B．10 C．12 D．144．（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，等邊的邊長為4，過點(diǎn)B的直線，且與關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A．6 B．12 C．8 D．5．（23-24八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，直線m是中邊的垂直平分線，點(diǎn)P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)．若，，，則周長的最小值是（

）A．9 B．10 C． D．11二、填空題6．（23-24八年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，在中，，，．直線，是上一動(dòng)點(diǎn)．則的最小值是．7．（23-24八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊上的兩點(diǎn)，連接，，已知，，則的最小值的平方是．8．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，已知正方形的邊長為，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則的最小值是．

9．（22-23八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，為等邊的BC邊上的高，E、F分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，若時(shí)，則的最小值為，若時(shí)，的最小值為．10．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）中，為邊上的中線，N為的中點(diǎn)，M為上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值

11．（23-24八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，在等邊中，，點(diǎn)為高上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，則的最小值的平方為．12．（23-24八年級(jí)上·江蘇徐州·期中）如圖，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、在射線與射線上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則在運(yùn)動(dòng)過程中面積的最小值為．13．（23-24八年級(jí)上·江蘇連云港·期中）如圖，在銳角中，AB＝＝10，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．14．（23-24八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，和都是等腰三角形，，，且，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，時(shí)，線段取得最小值．15．（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·期中）已知，M是邊OA上的一個(gè)定點(diǎn)，且，N、P分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．16．（23-24八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，，點(diǎn)分別在射線上，，，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接、、，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則面積的最小值是．17．（23-24八年級(jí)上·江蘇連云港·期中）如圖，中，，用尺規(guī)作圖法作出射線，交于點(diǎn)D，，P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．18．（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，在銳角中，，，，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)分別是，，連接，則的最小值為．

19．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作，使，為的中點(diǎn)，連接，則線段的最小值為．20．（23-24八年級(jí)上·江蘇淮安·期中）已知等邊中，，，若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為．21．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的左下方作等邊，連接，則點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，線段長度的最小值是．三、解答題22．（23-24八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）如圖，長方形中，，，點(diǎn)P在邊上，且不與點(diǎn)B、C重合；將沿直線AP折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長交直線于點(diǎn)F．(1)證明；(2)當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，求的值；(3)連接，求周長的最小值；23．（22-23八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）（1）在中，，，則__；（2）如圖1，在中，，點(diǎn)D在邊上且，求點(diǎn)D到邊的距離．（3）如圖2，在中，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿著過點(diǎn)P的直線翻折，使點(diǎn)C恰好落在邊上，求的最小值．24．（23-24八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖1，直線．，垂足為O，直線l分別與射線、相交于點(diǎn)、，且，，連接．(1)求線段的長；(2)若點(diǎn)C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)O到點(diǎn)C的距離的最小值；(3)如圖2，將沿直線l折疊，點(diǎn)O落在點(diǎn)D處，，垂足為點(diǎn)E，求的長；(4)若點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，速度為，沿著射線方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形（直接寫出t的值）．25．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，過點(diǎn)E分別作、，垂足分別為，，連接，．

(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)；(3)若，，點(diǎn)分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出的最小值．26．（23-24八年級(jí)上·江蘇連云港·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)的長為；(2)當(dāng)t為秒時(shí)，線段的長最小，且長的最小值為；(3)當(dāng)t為秒時(shí)，為等腰三角形．（請(qǐng)直接填空）27．（23-24八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）如圖：在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)______時(shí)，平分的面積．(2)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．(3)若點(diǎn)、分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的最小值．28．（23-24八年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，．用直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），并回答問題：(1)在邊上作點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到邊的距離相等；(2)在射線上作點(diǎn)E，使得點(diǎn)E到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離相等；(3)若點(diǎn)P是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，在圖中作出符合要求的點(diǎn)P，的最小值是．29．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，中，，，點(diǎn)O在邊上運(yùn)動(dòng)（O不與B、C重合），點(diǎn)D在線段上，連結(jié)，．點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終滿足．(1)當(dāng)時(shí)，判斷的形狀并說明理由；(2)當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，此時(shí)；(3)在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中，的形狀是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)的度數(shù)．30．（22-23八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）【問題提出】如圖1，、都是等邊三角形，求證：．【方法提煉】這兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形，其在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形，即．如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，不妨稱之為“手拉手”基本圖形，當(dāng)圖形中只有一個(gè)等邊三角形時(shí)，可嘗試在它的一個(gè)頂點(diǎn)作另一個(gè)等邊三角形，構(gòu)造“手拉手”基本圖形，從而解決問題．【方法應(yīng)用】

