高中數(shù)學(xué)2-2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

1.1變化率與導(dǎo)數(shù)

1.1.1變化率問(wèn)題1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

1?了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.會(huì)求函數(shù)從XI到X2的平均變化率.

3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

預(yù)習(xí)案自主學(xué)習(xí)研讀?思考?裳試

新知提煉，

1.平均變化率

函數(shù)了=/&)從%,到x2的平均變化率

△y/(x?)—f(xi)

(1)定義式:

△x*2一一

(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比.

(3)作用：刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間［為，融］上變化的快慢.

(4)幾何意義：已知PG”/')),22(X2,加2))是函數(shù)V=/。)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化

率￥=/(X2)―/(片)表示割線pR的斜率.

△XX2-X\

2.瞬時(shí)變化率

函數(shù)了=/*)在x=x。處的瞬時(shí)變化率

,.△Vf(Xo+△x)—f(Xo)

(1)定義式：limd=llim-!=----------=;-.

Ar--0AxAr-?0-Ax

(2)實(shí)質(zhì)：瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨近的值.

(3)作用：刻畫(huà)函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢.

3.導(dǎo)數(shù)的概念

..AV../~(Xo+Ax)(Xo)

定義式limA—Inn人

Ar—0△XAXTO

記法企。或川Xf

實(shí)質(zhì)函數(shù)y=/(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是y=/a)在x=xo處的瞬時(shí)變化率

1.判斷(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

Ay

(1)函數(shù)加)=c(c為常數(shù))在區(qū)間［X|,X2］上的平均變化率曾為0.()

(2)函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)值與值的正、負(fù)無(wú)關(guān).()

(3)瞬時(shí)變化率是刻畫(huà)某函數(shù)在區(qū)間區(qū)，X2］上函數(shù)值的變化快慢的物理量.()

(4)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Ax,Ay都不可能為零.()

答案：⑴J(2)V(3)V(4)X

2.如圖，函數(shù)y=/(x)在48兩點(diǎn)間的平均變化率是(

&…3—/(3)-/(I)1-3

解析：選氏d=^------------==一=一1.

△x3—12

3.已知;(x)=-2x+l,則/(0.5)=.答案:一2

4.函數(shù)y=/(x)=:在x=l處的瞬時(shí)變化率為.答案：—1

探究案講練互動(dòng)，解惑?探究?突破

探究點(diǎn)1求函數(shù)的平均變化率

例1已知函數(shù)Xx)=2?+3x—5.

(1)當(dāng)乃=4,且Ax=l時(shí)，求函數(shù)增量Ay和平均變化率曾；

(2)求(1)中的平均變化率的幾何意義.

【解】因?yàn)閥(x)=2d+3x—5,所以Ay=/(xi+△X)—/1)

=2(xi+Ax)2+3(X|+Ax)-5-(2xf+3XI_5)=2[(AX)2+2XIAx]+3Ax

=2(AX)2+(4X]+3)AX.

(1)當(dāng)為=4,Ax=l時(shí)，A^=2X12+(4X4+3)X1=21,則耗=?=21.

Avf(5)—f(4)

(2)在(1)中，仄5』----號(hào)----，它表示拋物線上點(diǎn)力(4,39)與點(diǎn)8(5,60)連線的斜率.

求函數(shù)平均變化率的步驟

(1)求自變量的改變量Ax=》2-Xi；

(2)求函數(shù)值的改變量A^=;(X2)-/(XI)；

(3)求平均變化率孩f(必)一/(Xi)

X2-X\

W跟蹤訓(xùn)練1.(2017?寧波高二檢測(cè))已知函數(shù)y=f+l的圖象上一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)

Ay

(1+Ax，2+Ay),則曾等于()

A.2B.2x

C.2+AxD.2+(Ax)2

△y/(1+Ax)一/~⑴[(1+Ax)2+1]—2

解析：選C;=2+△%.

