版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
第十二章無窮級數(shù)
第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)
一、常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散
給定一個數(shù)列“1,”2’“3,…,/,…將各項依次
OO
相加,簡記為
n=l
OO
u
即Sn=+〃2+〃3T-----卜〃〃9稱該式為無窮
n=l
級數(shù),其中第幾項叫叫做級數(shù)的一般項.
級數(shù)的前〃項和S“=Z散=〃1+〃2+〃3+i+〃〃稱
k=l
為級數(shù)的部分和。
若limS〃=S存在,則稱無窮級數(shù)收斂,并稱S為
〃一>8
OO
級數(shù)的和,記作若lims〃不存在,則
n=l8
稱無窮級數(shù)發(fā)散。
【例1】(93三)級數(shù)£01丁的和為
n=l2
-In3
【答案】------
2-ln3
結(jié)論:等比(幾何)級數(shù)E產(chǎn)’:
當(dāng)141Vl時收斂
當(dāng)14IN1時發(fā)散
二、收斂級數(shù)的和
若Z%收斂,則其和定義為
n=l
8n
S=£/=lim£uk=limSn。
n=l〃784=1〃78
三、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)
OOOO
(1)若級數(shù)E%收斂于S,即§=!>〃,則各項
n=ln=l
oo
乘以常數(shù)c所得級數(shù)Ec即也收斂,其和為cS。
n=l
注:級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變
OOOO
(2)設(shè)有兩個收斂級數(shù)S=E,則
n=ln=l
OO
級數(shù)2(〃〃土%)也收斂,其和為S±。。
n=l
注:該性質(zhì)表明收斂級數(shù)可逐項相加或相減
【例】取〃〃=(-1產(chǎn),Vn=(一1產(chǎn)+1,而〃〃+=0。
(3)在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級
數(shù)的斂散性。
(4)收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級
數(shù)的和。
推論:若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散。
注:收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂。
【彳列】(1-1)+(1-1)+,,,=0,彳旦1-1+1—1+,,
散。
【例2】判斷級數(shù)的斂散性:
---1-----1----+1-----1-----+...
V2—1A/2+1V3-1V3+1
K級數(shù)收斂的必要條件
OO
必要條件:若Z〃〃收斂,貝
n=l
逆否命題:若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必
發(fā)散。
【例】1_2+3_4++1工+
2345n+1
注:并非級數(shù)收斂的充分條件
n—8
81111
【例】調(diào)和級數(shù)£!=1+++???+!+???
n=l〃23H
【例3】判斷下列級數(shù)的斂散性,若收斂求其和:
8(I)(2)idl-cos^
(1)Zin1+-
n=l\n=lY〃
【答案】(1)發(fā)散;(2)發(fā)散
五、兩個重要級數(shù):幾何級數(shù)與。級數(shù)的斂散性
OO
(1)幾何級數(shù):當(dāng)|r|vl時收斂;當(dāng)
n=l
時發(fā)散.
81(8X)
(2)p級數(shù)(或?qū)?shù)P級數(shù)):ET?S\npn'
n=ln\n=2〃n111〃J
當(dāng)P>1時收斂,當(dāng)P《1時發(fā)散。
第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法
一、正項級數(shù)及其審斂法
OO
正項級數(shù):若即NO,則稱X即為正項級數(shù)。
n=l
OO___
收斂定理1:正項級數(shù)E〃〃收斂等價于部分和序
n=l
歹ljs(〃=1,2,…)有界。
ooOO
收斂定理2:(比較審斂法)設(shè)是兩個
n=ln=l
正項級數(shù),且存在NEZ+,對一切〃,N,有
un<kvn(常數(shù)4>0),則有
OOOO
(1)若強(qiáng)級數(shù)收斂,則弱級數(shù)E4也收斂;
n=ln=l
oooo
(2)若弱級數(shù)發(fā)散,則強(qiáng)級數(shù)Ev〃也發(fā)散。
n=ln=l
調(diào)和級數(shù)與P級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù)。
【例1】判斷下列級數(shù)的斂散性
OOOO]
⑴己仔(2)Z----(〃>0皿。1)
n=l〃n=i1+a
【答案】(1)收斂;(2)當(dāng)0<a<l時,發(fā)散;當(dāng)。>1時,收斂;
86"OO1
(3)2^-(4)2
n=l7n—5n=lA/Fl?+〃+1
【答案】(3)收斂;(4)發(fā)散;
oo
(5)2
n=l
【答案】(5)收斂
【例2】(97—)
、11
設(shè)%=(一)(〃=??)
