窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器

窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法吉伯斯現(xiàn)象常用窗函數(shù)Kaiser(凱澤)窗利用Kaiser窗實(shí)現(xiàn)多帶濾波器設(shè)計(jì)方法問(wèn)題：理想濾波器的Hd

(ejW)已知，設(shè)計(jì)一物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，使其頻響特性逼近Hd(ejW)。

hd

[k]一般情況下是非因果無(wú)限長(zhǎng)序列，需對(duì)其進(jìn)行截短和因果化處理。設(shè)計(jì)方法

可實(shí)現(xiàn)性處理方案

方案一：(1)將hd[k]關(guān)于k=0對(duì)稱(chēng)截短，即h[k]=hd[k],-L

k

L(2)若h[k]非因果系統(tǒng)，可將其右移使其成為因果系統(tǒng)h[k]=hd[k-L]，0

k

2L只能設(shè)計(jì)I型或III型線性相位FIR濾波器(1)將線性相位因子ej(-0.5MW+b)加入Hd

(ejW)

中(2)計(jì)算出hd[k]后，取其在0

k

M范圍的值h[k]=hd[k]，0

k

M設(shè)計(jì)方法

可實(shí)現(xiàn)性處理方案

方案二：可設(shè)計(jì)四種類(lèi)型的線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)方法

設(shè)計(jì)結(jié)果分析等于零，即h[k]=hd[k],0

k

M最小積分平方誤差由Parseval定理結(jié)論：上述方法所設(shè)計(jì)的濾波器是在積分平方誤差最小意義下的最佳濾波器。

設(shè)計(jì)方法（采用方案二）1．根據(jù)要求確定線性相位FIR濾波器的類(lèi)型2．確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W)和相位fd(W)fd(W)=-0.5MW+b3．計(jì)算IDTFT得hd[k]4．截短hd[k]h[k]=hd[k]，0

k

M

最小積分平方誤差設(shè)計(jì)FIR的步驟例：設(shè)計(jì)一個(gè)幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器(Wc1=0.3p，Wc2=0.7p，M=30

)。

解：

(1)確定線性相位FIR濾波器類(lèi)型：可選用I型或II型(2)確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W)和相位fd(W)fd(W)=-0.5MW

例：設(shè)計(jì)一個(gè)幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器(Wc1=0.3p，Wc2=0.7p，M=30

)。

解：(3)計(jì)算IDTFT得hd[k](4)截?cái)鄅d[k]長(zhǎng)度為N=M+1的矩形窗fd(W)=-0.5MW+b例：設(shè)計(jì)一個(gè)幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器。

解：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)

幅度函數(shù)

Wc1=0.3p，Wc2=0.7p，M=30

例：設(shè)計(jì)一個(gè)幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器。

結(jié)論：

當(dāng)Wc1=0，濾波器為理想低通

當(dāng)Wc2=p，濾波器為理想高通

1.

理想低通和高通濾波器是帶通濾波器的特殊情況例：設(shè)計(jì)一個(gè)幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器。

結(jié)論：2.

理想帶阻濾波器可通過(guò)帶通濾波器得到由于|HBS(ejW)|=1-

|HBP(ejW)|，故其中吉伯斯現(xiàn)象矩形窗設(shè)計(jì)的FIR低通濾波器在不同階數(shù)時(shí)的幅度函數(shù)(Wc=p/2)

所設(shè)計(jì)濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度的9%，這個(gè)現(xiàn)象稱(chēng)為Gibbs現(xiàn)象。

吉伯斯現(xiàn)象

產(chǎn)生吉伯斯現(xiàn)象原因分析由于所設(shè)計(jì)濾波器的單位脈沖響應(yīng)N=M+1利用DFTF的性質(zhì)可得所設(shè)計(jì)FIR濾波器的頻率響應(yīng)

H(ejW)逼近Hd(ejW)的好壞，取決于窗函數(shù)的頻譜W(ejW)窗函數(shù)的頻譜吉伯斯現(xiàn)象

窗函數(shù)的頻譜2pNN04pNWp3pN矩形窗的幅度函數(shù)W(W)1.W(W)的主瓣寬度4p/N2.旁瓣相對(duì)衰減為常數(shù)=13dB吉伯斯現(xiàn)象

矩形窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW)H(ejW)主要由主瓣的面積確定H(ejW)的波動(dòng)由旁瓣引起吉伯斯現(xiàn)象