△x-AxAx

2.求函數(shù)歹=〃)=3工2+2在區(qū)間［xo，枇+△、］上的平均變化率，并求當(dāng)x()=2,△、=

0.1時(shí)平均變化率的值.

解：函數(shù)y=/a)=3f+2在區(qū)間［沏，的+Ax］上的平均變化率為

2

/(x()+Ax)-f(劭)［3(x0+Ax)+2］—(3xo+2)6x()*Ax+3(△%)~

(xo+Ax)-xo=后=后=6x0+3Ax.

當(dāng)％o=2,Ax=0.1時(shí)，

函數(shù)y=3f+2在區(qū)間［2,2.1］上的平均變化率為6X2+3X0.1=12.3.

探究點(diǎn)2實(shí)際問(wèn)題中的瞬時(shí)速度

例2一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s=8-3『，其中s表示位移(單位：m),/表示時(shí)間(單位：s).

(1)求質(zhì)點(diǎn)在［1,1+A4這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；

(2)求質(zhì)點(diǎn)在/=1時(shí)的瞬時(shí)速度.

【解】(1)質(zhì)點(diǎn)在［1,1+△/］這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為巖=8-3+

=(—6—3Ar)(m/s).

(2)由(1)知名=一6—3當(dāng)△/趨近于0時(shí)，差趨近于一6,

所以質(zhì)點(diǎn)在t—1時(shí)的瞬時(shí)速度為一6m/s.

求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟

第一步：求時(shí)間改變量△t和位移改變量△s=S(Zo+AZ)-5(/o);

第二步：求平均速度3=￡;

第三步：求瞬時(shí)速度，當(dāng)無(wú)限趨近于。時(shí)，荒無(wú)限趨近于的常數(shù)。即為瞬時(shí)速度，

即0=S"o).

G跟蹤訓(xùn)練1.一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=7』一⑶+8,且在/=/0時(shí)的瞬時(shí)速度為1，則“=

解析：因?yàn)椤鱯=7(/o+△。2—13d+A/)+8—73+13,0—8

=14歷?A/-13AZ+7(A?)2>

As

所以媽77=螞(I*13+7p=14gT3=l,所以.答案：1

2.一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間f的關(guān)系是s⑺=3/一』.

(1)求此物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度;

⑵求/=0到1=2時(shí)的平均速度.

解：(1)取一時(shí)間段[2,2+Ar],As=s(2+A;)-s(2)=[3(2+A0-(2+^02]-(3X2-22)

—Af—(△1)2

=—AZ—(AZ)21-Az,

△「Ar

(一1一ZU)=-1,所以當(dāng)f=2時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為-1.

AJO△r△JO'

(2)因?yàn)楫?dāng)，e[O,2]時(shí)，△，=2—0=2.

,7—As=2=1

△S=S(2)—S(0)=(3X2—22)—(3X0-()2)=2.V2-

所以在0到2之間，物體的平均速度為1.

探究點(diǎn)3用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例3根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)求函數(shù)y=f+3在x=l處的導(dǎo)數(shù)；

4

(2)求函數(shù)y=7在x=2處的導(dǎo)數(shù).

【解】(l)Ay=[(l+AX)2+3]—(12+3)=2AX+QX)2,所以笠」)-=2+?x.

所以y[x=]=lim(2+△x)=2.

、444(Ax)2+4。

1

(2)因?yàn)椤魇?+2)2-Q=(Ax+2)2—(Ax+2)2

所以FAx+4

△x(Ax+2)2,

b,,AyAx+4

所以㈣△X=一螞。(Ax+2)尸一L

求函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟

求函數(shù)的增量)—<AEQo+A%)詼Q(jìng)

1

求函數(shù)的Ay/(3+A*H(4O)

平均變化率AxAx

〔取極限:得導(dǎo)數(shù)〕1]小。即%吧

簡(jiǎn)稱：一差、二比、三極限.