2,an+1=-an+12
2an
oo
證明:(I)lima〃存在;(II)級數(shù)收斂
8n
n=l'+l
【解析】(1)用單調(diào)有界必收斂證明;(2)用比較審斂法證明
收斂定理3:(比較審斂法的極限形式)
OO8"
設(shè)兩正項級數(shù),滿足lim%=1,則有:
n=ln=l18Vn
(1)當(dāng)0V/<8時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;
OOOO
(2)當(dāng),=0時,且£右收斂時,Z〃〃也收斂;
n=ln=l
OOOO
(3)當(dāng)2=8時,且,右發(fā)散時,也發(fā)散。
n=ln=l
【例3]判斷下列級數(shù)的斂散性
3
(1)—IH丁H------F---------產(chǎn)+…
23V24V3(n+l)A/n
OO1
⑵E—1%(其中常數(shù)p>o)
n=2
【答案】(1)收斂;(2)發(fā)散
oo
【例4】(04—)設(shè)Z%為正項級數(shù),下列結(jié)論中
n=l
正確的是
OO
(A)若limy=0,則級數(shù)收斂.
n—>8?,
n=l
(B)若存在非零常數(shù)4,使得lim〃*二九則級數(shù)
n—>oo
Ze發(fā)散?
n=l
oo
(C)若級數(shù)[%收斂,WlimnX=0.
n=l〃一>8
OO
(D)若級數(shù)發(fā)散,則存在非零常數(shù)2,,使得
n=l
limnan=2.
【答案】(B)
oo
收斂定理4:(比值審斂法)設(shè)2%為正項級數(shù),
n=l
且lim4地=p,則有:
nTgUn
(1)當(dāng)夕VI時,級數(shù)收斂;
(2)當(dāng)夕>1或"=8時,級數(shù)發(fā)散。
(3)當(dāng)0=1時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.
OOII
【例】P-級數(shù)E::
n=inP
【例5】判斷級數(shù)的斂散性
⑴蒸⑵.空
【答案】(1)收斂;(2)發(fā)散
【例6】(04H)設(shè)有下列命題:
OOOO
①若£(42“一1+42〃)收斂,貝UE與收斂.
n=ln=l
OOOO
②若2X收斂,則L冊+ioo收斂?
n=ln=l
〃00
③若則Z即發(fā)散.
,In=l
0000OO
若Z(4+%)收斂,則E%92%都收斂.
n=ln=l
則以上命題中正確的是.
OO5+1)!
【例7】(88三)討論級數(shù),的斂散性.
M+1
【答案】收斂.
oo
收斂定理5:(根值審斂法)設(shè)為正項級數(shù),且
n=l
lim=p,則有:
n—8
(1)當(dāng)"Vl時,級數(shù)收斂;
(2)當(dāng)夕>1時,級數(shù)發(fā)散;
(3)當(dāng)"=1時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。
OO1|
【例】P-級數(shù)
n=inP
【例8】判斷級數(shù)的斂散性
8.3〃oo^2n-l
(1)(2)Z
n=l4〃n=l(In-1R2”T
【答案】(1)收斂;(2)發(fā)散
-、交錯級數(shù)及其審斂法
設(shè)肛>0,〃=1,2,…,則各項符號正負(fù)相間的級
數(shù)〃〃2+〃3---1"(-1)〃…稱為交錯級數(shù)。
收斂定理6:(萊布尼茨判別法)若交錯級數(shù)滿足
條件:(1)un>un+l5=1,2,…);
(2)lim=0,
n—g
oo
則級數(shù)收斂
n=l
【例9]用萊布尼茨判別法判別級數(shù)的斂散性:
OOn-1Inn
2(—1)
n=2
【解析與答案】單調(diào)性,極限
【例10】(95—)設(shè)%=(-L)〃ln[l+4=),則級數(shù)
I7n)
OO00
(A)z〃〃與Z說都收斂.
