數(shù)列綜合大題105題

數(shù)列綜合大題105題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、解答題

1.已知數(shù)列｛xj滿足：X1=l,xn=xn+1+ln(l+xn+l)(nGN*)

證明：當(dāng)neN*時(shí)

(I)0<xn+l<xn;

xx

nn+l；

(II)2xnn++1l-xnn<2

(HI)—-TKX<--y

9n-In

2.已知數(shù)列｛an｝滿足%=0,a2=2,an+2-2an+1+an=2,數(shù)列｛bn｝滿足%=an+1-

(1)證明｛%｝是等差數(shù)列，并求｛a"的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)數(shù)列｛cn｝滿足Q=2,cn+1=aCn+l,記［幻表示不超過x的最大整數(shù)，求不等式

［打打…+煮］>上一匕的解集.

3.已知數(shù)集/=…,冊(cè)｝(1=V。2<???<Q”九>2)具有性質(zhì)P：對(duì)任意的々

(2<fc<n),3G；(l<i<j<幾),使得以=%+卬成立.

(I)分別判斷數(shù)集｛134｝與｛1,236｝是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由；

(II)求證an<2al+a2+...+an-i(n>2);

(III)若冊(cè)=72,求數(shù)集4中所有元素的和的最小值.

4.已知數(shù)列｛。"｝滿足的=3,且3a九+i=*一。九+4(九￡N*).

(I)使用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>3(ne/V)；

(H)證明：an+1>an(nG/V*)；

(III)設(shè)數(shù)歹U｛念｝的前〃項(xiàng)和為％,證明：i<Sn<l(n6N*).

5.已知數(shù)列｛時(shí)｝中,a±=2,a2=4,an+1+2an_1=3an(n>2).

(1)求證：數(shù)列｛5+i-aj是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)小=an-1,Sn=*+三■+…+丁詈一,若對(duì)任意neN*,有無(wú)2歲一2m恒成

02。3ftn^n+i3

立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

6.對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列｛a｝滿足an_k+an_k+1+...an_1+an+1+...an+k_1+

an+k=2kan

對(duì)任意正整數(shù)k)總成立，則稱數(shù)列｛4｝是“一心數(shù)列”.

(1)證明:等差數(shù)列｛a｝是“尸⑶數(shù)歹U”;

(2)若數(shù)列｛a〃｝既是"⑵數(shù)列"，又是“產(chǎn)⑶數(shù)列”,證明：｛aj是等差數(shù)列.

7.已知數(shù)列｛即｝的各項(xiàng)都小于1,欣+1-2即+1=W-即5eN*).

(1)求證：an+1<On(nEN*)；

(2)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,求證：A/vsnv*

(3)記%=------求證：bnW2V3.

On+1%

8.已知數(shù)列｛斯｝滿足(1.)(1一J…(1一J=5neN*,Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)

的和.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)若ap,30,Sq成等差數(shù)列，18,Sq成等比數(shù)列，求正整數(shù)p,q的值；

(3)是否存在k€N*,使得+16為數(shù)列｛即｝中的項(xiàng)?若存在，求出所有滿足

條件的k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.己知函數(shù)f(x)=In%+m—2)(m6R).

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)/(x)的最小值為T,meN*,數(shù)列｛%｝滿足兒=1,bn+1=f(bn)+

3(n6N*),記5=［瓦］+［尻］+…+［%］，田表示不超過t的最大整數(shù).證明：

yn

10.己知正項(xiàng)數(shù)列｛5｝滿足%=2,a=2a--(nEN*).

nn+1an+i

證明：

(I)1<a九+1V

(II)諼+堵++a"1<n+

11.(題文)(江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題)已知等差

數(shù)列｛an｝和等比數(shù)列｛b,,｝均不是常數(shù)列，若ai=bi=l,且ai,2a2,4a4成等比數(shù)列,

4b2,2b3,b4成等差數(shù)列.

(1)求｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)m,n是正整數(shù),若存在正整數(shù)i,j,k(i<j<k),使得ambj,amaManbk成等

試卷第2頁(yè)，總23頁(yè)

差數(shù)列，求m+n的最小值;

(3)令Cn=受記｛Cn｝的前n項(xiàng)和為Tn,七｝的前n項(xiàng)和為An.若數(shù)列｛pn｝滿足pl=cl,

且對(duì)WnN2,nCN*,都有pn=『+AnCn，設(shè)｛pn｝的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn<4+41nn.