*跟蹤訓(xùn)練1.設(shè)函數(shù)/(x)=ax+3,若八1)=3,則°等于()

A.2B,-2

C.3D.-3

f(l+Ax)—/(1)a(1+Ax)+3-(a+3)

解析：選C.因?yàn)?(l)=lim---------7---------=lim-------------:-------------

Ax—?0△X-Ax-*O△x

因?yàn)?(1)=3,所以。=3.故選C.

2.求函數(shù)y=x—/在x=l處的導(dǎo)數(shù).

解：因?yàn)锳y=(l+Ax)_R^_(l_g=AxT

Ax

AyAx+1+Ax1Av

所以丁=----7------=l+i_i_「當(dāng)Ax-0時(shí)，—一--2,所以八1)=2,

△xAx1+AxAxJ

即函數(shù)y=x-(在x=l處的導(dǎo)數(shù)為2.

??imaiffl??

i.瞬時(shí)速度與平均速度的區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別：瞬時(shí)速度刻畫(huà)物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而平均速度則是刻畫(huà)物體在一段時(shí)間

內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，與該段時(shí)間內(nèi)的某一時(shí)刻無(wú)關(guān).

聯(lián)系：瞬時(shí)速度是平均速度的極限值.

2.函數(shù)人x)在X。處的導(dǎo)數(shù)

(1)當(dāng)AxHO時(shí)，比值個(gè)的極限存在，則人外在點(diǎn)X。處可導(dǎo)；若含的極限不存在，則

/(x)在點(diǎn)X。處不可導(dǎo)或無(wú)導(dǎo)數(shù).

2

(2)在點(diǎn)x=x()處的導(dǎo)數(shù)的定義可變形為/Vo)-lim3"~絲)~~或/(x0)—

Ax—OdX

,.fQx)—f(x0)

lim---------------

△x—*x0X-Xo

??胤堂倒曼卜.

1.設(shè)函數(shù)y=/a)=f—1,當(dāng)自變量X由1變?yōu)?.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為()

A.2.1B.1.1

C.2D.0

解析.選A4』(LD—/⑴=以=21

用牛忻?匹1,1-10.1

21

2.已知Xx)=;,且/(⑼=一］,則用的值等于()

A.-4B.2

C.-2D.±2

AgL3~fAX）—f（X）2

解析：選D/（加?jì)尅?,

21

于是一M=-5'"0=%解得〃?=±2?

3.某物體做勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程是s="+"則該物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其平均速度

與任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度的關(guān)系是

As.S（/（）+△/）—S（而）V（而+△，）—Vto

解析:VQ=limV7=lim-=lim-

A/->0△tA/->0△tAiO△t

n-△/

=媽/7=>答案：相等

4.已知函數(shù)加)=x+%分別計(jì)算次x)在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的平均變

化率，并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快.

解：自變量X從1變到2時(shí)，函數(shù)段)的平均變化率為‘⑵2工⑴=2+2J+D4

自變量x從3變到5時(shí)，函數(shù)/(x)的平均變化率總(3)_=_53空

1141

因?yàn)榉阶?，所以函?shù)自變量X從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快.

用案鞏固晡:?巧練?跟蹤?驗(yàn)證

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.若函數(shù)y=/a)=f—1,圖象上點(diǎn)P(2,3)及其鄰近點(diǎn)0(2+Ax,3+Ay),則￡[=()

A.4B.4Ax

C.4+AxD.△%

解析：選C.因?yàn)锳y=(2+AX)2-1-(22-1)=4AX+(AX)2,

g"Ay4A%+(Ax)2

所以=；=4+Ax.

△xAx

2.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=5-3』，若一質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[1,1+Af]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為

-3A/-6,則該質(zhì)點(diǎn)在f=l時(shí)的瞬時(shí)速度是()

A.—3B.3

C.6D.16

解析：選D.由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知，v=s,(l)==lim(—3△6)=-6.