n=ln=l
0000
(B)與z說都發(fā)散.
n=ln=l
0000
(C)z%收斂而2*發(fā)散.
n=ln=l
0000
(D)z〃〃發(fā)散而E謚收斂.2。
n=ln=l
三、絕對收斂與條件收斂
OOOO
定義:對任意項級數(shù)2%,若收斂,則稱原
n=ln=l
OO
級數(shù)絕對收斂;若原級數(shù)收斂,但取絕對值
n=l
OO
以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級數(shù)條件收斂。
n=l
OO181
【例】E(-l)i,條件收斂;£二為絕對收斂。
n=l〃n=l〃
定理7絕對收斂的級數(shù)一定收斂。
【例11】判斷級數(shù)的斂散性。
OO
(1)£(-l)n—(2)Z(-1尸
n=lCn=l
OO[
1三sinner
(3)Z(-1)"-—(4)'4-
n=lnln=ln
【答案】(l)絕對收斂;(2)條件收斂;(3)絕對收斂;(4)絕對收斂
ook+n
【例12】(87—)設(shè)常數(shù)左>0,則級數(shù),(一1)
n=l
(A)發(fā)散.(B)絕對收斂.
(C)條件收斂.
(D)收斂或者發(fā)散與由勺取值有關(guān).
【答案】(C)
【13](90—)設(shè)。為常數(shù),則級數(shù)會迎髻一1
n=lnv
(A)絕對收斂.(B)條件收斂.
(C)發(fā)散.(D)收斂性與a的取值無關(guān).
【答案】(C)
【例14](92—)級數(shù)£(T)"(l-cos2)(常數(shù)a>o)
n=l〃
(A)發(fā)散.(B)條件收斂.
(C)絕對收斂.(D)收斂性與。有關(guān).
【答案】(C)
oo
[15015](94-)設(shè)常數(shù)1>0,且級數(shù)£片收斂,
n=l
則級數(shù)
n=lA/n+2
(A)發(fā)散.(B)條件收斂.
(C)絕對收斂.(D)收斂性與4有關(guān).
【答案】(C)
oo
【例16](96—)設(shè)a”>0(〃=1,2,…)且Z冊收斂,
n=l
w
常數(shù)公(0百,則級數(shù)E(-l)(ntan^)?2w
2n=in
(A)絕對收斂.(B)條件收斂.
(C)發(fā)散.(D)斂散性與2有關(guān).
【答案】(A)
【例17](96H)下述各選項正確的是
OOOOOO
(A)若2片和2W都收斂,則%)2收斂.
n=ln=ln=l
OOOOOO
(B)若z%乙|收斂,則A說與zW收斂?
n=ln=ln=l
(C)若正項級數(shù)發(fā)散,則%之上
n=l
oo
(D)若級數(shù)收斂,且〃%5=1,2,…),則
n=l
OO
級數(shù)X%也收斂.
n=l
【答案】(A)
第三節(jié)幕級數(shù)
一、函數(shù)項級數(shù)的概念
設(shè)〃〃(%)5=1,2,…)為定義在區(qū)間/上的函數(shù),
OO
則稱=〃i(%)+〃2(%)+……
n=l
為定義在區(qū)間/上的函數(shù)項級數(shù)。
oo
對%o£1,若常數(shù)項級數(shù)Z4(xo)收斂,稱與為其
n=l
收斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;
OO
若常數(shù)項級數(shù)£%(與)發(fā)散,稱與為其發(fā)散點,
n=l
所有發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域。
在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是”的函數(shù)
5(x),稱它為級數(shù)的和函數(shù),并寫成
OO
s(x)=
n=l
oo
【例】等比級數(shù)Ex=1+X+%?4----FXnH
n=0
二、募級數(shù)及其收斂性
形如:
+(X-Xg)W+,??