1II(]、

12.已知無(wú)窮數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)q=上，——=—。〃+—,neN”.

2an+l2(an)

(I)證明：

(II)記么匚”吧)7；為數(shù)列板｝的前〃項(xiàng)和，證明：對(duì)任意正整數(shù)〃，

向

T3

小6

13.已知數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和是S,,且S,+g%=l(〃eN)數(shù)列｛%｝是公差△不

3

等于o的等差數(shù)列，且滿足：久=：%,b2,b5,仇4成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛叫、色｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)C"=an-bn,求數(shù)列｛1｝的前〃項(xiàng)和7；.

14.(本題滿分15分)已知數(shù)列｛4｝滿足％且a“+]=a“-a；(neN*)

(1)證明：(neN*)；

%

(2)設(shè)數(shù)列｛娼的前〃項(xiàng)和為S“，證明---<^<―-—(ne7V*).

<>2(〃+2)n2(〃+1)

15.若數(shù)列｛即｝是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列｛%｝滿足九=1,&=2,且外兒+加=〃兒

(1)求數(shù)列｛aj，｛九｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛cn｝滿足d=產(chǎn)，數(shù)列｛金｝的前n項(xiàng)和為及,若不等式(一1)-<〃+W

對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

16.設(shè)4>0,數(shù)列｛&J滿足的=九即=癡丁，(n>2).

an_i+zn—z

(I)當(dāng);I=2時(shí)，求證：數(shù)列｛言｝為等差數(shù)列并求斯；

(II)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,an<^+1.

17.(14分)(2015?廣東)數(shù)列｛a?｝滿足：ai+2a?+…na0=4-42_,nGN'.

2n-1

(1)求a：,的值；

(2)求數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和Tn；

(3)令bFa?b,,=」21+(1+1+1+-+1)a?(n22),證明：數(shù)列(b』的前n項(xiàng)和S?

n23n

滿足S,.<2+21nn.

18.已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足：an+1=(nEN)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，

e=2.71828???)

(I)證明：an+1>an(neN*)；

(II)設(shè)勾=1一M，是否存在實(shí)數(shù)M>0,使得瓦+b2+?-■+bn<M對(duì)任意nGN*成

立？若存在，求出M的一個(gè)值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.已知數(shù)列｛a/、｛bn],其中，ar=數(shù)列｛an｝滿足(n+1)%,=5—1)即-1，(兀2

2,neN*),數(shù)列｛%｝滿足瓦=2,bn+1=2bn.

(1)求數(shù)列｛%｝，｛b｝的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在自然數(shù)使得對(duì)于任意nG/V\n>2,有1+3+；+…+4<巴不恒成

比i>2bn4

立？若存在，求出m的最小值：

二一m為奇數(shù)

(3)若數(shù)列｛d｝滿足d=政”,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和〃.

乂內(nèi)為偶數(shù)

20.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和S“滿足：2s“=1—%.

(1)數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

1

(2)設(shè)么=—4-----%一,且數(shù)列｛d｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證：Tn<-.

1+/1-4+13

21.已知數(shù)列｛a“｝滿足q=1,an=—>2).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(II)求證：對(duì)任意的〃eN*,都有

ZTX1^26\fn0

①-2^——---1---T<3；

%-a；

②'+,+,+.?.+，>紅2,吐N*).

a.4+|an+2a*.%+1

22.已知Sn是數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，的=3,且2Sn=an+1-3(nGN*).

試卷第4頁(yè)，總23頁(yè)

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)于正整數(shù)<j<k),已知2aj,6a"〃ak成等差數(shù)列，求正整數(shù)4,〃的值；

(3)設(shè)數(shù)列｛%｝前n項(xiàng)和是〃，且滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n,都有等式由垢+。2垢-1+

n+1

a3bn_2+…+M瓦=3-3n-3成立.求滿足等式&=:的所有正整數(shù)n.

23.已知二次函數(shù)f(x)=3%2—2x,數(shù)列的前〃項(xiàng)和為右，點(diǎn)(zi,Sn)(n€N*)均在

函數(shù)y=f(x)的圖象上.

(I)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(H)設(shè)7；是數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，求使得7；〈三對(duì)所有的neN*都成立的

anan+l1。

最小正整數(shù)m.

24.已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S.，若｛向｝為等差數(shù)列，且4=1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)是否存在正整數(shù)幾，使1+a九+S”24-a2n4-S2n,4+@4n+S4n成等比數(shù)列？

若存在，請(qǐng)求出這個(gè)等比數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶若數(shù)列｛%｝滿足%+1-％=普，瓦=3且對(duì)任意的neN*,都有勾<1,求正

整數(shù)k的最小值.