A/—>0

3.某物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(。，則該物體在，至h+這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是()

—S([+△￡)—s(力一S(△，)

A'°="=晨B.°=——

—S(/)—S(/+△/)—s(△/)

C.v=-j—D.v=—

解析：選A.由平均速度的定義可知，物體在/到，+△/這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是其位

移改變量與時(shí)間改變量的比.

△sS(/+△f)—s(f)

所以。=

△「kt

4.若可導(dǎo)函數(shù)加)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且滿足lim'=-1,則/(0)=()

A.V—>0dX

A.-2B.—1

C.1D.2

解析：選B.因?yàn)開(kāi)/(x)圖象過(guò)原點(diǎn)，所以次0)=0,

%一/(0+Ax)~f(0)/(Ax)乂H

所以/(0)=lim---------7---------=lim-----=一1.故選B.

A.r->0AxAx-0

5.某物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是S=f2+,(f的單位是秒，S的單位是米)，則它在4

秒末的瞬時(shí)速度為()

A?垮米/秒B.垮米/秒

C.8米/秒D.竽米/秒

(4+Ar)*2+7T^-16-T

△As4+A/4

解析：選B.因?yàn)楦?-------------------------

一3Af

(Az)2+8A/-F

4(4+Az)3A53125

所以媽

△/"A,+8—

2

6.已知函數(shù)y=f+3,當(dāng)x由2變到1.5時(shí)，函數(shù)的增量Ay=

解析：△尸/(1.5)-/(2)=佶+3)-(|+3)=,-1=；.答案：|

7.如圖所示，函數(shù)y=/(x)在M，必］，民，卻，困，xj這幾個(gè)區(qū)間內(nèi)，平均變化率最

大的一個(gè)區(qū)間是.

解析：由平均變化率的定乂可知，函數(shù)y=y(x)在區(qū)間［修，工2］，［》2，工3］，［%3，刈］上的平

均變化率分別為：八必)一…),/⑹一/⑴),/5)一/5),結(jié)合圖象可以發(fā)

X2~X\片―M

現(xiàn)函數(shù)y=/(x)的平均變化率最大的一個(gè)區(qū)間是次3,x4］.

答案：⑶，M

8.子彈在槍筒中的運(yùn)動(dòng)可以看作是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是。=5xio5m/s2,

子彈從槍口射出所用的時(shí)間為1.6Xl()7s,則子彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度為m/s.

解析：運(yùn)動(dòng)方程為

因?yàn)锳s=5?o+△°2一53=必0A.所以At,

△s

所以0=lim4又因?yàn)閡=5X10m/s?,/Q=1.6X10

A10△t

所以o=a/o=8Xio2=8oo(m/s).答案：800

9.若函數(shù)y=/(x)=-f+x在［2,2+△對(duì)(Ax>0)上的平均變化率不大于一1,求Ax的

取值范圍.

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)在［2,2+Ax］上的平均變化率為R="2+A?x:/>(2)=

-(2+Ax)2+(2+Ax)-(-4+2)-4Ax+Ax-(Ax)2

\=7=-3—△x,

△x

所以由一3—AxW—1,得2.又因?yàn)锳QO,所以Ax>0,

即的取值范圍是(0,+°°).

10.已知質(zhì)點(diǎn)A/按規(guī)律s=2『+3做直線運(yùn)動(dòng).(位移單位：cm,時(shí)間單位：s)

△s

(1)當(dāng)f=2,△￡=0.01時(shí)，求兀"；

△s

(2)當(dāng)f=2,△￡=0.001時(shí)，求

(3)求質(zhì)點(diǎn)M在f=2時(shí)的瞬時(shí)速度.

封Ass(/+△，)~s(/)2(/+△t)2+3-(2/2+3)

解：寸---------飛---------=--------------X-----------------=4—.

