數(shù)字信號(hào)處理 全通濾波器與最小相位系統(tǒng)

全通濾波器與最小相位系統(tǒng)

全通濾波器的定義*一階復(fù)系數(shù)全通濾波器

m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)*全通數(shù)字濾波器的定義

定義：如果利用Am(z)表示m階實(shí)系數(shù)全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，則有全通系統(tǒng)對所有

，滿足:稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)一階全通系統(tǒng)：極點(diǎn)：零點(diǎn)：零極點(diǎn)以單位圓為鏡像對稱極點(diǎn)：零點(diǎn)：二階全通系統(tǒng)兩個(gè)零點(diǎn)（極點(diǎn)）為共軛對稱極點(diǎn)：零點(diǎn)：零點(diǎn)與極點(diǎn)以單位圓為鏡像對稱一階復(fù)系數(shù)全通數(shù)字濾波器(a)一階全通數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)一階復(fù)系數(shù)全通數(shù)字濾波器(b)一階全通數(shù)字濾波器的相位響應(yīng)一階全通數(shù)字濾波器的相位響應(yīng)是單調(diào)遞減的。當(dāng)

=0時(shí)一階全通濾波器的相位響應(yīng)分析當(dāng)

0時(shí)一階復(fù)系數(shù)全通數(shù)字濾波器(c)一階全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn)

極點(diǎn)為：

零點(diǎn)為：一階全通系統(tǒng)的零點(diǎn)與極點(diǎn)存在共軛倒數(shù)的關(guān)系m階實(shí)系數(shù)全通數(shù)字濾波器(a)m階全通濾波器的幅度響應(yīng)(b)m階實(shí)系數(shù)全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn)由于一階全通系統(tǒng)相位是遞減的，所以

m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)的相位非正遞減的。m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)可分解為m個(gè)一階全通系統(tǒng)的積m階實(shí)系數(shù)全通數(shù)字濾波器

如果zk為系統(tǒng)函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)，則有

zk*也是系統(tǒng)函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn),1/zk和1/zk*必為系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)。*二階實(shí)系數(shù)全通濾波器的相位響應(yīng)相位響應(yīng)的主值解卷繞后的相位響應(yīng)m階實(shí)系數(shù)全通數(shù)字濾波器最小相位系統(tǒng)

定義：零極點(diǎn)都在z平面單位圓內(nèi)的因果系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。記為Hmin(z)。

在具有相同幅頻特性的同階系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)具有最大的相位，最小的延時(shí)。

證明：設(shè)系統(tǒng)H(z)只有一個(gè)零點(diǎn)在z=1/a*在單位圓外，

|a|<1，那么H(z)就能表示成

H(z)=H1(z)(z-1-a*)

按定義H1(z)是一個(gè)最小相位系統(tǒng)。故H(z)=Hmin(z)A1(z)任一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)都可表示為H(z)也可等效的表示為最小相位系統(tǒng) 例:

一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為由于系統(tǒng)的零點(diǎn)為z=-1/b，故這不是一最小相位系統(tǒng)。與H(z)具有相同幅度響應(yīng)的最小相位系統(tǒng)為a=0.9，b=0.4時(shí)H(z)和Hmin(z)的相位響應(yīng)0-3-2-101phaseHminH0.2p0.4p0.6p0.8ppW例:

一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為最大相位系統(tǒng)(maximum-phasesystem):零點(diǎn)全在單位圓外的穩(wěn)定的因果系統(tǒng).例:

一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為顯然該因果穩(wěn)定系統(tǒng)為最大相位系統(tǒng)全部零點(diǎn)、極點(diǎn)在單位圓內(nèi)所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為：最小相位滯后(延時(shí))系統(tǒng)最大相位滯后(延時(shí))系統(tǒng)全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，全部零點(diǎn)在單位圓外所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為：全部極點(diǎn)在單位圓外，全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為：最大相位超前系統(tǒng)最小相位超前系統(tǒng)全部零點(diǎn)、極點(diǎn)在單位圓外所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為：見《數(shù)字信號(hào)處理教程》---程佩青編有關(guān)相位系統(tǒng)結(jié)論:全通系統(tǒng)的應(yīng)用(1).任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián)其中：H1(z)為最小相位系統(tǒng)(零點(diǎn)、極點(diǎn)在單位圓內(nèi))

為單位圓外的一對共軛零點(diǎn)證明見書59把H(z)單位圓外的零點(diǎn)： 映射到單位圓內(nèi)的鏡像位置： 構(gòu)成Hmin(z)的零點(diǎn)。而幅度響應(yīng)不變：用圖來說明上述證明級聯(lián)

Hmin(z)級聯(lián)

Am(z)(2).級聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個(gè)穩(wěn)定濾波器把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點(diǎn)映射到單位圓內(nèi)單位圓外極點(diǎn)：用圖來說明上述證明級聯(lián)

Am(z)Hnew(z)H

(z)

信號(hào)抽樣的理論分析時(shí)域抽樣定理1.8信號(hào)的抽樣不同抽樣頻率對圖像的影響抽樣的數(shù)學(xué)模型及實(shí)現(xiàn)抽樣抽樣間隔(周期)T(s)抽樣角頻率wsam=2p/T(rad/s)抽樣頻率fsam=1/T(Hz)?

