文科立體幾何解答題類型總結(jié)及其答案

PAGEPAGE2《立體幾何》解答題1.(2008年江蘇卷）如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD,AD⊥BD，點E,F分別是AB，BD的中點。求證：（Ⅰ)直線EF∥平面ACD；（Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD。2。（2009年江蘇卷）如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,E、F分別是A1B、A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥B1C求證：（Ⅰ）EF∥平面ABC；（Ⅱ）平面A1FD⊥平面BB1C1C.AABCMNA1B1C1(第1題)(第2題）（第3題)(第4題）3。如圖,直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠ACB＝90°，M、N分別為A1B、B1C1（Ⅰ)求證：BC∥平面MNB1;(Ⅱ）求證：平面A1CB⊥平面ACC1A1．4.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，點D是AB的中點。（Ⅰ）求證：CD⊥平面A1ABB1;(Ⅱ)求證：AC1∥平面CDB1；(Ⅲ）線段AB上是否存在點M，使得A1M⊥平面CDB1？5。如圖,已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點,Ｅ為BC的中點。（Ⅰ）求證：BD⊥平面AB1E；（Ⅱ）求直線AB1與平面BB1C1C所成角的正弦值；(Ⅲ）求三棱錐C－ABD的體積。6。如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，F(xiàn)為AA1的中點。求證：（Ⅰ)A1C∥平面FBD;（Ⅱ）平面FBD⊥平面DC1B。（第5題)（第6題)（第7題）7。如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB(Ⅰ）求證：EF∥平面CB1D1；(Ⅱ)求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1(Ⅲ）如果AB＝1,一個點從F出發(fā)在正方體的表面上依次經(jīng)過棱BB1、B1C1C1D1、D1D、DA上的點，又回到F，指出整個線路的最小值并說明理由。8。正三棱柱ABC－A1B1C1中，點D是BC的中點，BC＝BB1，設B1DBC1＝F。（Ⅰ）求證：A1C∥平面AB1D；(Ⅱ）求證：BC1⊥平面AB1D。（第8題）9。如圖所示,在直四棱柱ABCD－A1B1C1中,DB＝BC，DB⊥AC,點M是棱BB1上一點。（Ⅰ)求證:B1D1∥面A1BD;(Ⅱ）求證：MD⊥AC；（Ⅲ）試確定點M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D。10。四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為8的菱形,∠BAD＝60°,QUOTE∠BAD=π3若PA＝PD＝5,平面PAD⊥平面ABCD。（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積；(Ⅱ）求證：AD⊥PB;(Ⅲ）若E為BC的中點，能否在棱PC上找到一點F,使平面DEF⊥平面ABCD,并證明你的結(jié)論？MMABCDA1B1C1D1（第9題）（第10題)（第11題)（第12題）11。如圖，四邊形ABCD為矩形，BC⊥平面ABE,F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求證：AE⊥BE;（Ⅱ)設點M為線段AB的中點,點N為線段CE的中點．求證:MN∥平面DAE．12。如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3,BC＝2，D是BC的中點,F是CC1上一點,且CF＝2，E是AA1上一點,且AE＝2.（Ⅰ）求證:B1F⊥平面ADF；（Ⅱ)求證:BE∥平面ADF.13.如圖，在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD＝60°,Q為AD的中點。（Ⅰ)若PA＝PD,求證:平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）點M在線段PC上，PM＝tPC,試確定實數(shù)t的值,使得PA∥平面MQB。14。如圖，在四棱錐P－ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD＝4，BD＝，AB＝2CD＝8。(Ⅰ)設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）當M點位于線段PC什么位置時,PA∥平面MBD？（Ⅲ)求四棱錐P－ABCD的體積．AABCMPD（第13題)(第14題）（第16題)16。已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別為AA1,CC1,AB的中點，M為BE的中點，AC⊥BE。求證:（Ⅰ)C1D⊥BC；（Ⅱ)C1D∥平面B1FM。17.如圖，已知直角梯形ABCD中,AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2,CD＝1＋,過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊,使得DE⊥EC。（Ⅰ）求證:BC⊥面CDE;（Ⅱ）求證:FG∥面BCD；DCPAB（第18題）（Ⅲ）在線段AE上找一點DCPAB（第18題）（第17題)18。