(1)當(dāng)f=2,A/=0.010'b—=4X2+2X0.01=8.02(cm/s).

r,△S

(2)當(dāng)Z=2,Ar=0.001—=4X2+2X0001=8-002(cm/s).

△s?

(3)y=JimJim(4z+2△E)=4z=4X2=8(cm/s).

［B能力提升］

11.已知點(diǎn)尸(必,則)是拋物線y=3，+6x+l上一點(diǎn)，且，(刖)=0,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(1,10)B.(-1,-2)

C.(1,-2)D.(-1,10)

缸打、，/byf(Xo+△%)-f(X。)

解析：選--------7——

△x

3(x()+Ax)」+6(x0+Ax)+1—3焉一6x()-1

—3△x+6x()+6,

△x

所以/(xo)=limlim(3△x+6x()+6)=6xo+6=O,所以x0=—1.

△x—*0△XAx—>0

把Xo=-1代入y=3/+6x+l,得y=-2.所以尸點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,—2）.

/（Xo—一/（劭）

12.（2017,泉州期中）設(shè)函數(shù)人工）在x=x（）處可導(dǎo)，則lim等于（）

Ax-0Ax

B./(—Xo)

C.-/(xo)D.一/（一刈）

/（劭一△4）一/（Xo）于（x（）—Ax）—f5）

解析：選C.limlim-/a。），故

△xAx—O-Ax

選C.

一〒，x>0,

13.已知函數(shù)/（x）=<山求/（4）八一1）的值.

」+工2,

11114+Ax-2

解:當(dāng)x=4時(shí)，Ay=-,————,—-X-

、4+&x胃2、4+bx2^4+Ax

Ax??所以R

2d4+34+Ax+2)2d4+bx34+Ax+2)

所以lim~T^=lim11

AY—O△XAx—O244+bx(<4+Ax+2)-2XWX(5+2)-⑹

所以/（4）=表.當(dāng)*=一1時(shí),Ay/(—l+Ax)—/(一1)

△x-△x

1+(—1+Ax)2—1—(—1)2,口3/心…、，’口

---------------7----------------=Ax-2,由導(dǎo)數(shù)的定義，得/(-l)=lim(Ax-2)

八X-------------------------------------Ax—*0

=一2,所以八4）以-1）=專義（_2）=一/

14.（選做題）若--物體運(yùn)動(dòng)方程如下：（位移單位：m,時(shí)間單位：s）

29+3(f-3)2,0Wf<3,

s=N)=

3*+2,，23.

求：（1）物體在f￡[3,5]內(nèi)的平均速度；

（2）物體的初速度u0;

（3）物體在t=\時(shí)的瞬時(shí)速度.

解：（1）因?yàn)槲矬w在/￡[3,5]內(nèi)的時(shí)間變化量為Zu=5—3=2,位移變化量為AS=3X52

+2-（3X32+2）=3X（52-32）=48,所以物體在，￡[3,5]內(nèi)的平均速度為

巖=竽=24(m/s).

（2）求物體的初速度為，即求物體在/=0時(shí)的瞬時(shí)速度.

因?yàn)槲矬w在f=o附近位移的平均變化率為管J(0+

29+3[(O+AZ)-3]2-29-3(0—3)2

=-L----------或------------------=3.18,

△s

所以物體在Z=0處位移的瞬時(shí)變化率為lim—=lim(3A/-18)=-18,

加一0△t加一o

即物體的初速度%=-18m/s.

(3)物體在t=\時(shí)的瞬時(shí)速度即為物體在t=\處位移的瞬時(shí)變化率.

因?yàn)槲矬w在t=i附近位移的平均變化率為吊Ja+△[m

29+3F(1+Ar)-3]2-29-3(1-3)2

=-----L-----------E-----------------=3A/-12,

所以物體在E處位移的瞬時(shí)變化率為四原=媽(3AI2)=-⑵

即物體在/=1時(shí)的瞬時(shí)速度為-12m/s.