的函數(shù)項級數(shù)稱為幕級數(shù),其中數(shù)列
an5=0,1,…)稱為幕級數(shù)的系數(shù)。
下面著重討論勺=0的情形,即
OO2〃
2n
=?0+arx+a2xH------FanxH—
w=0
OO
定理1(阿貝爾定理)若幕級數(shù)Z%/在x=%
n=0
點收斂,則對滿足不等式X|<|x0|的一切X幕級數(shù)
都絕對收斂。反之,若當(dāng)%時該幕級數(shù)發(fā)散,
則對滿足不等式|x|>|小1的一切X,該寨級數(shù)也發(fā)
散。
K稱為收斂半徑,(-凡⑷稱為收斂區(qū)間。(_凡?加
上收斂的端點稱為收斂域。
定理2若發(fā)內(nèi)〃的系數(shù)滿足則
n=0an
(1)當(dāng)"。0時,R=y-
(2)當(dāng)"=0時,尺=8;
(3)當(dāng)夕=8時,R=。。
【例1】(95—)幕級數(shù)£h的收斂
n=12n+(-3f
半徑A=________
【答案】V3
【例2】(02三)設(shè)幕級數(shù)£4工〃和£2工〃的收
n=ln=l
斂半徑分別為彳與1,則幕級數(shù)£號工〃的收斂半
33n=i,I
徑為
(A)5.(B)再(C)(D)
335
【答案】(A)
【例3]求幕級數(shù)E三的收斂半徑及收斂域。
gon2n
【答案】收斂域為[-2,2)
【例4】(求幕級數(shù)E生二;的收斂域.
n=in<3
【答案】[0,6)
【例5】(若£?!?1)〃在*=-1處收斂,
n=l
則此級數(shù)在x2處()
(A)條件收斂(B)絕對收斂
(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定
答案:(B)
三、幕級數(shù)的運算
OOOO
定理3設(shè)幕級數(shù)》”"及Z髭”"的收斂半徑分
n=0M=0
別為用,&3令氏=111加{尺1,/^},則有:
8OO
2£axn=(X為常數(shù))|x<Ri
n=0nn=0
000000
土Ebxn=X(a±b)xn\x\<R
w=0n=0nn=0nn
000000
(2冊工")(£bxn)=Hcxn\x<R
w=0n=0nn=0n
(其中c〃=sab_)
4=0knk
oo
定理4若塞級數(shù)的收斂半徑R>0,則其和
M=0
函數(shù)S(*)在收斂域上連續(xù)并有任意階導(dǎo)數(shù),且在
收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分,運算前后
收斂半徑相同:
oooo
S\x)=X(axn)f=xe(—R,R)
n=0nn=l
OOOO"
JoS(x)dx=£a^xndx=Sxn+1
n=0nn=0〃+1
XG(—/?,!?)
OO
[例6](97-)設(shè)幕級數(shù)的收斂半徑為3,
n=0
則幕級數(shù)ZsJx-l嚴(yán)的收斂區(qū)間為
n=l
【答案】(—2,4)
第四節(jié)函數(shù)展開成塞級數(shù)與級數(shù)求和
一、泰勒級數(shù)
復(fù)習(xí)泰勒中值定理:若函數(shù)〃*)在X。的某鄰域內(nèi)
具有〃+1階導(dǎo)數(shù),則在該鄰域內(nèi)有:
frr()
/(x)=/(x)+/,(x)(x-x)+^-—x^(x-x)2+---
000/?0
?廣)(/)
(x-xJl+R(x)
n\n
泰勒級數(shù)的定義:若/(")在/的某個鄰域內(nèi)具有
任意階導(dǎo)數(shù),則稱〃
z2
/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+^°\x-x0)+--
1
+(x-XQy+…
n\
為了(%)的泰勒級數(shù)。當(dāng)*0=0時泰勒級數(shù)又稱為麥
克勞林級數(shù)。
函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的充要條件(數(shù)一):設(shè)/(%)
在X。的某個鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),則/(%)在該
鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是『(")
的泰勒余項
5+1)?