25.已知數(shù)列滿足q=」，an+.=a一一-^―，數(shù)列，4巴J的前"項(xiàng)和為S”,

2〃(〃+1)[anJ

證明：當(dāng)〃eN*時(shí)，

(1)0<an+1<a?；

(3)S>n—.

"2

26.(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題.第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3

小題滿分6分.

已知數(shù)列｛an｝與也｝滿足an+l-an=2(bn+l-bn),HGN*.

(1)若2=3"+5,且q=l,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛4｝的第％項(xiàng)是最大項(xiàng)，即a%>a,(〃eN*),求證：數(shù)列也,｝的第〃。項(xiàng)是

最大項(xiàng)；

+

(3)設(shè)q=2<0,hn=V(HGN),求;I的取值范圍，使得｛4｝有最大值M與

最小值m,且一e(-2,2).

m

27.(題文)(題文)已知數(shù)列｛/｝,｛b｝，為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和,a2=4瓦,Sn=2ati—2,

2

nbn+1—(n+1)勾=n+n(n€N*).

(1)求數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式；

(2)證明｛曰｝為等差數(shù)列.

學(xué),幾為奇數(shù)

(3)若數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式為c=J，令匕=C2n_r+C2.Tn為｛匕｝的

n(4*為偶數(shù)n

前F項(xiàng)的和，求

28.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,滿足已=2%-1,neN"，數(shù)列也｝滿足

nbn+i-(n+l)bn=n(n+l),〃eN*，且4=L

(1)求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)若c.=凡?施，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為7；,對(duì)任意的〃eN：都有Tn<nS?-a,

求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

(3)是否存在正正數(shù)相，"，使仇，品，幻(〃>D成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足

條件的根,〃；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

29.記無(wú)窮數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)中最大值為用小最小值為g，令b=強(qiáng)滬，數(shù)列｛即｝的

前n項(xiàng)和為4小數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為當(dāng).

(1)若數(shù)列｛每｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，求??；

(2)若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，試問數(shù)列｛即｝是否也一定是等差數(shù)列？若是，請(qǐng)證明；若

不是，請(qǐng)舉例說(shuō)明；

(3)若匕=2n-100n,求4…

30.已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列｛a,,｝滿足q=l,

12am

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：見用<W“T；

(2)證明：

6

(3)記S“為數(shù)列｛I——端的前〃項(xiàng)和，證明：S“<6(”eN)

31.已知數(shù)列｛a“｝中，滿足q=g,a“+i記S“為?！鼻皀項(xiàng)和.

試卷第6頁(yè)，總23頁(yè)

(I)證明：an+i>an；

TT

(II)證明：a=cos-----r

"a

(川)證明：S?>n-27+7r-.

〃54

32.已知常數(shù)a*0,數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和為%，％=1且0n=^+a(n-l)

(1)求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

(2)若％=3n+(-1尸。?1,且數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若a=；，數(shù)列｛.｝滿足：“對(duì)于任意給定的正整數(shù)鼠是否存在p,q6N*使

na”十

ck=cp-cq?若存在，求P，q的值(只要寫出一組即可)；若不存在，說(shuō)明理由―

33.數(shù)列4t：ai，a2,…、4)

滿足：臼=I,a；,=成分+1—以=0或1(k=l,2,...,n_I).

對(duì)任意i,j,都存在s,t,使得為+q=as+%,其中i,j,s,td｛l,2,…，n｝且兩

兩不相等.

(I)若m=2,寫出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào)；

①1,1,1,2,2,2；②1,1,1,1,2,2,2,2；③1,1,1,1,1,2,2,2,2

(II)記5=%+a2+…+a…若m=3,求S的最小值;

(III)若m=2018,求n的最小值.

34.已知數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和為5"，數(shù)列｛a7｝的前〃項(xiàng)和

為T”且37"=$〃2+25”，n￡N*.

(I)求3的值；

(II)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(田)若k,tGN”,且Si,Sk-S\,St—5k成等比數(shù)列，求k和t的值.