1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

學(xué)習(xí)

目標(biāo)1.理解曲線的切線的含義.2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.會(huì)求曲線在某點(diǎn)處的

切線方程.

4.理解導(dǎo)函數(shù)的定義，會(huì)用定義法求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

預(yù)習(xí)案自主學(xué)習(xí)研讀?思考?裳試

.獲知提煉.

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)切線的定義

如圖，對(duì)于割線PP”,當(dāng)點(diǎn)P“趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PP“趨近于確定的位置，這個(gè)確定

位置的直綾"稱為點(diǎn)P處的切線.

(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)危)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k,即k=lim

Ax—?0

fCxo+Ax)-/(Xo)”

Av—f(xQ.

2.導(dǎo)函數(shù)的概念

(1)定義：當(dāng)X變化時(shí)，713便是X的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為負(fù)X)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).

f(x+AY)—f(%)

(2)記法：/(x)或了，即/(x)=/=lim.—1VT：一.

Ax—>0△X

1.判斷(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(I)導(dǎo)函數(shù)/(X)的定義域與函數(shù)Xx)的定義域相同.()

(2)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)/(xo)是一個(gè)常數(shù).()

(3)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)沏處的導(dǎo)數(shù)/(xo)就是導(dǎo)函數(shù)/(x)在點(diǎn)x=xo處的函數(shù)值.()

(4)函數(shù)｛x)=0沒(méi)有導(dǎo)數(shù).()

(5)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).()

答案：⑴X(2)7(3)7(4)X(5)X

2.已知曲線y=/(x)=2?上一點(diǎn)/(2,8),則點(diǎn)/處的切線斜率為()

A.4B.16

C.8D.2

答案：C

3.已知y=/(x)的圖象如圖，則/'(h)與八XB)的大小關(guān)系是()

A.f(xQ歲(Xs)B.f(xA)<f(xB)C.f(xA)=f(xB)D.不能確定

解析：選B.由圖可知，曲線在點(diǎn)力處的切線的斜率比曲線在點(diǎn)B處的切線的斜率小,

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知/(xA)<f(xB),選B.

4.曲線y=:在點(diǎn)P(l,1)處的切線的方程為.答案：x+y—2=0

、探究案講練互動(dòng)，解惑?探究?突破卜

探究點(diǎn)1曲線在某點(diǎn)處的切線方程

例1求曲線產(chǎn)：在點(diǎn)從3,夕處的切線方程.

【解】因?yàn)镴=lim1=lim2,\=~r>

AXTOADX-VX^Xx

所以曲線產(chǎn)拄點(diǎn)43,處的切線斜率為g,

所以曲線在點(diǎn)乂3,§處的切線方程為y—：=—3）,即x+9伊-6=0.

（1）求曲線〉=火》）在點(diǎn)P處的切線方程的步驟

①求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（xo,/（M）.

②求出函數(shù)在Xo處的變化率/（Xo）,從而得到曲線在點(diǎn)尸（X0,外0））處切線的斜率.

③利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.

（2）求曲線過(guò)點(diǎn)尸的切線，點(diǎn)尸不一定是切點(diǎn)，也不一定在曲線上，即使點(diǎn)尸在曲線上

也不一定是切點(diǎn).

口跟蹤訓(xùn)練1.（2017?青島高二檢測(cè)）若函數(shù)Hx）=x-5則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方

程為.

解析：由/（x）=x—1=0得x=±l,即與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）或（一1,0）.

（x+Ax）——J、—r1

x+Axx…11

因?yàn)?（x尸媽----------砥-----------=媽［1+x（x+V）卜1+聲

所以切線的斜率％=1+；=2,所以切線的方程為了=2（X—1）或y=2（x+l）.

