數(shù)學(xué)必修5選修2-1期末試卷+答案詳解

必修5和選修2-1測試卷B

學(xué)號：姓名：分?jǐn)?shù)：

一、選擇題：本大題共12小題。每題5分，在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要

求的一項(xiàng)。

(1)在△ABC中，a=3,b=5,sinA=，3【^sinB=()

3

15八6

A.-B.-C.---D.1

593

(2)設(shè)XEZ,集合A是奇數(shù)集，集合5是偶數(shù)集。假設(shè)命題〃：那么(

A.—A,2XGBB.「p:Hr任B

C.-yp:3xeAy2xBD.-np:X/x^A,2xB

(3)動點(diǎn)尸到點(diǎn)M(L°)及點(diǎn)N(3,0)的距離之差為2,那么點(diǎn)P的軌跡是()

A雙曲線B雙曲線的一支C兩條射線D一條射線

(4)“1VXV2”是“xV2”成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

(5)設(shè)a,b,c￡R,且a>b,那么()

11.…

A.ac>bcB.—<—C.a2>b2D.a3>b3

ab

(6)設(shè)首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為s“，那么()

(A)Sn=2an-\(B)S“=3%-2(C)Sn=4-3an(D)Sn=3-2an

(7)假設(shè)2、+2、'=l,那么x+y的取值范圍是()

A.[。,2]B.[-2,0]C.[-2,4~CO)D.(-oo,-2]

2

(8)拋物線V=4x的焦點(diǎn)到雙曲線丁-^=1的漸近線的距離是()

(A)-(B)—(C)1(D)&

22

(9)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，假設(shè)S“i=-2,S,”=0,S”M=3,那么根=(

A.3B.4C.5D.6

(10)銳角AABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2/4=0,4=7,c=6,那么

h=()

(A)10(B)9(C)8ID)5

22

(in橢圓正：二+工7=1(〃>〃>0)的右焦點(diǎn)戶(3,0),過點(diǎn)F的直線交石于A,A兩點(diǎn)，假設(shè)

ab

的中點(diǎn)坐標(biāo)為那么E的方程為（）

z

3627=1

(12)如圖,在長方體ABCD-A.B,C,D.中,AB=BC=2,AA)=1,那么B3與平面BBDD所

成角的正弦值為（

A.aB.5C.

（請把選項(xiàng)填入表格內(nèi)）

23456789101112

二.填空題：本大題共四小題，每題5分。

（13）不等式/+工一2<0的解集為.

（14）設(shè)滿足約束條件一'一’,那么z=2x-y的最大值為_____。

-l<x-y<0

（15）{4}是等差數(shù)列，q=1,公差d±0,S,為其前〃項(xiàng)和，假設(shè)4、4、%成等比數(shù)列，那么Sg=

（16）圓M:（x+l）2+y2=i,圓N:（x—iy+y2=9,動圓尸與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P

的軌跡為曲線C,那么C的方程為.

三.解答題：

17.110分）在如下圖的銳角三角形空地中，欲建一個內(nèi)接矩形花園（陰影局部），那么當(dāng)邊長x為何值時(shí)，

花園面積最大并求出最大面積

18.112分）+爾+1=0有兩個不等的負(fù)根，夕：4/+4（機(jī)—2?+1=0無實(shí)根，假設(shè)〃v4為

真，〃八q為假，求m的取值范圍.

19.(12分)Z\ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a^c^bcosC+csinB.

⑴求B(2)假設(shè)6=2,求△ABC面積的最大值.

20.(12分)如圖，在直三棱柱AgC「ABC中,AB1AC,AB=AC=2，AA=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線與C.D所成角的余弦值；

(2)求平面A0G與平面AB%所成二面角的正弦值.

【解析】選C,根據(jù)的否認(rèn)是應(yīng)選C.

(3)動點(diǎn)尸到點(diǎn)M(LO)及點(diǎn)N(3,0)的距離之差為2,那么點(diǎn)P的軌跡是()

A雙曲線B雙曲線的一支C兩條射線D一條射線

【解析】選D

(4)“1VXV2”是“xV2”成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選A,因?yàn)榧?1,2)是(-8,2)的真子集，所以是“x<2”成立的充分不必要條件，應(yīng)

選A.

(5)設(shè).a,b,c￡R,且a>b,那么()

A.ac>bcB.—<—C.a2>b'D.a3>b3

ab

33

【解析】選D.y=x3在(-8,+8)上為增函數(shù),所以a>b.

2

(6)設(shè)首項(xiàng)為1,公比為§的等比數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S“，那么()

(A)Sn=2an-l(B)Sn=3an-2(C)S?=4-3a?(D)Sn=3-2an

.2

2a-aa[一為

【解析】選D.方法一：因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為1,公比為一，S“二」~—?，所以

3"qi_2

3

5〃=3-26.

