概率論 二維隨機變量 邊緣分布

第一節(jié)二維隨機變量二維隨機變量的分布函數(shù)二維離散型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)從本講起，我們開始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布

由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，我們重點討論二維隨機變量.它是第二章內(nèi)容的推廣.

到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.

在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標(biāo))來確定的.

飛機的重心在空中的位置是由三個r.v(三個坐標(biāo))來確定的等等.一般地,設(shè)是一個隨機試驗,它的樣本空間是設(shè)是定義在上的隨機變量,由它們構(gòu)成的一個維向量叫做維隨機向量或

維隨機變量.

以下重點討論二維隨機變量.請注意與一維情形的對照.X的分布函數(shù)一維隨機變量如果對于任意實數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機變量的分布函數(shù),或者稱為隨機變量和的聯(lián)合分布函數(shù).定義1設(shè)是二維隨機變量,一、二維隨機變量的分布函數(shù)

將二維隨機變量看成是平面上隨機點的坐標(biāo),

那么,分布函數(shù)在點處的函數(shù)值就是隨機點落在下面左圖所示的,以點為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率.分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋分布函數(shù)的幾何意義(x,y)xyF(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)0事實上對于任意a<b,c<d

④–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)F(b,d)abcd

隨機點落在矩形域內(nèi)的概率為xy(x,y)xyF性質(zhì)xyxy或隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律.k=1,2,…離散型一維隨機變量XX的分布律k=1,2,…定義2的值是有限對或可列無限多對,是離散型隨機變量.則稱設(shè)二維離散型隨機變量可能取的值是記如果二維隨機變量全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機變量的分布律,二、二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量的分布律具有性質(zhì)也可用表格來表示隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律.

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8連續(xù)型一維隨機變量XX的概率密度函數(shù)定義3對于二維隨機變量的分布函數(shù)則稱是連續(xù)型的二維隨機變量,函數(shù)稱為二維（X,Y)的概率密度,隨機變量三、二維連續(xù)型隨機變量存在非負(fù)的函數(shù)如果任意有使對于

稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度.或二維連續(xù)型隨機變量的概率密度具有性質(zhì)（X,Y）的概率密度的性質(zhì):在f(x,y)的連續(xù)點,例2

設(shè)(X,Y)的概率密度是(1)求分布函數(shù)(2)求概率.積分區(qū)域區(qū)域解(1)當(dāng)時,故當(dāng)時,(2)四、課堂練習(xí)設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度是(1)確定常數(shù)(2)求概率.解(1)故(2).五、小結(jié)

在這一節(jié)中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的分布函數(shù),離散型隨機變量的分布律以及連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù).第二節(jié)邊緣分布邊緣分布函數(shù)離散型隨機變量的邊緣分布律連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)

二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問:二者之間有什么關(guān)系呢?這一節(jié)里,我們就來探求這個問題.二維隨機變量(X,Y)作為一個整體,具有分布函數(shù)而和都是隨機變量,也有各自的分布函數(shù),分別記為變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機一、邊緣分布函數(shù)二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)xyxxyy由聯(lián)合分布函數(shù)邊緣分布函數(shù),逆不真.一般地，對離散型

r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為X和Y的聯(lián)合分布律為二、離散型隨機變量的邊緣分布律(X,Y)關(guān)于

Y的邊緣分布律為

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.

我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.

對連續(xù)型

r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概率密度為則(X,Y)關(guān)于

X的邊緣概率密度為事實上,三、連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為例2

設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個邊緣密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故例2

設(shè)(X,Y)的概率密度是解求(1)

c的值;(2)兩個邊緣密度.(2)當(dāng)時當(dāng)時,暫時固定注意取值范圍綜上,當(dāng)時,例2

設(shè)(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)

c的值;(2)兩個邊緣密度.暫時固定綜上,注意取值范圍

在求連續(xù)型r.v的邊緣密度時，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分.當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時候，在計算積分時應(yīng)特別注意積分限.下面我們介紹兩個常見的二維分布.

設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.

向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關(guān).則質(zhì)點的坐標(biāo)(X,Y)在G上服從均勻分布.例解:

例：設(shè)(X,Y)服從圓域x2+y2≤4上的均勻分布，計算P{(X,Y)

A}，這里A是中陰影部分的區(qū)域。

圓域x2+y2≤4面積d=4

；區(qū)域A是x=0,y=0和x+y=1三條直線所圍成的三角區(qū)域，并且包含在圓域x2+y2≤4之內(nèi)，面積=0.5。故，

P{(X,Y)

A}=0.5/4=1/8。例：設(shè)(X,Y)服從單位圓域x2+y2≤1上的均勻分布。求X和Y的邊緣概率密度。解:當(dāng)|x|＞1時,當(dāng)-1≤x≤1時,(注意積分限的確定方法)熟練時，被積函數(shù)為零的部分可以不寫。

由X和Y在問題中地位的對稱性,將上式中的x改為y，得到Y(jié)的邊緣概率密度

若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度

則稱（X,Y）服從參數(shù)為

的二維正態(tài)分布.其中均為常數(shù),且記作（X,Y）～N().例3試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度.解因為所以則有

二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù).同理可見由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.

