窗函數法設計FIR數字濾波器

窗函數法設計FIR數字濾波器設計方法吉伯斯現象常用窗函數Kaiser(凱澤)窗利用Kaiser窗實現多帶濾波器設計方法問題：理想濾波器的Hd

(ejW)已知，設計一物理可實現的濾波器，使其頻響特性逼近Hd(ejW)。

hd

[k]一般情況下是非因果無限長序列，需對其進行截短和因果化處理。設計方法

可實現性處理方案

方案一：(1)將hd[k]關于k=0對稱截短，即h[k]=hd[k],-L

k

L(2)若h[k]非因果系統(tǒng)，可將其右移使其成為因果系統(tǒng)h[k]=hd[k-L]，0

k

2L只能設計I型或III型線性相位FIR濾波器(1)將線性相位因子ej(-0.5MW+b)加入Hd

(ejW)

中(2)計算出hd[k]后，取其在0

k

M范圍的值h[k]=hd[k]，0

k

M設計方法

可實現性處理方案

方案二：可設計四種類型的線性相位FIR濾波器設計方法

設計結果分析等于零，即h[k]=hd[k],0

k

M最小積分平方誤差由Parseval定理結論：上述方法所設計的濾波器是在積分平方誤差最小意義下的最佳濾波器。

設計方法（采用方案二）1．根據要求確定線性相位FIR濾波器的類型2．確定理想濾波器的幅度函數Ad(W)和相位fd(W)fd(W)=-0.5MW+b3．計算IDTFT得hd[k]4．截短hd[k]h[k]=hd[k]，0

k

M

最小積分平方誤差設計FIR的步驟例：設計一個幅度響應能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器(Wc1=0.3p，Wc2=0.7p，M=30

)。

解：

(1)確定線性相位FIR濾波器類型：可選用I型或II型(2)確定理想濾波器的幅度函數Ad(W)和相位fd(W)fd(W)=-0.5MW

例：設計一個幅度響應能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器(Wc1=0.3p，Wc2=0.7p，M=30

)。

解：(3)計算IDTFT得hd[k](4)截斷hd[k]長度為N=M+1的矩形窗fd(W)=-0.5MW+b例：設計一個幅度響應能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器。

解：單位脈沖響應

幅度函數

Wc1=0.3p，Wc2=0.7p，M=30

例：設計一個幅度響應能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器。

結論：

當Wc1=0，濾波器為理想低通

當Wc2=p，濾波器為理想高通

1.

理想低通和高通濾波器是帶通濾波器的特殊情況例：設計一個幅度響應能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器。

結論：2.

理想帶阻濾波器可通過帶通濾波器得到由于|HBS(ejW)|=1-

|HBP(ejW)|，故其中吉伯斯現象矩形窗設計的FIR低通濾波器在不同階數時的幅度函數(Wc=p/2)

所設計濾波器的幅度函數在通帶和阻帶都呈現出振蕩現象，且最大波紋大約為幅度的9%，這個現象稱為Gibbs現象。

吉伯斯現象

產生吉伯斯現象原因分析由于所設計濾波器的單位脈沖響應N=M+1利用DFTF的性質可得所設計FIR濾波器的頻率響應

H(ejW)逼近Hd(ejW)的好壞，取決于窗函數的頻譜W(ejW)窗函數的頻譜吉伯斯現象

窗函數的頻譜2pNN04pNWp3pN矩形窗的幅度函數W(W)1.W(W)的主瓣寬度4p/N2.旁瓣相對衰減為常數=13dB吉伯斯現象

矩形窗設計FIR濾波器的頻率響應H(ejW)H(ejW)主要由主瓣的面積確定H(ejW)的波動由旁瓣引起吉伯斯現象

矩形窗設計FIR濾波器的頻率響應H(ejW)H(ejW)逐漸減小，形成了濾波器的過渡帶

FIR濾波器過渡帶的寬度和窗函數主瓣的寬度密切相關

吉伯斯現象

矩形窗設計FIR濾波器的頻率響應H(ejW)H(ejW)完全由旁瓣的面積確定旁瓣的大小決定了FIR濾波器在阻帶的衰減

吉伯斯現象

矩形窗設計FIR濾波器的頻率響應H(ejW)

矩形窗截斷產生的波峰大約是9%，故用矩形窗設計出的濾波器阻帶最大衰減

-20log10(9%)

21dB吉伯斯現象

結論1.