35.(本小題滿分14分)已知數(shù)列｛a“｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，b-n(\+—)"a(neN),e

nnn+

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(I)求函數(shù)/(x)=l+x-e*的單調(diào)區(qū)間，并比較(1+與與e的大?。?/p>

n

(II)計(jì)算區(qū)，退,也務(wù)，由此推測(cè)計(jì)算姓也的公式，并給出證明；

%aia2a｝a2a3a]a2?-?an

(Hl)令…a/，數(shù)列｛4｝，｛g｝的前"項(xiàng)和分別記為S.，，,，證明：7；<eS..

36.數(shù)列｛七｝滿足：%=1,x,,+|=%+：,n&N*

(I)判斷X,與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(II)求證:|玉—2|+|%2—2|+…+|X”—<2.

37.設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝,｛%｝滿足加+i=%+%匕—a2.

(1)若瓦=2,數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和Sn=n2,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若即=af3i<0),且瓦=3a1，

①試用％和71表示九；

②若多<0,對(duì)任意的ij￡N*,試用的表示d-與的最大值.

38.已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,2^+a2=a3,且對(duì)任意的nWN*,n》2都有

2nSn+i-(2n+5)5n+Sn_i=r%。

(1)若%70,a2=3ax,求r的值；

(2)數(shù)列｛與｝能否是等比數(shù)列？說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)r=l時(shí)，求證：數(shù)列｛aQ是等差數(shù)列。

39.已知｛a“｝,｛%｝都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，且%=1,瓦=&.對(duì)任意的正整數(shù)〃，

2

都有的,bn,an_i成等差數(shù)列,bn,代工，bn+i成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛aj和｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在p>0,使得集合M=｛川a。2即“，neN*｝恰有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)，的取

值范圍.

40.已知數(shù)列｛a“｝是遞增的等比數(shù)列，滿足的=4,且是。2、。4的等差中項(xiàng)，數(shù)列｛“｝

滿足勾+i=bn+l,其前n項(xiàng)和為5,且S2+S6=a4.

(1)求數(shù)列｛5｝,｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為%,若不等式川og式7；+4)-Abn+7>3n對(duì)一切neN*恒

成立，求實(shí)數(shù);I的取值范圍.

41.已知正項(xiàng)數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S”，對(duì)任意〃eN*,點(diǎn)(a“,S”)都在函數(shù)

/(X)=；x2+gx的圖像上.

(I)求數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)4和通項(xiàng)公式M；

⑴)若數(shù)列也｝滿足log2d=n+log2(2a“—1乂〃eN*),求數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和7；；

(III)已知數(shù)列｛c“｝滿足c“=圖t9——!一若對(duì)任意〃eN*,存在

(一6anan+｝

試卷第8頁(yè)，總23頁(yè)

“°G~W，使得G+G+--+C"V,f(x)-a成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

42.己知數(shù)列｛aj,其中neN*.

(1)若｛an｝滿足cin+1-=q"T(q>0,neN*).

①當(dāng)q=2,且%=1時(shí)，求&4的值：

②若存在互不相等的正整數(shù)r,s,t,滿足2s=r+t,且與《$，&成等差數(shù)列，求q的值.

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為%,數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為cn,cn=bn+2-3,neN*,

若的=1,a2-2.且la"1-anan+2|<k恒成立，求k的最小值.

43.已知數(shù)列｛%｝,也卜滿足q=2,4=4,且2"=a“+a“+|,a；I+l=bnbn+l.

(1)求。2，。3，。4及1也，“；

(2)猜想｛4｝,也“｝的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

(3)證明：對(duì)所有的〃eN*,幺?冬?…?的％<0sin-p1.

瓦4%-/+%《2壇-1

44.已知數(shù)列｛即｝中的=1,前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意的篤eN",均有方=an+k-k(fc

是常數(shù)，且k€N*)成立，則稱數(shù)列｛aj為“H(k)數(shù)列”.

(1)若數(shù)列｛a"｝為“"(1)數(shù)列”,求數(shù)列也“｝的前n項(xiàng)和Sn；

(2)若數(shù)列｛即｝為“"(2)數(shù)列”，且為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列｛斯｝，使得睇-

an-iOn+il<40對(duì)一切n>2,n￡N*恒成立？如果存在，求出這樣數(shù)列｛6｝的的所有

可能值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

n-k

(3)若數(shù)列｛斯｝為"H(k)數(shù)列"，且%=a2=??-=ak=1,證明：廝+2上>(l+^).