即2x—y—2=0或2%一夕+2=0.答案：2%一夕一2=0或2x-y+2=0

2.試求過(guò)點(diǎn)尸（1,-3）且與曲線相切的直線的斜率以及切線方程.

解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（Xo，泗），則有為=xW.因y'=limlim-----；-------2x.

Ax―0dXAx—?0dX

=,=

所以ky\x=XQ=2x（）.因切線方程為y—y（）2XQ（X—劭），

將點(diǎn)（1,一3）代入，得一3-'/=2x（）—2x：,所以孟一2x（）—3=0,所以劭=—1或x0=3.

當(dāng)M=-1時(shí)，k=-2；當(dāng)沏=3時(shí)，上=6.所以所求直線的斜率為-2或6.

當(dāng)Xo=-1時(shí)，乂)=1,切線方程為y—1=-2(x+l),即2x+y+l=0；

當(dāng)％o=3時(shí)，yo=9,切線方程為y—9=6（x—3）,即6x一歹一9=0.

探究點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)坐標(biāo)［學(xué)生用書(shū)P5］

例2已知曲線危）=x?+6在點(diǎn)P處的切線平行于直線4x—y—3=0,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解】設(shè)切點(diǎn)尸坐標(biāo)為Qo,泗）.

于(x+—f(x)(x+Ax)2+6—(，+6)

lim媽QX+AX)

AxAr—O

=2x.所以點(diǎn)P在（xo,泗）處的切線的斜率為2xo.因?yàn)榍芯€與直線4x—y—3=0平行，

所以2xo=4,x（）=2,為=/+6=10,即切點(diǎn)為（2,10）.

Q互動(dòng)探究若本例中的“平行于直線4x一夕一3=0”變?yōu)椤按怪庇谥本€2x—y+5=

o”，其他條件不變，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

解：由本例解析知，點(diǎn)P(XO,州)處的切線的斜率為2xo.因?yàn)榍芯€與直線2x—y+5=0垂

直，所以2x()X2=—l,得沏=一川=答，即切點(diǎn)為(一；，笥.

求滿足某條件的曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟

(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(X0,泗)；

(2)求導(dǎo)函數(shù)/(x)；

(3)求切線的斜率/你)；

(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于X。的方程，解方程求xo；

(5)點(diǎn)(X。，外)在曲線外)上，將(xo,則)代入求為得切點(diǎn)坐標(biāo).

處跟蹤訓(xùn)練1.已知曲線夕=?的一條切線的斜率為:，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選A.因?yàn)槭?4￡=$=；,所以x=l,所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

2.己知曲線人》)=一§在點(diǎn)P處的切線平行于直線2%+了-1=0,求切點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：設(shè)切點(diǎn)P為(xo,yo)，則k=/(x0)=lim/(X。+―=)im

Ar_*0八XAx—>0

______1_____1(Xo+Ax)2—焉

Go+Ax)2/xj(xo+Ax)2.2xo+Ax2

Ax1}55)Axxo(xo+Ax)2Xo*

、.2

因?yàn)榍芯€平行于直線2x+y—1=0,所以切線斜率為-2.所以嘉=-2.

所以即=—1.所以次沏)=/(—1)=—1.所以切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,—1).

探究點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用[學(xué)生用書(shū)P6]

例3設(shè)函數(shù)/(幻=/+52-9*-13<0),若曲線y=/(x)的斜率最小的切線與直線12x

+y=6平行.求a的值.

3232

【解】因?yàn)锳x)—/(x)=a+Ax)+a(x+Ax)-9(x+Ax)-1-(x+ax-9x

-l)=(3x2+2ax-9)△x+(3x+a)(Ax)2+(Ax)3,

所以尹=3x2+2ax-9+(3x+a)Ax+(Ax)2,所以/(x)=lim尹=3f+2融一9

△XAx—>0△X

=3(5+削—9一會(huì)—9—專由題意知/(x)的最小值是一⑵所以-9號(hào)=-12,

即『=9,因?yàn)閍<0,所以a=-3.