((%)=(x-xr+i70(〃T8),”是該鄰
5+1)!o
域中的點,4介于/與“之間).此時,有泰勒級數(shù)
nf^(Y}
xn
f(x)=/(x0)+Z—-o)+凡(x)
k=ik?
(n)(Xo)
=/u0)+E-T(x-x0ro
n=l〃?
二、幾個常見函數(shù)的麥克勞林展開式
x£三■廣£(-8,+8);
(1)e=
〃=0〃?
(2)ln(l+x)=Z-------xn+\xe(-1,“;
n=0〃+1
OO
(3)sinX二工
?=o金%—+8卜
oo(T)"小
(4)cosx=E(-8,+8);
n=0(2〃)!
1oo
⑸XjSD;
(6)(1+x)a=1+ax+——x2H—
2!
。(。一1)???(。一〃+l)
H---------------------------X+???,%£U)
n\
⑺-^-=J(-irx\xG(-i,i)o
1+n=0
三、函數(shù)展開成幕級數(shù)
展開方法
[直接展開法一利用泰勒公式
[間接展開法一利用已知其級數(shù)展開式的函數(shù)
1、直接展開法
由泰勒級數(shù)理論可知,函數(shù)/(")展開成幕級數(shù)的
步驟如下:
第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在”=0處的值;
第二步寫出麥克勞林級數(shù),并求出其收斂半
徑段
第三步判別在收斂區(qū)間(-凡氏)內(nèi)是否
l〃i一m>84(%)
為Oo
【例1】將八%)=向展開成X的幕級數(shù)。
【答案】
2、間接展開法
具體方法:利用一些已知的函數(shù)展開式及幕級數(shù)
的運算性質(zhì),將所給函數(shù)展開成幕級數(shù)。
【例2】(87H)將函數(shù)/⑴二七擊展開通
級數(shù),并指出收斂區(qū)間.
【答案】〃x)=£尤"+1£oo(i+Jr)H,
其收斂區(qū)間為(—1,1).
/:=!ZH=0Z
【例3】(95三)將函數(shù))=111(1一工-2/)展成“的
幕級數(shù),并指出其收斂區(qū)間.
gr_iV+1_9n「11、
【答案】ln(l-x-2/)=£」!-------x",收斂區(qū)間為一個二.
M〃L22)
1+X
【例4】(89—)將函數(shù)/(x)=arctan展為X的
幕級數(shù).
【答案】生+之仁%2"+1,
4七2〃+1
【例5】(94—)
將函數(shù)/(%)=-ln^+X+—arctanx-%展開成x的
41-x2
寨級數(shù).
oo471+1
【答案】=~7(—1<X<1)
M4〃+l
【例6】將「平山展成紙幕級數(shù)。
【答案】F(x)=y上丫-----x2n+'(―8<X<+8)
念(2〃+1)!2//+1
K級數(shù)求和
(一)孱級數(shù)求和
具體方法:利用已知幕級數(shù)的展開式間接求解和
函數(shù)。
OO
【例7]求幕級數(shù)£(--2的和函數(shù)。
n=l
'2—]
【答案】—^7,X€(T,1)
(1+X)
【例8】求幕級數(shù)£皿由工”1的和函數(shù)。
n=l2
【答案】擊—D
ooIn
【例9】求幕級數(shù)的和函數(shù)。
n=l〃
【答案】-ln(l-x2),XG(-1,1)
oo2n
【例10】求幕級數(shù)£(-1)——的和函數(shù)。
n=ln(2n-l)
【答案】-2xarctanx+ln(l+d),xe[-1,1]
oo
【例11](90—)求塞級數(shù)t(2〃+l)/的收斂域,
n=0
并求其和函數(shù).