45.已知各項(xiàng)為正的數(shù)列｛a“｝滿足：q=l,4+1=甘冷

(1)求。2，%，。4；

(2)證明：(4用一2)(?！?2)<0(〃三N*)；

(3)記數(shù)列｛|??-2|)｛|??-2｝的前〃項(xiàng)和為S“，求證：

46.在數(shù)列｛4｝中，4=2,4T=21l+"a”.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式:

2n

(2)設(shè)?！?上，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)的和為S,,試求數(shù)列由“一S,J的最小值；

an

7/7+11

(3)求證：當(dāng)〃22時(shí)，Sv.>.

212

47.己知平面直角坐標(biāo)系xOy,在x軸的正半軸上，依次取點(diǎn)4,&，勺，…45GN*),

并在第一象限內(nèi)的拋物線y2=|乂上依次取點(diǎn)與，B2,B3,Bn(n6N*),使得△

Ak-iBkAkdeN*)都為等邊三角形，其中4。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)第〃個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為/(>)?

⑴求/(I),/(2),并猜想〃n)(不要求證明)；

7n

⑵令an=9/(n)-8,記兀為數(shù)列SC中落在區(qū)間(9,92刃內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，設(shè)數(shù)列｛〃｝的

前m項(xiàng)和為Sm，試問是否存在實(shí)數(shù)2,使得22<Sm對(duì)任意mGN*恒成立？若存在，求

出;I的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；

⑶已知數(shù)列｛九｝滿足：比=號(hào),b?i=與小二/T』,數(shù)列｛%｝滿足：0=1,7+1=

求證：bn<f(品)<cn.

48.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為&,等差數(shù)列｛2｝的公差為4，記

cn=max｛4一q〃也一&〃，…仇一4,〃｝

(〃=1,2,3…)，其中max｛%,，X2,…演｝表示無(wú)口々,…天這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)

(1)若4=2”,勿=4〃—2,求q,C2，C3的值，并猜想數(shù)列c”的通項(xiàng)公式(不必證明)

II11.2”

(2)設(shè)a=-n,b=-n+2,若不等式------1-------1---F-----<-----對(duì)不小于2

C2-2C3-2C?-2n

的一切自然數(shù)n都成立，求4的取值范圍

⑶試探究當(dāng)無(wú)窮數(shù)列｛c,｝為等差數(shù)列時(shí)，4、4應(yīng)滿足的條件并證明你的結(jié)論

49.已知y=f(x)是R上的奇函數(shù)，=,且對(duì)任意

xw(_e,O),=都成立.

⑴求/［一；)、/［一；)的值；

⑵設(shè)%=求數(shù)列｛q｝的遞推公式和通項(xiàng)公式;

試卷第10頁(yè)，總23頁(yè)

⑶記(=qa“+。嗎T+。3。"-2+…+a,Mi，求lim41?2*的值.

…Tn

nban-i

50.(14分)(2011?廣東)設(shè)b>0,數(shù)歹U｛an｝滿足ai=b,an=-------------(n>2)

an-l+n-l

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

n+l

(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,2an<b+l.

51.已知數(shù)列｛4｝滿足上：q=l,?！?|=如：-2a“+3+b(neN*).

(1)若1=1,證明：數(shù)列｛(4—1)"是等差數(shù)列;

⑵若停=一1,判斷數(shù)列｛%“_]｝的單調(diào)性并說(shuō)明理由;

、3〃+4

(3)若u力=-1,求證：q+/+???+%〃_[V--------.

6

52.設(shè)數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)和為S“，且滿足'-+」一=4為常數(shù).

S,,a?+\

(1)是否存在數(shù)列｛%｝,使得4=()?若存在，寫出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，

說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)4=1時(shí)，求證：---1------>1.

a”4+i

1Q

(3)當(dāng)4=—時(shí)，求證：當(dāng)"23時(shí)，0<44—.

2"3

53.已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S,滿足S,=(忙，設(shè)

bn=10-a〃(〃￡N).

(1)求證：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為7；,求7；的最大值.

(3)設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為q,=W,問：是否存在正整數(shù)大，使得

。C29Cm(加之3,成等差數(shù)列？若存在，求出片和力的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

54.對(duì)于九(ri€N*)個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合E=…,en｝,記%=%+?2+…+%?

已知由n個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A=｛alta2,(由<a2<<??<an,n>3)滿足：對(duì)于

任意不大于2的正整數(shù)機(jī)，均存在集合人的一個(gè)子集，使得該子集的所有元素之和等于

m.

(1)試求的,的值；

(2)求證：“的,。?，…,廝成等差數(shù)列”的充要條件是“SA=：兀5+1)”；

(3)若￡=2018,求證：九的最小值為11；并求九取最小值時(shí)，an的最大值.