窗函數的主瓣寬度決定了H(ejW)過渡帶的寬度,窗函數長度N增大，過渡帶減小。2.旁瓣的大小決定了FIR濾波器在阻帶的衰減用矩形窗設計出的濾波器阻帶最大衰減為20log10(9%)

-21dB

如何提高阻帶衰減?選用旁瓣幅度較小的窗函數常用窗函數

矩形窗Ap=-20lg(1-dp)

0.82dB,As=-20lg(ds

)

21dBdp=ds=0.09Hann(漢納)窗常用窗函數w=hanning(M+1)Hann(漢納)窗Ap

0.056dB,As

44dBdp=ds=0.0064常用窗函數Hamming(哈明)窗Ap

0.019dB,As

53dBdp=ds=0.0022常用窗函數w=hamming(M+1)Blackman窗Ap

0.0017dB，As

74dBdp=ds=0.0002常用窗函數(w=blackman(M+1))常用窗函數性質例：用非矩形窗設計截頻為Wc=0.5p的線性相位理想低通濾波器，并將設計結果與利用矩形窗設計結果比較。解：(1)確定線性相位FIR濾波器類型：可選用I型或II型fd(W)=-0.5MW(2)確定理想濾波器的幅度函數Ad(W)和相位fd(W)(3)計算IDTFT得hd[k](4)截斷hd[k]可以是漢寧窗、哈明窗或Blackman窗例：用非矩形窗設計截頻為Wc=0.5p的線性相為理想低通，并將設計結果與利用矩形窗設計結果比較。矩形窗和漢寧窗設計的低通對比00.250.50.751-80-60-44-200SquareHanning例：用非矩形窗設計截頻為Wc=0.5p的線性相為理想低通，并將設計結果與利用矩形窗設計結果比較。矩形窗和哈明窗設計的低通對比00.250.50.751-80-60-52-200Square

Hamming例：用非矩形窗設計截頻為Wc=0.5p的線性相為理想低通，并將設計結果與利用矩形窗設計結果比較。矩形窗和Blackman窗設計的低通對比00.250.50.751-100-75-60-40-200Square

BlackmanKaiser(凱澤)窗(w=kaiser(N,beta))b是一可調參數，調節(jié)窗函數的形狀。I0(x

):零階第一類修正貝塞爾函數

（themodifiedzeroth-orderBesselfunction）I0(x

)可用冪級數表示為一般求20項就能達到所需精度。

定義Kaiser(凱澤)窗——b取不同值時窗的形狀0246810121416182000.51b=00246810121416182000.51b=10246810121416182000.51b=3Kaiser(凱澤)窗A=-20log10(min{dp，ds})N與b的確定Kaiser(凱澤)窗

Kaiser窗設計FIR濾波器的MATLAB函數[M,Wc,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev)f:

表示需設計的FIR濾波器的頻帶a:B個元素的向量,表示FIR濾波器在B個頻帶中的幅度值。一般對通帶取值為1，阻帶取值為0。dev:B個元素的向量,表示FIR濾波器在B個頻帶中的波動值。

返回參數M及beta，分別表示FIR濾波器階數M及Kaiser窗的參數b

返回參數Wc和ftype是函數fir1的調用參數[w]=kaiser(N,belta)N:

窗寬度（M+1）h=fir1(M,Wc,'ftype',window)M表示濾波器的階數Wc表示理想FIR濾波器的B個頻帶ftype表示濾波器的類型，缺省值為空window是一長度為M+1的向量,Hamming窗Matlab設計FIR數字濾波器

獲得FIR濾波器的單位脈沖響應

計算M,beta

獲得窗[w]=kaiser(M+1,beta)[w]=hanning(M+1)[w]=hamming(M+1)[w]=blackman(M+1)例：用Kaiser窗設計滿足下列指標的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dB解：(1)由給指標確定待逼近理想低通的截頻Wc

由于理想低通濾波器的|H(ejW)|在截頻Wc處收斂于0.5，因此常將截頻Wc取在過渡帶的中點Wc=(Wp+Ws)/2=0.4p例：用Kaiser窗設計滿足下列指標的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dB解：(2)由給指標確定Kaiser窗的參數N和bA=-20lg(min{dp，ds})=As=40dBI型線性相位濾波器階數必須是偶數，取M=24w={0.1414,0.217,0.3023,0.3948,0.4914,0.5887,0.6832,0.7709,0.8485,0.9126,0.9604,0.99,1,0.99,0.9604,0.9126,0.8485,0.7709,0.6832,0.5887,0.4914,0.3948,0.3023,0.217,0.1414}例：用Kaiser窗設計滿足下列指標的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dB解：(3)設計截頻Wc=0.4p的I型線性相位FIR低通濾波器fd(W)=-0.5MW例：用Kaiser窗設計滿足下列指標的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dB解：單位脈沖響應設計結果增益響應G(W)=20lg|H(ejW)|wp=0.3*pi;ws=0.5*pi;As=40;M=ceil((As-7.95)/(ws-wp)/2.285)M=M+mod(M,2)beta=0.1102*(As-8.7);w=kaiser(M+1,beta);wc=(wp+ws)/2;alpha=M/2;k=0:M;hd=(wc/pi)*sinc((wc/pi)*(k-alpha));h=hd.*w';omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,[1],omega);magdb=20*log10(abs(mag));plot(omega/pi,magdb);axis([10,1,-100,0]);grid;利用MATLAB實現上例

Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dBAp=0.0217As=47.2042利用MATLAB實現上例

Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dB例：設計一滿足下列指標的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截斷所用窗函數:Hamming窗或kaiser窗1)由過渡帶寬度確定濾波器長度N可選I型濾波器，取N=51；或選IV型濾波器，取N=502)由給指標確定待逼近理想高通的截頻Wc=0.6p一、采用Hamming窗截斷，設計過程如下3)確定線性相位FIR濾波器類型：4)設計截頻Wc=0.6p的線性相位FIR高通濾波器例：設計一滿足下列指標的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截斷所用窗函數:Hamming窗或kaiser窗一、采用Hamming窗截斷，設計過程如下采用I型線性相位濾波器，N=51，M=50fd(W)=-0.5MW4)設計截頻Wc=0.6p的線性相位FIR高通濾波器例：設計一滿足下列指標的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截斷所用窗函數:Hamming窗或kaiser窗一、采用Hamming窗截斷，設計過程如下采用I型線性相位濾波器，N=51，M=50截斷，得I型線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應h[k]=hd[k]w51[k]4)設計截頻Wc=0.6p的線性相位FIR高通濾波器例：設計一滿足下列指標的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截斷所用窗函數:Hamming窗或kaiser窗一、采用Hamming窗截斷，設計過程如下采用IV型線性相位濾波器，N=50，M=49fd(W)=-0.5MW+0.5p4)設計截頻Wc=0.6p的線性相位FIR高通濾波器例：設計一滿足下列指標的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截斷所用窗函數:Hamming窗或kaiser窗一、采用Hamming窗截斷，設計過程如下采用IV型線性相位濾波器，N=50，M=49截斷，得IV型線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應h[k]=hd[k]w50[k]用Hamming窗設計的Wc=0.6pFIRHP濾波器的幅度響應00.40.60.81-110-80-530GainresponseofhighpassFIRfilterNormalizedfrequencyGain,dBtypeItypeIVI型N=51

IV型N=50例：設計一滿足下列指標的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截斷所用窗函數:Hamming窗或kaiser窗二、采用Hamming窗截斷，利用MATLAB實現%Program:利用hamming窗設計FIR高通濾波器%filterspecificationWp=0.67*pi;Ws=0.53*pi;Ap=0.3;As=50;%determinethelengthofthefilter

N=ceil(7*pi/(Wp-Ws));N=mod(N+1,2)+N;M=N-1;fprintf(’N=%.0f\n',N);%generatewindoww=hamming(N)';例：設計一滿足下列指標的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截斷所用窗函數:Hamming窗或kaiser窗二、采用Hamming窗截斷，利用MATLAB實現%cutofffrequencyofidealhighpassfilterWc=(Wp+Ws)/2;k=0:M;hd=-(Wc/pi)*sinc(Wc*(k-0.5*M)/pi);hd(0.5*M+1)=hd(0.5*M+1)+1;h=hd.*w;omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,[1],omega);magdb=20*log10(abs(mag));plot(omega/pi,magdb);例：設計一滿足下列指標的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截斷所用窗函數:Hamming窗或kaiser窗三、采用Kaiser窗截斷，利用MATLAB實現%Program:利用kaiser窗設計FIR高通濾波器Ap=0.3;As=50;Rp=1-10.^(-0.05*Ap);Rs=10.^(-0.05*As);f=[0.53,0.67];a=[0,1];dev=[Rp,Rs];[M,Wc,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev);%使濾波器為I型M=mod(M,2)+M;h=fir1(M,Wc,ftype,kaiser(M+1,beta))omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,[1],omega);plot(omega/pi,20*log10(abs(mag)));Kaiser窗設計的高通濾波器N=42,Ap=0.034dB,As=52.4dBWp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-140-120-100-80-60-40-20020例：理想數字微分器的頻率響應為HDIF(ejW)=jW,|W|

p。試用窗口法設計一線性相位FIR濾波器，使其幅度響應逼近理想數字微分器。解：

1)確定線性相位FIR濾波器類型：fd(W)=-0.5MW+0.5p2)確定理想濾波器的幅度函數Ad(W)和相位fd(W)3)計算IDTFT得hd[k]由于HDIF(ejW)=jW，含有90

相移，故選用III型或IV型例：理想數字微分器的頻率響應為HDIF(ejW)=jW,|W|

p。試用窗口法設計一線性相位FIR濾波器，使其幅度響應逼近理想數字微分器。解：3)計算IDTFT得hd[k]4)截斷hDIF[k]例：理想數字微分器的頻率響應為HDIF(ejW)=jW,|W|

p。試用窗口法設計一線性相位FIR濾波器，使其幅度響應逼近理想數字微分器。A(W)p-p0WM=10p-pA(W)W0M=9由于III型性相位FIR濾波器在W=p存在固有的零點，所以M=10的微分器的幅度函數在W=p附近誤差較大。

利用Kaiser窗實現多帶濾波器若FIR濾波器有4個頻帶，其分別為

0

W

pf1pf2

W

pf3pf4

W

pf5pf6

W

pFIR濾波器在4個頻帶中的幅度值為

a1a2a3a4(通帶取1，阻帶取0)FIR濾波器在4個頻帶中的波動

d1

d2

d3

d4則可以利用MATLAB中的kaiserord和fir1函數實現

f=[f1f2f3f4f5f6];