在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°,平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（Ⅰ）求證:PA⊥平面ABCD；（Ⅱ)若平面PAB平面PCD，問：直線l能否與平面ABCD平行？請說明理由.19.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是PD的中點,F為ED的中點.（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PCD；(Ⅱ）求證：CF∥平面BAE。（第19題）20.如圖,ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD,AB＝4a，BC＝CF＝2a，P為AB（Ⅰ）求證：平面PCF⊥平面PDE；（Ⅱ）求四面體PCEF的體積。（第20題)（第21題)21。如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠ACB＝90°，E，F(xiàn),G分別是AA1,AC,BB1的中點，且CG⊥C1G。(Ⅰ）求證:CG∥平面BEF;（Ⅱ）求證:CG⊥平面A1C1G。22.如圖甲，在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC＝PB＝2CD，A是PB的中點.現(xiàn)沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如圖乙所示），E、F分別為BC、AB邊的中點.（Ⅰ）求證:PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)求證:平面PAE⊥平面PDE；（Ⅲ）在PA上找一點G，使得FG∥平面PDE。23.已知△BCD中，∠BCD＝90°,BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，（第23題）∠ADB＝60°，E、F分別是AC、AD上的動點,（)。（Ⅰ)求證：不論為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;（Ⅱ）當為何值時,平面BEF⊥平面ACD?《立體幾何》解答題參考答案1.證明：（Ⅰ）∵E、F分別是AB、BD的中點，∴EF是△ABD的中位線∴EF∥AD又∵EF面ACD，AD面ACD,∴直線EF∥面ACD（Ⅱ）∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD，∵CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點，∴CF⊥BD又EFCF＝F，∴BD⊥面ECF，∵BD面BCD,∴面EFC⊥面BCD2。證明：（Ⅰ）因為E，F(xiàn)分別是A1B,A1C的中點，所以EF∥BC，又EF平面ABC，BC平面ABC，所以EF∥平面ABC；（Ⅱ)因為直三棱柱ABC－A1B1C1，所以BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C。所以A1D⊥平面BB1C1C,又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C。AABCMNA1B1C1（第1題)（第2題）（第3題）(第4題)3。證明：（Ⅰ)因BC∥B1C1，且B1C1平面MNB1，BC平面MNB1,故BC∥平面MNB（Ⅱ）因BC⊥AC，且ABC－A1B1C1故BC⊥平面ACC1A1．因BC平面A1CB，故平面A1CB⊥平面ACC1A4。證明：（Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1，∵AC＝BC，點D是AB的中點,∴CD⊥AB,面ABC面A1ABB1＝AB∴CD⊥平面A1ABB1(Ⅱ）連結(jié)BC1，設BC1與B1C的交點為E，連結(jié)DE．∵D是AB的中點，E是BC1的中點，∴DE∥AC1∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1。(Ⅲ）存在點M為B。由（Ⅰ)知CD⊥平面A1ABB，又A1B平面A1ABB,∴CD⊥A1B∵AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，點D是AB的中點．∴A1A:AB＝BD：BB1＝1：,∴A1B⊥B1D，又CDB1D＝D，∴A1B⊥平面CDB1。5.解：（Ⅰ）∵棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，且E為BC的中點,∴平面ABC⊥平面BCC1B1，又AE⊥BC且AE平面ABC，∴AE⊥平面BCC1B1而D為CC1中點，且BD平面BCC1B1∴AE⊥BD由棱長全相等知Rt△BCD≌Rt△B1BE，即，故BD⊥B1E,又AEB1E＝E，∴BD⊥平面AB1E(Ⅱ）由AE⊥平面BCC1B1知∠AB1E是直線AB1與平面BB1C1C所成的角，設為∵正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，∴在Rt△AEB1中（Ⅲ）6.證明：（Ⅰ）連結(jié)AC，設ACBD＝O.∵F為AA1的中點,O為AC的中點∴FO∥A1C∵A1C平面BFD,FO平面BFD∴A1C∥平面BFD（Ⅱ）設正方體棱長為1.∵∴∴FO⊥OC1又∵AA1⊥平面ABCD∴AA1⊥BD∵BD⊥AC∴BD⊥平面A1ACC1∵FO平面A1ACC1∴BD⊥FO∵BDC1O＝O∴FO⊥平面BDC1∵FO平面BFD∴平面BFD⊥平面C1BD另證:∵∴Rt△FAO∽Rt△OCC1∴∠FOA＝∠OC1C∴∠FOA＋∠COC1＝∠OC1C＋∠COC1＝90°∴∠FOC1＝90°∴FO⊥OC17。