55.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn,且%=1,a^=Sn+Sn_1(nG/V*,

n(n+i)

n>2),數(shù)列｛b｝滿足瓦?b2??…bn=(n6N*).

(1)求數(shù)列｛%｝、｛為｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)/=------,7；是｛〃｝的前n項(xiàng)和，求正整數(shù)m,使得對(duì)任意的n€N*,

均有7>Tn；

(3)設(shè)B=[x\x=的瓦+k2b2H--+knbn,且x>0,其中k16…,%G｛-1,1｝｝(nGN*,

n>2),求集合B中所有元素的和.

56.56.若數(shù)列A：q,a2,…，an(w>3)中qGN*(1?iW〃)且對(duì)任

意的2W左4+J+&T>24恒成立，則稱數(shù)列A為“U-數(shù)列”.

(1)若數(shù)列1,x,y,7為“U-數(shù)列”，寫出所有可能的x、y；

(2)若“U-數(shù)列”A：q,a2,…，中，q=l,=2017,求"的

最大值；

(3)設(shè)他為給定的偶數(shù)，對(duì)所有可能的“U-數(shù)列”A：%,4,…，4,,

記加=max｛qM2,…，其中max｛%,馬,…，須｝表示玉，x2,…，工這s個(gè)

數(shù)中最大的數(shù)，求M的最小值.

57.數(shù)列q,4，…,可是正整數(shù)1,2,…，〃的任一排列，且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①q=l；②當(dāng)"22時(shí)，\at-?,-+1|2(z=1,2,???,/!-1).

記這樣的數(shù)列個(gè)數(shù)為/(〃).

⑴寫出〃2)J(3),〃4)的值；

(II)證明"2018)不能被4整除.

58.已知集合4=｛x\x=2n4-l,n6N*｝,B=｛x\x=2n~1,nGN*｝,C=4U8.對(duì)于

數(shù)列｛an｝,%=1,且對(duì)于任意九N2,nEN*,有an=min｛%E.記％為

試卷第12頁(yè)，總23頁(yè)

數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和.

(I)寫出。7，。8的值;

(H)數(shù)列｛斯｝中，對(duì)于任意neN*,存在%€N*,使a%=2n-1,求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公

式；

(III)數(shù)列｛an｝中,對(duì)于任意neN*,存在keN*,有%+i=2n+1.求使得品+i>27ak+1

成立的k的最小值.

ii9

59.已知數(shù)列｛a“｝滿足q=上，——+—=(—

aa

2n+\n

(D求證：數(shù)列,一(―1)"\(〃eN")是等比數(shù)列；

4)

⑵設(shè)a=」(〃GN*),求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S,,；

⑶設(shè)c“=-2"a"a”+1,數(shù)列｛c.｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證：(其中”wN*).

60.(本小題滿分12分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝中，4+。3=1。,%+%=40.

ba

n=log2n

(1)求數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式；

h、

(2)右q=1,cn+[=%+'■，求證：cn<3；

an

111k

(3)是否存在正整數(shù)Z,使得——+-----+……+------對(duì)任意正整數(shù)〃均

bn+1bn+2hn+n10

成立？若存在，求出火的最大值，若不存在，說(shuō)明理由.

61.(本題滿分14分)已知數(shù)列｛a"滿足即=；,‘吐、一一二=0,n6N*.

2an+1-lan-l

(1)求證：數(shù)列｛」;｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)%=皿一1，數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)之和為又，求證：S<：.

an

n4

62-數(shù)列｛%｝中，4=1，?！?〃"%-2.

(1)證明：a?<an+］；

(2)證明：a?a?+l>2?+1；

(3)設(shè)a=十，證明：2<2〈石(〃22).

63.已知數(shù)列｛a,,｝的各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S“，且對(duì)任意的〃eN”,

都有凡+個(gè)宥邑

⑴若q=l,%05=2。17，求處的最大值；

(2)若對(duì)任意〃eN*,都有S.41,求證：OWa“-怎+|?-^——

64.設(shè)數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知%=a2=1,bn=n-Sn+(n+2)an,數(shù)列｛%｝

是公差為d的等差數(shù)列，nEN*.

(1)求d的值；

(2)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式;

22n+1

「+

(3)求證：(的?…的)?⑸?52?$3?…Sn)<1)("+2).

