2023-2024學年廣西壯族自治區(qū)桂林市第十八中高三第二次調查研究考試數學試題

2022-2023學年廣西壯族自治區(qū)桂林市第十八中高三第二次調查研究考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動，現有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院，醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有()A．18種 B．20種 C．22種 D．24種2．已知直四棱柱的所有棱長相等，，則直線與平面所成角的正切值等于（）A． B． C． D．3．直角坐標系中，雙曲線（）與拋物線相交于、兩點，若△是等邊三角形，則該雙曲線的離心率（）A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則①處應填寫（）A． B． C． D．5．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：，，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術”，則（）A．48 B．63 C．99 D．1206．已知當，，時，，則以下判斷正確的是A． B．C． D．與的大小關系不確定7．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦距為（）A． B． C．6 D．88．過拋物線的焦點的直線交該拋物線于，兩點，為坐標原點.若，則直線的斜率為()A． B． C． D．9．設，均為非零的平面向量，則“存在負數，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件10．已知命題，那么為（）A． B．C． D．11．已知集合，則=（）A． B． C． D．12．一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側面積是（）A．16 B．12 C．8 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設平面向量與的夾角為，且，，則的取值范圍為______.14．已知函數.若在區(qū)間上恒成立.則實數的取值范圍是__________．15．某外商計劃在個候選城市中投資個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過個，則該外商不同的投資方案有____種．16．如果函數（,且,）在區(qū)間上單調遞減,那么的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，分別為內角，，的對邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.18．（12分）設都是正數，且，．求證：．19．（12分）已知函數（1）若，求證：（2）若，恒有，求實數的取值范圍.20．（12分）在直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（t為參數，）．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（l）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程：（2）若直線與曲線C相交于A，B兩點，且．求直線的方程．21．（12分）已知各項均為正數的數列的前項和為，滿足，，，，恰為等比數列的前3項．（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前項和為；若對均滿足，求整數的最大值；（3）是否存在數列滿足等式成立，若存在，求出數列的通項公式；若不存在，請說明理由．22．（10分）如圖，正方體的棱長為2，為棱的中點.（1）面出過點且與直線垂直的平面，標出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

分兩類：一類是醫(yī)院A只分配1人，另一類是醫(yī)院A分配2人，分別計算出兩類的分配種數，再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據醫(yī)院A的情況分兩類：第一類：若醫(yī)院A只分配1人，則乙必在醫(yī)院B，當醫(yī)院B只有1人，則共有種不同分配方案，當醫(yī)院B有2人，則共有種不同分配方案，所以當醫(yī)院A只分配1人時，共有種不同分配方案；第二類：若醫(yī)院A分配2人，當乙在醫(yī)院A時，共有種不同分配方案，當乙不在A醫(yī)院，在B醫(yī)院時，共有種不同分配方案，所以當醫(yī)院A分配2人時，共有種不同分配方案；共有20種不同分配方案.故選：B【點睛】本題考查排列與組合的綜合應用，在做此類題時，要做到分類不重不漏，考查學生分類討論的思想，是一道中檔題.2．D【解析】

以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系．求解平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱，，取中點，以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系．設，則，．設平面的法向量為，則取，得．設直線與平面所成角為，則，，∴直線與平面所成角的正切值等于故選：D【點睛】本題考查了向量法求解線面角，考查了學生空間想象，邏輯推理，數學運算的能力，屬于中檔題.3．D【解析】

根據題干得到點A坐標為，代入拋物線得到坐標為，再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形，設直線OA為，設點A坐標為，代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標為，代入雙曲線得到故答案為：D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).4．B【解析】

模擬程序框圖運行分析即得解.【詳解】；；.所以①處應填寫“”故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5．C【解析】

觀察規(guī)律得根號內分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發(fā)現規(guī)律，根號內分母為分子的平方減1所以故選：C.【點睛】本題考查了歸納推理，發(fā)現總結各式規(guī)律是關鍵，屬于基礎題.6．C【解析】

