高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)概念 導(dǎo)數(shù)與微分

第二章導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)是微積分的重要組成部分，它的基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分。物理學(xué)、醫(yī)學(xué)等許多重要問題的解答依賴于高數(shù)中這兩個(gè)概念。本章的主要內(nèi)容就是建立這兩個(gè)概念，并推導(dǎo)出求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的一般法則以及初等函數(shù)的求導(dǎo)方法，從而展現(xiàn)導(dǎo)數(shù)和微分的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家Ferma在研究極值問題中提出.微積分學(xué)的創(chuàng)始人:

德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz

英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具

(從微觀上研究函數(shù))牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茲(1646–1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來.質(zhì)點(diǎn)所發(fā)生的位移除以所花的時(shí)間△t,得到平均速度，即2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1引例1、導(dǎo)數(shù)概念的物理背景——即時(shí)速度問題

如果質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則任意時(shí)刻的速度不變;如果質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為S=S(t),該如何確定某一時(shí)刻的即時(shí)速度呢？先求一段時(shí)間內(nèi)的平均速度直觀想法：時(shí)間間隔越小，平均速度越接近即時(shí)速度。極限思想：令，取平均速度的極限，則可得到在t0時(shí)刻的即時(shí)速度，即2、導(dǎo)數(shù)概念的幾何背景——曲線的切線問題問題：如右圖所示，已知曲線及曲線上的一點(diǎn)M,如何確定曲線在點(diǎn)M

處的切線斜率？MNT

過點(diǎn)M作曲線的割線MN，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N沿曲線向定點(diǎn)M靠攏時(shí)，

MNxyoT切線：割線的極限位置。上述過程可用極限式表示如下：兩例共性，均為增量之比的極限◆導(dǎo)數(shù)Derivative的概念定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x

在x0處取得增量△x(點(diǎn)x0+△x仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y與△x之比當(dāng)△x→0的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)，記為。也可記作即在引例中有

若這個(gè)極限不存在，則稱在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。◆導(dǎo)數(shù)定義式的不同形式差商導(dǎo)數(shù)實(shí)際是函數(shù)變化率的精確描述,反映了函數(shù)關(guān)于自變量變化的快慢程度解答

若函數(shù)y=f(x)

在開區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)y=f(x)

在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)，對(duì)于任意x∈I

,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為原來函數(shù)y=f(x)

的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)derivative），記作：把x0

換成x,可得點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系◆導(dǎo)函數(shù)的概念或?qū)Ш瘮?shù)的定義式

2.1.2、利用定義求導(dǎo)數(shù)舉例例1

求常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解所以常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零，即解例2

求正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及的導(dǎo)數(shù)。所以同理可求得對(duì)一般的冪函數(shù)有例3

求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解所以例4

求對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解所以特別◆單側(cè)導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)（derivativeontheleft）

右導(dǎo)數(shù)（derivativeontheright）和函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且存在，則稱

f(x)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，并且相等。導(dǎo)數(shù)通過極限定義例5已知解因?yàn)樗?/p>

，從而◆變化率問題設(shè)某個(gè)變量Q隨時(shí)間t的變化而變化，其函數(shù)關(guān)系Q=Q(t),從時(shí)刻t到(t+△t)，量Q

的改變量為量Q

的平均變化率為2.1.3、導(dǎo)數(shù)的含義導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率，反應(yīng)了函數(shù)變化的快慢◆導(dǎo)數(shù)的幾何意義MxyoT曲線中切線斜率描述的就是任意點(diǎn)函數(shù)變化的快慢程度涉及率的問題是關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的切線方程為法線方程為法線是過切點(diǎn)且與切線垂直的直線解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線的斜率為所以，所求切線方程為所求法線的斜率為所求法線方程為例6

求雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出曲線在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。即即物理意義：設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律位移關(guān)于時(shí)間t的變化率，也就是任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即例：已知一物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，求t=2時(shí)的瞬時(shí)速度解:已知2.1.4、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

函數(shù)f(x)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)連續(xù)。證明設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)可導(dǎo)于是由定理函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)則存在例7

討論函數(shù)f(x)=|x|

在點(diǎn)x=0的連續(xù)性和可導(dǎo)性。