65.已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列｛%｝和也｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，Tn,q=l,S2=4,

對(duì)任意的〃eN*,都有3s,用=2s“+S“+2+/.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式;

⑵若｛〃｝為等差數(shù)列，對(duì)任意的〃eN*,都有S“>7；.證明：an>bn；

(3)若也｝為等比數(shù)列，4=%,(=%，求滿足eN*)

2T+3a

an=ak的〃值.

2

(bn)+Sn+22

66.若數(shù)列｛%｝滿足|%用一%J=1=-neN*,/?>2),稱數(shù)列｛%｝

為E數(shù)列，記S“為其前九項(xiàng)和.

(I)寫出一個(gè)滿足q=%=0,且§5>0的E數(shù)列｛%｝；

(11)若4=2,H=2017,證明：若E數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則《,=2018；反之，

若a“=2018,則E數(shù)歹ij｛4｝是遞增數(shù)列；

(III)對(duì)任意給定的整數(shù)〃(〃22),是否存在首項(xiàng)為。的E數(shù)列｛%｝,使得S“=0?

如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列｛4｝；如果不存在，說(shuō)明理由.

67.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛。“｝,記T=｛x|x=%-q,i</｝,若數(shù)列｛4｝滿足：“存在fwT,

試卷第14頁(yè)，總23頁(yè)

使得只要4“一%=「(根,ZeN”且加>左)，必有鳳加一%+1=f"，則稱數(shù)列｛4｝具

有性質(zhì)尸(/).

(I)若數(shù)列｛4｝滿足勺=｛]；判斷數(shù)列｛4｝是否具有性質(zhì)尸(2)?是否具

有性質(zhì)P(4)?

(II)求證：“T是有限集”是“數(shù)列的｝具有性質(zhì)P(O)”的必要不充分條件；

(III)已知｛4｝是各項(xiàng)為正整數(shù)的數(shù)列，且｛4｝既具有性質(zhì)尸(2),又具有性質(zhì)尸(5),

求證:存在整數(shù)N,使得詼,即+1，許+2,…，詼+*，…是等差數(shù)列.

68.已知數(shù)列版j中，：蜘=]再血=

1*11

(I)求證：普2/是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式璃,;

取司

(II)數(shù)列強(qiáng)J滿足獻(xiàn),=啰'-既'%，數(shù)列良J的前n項(xiàng)和為鼠，若不等式

求.氨的取值范圍。

69.已知數(shù)列｛時(shí)｝滿足an+i=210n+c+2\-\an+c|,c為正常數(shù).

(1)求證：對(duì)于一切nGN*,an+]-an>c恒成立；

(2)若數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，求的的取值范圍.

fc

70.我們稱滿足:an+1-k=(-l)(an-?n)(new*)的數(shù)列｛即｝為“k級(jí)夢(mèng)數(shù)列”.

(1)若｛冊(cè)｝是“1級(jí)夢(mèng)數(shù)列"且的=2.求:1---和-------的值；

。2一1°3一104-1々3一1

(2)若｛a九｝是“1級(jí)夢(mèng)數(shù)列”且滿足1<%V：，—+—+4—--=2,求@2018—4al

2ala2a2017

的最小值；

(3)若是“0級(jí)夢(mèng)數(shù)列”且的=點(diǎn)設(shè)數(shù)列｛若｝的前幾項(xiàng)和為Sn.證明：就萬(wàn)^7-

(neN*).

2(n+l)

71.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=：，4用=等％.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)迤=邨-胤:謖的戴，若燈氮黑缸叫亙成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

“=3乳”M糜的施3寸/?-<F<"11

⑶設(shè)"喙小霞，縱是數(shù)列缸K的前〃項(xiàng)和，證明4f..

72.數(shù)列｛的｝滿足即+1=2冊(cè)一與_1對(duì)任意的nN2,n€N*恒成立，S.為其前n項(xiàng)的和，

且。4=4』=36.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)即；

a

(2)數(shù)列｛匕｝滿足+b2a2n-3T----4^>k2n+i-2k+…+―同=3(2"-1)—2an,

其中k=1,2,…，n,n6N*.

①證明：數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

②求集合｛(m,p)"=誓,m,peN*｝.

73.各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列｛%｝同時(shí)滿足下列條件：

①(mwN*)；②4V”一12)；③〃是4+4—+凡的因數(shù)

(1)當(dāng)加=5時(shí)，寫出數(shù)列｛%｝的前五項(xiàng)；

(II)若數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)互不相等，且3時(shí)，％為常數(shù)，求m的值：

(III)求證：對(duì)任意正整數(shù)m,存在正整數(shù)M,使得〃2/時(shí)，?！盀槌?shù).