]+X
【答案】收斂域是(一1,1);5(幻=丁卞,
X
【例12】(05三)求幕級數(shù),―1—-1在區(qū)
”=八2〃+1)
間內(nèi)的和函數(shù)S(x).
【答案】S(x)=<21n£-T^7'?昨(0』),
0,x=0
OO1
【例13】(87—)求塞級數(shù)的收斂域,
n=in2
并求其和函數(shù).
2
【答案】收斂域為[一2,2),S(x)=2xln——,xe[-2,2).
2-x
(二)常數(shù)項級數(shù)求和
具體方法:選擇適當(dāng)?shù)哪患墧?shù)求和,然后將、的數(shù)
值帶入求值。
【例⑷求數(shù)項級數(shù)Nd)的和。
【答案】—ln(V2+l)
2
OOfl
[1501512(96-)求級數(shù)E2-”的和?
n=2(M2-l)2W
53
【答案】---ln2
84
【例16】(93—)求級數(shù)£(~0:(嗎二十1)的和.
n=02
22
【答案】—
27
第五節(jié)傅里葉級數(shù)(數(shù)一)
一、函數(shù)的傅里葉系數(shù)與傅里葉級數(shù)
(1)"X)在[-兀,句上的傅里葉級數(shù)定義為
oo
cosnx
/(%)?2+Z+bnsinnx);
2n=l
其中"'71
f(x)cosnxdx^n=0,1,2,…
-71
bn=~rf(x)sinndx,n=1,2,稱為/(x)的
兀J-71
傅里葉系數(shù)。
(2)若(1)中的區(qū)間換為一般的[一,/],則
OO
/(%)??+Z
x+bnsniin-x5
n=l\
1rlIm
其中-I/(x)cos-xdx^n=0,1,2,…
IiI
I/?i〃兀
bn=-I/(x)sin—xdx,n=l,2--,稱為f(x)
II<
的傅里葉系數(shù)。
【例1】(93—)設(shè)函數(shù)/(%)=%%+,(-乃vxv%)
的傅里葉級數(shù)展開式為
OQ
。0
+Z(%cosnx+bnsinnx),則其中系數(shù)4的值
n=l
為—
【答案】42
3
【例2]設(shè)/(%)是周期為2%的周期函數(shù),它在
[-7T,4]上的表達(dá)式為
X,-7T<X<0?
f(x)=<,n//,將/(%)展成傅里葉
2X,0<X<7T
級數(shù)。
二、狄利克雷收斂定理
設(shè)函數(shù)/(X)在[TJ]上連續(xù)或只有有限個第
一類間斷點,并且至多只有有限個極值點,則/(%)
的傅里葉級數(shù)收斂,并且
(D當(dāng)X是/(*)的連續(xù)點時,級數(shù)收斂于/(%);
(2)當(dāng)%是/(X)的間斷點時,級數(shù)收斂于
〃x-O)+/(x+O)
2,
(3)當(dāng)%=±/時,級數(shù)收斂于/"+°)+〃'一°)。
2
_.八.—1,-7T<X<0..7~13?
w【例73】求/(“)={,以2%為周期
[1+],Q<X<7T
的傅里葉級數(shù)在”=0,1兩點處的值。
【例4】(-)設(shè)是周期為2的周期函數(shù),
它在區(qū)間(-1,1]上定義為/(*)=:一:::::',則
了(“)的傅里葉級數(shù)在”=1處收斂于
3
【答案】-
2
三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)
(1)若/(X)在[TJ]是奇函數(shù),EP/(-x)=-/(x),
其傅里葉級數(shù)為正弦級數(shù),即%=0,?=0,1,2,-.
oo
?么一4-f.?2fIr.W7T[
/(%)ZsinX,其中=7]。,"'口了工也
n=lI
(2)若〃x)在是偶函數(shù),即f(r)=f(x),
其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),即d=0,〃=0」,2,…,
a_c、OO〃兀
了(%)?寸COS-X,
2n=iI
其中=—j/(x)cos-xdx.