方法二：S“二一2一=3—3x(2)”=3—2(2)”T,觀察四個選項(xiàng)可知選D.

.2333

1-----

3

(7)假設(shè)242'=1,那么戶y的取值范圍是()

A.[。,2]B.[—2,0]C.[—2,+00)D.(―oo,—2]

【解析】選D.2yf2^^2x+2y=l,2x，y^-,BP2x，yC2-2,ffilUx+y^-2.

4

2

(8)拋物線V=4x的焦點(diǎn)到雙曲線d=1的漸近線的距離是()

(A)-⑻—(01(D)6

22

2

【解析】選B.由拋物線;/=4x的焦點(diǎn)(1,0),雙曲線Y一,=1的一條漸近線方程為后一)，=().

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得d=9,應(yīng)選B.

2

⑼設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“，假設(shè)5時(shí)|=_2,Sm=0,S.=3,那么陽=(

A.3B.4C.5D.6

【解析】選C.由得，6r,n=-5W,,=2,=5m+1-5,?=3,因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，所以

d=4向一勺，=1，又因?yàn)镾"，='〃⑷+"'〃)=0,所以機(jī)(q+2)=0,因?yàn)榧庸ぁ?，所以q=-2,

又+(m一1)〃=2,解得m=5.

(10)銳角A43C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃力,c,23cos2A+cos24=0,a=7,c=6,那么

b=()

(A)10(B)9(C)8(D)5

【解析】選D.因?yàn)?3cos2A+cos2A=0,23cos2A+2cos2A-l=0,解得cos^An-!-,

25

方法一：因?yàn)锳ABC為銳角三角形，所以cos4=』，sinA=—.

55

由正弦定理一^二—得，一^二)-.sinC=?5,cosC=2.又B=萬一(A+C),

sinAsinC2屈sinC3535

丁

所以sinZ?=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

D27619112V650V6+ab7bc

sinB=----x---1—x-----=-----.由-----=-----得，—==---j=r,解得/?=5.

535535175sinAsinB2v650x/6

丁175

方法二：由。2=/+/-抄ccosA,cosA=|,那么從+36-128x(=49,解得b=5

22

(11)橢圓E:=+4=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)尸(3,0),過點(diǎn)F的直線交￡于A,8兩點(diǎn)，假設(shè)A8

ab~

的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一1),那么E的方程為()

二+±=1D.JJ

A.--------1---------1B.1

45363627189

22

xy222222

【解析】選D.由橢圓靛+F=1得，bx+ay=abt

因?yàn)檫^尸點(diǎn)的直線與橢圓j+2r=1(〃>方>0)交于4,B兩點(diǎn),

ab~

設(shè)4匹，%)，3(冗2，必)，那么?々=1,%:丁2=_]

那么從工；+/%2=〃2/①+々2y22=0濘②

由①一②得/(xj_電2)+々2(弘2_%2)=0，

化簡得從口一%乂為+々)+〃2(必一為)(y+%)=°?

,2

2

2b“Xi-x2)-2a(yl-y2)=0,-~—=—

x-x2a~

又直線的斜率為k=°"(-1)=-,即！='.因?yàn)?=/一="—9,

3-12/2

所以土==L,解得/=18,從=9.故橢圓方程為工十二二1.

a22189

(12)如圖,在長方體ABCD-ABCD中,AB=BC=2,AAi=l,那么BG與平面BBiDiD所

成角的正弦值為()

.2Vse3屈

A.2B.5C.5D.5

【解析】選D.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,那么B(2,2,0),D,(0,0,1),G(0,2,1),

，DDj，"0,1),(2,2,o),BC1二(一2,"1),

設(shè)平面BB)DiD的一個法向量n=(x,y,z),

P±75B,|2x+2y=0,

由|___.可得Iz=0,二可取n=(l,T,0).

[n±I)l\

t■?BC】-2_8

cos<n，BC/二向.?記廣沖一，

ABC,與平面BB.D.D所成角的正弦值為卑.

二.填空題：本大題共四小題，每題5分。

(13)不等式/+工一2<0的解集為.

【解析】{x|-2vx<l}.X2+X-2=(X-1)(X+2)<0,解得一2v%vl

1一"一‘，那么z=2x—y的最大值為______

(14)設(shè)滿足約束條件

-l<x-y<()

【解析】3畫出可行域如下圖,

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x-y過點(diǎn)A(3,3)時(shí)，取得最大值，Zmax

(15){4}是等差數(shù)列，4=1,公差d#0,S“為其前〃項(xiàng)和，假設(shè)《、曲

%成等比數(shù)列,那么58=

【解析】64,因?yàn)橥?、生、七成?比數(shù)列，q=l所以(l+d)2=l+4d,化簡得/

Qx7

因?yàn)?。0,所以4=2,故58=84=8+56=64.