74.已知函數(shù)/(x)=需，數(shù)列｛%｝滿足%=l,an+i=/(J,7iCN*.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)令%=」一(n>2),仄=3,Sn=瓦+b2+??,+%，若又<W"對(duì)一切neN*成

0n-1%2

立，求最小正整數(shù)m.

75.已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列｛an｝滿足臼=a,an+1=佇一:>爹:(ne7*).

1—Qn十％UnSJ

(1)當(dāng)。=0.2和a=7時(shí)，分別寫出數(shù)列｛an｝的前5項(xiàng)；

(II)證明：當(dāng)a>3時(shí)，存在正整數(shù)m,使得0<a,nS2；

(III)當(dāng)0WaW1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)a及正整數(shù)n,使得數(shù)列｛an｝的前rt項(xiàng)和%=2019?

若存在，求出實(shí)數(shù)a及正整數(shù)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

76.已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S“，S7=49,a,和出的等差中項(xiàng)為2.

(1)求a?及S?；

1117

(2)證明：當(dāng)n22時(shí)，有一+—+...+—<一.

H邑S.4

試卷第16頁(yè)，總23頁(yè)

77.(本小題滿分12分)我們把一系列向量q"=1,2,3,…按次序排成一列，稱之

為向量列，記作怎｝,已知向量列怎｝滿足：=(1,1)，

—1,

an=(%,%)=-U?_l-+yn-\)(H>2).

(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

2

一一.n

(2)設(shè)。"表示向量％,與a,-間的夾角，若b,=—?,對(duì)于任意正整數(shù)〃，不等式

+,—F/—>a(a+2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍

⑶設(shè)%=|Zl40g2同，問數(shù)列匕｝中是否存在最小項(xiàng)？若存在，求出最小項(xiàng)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

78.已知數(shù)列A=｛4，%,…Q"｝(lWq<&<…<4,〃之2)具有性質(zhì)產(chǎn)：對(duì)任意i,

,/(l<z<j<n),a,?力與也兩數(shù)至少有一個(gè)屬于A.

ai

(1)分別判斷數(shù)集｛1,3,4｝與｛1,2,3,6｝是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由.

(II)求證：q=1.

(111)求證：—V-1-Tf-------fLTT=an?

n

+2”?3"-2(〃22,〃eN*)

已知數(shù)列｛“"｝中,a=1%?=lan-\

79.4\且〃一1

(1)求的值及數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

“尸匚腿”)彷,$

(2)令a"，數(shù)列的前〃項(xiàng)和為試比較''與〃的大??；

(3)令%=4也(〃wN*),數(shù)列，-2°"-」的前〃項(xiàng)和為7；,求證：對(duì)任意〃wN*,

〃+119-1)J

都有7；<2.

80.已知數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為5“=3",數(shù)列也｝滿足4=—1,%=2+2〃—1

(neN*).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(3)—4--4--4-........+'的值.

々Ah5bn

81.設(shè)歌是數(shù)列阿冬的前陽(yáng)項(xiàng)和，啕=3,.<=褥J,魏-士謚延繳.

\如

(1)求&$的通項(xiàng);

(2)設(shè)球=善二，求數(shù)列蹈遺的前糜項(xiàng)和鼠.

n.11

82.設(shè)｛qj是各項(xiàng)均不相等的數(shù)列，S“為它的前〃項(xiàng)和，滿足

2na“+i=S“+1(〃eN+,/leR).

(1)若q=l,且％,外，生成等差數(shù)列，求4的值；

(2)若｛為｝的各項(xiàng)均不相等，問當(dāng)且僅當(dāng)a為何值時(shí)，生，%，……，勺，……成等

差數(shù)列？試說(shuō)明理由.

n

83.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和滿足Sn=2an+(-l),nN1.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)證明：對(duì)任意的整數(shù)zn>4,都有三+二+…+工<2

的am8

.2

84'數(shù)列｛。"｝中,4=5,4+|=。25+](〃eM)

(I)求證：an+l<an；

(H)記數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S,,,求證：S?<1.

85.已知數(shù)列｛a,J的前〃項(xiàng)和為S,(〃eN"),且滿足4+S“=2〃+1.

(1)求證：數(shù)列■,-2｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)求證：」一+二!一+?.?+-,—<-.

2axa22a2a32"〃+]3

86.(本小題滿分15分