/。I
(3)如果/(%)是定義在[0用上的函數(shù),將其作奇
延拓,就可利用(1)將其展開成正弦級數(shù);將其
作偶延拓,就可利用(2)將其展開成余弦級數(shù).
【例5】(89一)設(shè)函數(shù)=0<x<l,而
OO
S(x)=bnsinn7rx,-8<x<+8.其中
n=l
b=2\/(x)sinn^Jx,n=1,2,3,???,貝l]S(——)為
nJo2
1
(A)T(B)一(D)
⑹T2
【答案】(B)
[例6](0一)將函數(shù)/(x)=l—,(0W%<%)展
二iV1
開成余弦級數(shù),并求的和
n=l〃
本章強(qiáng)化練習(xí)
一、常數(shù)項級數(shù)的判別
1、(11三)設(shè)也}是數(shù)列,則下列命題正確的是
()
oo
oo_____
(A)若收斂,則Z(%1T+%)收斂
n=ln=l
0000
(B)若收斂,則z%收斂
n=ln=l
0000
(C)若E%收斂,則收斂
n=ln=l
00oo
(D)若Z(%T-%)收斂,則Z%收斂
n=ln=l
答案:(A)
2、(09-)設(shè)有兩個數(shù)列!{〃“},也},若理a/°,
貝IJ()
OOOO
(A)當(dāng)“收斂時,“收斂
n=ln=l
OOOO
(B)當(dāng)z么發(fā)散時,z。/.發(fā)散
n=ln=l
oooo
(O當(dāng)z也i收斂時,z毗收斂
n=ln=l
OOOO
(D)當(dāng)£也|發(fā)散時,z。;照發(fā)散
n=ln=l
答案:(C)
oo
3、(06-H)若級數(shù)£”收斂,則級數(shù)()
n=l
OOoo
(A)Zk畋斂(B)Z(T)%〃收斂
n=ln=l
OOOO|
(C)y收斂.(D)Z"嘰收斂.
n=ln=l/
答案:(D)
oo
4、(05三)設(shè)〃>0/=l,2,…,若發(fā)散,
n=l
OO
£(-1廣%〃收斂,則下列結(jié)論正確的是
n=l
oooo
(A)收斂,242〃發(fā)散.
n=ln=l
OOoo
(B)Z“2〃收斂,1>2〃-1發(fā)散?
n=ln=l
oooo
(C)2(。2〃-1+。2〃)收斂(口)£(。2〃一1-。2〃)收斂?
n=ln=l
一、5a+aa-a
5、(03-)設(shè)。〃=^^,/=^^,〃=1,2產(chǎn)?,
則下列命題正確的是
OOOOOQ
(A)若Z冊條件收斂,則Epn與E冊都收斂.
n=ln=ln=l
OOOOoo
(B)若Z冊絕對收斂,則Zp〃與E冊都收斂.
n=ln=ln=l
oooooo
(c)若z冊條件收斂,則Zp〃與E劣斂散性都
n=ln=ln=l
不定.
oooooo
(D)若L冊絕對收斂,則Ep〃與z劣斂散性都
n=ln=ln=l
不定.
答案:(B)
6、(04—)設(shè)有方程*"+內(nèi)-1=0,其中〃為正整
數(shù).證明此方程存在唯一正實根乙,并證明當(dāng)a>l
OO
時,級數(shù)£琮收斂.
n=l
二、幕級數(shù)的收斂半徑和收斂域求解
1、(11一)設(shè)數(shù)列{6}單調(diào)遞減,
=0,S==1,2,...)無界,則帚級數(shù)
nn
ik=1
之X(x-1)"的收斂域()
k=l
(A)(-1,1](B)[-1,1)
(C)[0,2)(D)(0,2]
答案:(C)
oon-(-l)n
2、(09三)幕級數(shù)£
2的收斂半徑
n=l
為.