導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用問(wèn)題的解題關(guān)鍵還是對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用題目所提供的諸如

直線的位置關(guān)系、斜率最值范圍等關(guān)系求解相關(guān)問(wèn)題，此處常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)

相結(jié)合.

區(qū)跟蹤訓(xùn)練若拋物線^=4x2上的點(diǎn)尸到直線y=4x—9的距離最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：由點(diǎn)P到直線y=4x—9的距離最短知過(guò)點(diǎn)P的切線與直線y=4x—9平行.

,Ay4(x+Ax)2~4X2,

設(shè)尸(%o，yo)，y=hm~r~=1?-----------7-------------=lim(8x+4Ax)=8x,

'八'JAx—oAXA—OAXAX->O

所以點(diǎn)尸處的切線斜率為8%o，8x()=4,且澗=4xj,得劭=2，yo=1?

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為R,1)

??HDSJffl??

i.曲線上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系

(1)函數(shù)道X)在XO處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)兀0表示的曲線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切

線的斜率.

(2)函數(shù)｛x)表示的曲線在點(diǎn)。0，(卬))處有切線，但函數(shù)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，如.危0

=也在》=0處有切線，但不可導(dǎo).

2.“函數(shù)危)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)人M”“導(dǎo)函數(shù)/(x)”“導(dǎo)數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系

(1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)/(xo),就是在該點(diǎn)處函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的

極限值，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù).

(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是對(duì)某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的，就是函數(shù)負(fù)x)的導(dǎo)函數(shù)/(x).

(3)函數(shù)道x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)/(xo)就是導(dǎo)函數(shù)/(x)在x=x0處的函數(shù)值，即/。0)=訓(xùn)尸％.

這也是求函數(shù)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的方法之一.

3.(易誤防范)求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)尸的切線”與“在點(diǎn)尸處的切線”的差異.過(guò)

點(diǎn)P的切線，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，也不一定在曲線上，即使點(diǎn)P在曲線上也不一定是切點(diǎn)；

在點(diǎn)尸處的切線，點(diǎn)P必為切點(diǎn)，且在曲線上.

??邕1堂倒測(cè)??

1.曲線>=-2x2+1在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率是()

A.-4B.0

C.4D.-2

解析：選B.因?yàn)锳y=-2(Ax)2,所以#=-2Ax,lim/=lim(-2Ax)=0,由導(dǎo)

△XAx-0△XAx—?0

數(shù)的幾何意義知切線的斜率為0.

2.設(shè)曲線卜=0?在點(diǎn)(1,0)處的切線與直線2x-y-6=0平行，則。等于()

A.1

C.-2D.-1

a(1+Ax)2-aX\2QAX+〃(Ax)2

解析:選A.因?yàn)閥'\x=\=lim一=hm--------;---------=lim(2a

Ax-*OAxAx-0△XAr->0

+aAx)=2a,所以2a=2,所以a=l.

3.曲線3x的一條切線的斜率為1,則切點(diǎn)坐標(biāo)為

解析：設(shè)兀。=y=x2—3x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,澗)，

(x()+bx)2-3(x()+Ax)一/+3xo

f(x0)=lim

m—*0△x

2x()Ax-3Ax+(Ax)2

=lim—=2xo—3=1,故x()=2,泗=/一3xo=4—6二-2,

△x

故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2).答案：(2,-2)

4.已知拋物線y=/(x)=f+3與直線y=2x+2相交，求它們交點(diǎn)處拋物線的切線方程.

y=f+3,

解：由方程組得f—2x+l=0,解得了=1,y=4,所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

y=2x+2f

(Ax+1)2+3—(l2+3)

又?=Ax+2.當(dāng)Ax趨于0時(shí)Ax+2趨于2.

Ax

所以在點(diǎn)(1,4)處的切線斜率％=2.所以切線方程為y—4=2(