矩形窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW)H(ejW)逐漸減小，形成了濾波器的過(guò)渡帶

FIR濾波器過(guò)渡帶的寬度和窗函數(shù)主瓣的寬度密切相關(guān)

吉伯斯現(xiàn)象

矩形窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW)H(ejW)完全由旁瓣的面積確定旁瓣的大小決定了FIR濾波器在阻帶的衰減

吉伯斯現(xiàn)象

矩形窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW)

矩形窗截?cái)喈a(chǎn)生的波峰大約是9%，故用矩形窗設(shè)計(jì)出的濾波器阻帶最大衰減

-20log10(9%)

21dB吉伯斯現(xiàn)象

結(jié)論1.

窗函數(shù)的主瓣寬度決定了H(ejW)過(guò)渡帶的寬度,窗函數(shù)長(zhǎng)度N增大，過(guò)渡帶減小。2.旁瓣的大小決定了FIR濾波器在阻帶的衰減用矩形窗設(shè)計(jì)出的濾波器阻帶最大衰減為20log10(9%)

-21dB

如何提高阻帶衰減?選用旁瓣幅度較小的窗函數(shù)常用窗函數(shù)

矩形窗Ap=-20lg(1-dp)

0.82dB,As=-20lg(ds

)

21dBdp=ds=0.09Hann(漢納)窗常用窗函數(shù)w=hanning(M+1)Hann(漢納)窗Ap

0.056dB,As

44dBdp=ds=0.0064常用窗函數(shù)Hamming(哈明)窗Ap

0.019dB,As

53dBdp=ds=0.0022常用窗函數(shù)w=hamming(M+1)Blackman窗Ap

0.0017dB，As

74dBdp=ds=0.0002常用窗函數(shù)(w=blackman(M+1))常用窗函數(shù)性質(zhì)例：用非矩形窗設(shè)計(jì)截頻為Wc=0.5p的線性相位理想低通濾波器，并將設(shè)計(jì)結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計(jì)結(jié)果比較。解：(1)確定線性相位FIR濾波器類(lèi)型：可選用I型或II型fd(W)=-0.5MW(2)確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W)和相位fd(W)(3)計(jì)算IDTFT得hd[k](4)截?cái)鄅d[k]可以是漢寧窗、哈明窗或Blackman窗例：用非矩形窗設(shè)計(jì)截頻為Wc=0.5p的線性相為理想低通，并將設(shè)計(jì)結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計(jì)結(jié)果比較。矩形窗和漢寧窗設(shè)計(jì)的低通對(duì)比00.250.50.751-80-60-44-200SquareHanning例：用非矩形窗設(shè)計(jì)截頻為Wc=0.5p的線性相為理想低通，并將設(shè)計(jì)結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計(jì)結(jié)果比較。矩形窗和哈明窗設(shè)計(jì)的低通對(duì)比00.250.50.751-80-60-52-200Square

Hamming例：用非矩形窗設(shè)計(jì)截頻為Wc=0.5p的線性相為理想低通，并將設(shè)計(jì)結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計(jì)結(jié)果比較。矩形窗和Blackman窗設(shè)計(jì)的低通對(duì)比00.250.50.751-100-75-60-40-200Square

BlackmanKaiser(凱澤)窗(w=kaiser(N,beta))b是一可調(diào)參數(shù)，調(diào)節(jié)窗函數(shù)的形狀。I0(x

):零階第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)

（themodifiedzeroth-orderBesselfunction）I0(x

)可用冪級(jí)數(shù)表示為一般求20項(xiàng)就能達(dá)到所需精度。

定義Kaiser(凱澤)窗——b取不同值時(shí)窗的形狀0246810121416182000.51b=00246810121416182000.51b=10246810121416182000.51b=3Kaiser(凱澤)窗A=-20log10(min{dp，ds})N與b的確定Kaiser(凱澤)窗

Kaiser窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的MATLAB函數(shù)[M,Wc,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev)f:

表示需設(shè)計(jì)的FIR濾波器的頻帶a:B個(gè)元素的向量,表示FIR濾波器在B個(gè)頻帶中的幅度值。一般對(duì)通帶取值為1，阻帶取值為0。dev:B個(gè)元素的向量,表示FIR濾波器在B個(gè)頻帶中的波動(dòng)值。