由函數的增減性及導數的應用得：設，求得可得為增函數，又，，時，根據條件得，即可得結果．【詳解】解：設，則，即為增函數，又，，，，即，所以，所以．故選：C．【點睛】本題考查了函數的增減性及導數的應用，屬中檔題．7．A【解析】

依題意可得，再根據離心率求出，即可求出，從而得解；【詳解】解：∵雙曲線的離心率為，所以，∴，∴，雙曲線的焦距為.故選：A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，屬于基礎題.8．D【解析】

根據拋物線的定義，結合，求出的坐標，然后求出的斜率即可．【詳解】解：拋物線的焦點，準線方程為，設，則，故，此時，即．則直線的斜率．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題．9．B【解析】

根據充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結論．【詳解】因為，均為非零的平面向量，存在負數，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當向量，的夾角為鈍角時，滿足，但此時，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負數，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【點睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當的方法判斷命題是否正確．10．B【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.【詳解】已知命題，，那么是.故選：．【點睛】本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.11．D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補集，然后求【詳解】，所以.故選：D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎題.12．B【解析】

根據正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據矩形的面積公式，可得結果.【詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側面積為故選：B【點睛】本題考查正三棱柱側面積的計算以及三視圖的認識，關鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據已知條件計算出，結合得出，利用基本不等式可得出的取值范圍，利用平面向量的數量積公式可求得的取值范圍，進而可得出的取值范圍.【詳解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.14．【解析】

首先解不等式，再由在區(qū)間上恒成立，即得到不等組，解得即可.【詳解】解：且，即解得，即因為在區(qū)間上恒成立，解得即故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式及函數的綜合問題，屬于基礎題.15．60【解析】試題分析：每個城市投資1個項目有種，有一個城市投資2個有種，投資方案共種.考點：排列組合.16．18【解析】

根據函數單調性的性質,分一次函數和一元二次函數的對稱性和單調區(qū)間的關系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當時,,在區(qū)間上單調遞減,則,即,則.②當時,,函數開口向上,對稱軸為,因為在區(qū)間上單調遞減,則,因為,則,整理得,又因為,則.所以即,所以當且僅當時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點睛】本題主要考查一次函數與二次函數的單調性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進而求得的值，從而求得角.【詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【點睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.18．證明見解析【解析】

利用比較法進行證明：把代數式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因為,，所以，∴成立，又都是正數，∴，①同理，∴．【點睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關鍵;屬于中檔題。19．（1）見解析；（2）（﹣∞，0]【解析】

（1）利用導數求x＜0時，f（x）的極大值為，即證（2）等價于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函數g(x)的最小值得解.【詳解】（1）∵函數f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，∴f（x）在（﹣∞，﹣）內遞增，在（﹣，0）內遞減，在（0，+∞）內遞增，∴f（x）的極大值為，∴當x＜0時，f（x）≤（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，則g′（x），令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，則h（x）在（0，+∞）上單調遞增，且x→0+時，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，∴當x∈（0，x0）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，當x∈（x0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，令，令所以=1，,∴g（x0）∴實數k的取值范圍是（﹣∞，0]．【點睛】本題主要考查利用證明不等式，考查利用導數求最值和解答不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20．(1)見解析(2)【解析】

（1）將消去參數t可得直線的普通方程，利用x=ρcosθ，可將極坐標方程轉為直角坐標方程．（2）利用直線被圓截得的弦長公式計算可得答案．【詳解】（1）由消去參數t得（），由得曲線C的直角坐標方程為：（2）由得，圓心為（1，0），半徑為2，圓心到直線的距離為，∴，即，整理得，∵，∴，，，所以直線l的方程為：．【點睛】本題考查參數方程，極坐標方程與直角坐標方程之間的互化，考查直線被圓截得的弦長公式的應用，考查分析能力與計算能力，屬于基礎題．21．（2），（2），的最大整數是2．（3）存在，【解析】

（2）由可得（），然后把這兩個等式相減，化簡得，公差為2，因為，，為等比數列，所以，化簡計算得，，從而得到數列的通項公式，再計算出，，，從而可求出數列的通項公式；（2）令，化簡計算得，從而可得數列是遞增的