也就是說,對于給定的不同的對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明

說明

對于確定的

1,

2,

1,

2,當(dāng)

不同時,對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布。但它們的邊緣分布是相同的，所以在考慮多維隨機向量時，不但要考慮它們的邊緣分布，還要考慮隨機向量各分量之間的關(guān)系。四、課堂練習(xí)

設(shè)(X,Y)的概率密度是求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度.解暫時固定當(dāng)時,當(dāng)時,故暫時固定暫時固定暫時固定當(dāng)時,當(dāng)時,故1.在這一講中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的邊緣分布.由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.2.請注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:五、小結(jié)隨機變量相互獨立的定義課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)第四節(jié)相互獨立的隨機變量兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立.設(shè)X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有

則稱X和Y相互獨立

.一、隨機變量相互獨立的定義用分布函數(shù)表示,即

設(shè)X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X和Y相互獨立

.

它表明，兩個r.v相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積.其中是X和Y的聯(lián)合密度，

幾乎處處成立，則稱X和Y相互獨立

.對任意的x,y,有

若(X,Y)是連續(xù)型r.v

，則上述獨立性的定義等價于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.

若(X,Y)是離散型r.v

，則上述獨立性的定義等價于：則稱X和Y相互獨立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有

例1

設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解x>0

y

>0二、例題即可見對一切x,y,均有：故X,Y獨立.

若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨立.

例2

甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面.如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨立地到達(dá),而且到達(dá)時間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達(dá)的時間不超過5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少？解設(shè)X為甲到達(dá)時刻,Y為乙到達(dá)時刻以12時為起點,以分為單位,依題意,X~U(15,45),Y~U(0,60)所求為P(|X-Y|5),甲先到的概率由獨立性先到的人等待另一人到達(dá)的時間不超過5分鐘的概率P(X<Y)解一P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y<5)P(X<Y)解二P(X<Y)=1/2被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積=P(X>Y)P(|X-Y|5)類似的問題如：

甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的.若甲船需停泊1小時，乙船需停泊2小時，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率.

在某一分鐘的任何時刻，信號進(jìn)入收音機是等可能的.若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間隔小于0.5秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾.求發(fā)生兩信號互相干擾的概率.盒內(nèi)有個白球,個黑球,有放回地摸球

例3兩次.設(shè)第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球試求(1)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律;(2)判斷的相互獨立性;(3)若改為無放回摸球,解上述兩個問題.(1)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律解如下表所示:(2)由上表可知故的相互獨立.(3)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示:故不是相互獨立.由上表知:可見三、課堂練習(xí)證明對于二維正態(tài)隨機變量(X,Y),X和Y相互獨立的充要條件是參數(shù).證對任何x,y有取相互獨立

練習(xí)故將代入即得

這一講，我們由兩個事件相互獨立的概念引入兩個隨機變量相互獨立的概念.給出了各種情況下隨機變量相互獨立的條件，希望同學(xué)們牢固掌握.四、小結(jié)第五節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布

的分布

M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)

在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:

當(dāng)隨機變量X,Y的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布?

例1

若X、Y獨立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求

Z=X+Y的概率函數(shù).解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨立性r=0,1,2,…一、的分布解依題意

例2

若X和Y相互獨立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.

例3

設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數(shù)是:它是直線

x+y=z及其左下方的半平面.

化成累次積分,得

固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.

特別地，當(dāng)X和Y獨立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.卷積公式為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例4

若X和Y獨立,

具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即暫時固定故當(dāng)或時,當(dāng)

時,當(dāng)

時,于是

例5若X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,

具有相同的分布

N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式令得可見Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).用類似的方法可以證明:

若X和Y獨立,

結(jié)論又如何呢?

此結(jié)論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論.

若X和Y獨立

,

具有相同的分布

N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.更一般地,可以證明:例：設(shè)某種商品在一周內(nèi)的需要量是一個隨機變量，概率密度函數(shù)為如果各周的需要量相互獨立，求兩周需要量的概率密度函數(shù)。解：分別用X和Y表示該種商品在第一、第二周內(nèi)的需要量，則其概率密度函數(shù)分別為兩周需要量

Z=X+Y,概率密度函數(shù)為被積函數(shù)不為零。當(dāng)

z≤0

時，因此，當(dāng)z>0時，所以，Z的概率密度為二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數(shù)即有FM(z)=FX(z)FY(z)即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數(shù)由于X和Y

相互獨立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數(shù)為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)

設(shè)X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=1,…,n)

用與二維時完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:

特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有

例6設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)損壞時,系統(tǒng)開始工作),如下圖所示.設(shè)的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXYXY解(i)串聯(lián)的情況

由于當(dāng)系統(tǒng)中有一個損壞時,系統(tǒng)L就停止工作,所以此時L的壽命為因為X的概率密度為所以X的分布函數(shù)為當(dāng)

x>0時,當(dāng)

x0時,故類似地,

可求得Y的分布函數(shù)為于是的分布函數(shù)為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

的概率密度為XY(ii)并聯(lián)的情況

由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)都損壞時,系統(tǒng)L才停止工作,所以此時L的壽命為故的分布函數(shù)為XY于是的概率密度為(i