返回參數(shù)M及beta，分別表示FIR濾波器階數(shù)M及Kaiser窗的參數(shù)b

返回參數(shù)Wc和ftype是函數(shù)fir1的調(diào)用參數(shù)[w]=kaiser(N,belta)N:

窗寬度（M+1）h=fir1(M,Wc,'ftype',window)M表示濾波器的階數(shù)Wc表示理想FIR濾波器的B個(gè)頻帶ftype表示濾波器的類(lèi)型，缺省值為空window是一長(zhǎng)度為M+1的向量,Hamming窗Matlab設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器

獲得FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)

計(jì)算M,beta

獲得窗[w]=kaiser(M+1,beta)[w]=hanning(M+1)[w]=hamming(M+1)[w]=blackman(M+1)例：用Kaiser窗設(shè)計(jì)滿(mǎn)足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dB解：(1)由給指標(biāo)確定待逼近理想低通的截頻Wc

由于理想低通濾波器的|H(ejW)|在截頻Wc處收斂于0.5，因此常將截頻Wc取在過(guò)渡帶的中點(diǎn)Wc=(Wp+Ws)/2=0.4p例：用Kaiser窗設(shè)計(jì)滿(mǎn)足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dB解：(2)由給指標(biāo)確定Kaiser窗的參數(shù)N和bA=-20lg(min{dp，ds})=As=40dBI型線性相位濾波器階數(shù)必須是偶數(shù)，取M=24w={0.1414,0.217,0.3023,0.3948,0.4914,0.5887,0.6832,0.7709,0.8485,0.9126,0.9604,0.99,1,0.99,0.9604,0.9126,0.8485,0.7709,0.6832,0.5887,0.4914,0.3948,0.3023,0.217,0.1414}例：用Kaiser窗設(shè)計(jì)滿(mǎn)足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dB解：(3)設(shè)計(jì)截頻Wc=0.4p的I型線性相位FIR低通濾波器fd(W)=-0.5MW例：用Kaiser窗設(shè)計(jì)滿(mǎn)足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dB解：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)設(shè)計(jì)結(jié)果增益響應(yīng)G(W)=20lg|H(ejW)|wp=0.3*pi;ws=0.5*pi;As=40;M=ceil((As-7.95)/(ws-wp)/2.285)M=M+mod(M,2)beta=0.1102*(As-8.7);w=kaiser(M+1,beta);wc=(wp+ws)/2;alpha=M/2;k=0:M;hd=(wc/pi)*sinc((wc/pi)*(k-alpha));h=hd.*w';omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,[1],omega);magdb=20*log10(abs(mag));plot(omega/pi,magdb);axis([10,1,-100,0]);grid;利用MATLAB實(shí)現(xiàn)上例

Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dBAp=0.0217As=47.2042利用MATLAB實(shí)現(xiàn)上例

Wp=0.3p,Ws=0.5p，Ap=0.1dB,As=40dB例：設(shè)計(jì)一滿(mǎn)足下列指標(biāo)的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或kaiser窗1)由過(guò)渡帶寬度確定濾波器長(zhǎng)度N可選I型濾波器，取N=51；或選IV型濾波器，取N=502)由給指標(biāo)確定待逼近理想高通的截頻Wc=0.6p一、采用Hamming窗截?cái)?，設(shè)計(jì)過(guò)程如下3)確定線性相位FIR濾波器類(lèi)型：4)設(shè)計(jì)截頻Wc=0.6p的線性相位FIR高通濾波器例：設(shè)計(jì)一滿(mǎn)足下列指標(biāo)的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或kaiser窗一、采用Hamming窗截?cái)啵O(shè)計(jì)過(guò)程如下采用I型線性相位濾波器，N=51，M=50fd(W)=-0.5MW4)設(shè)計(jì)截頻Wc=0.6p的線性相位FIR高通濾波器例：設(shè)計(jì)一滿(mǎn)足下列指標(biāo)的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或kaiser窗一、采用Hamming窗截?cái)?，設(shè)計(jì)過(guò)程如下采用I型線性相位濾波器，N=51，M=50截?cái)啵肐型線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[k]=hd[k]w51[k]4)設(shè)計(jì)截頻Wc=0.6p的線性相位FIR高通濾波器例：設(shè)計(jì)一滿(mǎn)足下列指標(biāo)的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或kaiser窗一、采用Hamming窗截?cái)?，設(shè)計(jì)過(guò)程如下采用IV型線性相位濾波器，N=50，M=49fd(W)=-0.5MW+0.5p4)設(shè)計(jì)截頻Wc=0.6p的線性相位FIR高通濾波器例：設(shè)計(jì)一滿(mǎn)足下列指標(biāo)的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或kaiser窗一、采用Hamming窗截?cái)?，設(shè)計(jì)過(guò)程如下采用IV型線性相位濾波器，N=50，M=49截?cái)?，得IV型線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[k]=hd[k]w50[k]用Hamming窗設(shè)計(jì)的Wc=0.6pFIRHP濾波器的幅度響應(yīng)00.40.60.81-110-80-530GainresponseofhighpassFIRfilterNormalizedfrequencyGain,dBtypeItypeIVI型N=51