答案:e
oo
3、(08—)已知幕級數(shù)WX(%+2)〃存在x=0處收
?=0
oo
斂,在*=-4處發(fā)散,則幕級數(shù)fX(x-3)”的收
〃=0
斂域為O
答案:(1,5]
oo(工-2)2
4、(92H)級數(shù)£的收斂域為
n
n=ln4
答案:(0,4)
三、幕級數(shù)的和函數(shù)求解
8(-if1
1、(10-)求幕級數(shù)的收斂域及和
M2〃一1
函數(shù).
答案:收斂域為[T[];和函數(shù)為xarctanx,xe[-1,1]
oo(-1廣…
2、(06H)求募級數(shù)£的收斂域及和
n=l〃(2〃-1)
函數(shù)s(%).
答案:收斂域為
和函數(shù)S(x)=2x2arctanx-xln(l+x2),xG[-1,1]
oo
3、(03H)求幕級數(shù)1+2(-1)〃=(國<1)的和函
n=i2n
數(shù)及其極值.
答案:/(x)=l—;ln(l+尤2)(|劉<1),極大值為1
4、求下列幕級數(shù)的收斂域及其和函數(shù):
(D
念n+1
l,x=0,
答案:(1)(-1,1)S(x)=二_金(1—),。<小1.
(1-X)X
oo
(2)^n(n+l)xn
n=l
2x
答案:(2)(—1,1)S(M]X3,T<X<1
I、函數(shù)展開成塞級數(shù)
1
…。7三)將函數(shù)〃展開成一
的幕級數(shù),并指出其收斂區(qū)間.
答案:11?[「[產(chǎn)1+萬(丁T)卜"〕*/一八1)”'六㈠,,3
2、(06-)將函數(shù)〃月=」^展開成”的幕
級數(shù)。
1g1
答案:/u)=-E/一(—i)"
J〃=oL2_
3、(03-)將函數(shù)/(%)=arctan共五展開成”的
ooz-g\n
幕級數(shù),并求級數(shù)£聶占的和.
姿心取、兀cF(T)"4"x2"+i(-l)n兀
答案:工-------:---1
/(-V)=-■-22'12,.乙y
4ti2/J+I〃=02九+17
五、常數(shù)項級數(shù)的求和問題
1V(
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 隆堯職教中心
- 編制說明《蘋果黑星病綜合防治技術(shù)規(guī)程》編制說明
- 2024光伏面板清掃機(jī)器人用驅(qū)動電機(jī)
- 《物業(yè)公共秩序維護(hù)規(guī)范》(征求意見稿)編制說明
- 小學(xué)英語天氣課件
- 編制說明《城市排水管網(wǎng)修復(fù)技術(shù)指南》
- 2024年家具、建筑用金屬附件及架座合作協(xié)議書
- 2024年傳真保密機(jī)項目合作計劃書
- 2024年殺螨隆項目建議書
- 小班繪本語言想吃蘋果的鼠小弟教案反思
- 物流系統(tǒng)圖文
- 溫州英語課件
- 醫(yī)院內(nèi)靜脈血栓栓塞癥防治質(zhì)量評價與管理建議(2022 版)
- 輸液港植入術(shù)后護(hù)理查房課件
- 小學(xué)各年級鍛煉身體健康成長主題班會
- 遙感導(dǎo)論 第七章 遙感應(yīng)用
- 第十一章-政論文體英譯
- 冠脈介入術(shù)后護(hù)理查房
- 《水能溶解多少物質(zhì)》教學(xué)課件
- 企業(yè)生產(chǎn)管理課件
- 《大數(shù)據(jù)基礎(chǔ)》課程期末考試試題及答案 B 卷
評論
0/150
提交評論