(16)iaA/:(x+l)2+r=1,圓N:(x—l)2+y2=9,動圓P與I員IM外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P

的軌跡為曲線C,那么C的方程為.

X2y2

【解析】——十?—=1(工工2)由得圓M的圓心為M(—1,0),半徑c=l；圓N圓心為N(l,0),

43

半徑々=3.設(shè)圓P的圓心為P(xty),半徑為R

動圓尸與“外切并且與圓N內(nèi)切。，所以|「必|+|"7|_(欠+。)+(々-公)一。十々-4

由橫圓定義可知，曲線C是以M,N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2,短半羯長為百的橢圓(左頂點(diǎn)除

x2y2

外)，其方程為、+、=1(工工2).

三.解答題：

17.(10分)在如下圖的銳角三角形空地中，欲建一個內(nèi)接矩形花園(陰影局部)，那么當(dāng)邊長辦何值時(shí),

花園面積最大并求出最大面積

【解析】設(shè)矩形高為匕由三角形相似得：二二"二且x〉0,y>0,x<4D,y<40

4040

=>40=x+y>2y[xy,僅當(dāng)x=y=200寸，矩形的面積=盯取最大值400.

19.(12分)p：/十〃四十1一0有兩個不等的負(fù)根，夕：4/十4(〃Z-2)X十1一0無實(shí)根，假設(shè)pvq為

真，〃八4為假，求m的取值范圍.

【解析】見世紀(jì)金榜課本相關(guān)頁

19.(12分)△ABC的內(nèi)角4aC的對邊分別為a,b,c,a司cosC+cs力2A

(1)求B.(2)假設(shè)左2,求AABC面積的最大值.

【解析】(1)因?yàn)閍=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以

sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因?yàn)閟inCWO,

所以tanB=l,解得B=-.

4

⑵由余弦定理得：//=/+。"-%皿>5工，即4=a2+c2-^2ac,由不等式得a2+c2>2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a二c時(shí),取等

4

號，所以42(2-&)ac,解得acW4+26,所以4ABC的面積為-acsin-X(4+2血)=血+L

244

所以AABC面積的最大值為夜+1.

20.(12分)如圖，在直三棱柱ABC中，AB1AC,AB=AC=2,A(A=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線A5與G。所成角的余弦值；

(2)求平面AOG與平面AB兒所成二面角的正弦值.

【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,那么A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,

2,0),D(l,1,0),A,(0,0,4),G02,4),所以=(2,0,一4),C1D=(1,-1,一4).因?yàn)?/p>

\BC.D_18_3>/i0

cos<AB,C[D>=

LICQI一回炳一10

所以異面直線與C|O所成角的余弦值成角的余弦值為土猾

(2)設(shè)平面AZ)C的法向量為勺=(x,y,z),因?yàn)锳O=(1,1,0),AC；=(0,2,4),所以勺-AO=0,

H]?AC1=0,即x+y=O且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2,所以，〃[=⑵-2,1)是平面AQC1的一

個法向量.取平面ARB的一個法向量為點(diǎn)二(0,1,0),設(shè)平面AOG與與

〃[%_2=2得

平面ABA所成二面角的大小為仇由Icos。

I%II叼I邪3

75

sin8=

3

因此，平面AQG與平面AB凡所成二面角的正弦值為

3

21.(12分)設(shè)S”為數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和，4工0,2?！币?。[=S]?S“，

(I)求見，知,并求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；(II)求數(shù)列｛〃右｝的前〃項(xiàng)和。

【解析】(【)令〃=1,得2%-卬=42,因?yàn)?工0,所以4=1,

令〃=2,得2a2—1=邑=1+。2，解得生=2。當(dāng)〃之2時(shí)，由2a“一1二%

2aI-1=S〃T，兩式相減，整理得%=2%,__于是數(shù)列｛〃“｝是首項(xiàng)為】，公比為2的等比數(shù)列，所

以，%=2"，

(II)由(I)知〃記其前〃項(xiàng)和為7\,于是

T1t=1+2x2+3x22+…+〃X2"T①

27；,=lx2+2x22+3x234----4-nx2fl②

①一②得一丁”=1+2+2:+…+2"T-〃X2"=2"-1一〃x2"

從而。=1+5-1)?2”

22.(12分)設(shè)橢圓4+￥=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為內(nèi)離心率為正，過點(diǎn)尸且與x軸垂直的直線被橢

arb~3

圓截得的線段長為竽.

(I)求橢圓的方程；

(H)設(shè)45分別為橢圓的左、右