IV型N=50例：設(shè)計(jì)一滿(mǎn)足下列指標(biāo)的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或kaiser窗二、采用Hamming窗截?cái)?，利用MATLAB實(shí)現(xiàn)%Program:利用hamming窗設(shè)計(jì)FIR高通濾波器%filterspecificationWp=0.67*pi;Ws=0.53*pi;Ap=0.3;As=50;%determinethelengthofthefilter

N=ceil(7*pi/(Wp-Ws));N=mod(N+1,2)+N;M=N-1;fprintf(’N=%.0f\n',N);%generatewindoww=hamming(N)';例：設(shè)計(jì)一滿(mǎn)足下列指標(biāo)的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或kaiser窗二、采用Hamming窗截?cái)?，利用MATLAB實(shí)現(xiàn)%cutofffrequencyofidealhighpassfilterWc=(Wp+Ws)/2;k=0:M;hd=-(Wc/pi)*sinc(Wc*(k-0.5*M)/pi);hd(0.5*M+1)=hd(0.5*M+1)+1;h=hd.*w;omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,[1],omega);magdb=20*log10(abs(mag));plot(omega/pi,magdb);例：設(shè)計(jì)一滿(mǎn)足下列指標(biāo)的線性相位FIR高通濾波器。Wp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或kaiser窗三、采用Kaiser窗截?cái)?，利用MATLAB實(shí)現(xiàn)%Program:利用kaiser窗設(shè)計(jì)FIR高通濾波器Ap=0.3;As=50;Rp=1-10.^(-0.05*Ap);Rs=10.^(-0.05*As);f=[0.53,0.67];a=[0,1];dev=[Rp,Rs];[M,Wc,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev);%使濾波器為I型M=mod(M,2)+M;h=fir1(M,Wc,ftype,kaiser(M+1,beta))omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,[1],omega);plot(omega/pi,20*log10(abs(mag)));Kaiser窗設(shè)計(jì)的高通濾波器N=42,Ap=0.034dB,As=52.4dBWp=0.67p,Ws=0.53p，Ap=0.3dB,As=50dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-140-120-100-80-60-40-20020例：理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為HDIF(ejW)=jW,|W|

p。試用窗口法設(shè)計(jì)一線性相位FIR濾波器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。解：

1)確定線性相位FIR濾波器類(lèi)型：fd(W)=-0.5MW+0.5p2)確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W)和相位fd(W)3)計(jì)算IDTFT得hd[k]由于HDIF(ejW)=jW，含有90

相移，故選用III型或IV型例：理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為HDIF(ejW)=jW,|W|

p。試用窗口法設(shè)計(jì)一線性相位FIR濾波器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。解：3)計(jì)算IDTFT得hd[k]4)截?cái)鄅DIF[k]例：理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為HDIF(ejW)=jW,|W|

p。試用窗口法設(shè)計(jì)一線性相位FIR濾波器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。A(W)p-p0WM=10p-pA(W)W0M=9由于III型性相位FIR濾波器在W=p存在固有的零點(diǎn)，所以M=10的微分器的幅度函數(shù)在W=p附近誤差較大。

利用Kaiser窗實(shí)現(xiàn)多帶濾波器若FIR濾波器有4個(gè)頻帶，其分別為

0

W

pf1pf2

W

pf3pf4

W

pf5pf6

W

pFIR濾波器在4個(gè)頻帶中的幅度值為

a1a2a3a4(通帶取1，阻帶取0)FIR濾波器在4個(gè)頻帶中的波動(dòng)

d1

d2

d3

d4則可以利用MATLAB中的kaiserord和fir1函數(shù)實(shí)現(xiàn)

f=[f1f2f3f4f5f6];