在信號(hào)的時(shí)域抽樣過程中，從時(shí)域難以看出如何選擇合適的抽樣間隔T。利用信號(hào)時(shí)域與頻域一一對應(yīng)的關(guān)系，可以從頻域分析。抽樣的數(shù)學(xué)模型及實(shí)現(xiàn)x(t)頻譜X(jw)與序列x[k]頻譜X

(ejW)的關(guān)系X(jw)=0|w|>wmwm稱為信號(hào)的最高(角)頻率。抽樣間隔T對抽樣過程的影響例:

已知某帶限信號(hào)抽樣信號(hào)x(t)的頻譜如圖所示，試分別抽樣角頻率wsam=2.5wm,2wm,1.6wm抽樣時(shí)，抽樣后離散序列x[k]的頻譜。解：例:

已知某帶限信號(hào)抽樣信號(hào)x(t)的頻譜如圖所示，試分別抽樣角頻率wsam=2.5wm,2wm,1.6wm抽樣時(shí)，抽樣后離散序列x[k]的頻譜。解：例:

已知某帶限信號(hào)抽樣信號(hào)x(t)的頻譜如圖所示，試分別抽樣角頻率wsam=2.5wm,2wm,1.6wm抽樣時(shí)，抽樣后離散序列x[k]的頻譜。解：例:

已知某帶限信號(hào)抽樣信號(hào)x(t)的頻譜如圖所示，試分別抽樣角頻率wsam=2.5wm,2wm,1.6wm抽樣時(shí)，抽樣后離散序列x[k]的頻譜。

設(shè)x(t)是帶限實(shí)信號(hào)，則抽樣后信號(hào)頻譜不混疊的(充分)條件為：T

p/wm=1/(2fm)

時(shí)域抽樣定理fsam

2fm

（或wsam

2wm）抽樣頻率fs滿足：或抽樣間隔T滿足fsam

=2fm

頻譜不混疊最小抽樣頻率(Nyquistrate)T=1/(2fm)

頻譜不混疊最大抽樣間隔例：已知實(shí)信號(hào)f(t)的最高頻率為fm

(Hz)，試計(jì)算對各信號(hào)f(2t)，f(t)*f(2t)，f(t)

f(2t)抽樣不混疊的最小抽樣頻率。對信號(hào)f(2t)抽樣時(shí)，最小抽樣頻率為2fm(Hz)；對f(t)*f(2t)抽樣時(shí)，最小抽樣頻率為4fm(Hz)；對f(t)

f(2t)抽樣時(shí)，最小抽樣頻率為6fm(Hz)。解：根據(jù)信號(hào)時(shí)域與頻域的對應(yīng)關(guān)系及抽樣定理得信號(hào)重建理想D/A時(shí)域輸入和輸出關(guān)系理想D/A模型框圖A/TwXs(jw)wm-wmwsam-wsamwsam/2-wsam/2......A/TX(ejw)wTwmp-p2p-Twm-2p......理想D/A頻域輸入和輸出關(guān)系重建濾波器輸出信號(hào)的頻譜Xr(jw)A/TwXs(jw)wm-wmwsam-wsamwsam/2-wsam/2......Hr(jw)AwXr(jw)wm-wm-wsam/2wsam/2抽樣定理的實(shí)際應(yīng)用舉例A/DH(z)D/Ax(t)x[k]y[k]y(t)利用離散系統(tǒng)處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)信號(hào)的離散處理假定x(t)是帶限信號(hào)，等效的模擬濾波器為連續(xù)信號(hào)的離散處理例：對如圖所示系統(tǒng)，已知輸入模擬信號(hào)X(jw)，離散系統(tǒng)H(ejW)，試畫出X(ejW)、Y(ejW)和Yr(jw)。1)(WjeHpcW-wcWp-1)(wjXwsam/2w-wsam/2例：對如圖所示系統(tǒng)，已知輸入模擬信號(hào)X(jw)，離散系統(tǒng)H(ejW)，試畫出X(ejW)、Y(ejW)和Yr(jw)。(1)已知DF的截頻Wc，等效的AF的截頻wc=Wc/T(2)要求AF的截頻為wc，DF的截頻應(yīng)設(shè)計(jì)為Wc=Twc

抽樣后的譜DF濾波后的譜例：已知信號(hào)x(t)的譜圖所示，T為抽樣周期，wsam=2p/T。分別畫出x[k],xs(t),xr(t)的譜。)(wjX2samw2samw-samwsamw-1wxr(t)x[k]Hr(jw)