(1)等邊三角形中，是邊上一定點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作等邊：等邊三角形，連接．①如圖2，若點(diǎn)在邊上，求證：．②如圖3，若點(diǎn)在邊的延長線上，線段、、之間的關(guān)系為__________（直接寫出結(jié)論）(2)如圖4，等腰中，，，，且交于點(diǎn)，以為邊作等邊，直線交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．(3)如圖5，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接，則是否有最小值，如有，求出它的最小值，沒有，請(qǐng)說明理由參考答案1．C【詳解】解：∵直線外一點(diǎn)到直線的所有線段中，垂線段最短，∴時(shí)長有最小值，∵點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，，∴時(shí)，，∴長的最小值是6，故選C．2．A【詳解】解：如圖，連接、，中，，，，∵，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，∴，，∵，∴當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最小值，∴的最小值為：．故選：A．3．D【詳解】解：連接，．∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，解得，∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴，∵，∴的長為的最小值，∴的周長最短．故選：D．4．C【詳解】解：如圖所示，連接，∵是邊長為4的等邊三角形，∴，∵與關(guān)于直線l對(duì)稱，∴也是邊長為4的等邊三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即此時(shí)最小，最小值為，故選C．5．A【詳解】解：如圖，直線m與交于點(diǎn)D，∵直線m垂直平分，∴B、C關(guān)于直線m對(duì)稱，∴當(dāng)P和D重合時(shí)，的值最小，最小值等于的長，∴周長的最小值是．故選：A6．5【詳解】如圖，延長至點(diǎn)G，使，連接交于點(diǎn)F，連接，

∵，，∴，即∴，∵，∴當(dāng)A、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即線段的長度，∵，，，∴∴,∴的值最小值為5，故答案為：5．7．136【詳解】過點(diǎn)作，并使得連接，則，∴，

∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴，連接CF，即可得知CF的長度即為的最小值，也就是的最小值，∵，∴，，故答案為：．8．【詳解】解：連接，過點(diǎn)F作交延長線于點(diǎn)，

將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，且，∴,，在和中，，，，，，，，點(diǎn)在的射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，，，，是的角平分線，即點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在的延長線上，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，在中，，，的最小值為，故答案為：．9．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，取得最小值，∵是邊長為2的等邊三角形，∴，∴；即的最小值為；如圖，作，且，連接交于M，連接，∵是等邊三角形，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)B、F、H共線時(shí)，如圖2，的值最小，即的長，此時(shí)是等腰直角三角形，且，∴，故答案為：；．10．【詳解】解：∵是邊上的中線，∴垂直平分，∴點(diǎn)C與點(diǎn)Ａ關(guān)于對(duì)稱，連接交于M，則此時(shí)的值最小，且，

∵D為的中點(diǎn)，，∴，∴，過A作于點(diǎn)G，∵．∴∴∵N為的中點(diǎn)，∴∴∴，∴的最小值為，故答案為：11．3【詳解】解：是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，在與中，，，，作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，則，的最小值即為線段的長，，，，是等邊三角形，，，，，的最小值的平方為：，故答案為：3．12．【詳解】解：∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，，且，在和中，，∴∴，，∵，∴，即：，∴為等腰直角三角形，當(dāng)時(shí)，最短，的面積最小，此時(shí)，，故答案為：13．5【詳解】如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接，是的平分線，，在和中，，，，，由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，又由垂線段最短得：當(dāng)時(shí)，取得最小值，，，解得，即的最小值為，故答案為：．14．4【詳解】解：∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴當(dāng)B，A，E三點(diǎn)共線時(shí)，線段取得最小值．∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，故答案為：4．15．4【詳解】解：作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)Q，過Q作于N，交于P，連接，如圖，∵作點(diǎn)M、點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱，∴，∴，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)時(shí)，最小，∴根據(jù)作圖可知此時(shí)：最小，且最小為，∵，作點(diǎn)M、點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱，，∴，，∴，∵，∴在中有：，∴，故答案為：4．16．18【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作交的延長線于，∵，且，∴，∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，∴的面積為，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，面積的最小值是故答案為：18．17．5【詳解】解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)的值最?。勺鲌D可知：平分，，，，，的最小值為5，故答案為：5．18．8【詳解】解：連接，，，，，如圖所示：

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)分別是，，所以是的垂直平分線，是的垂直平分線，則，，，即，所以是等邊三角形，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，取最小值，因?yàn)?，上的高，所以的最小值，故答案為?．19．2【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，，，，在和中，，≌，∴，有最小值，也有最小值，當(dāng)時(shí)，有最小值，，，，∴，線段的最小值為．故答案為：．20．12【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，如圖所示：∴，∴，∴當(dāng)取最小時(shí)，即為最小，∴當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)且時(shí)最小，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，∴最小值為；故答案為：12．21．3【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)Q，連接，

∵，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的值最小，在中，∵，∴，∴的最小值為3．故答案為：322．(1)證明見解析(2)(3)12【詳解】（1）解：∵四邊形是長方形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∴，∴（2）解：∵P是的中點(diǎn)，∴，由折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴；（3）解：由題意得，∴要使的周長最小，即要使最小，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，連接，在中，由勾股定理得，∴，∴的周長最小值為；23．（1）12；（2）；（3）3【詳解】（1）過點(diǎn)A作，于點(diǎn)E，∵，，∴.在中，，∴.故答案為：12；（2）過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作，垂足為E，連接，∵，，∴，∴在中，∴.∵，∴，∴，∴；（3）設(shè)點(diǎn)C落在AB上的G點(diǎn)，由翻折得，所以當(dāng)時(shí)最小.設(shè)則，，∴，∴，∴，∴的最小值為3．24．(1)(2)(3)(4)或或【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：如圖，過O作于點(diǎn)C，此時(shí)最小．，，故點(diǎn)O到點(diǎn)C的距離的最小值為：；（3）解：連接交于點(diǎn)C，如圖所示：由折疊的性質(zhì)可知，，垂直平分，，，，設(shè)，則，在中，，在中，，，解得：，；（4）解：①如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，，點(diǎn)F速度為，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；②如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，由（1）可知，，，，，點(diǎn)F速度為，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；③如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，設(shè)，則，在中，，，解得：，即，點(diǎn)F速度為，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；綜上可知，當(dāng)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為或或時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．25．(1)見解析；(2)；(3)【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵、，∴∵為的中點(diǎn)，，∴DE垂直平分，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：∵、，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：∵平分，、，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，解得：，即，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：

∵，∴四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴設(shè)，，則，，在和中，由根據(jù)勾股定理得：，∴，，聯(lián)立整理得：，解得：，（舍去），∴，∴，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，如圖所示，∵為的平分線，∴點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)一定在上，根據(jù)對(duì)稱性可知，，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴，∵垂線段最短，∴，∴，∴的最小值為的長，即的最小值為．26．(1)10(2)3.6；4.8(3)2或5【詳解】（1）解：，，，，故答案為：10；（2）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到，時(shí)，線段的長最小，如圖，

此時(shí)，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴．∴當(dāng)t為3.6秒時(shí)，線段的長最小，且長的最小值為4.8．（3）解：①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，即，，，，，，；③在線段上移動(dòng)，所以，故不存在；綜上所述，或5．27．(1)(2)或或(3)【詳解】（1）解：由題意，得：當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平分的面積，∵，，，∴，∴，∴；故答案為：；（2）解：①當(dāng)時(shí)，如圖：∵，∴，在中：，即：，解得：；②當(dāng)時(shí)，如圖：即：，解得：；③當(dāng)時(shí)，如圖：∵，∴，∴，即：，解得：