(Ⅰ)證明：連結(jié)BD。在長方體AC1中，對角線BD∥B1D1.又E、F為棱AD、AB的中點，∴EF∥BD?！郋F∥B1D1.又B1D1平面CB1D1，EF平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1。(Ⅱ）證明:在長方體AC1中,AA1⊥平面A1B1C1D1而B1D1平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面CAA1又B1D1平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1(Ⅲ）解：最小值為。如圖，將正方體六個面展開，從圖中F到F，兩點之間線段最短，而且依次經(jīng)過棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中點,所求的最小值為8。證明：（Ⅰ）連結(jié)A1B，設A1B與AB1交于E，連結(jié)DE∵點D是BC的中點,點E是A1B的中點∴DE∥A1C∵A1C平面AB1D，DE平面AB1D∴A1C∥平面AB1D（Ⅱ）∵△ABC是正三角形，點D是BC的中點∴AD⊥BC∵平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC平面B1BCC1＝BC，AD平面ABC∴AD⊥平面B1BCC1∵BC1平面B1BCC1∴AD⊥BC1∵點D是BC中點，BC＝BB1∴BD＝BB1∵∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1∴∠BDB1＝∠BC1C，∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°∴BC1⊥B1D∵B1DAD＝D∴BC1⊥平面AB1D9。(Ⅰ）證明:由直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1＝DD1.所以BB1D1D是平行四邊形,所以B1D1∥BDMABCDA1B1C1D1NN1OMABCDA1B1C1D1NN1O（Ⅱ）證明:因為BB1⊥面ABCD,AC面ABCD，所以BB1⊥AC又因為BD⊥AC,且，所以AC⊥面BB1D而MD面BB1D,所以MD⊥AC (Ⅲ）當點M為棱BB1的中點時,平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中點N，D1C1中點N1，連結(jié)NN1交DC1于O,連結(jié)OM.因為N是DC中點,BD＝BC，所以BN⊥DC；又因為DC是面ABCD與面DCC1D1的交線，而面ABCD⊥面DCC1D1,所以BN⊥面DCC1D1又可證得，O是NN1的中點，所以BM∥ON且BM＝ON,即BMON是平行四邊形，所以BN∥OM，所以OM平面,因為OM面DMC1,ai所以平面DMC1⊥平面。10。解：（Ⅰ)過P作PM⊥AD于M,∵面PAD⊥面ABCD，∴PM⊥面ABCD，又PA＝PD＝5∴M為AD的中點且PM＝,∴（Ⅱ）證明：連結(jié)BM,∵BD＝BA＝8，AM＝DM，∴AD⊥BM又AD⊥PM,BMPM＝M∴AD⊥面PMB又PB面PMB∴AD⊥PB(Ⅲ）能找到并且F為棱PC的中點證法一：∵F為PC的中點,∴EF∥PB，又由（Ⅱ)可知AD⊥面PMB,∴AD⊥DE,AD⊥EF∴AD⊥面DEF,又AD面ABCD，∴面DEF⊥面ABCD證法二:設CMDE＝O，連結(jié)FO，∴O為MC的中點在△PMC中FO∥PM，∵PM⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD又FO面DEF，∴面DEF⊥面ABCD11。證明:（Ⅰ)因為BC⊥平面ABE,AE平面ABE,所以AE⊥BC,又BF⊥平面ACE，AE平面ACE，所以AE⊥BF,又BFBC＝B,所以AE⊥平面BCE，又BE平面BCE,所以AE⊥BE．（Ⅱ）取DE的中點P，連接PA，PN,因為點N為線段CE的中點．所以PN∥DC，且，又四邊形ABCD是矩形，點M為線段AB的中點，所以AM∥DC,且，所以PN∥AM，且PN＝AM,故四邊形AMNP是平行四邊形，所以MN∥AP而AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN∥平面DAE。12。證明：(Ⅰ）因為AB＝AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC,AD平面ABC，所以AD⊥BB1，又BCBB1＝B,所以AD⊥平面BCC1B1，又B1F平面BCC1B1，所以AD⊥B1F，在矩形BCC1B1中,C1F＝CD＝1,CF＝C1B1＝2，所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1,所以∠CFD＝∠C1B1F所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD，又ADFD＝D，所以B1F⊥平面ADF。(Ⅱ）連結(jié)EF，EC，設ECAF＝M,連結(jié)DM,因為AE＝CF＝2，又AE∥CF，AC⊥AE,所以四邊形AEFC是矩形，所以M為EC中點，又D為BC中點，所以MD∥BE，因為MD平面ADF,BE平面ADF，所以BE∥平面ADF。13。解:(Ⅰ）連結(jié)BD，四邊形ABCD是菱形∵AD＝AB，∠BAD＝60°∴△ABD為正三角形，Q為AD的中點，∴AD⊥BQPA＝PD,Q為AD的中點,∴AD⊥BQ又BQPQ＝Q,∴AD⊥平面PQB，又AD平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD（Ⅱ）當時，使得PA∥平面MQB，連結(jié)AC交BQ于N，交BD于O,則O為BD的中點,又BQ為△ABD邊AD上的中線,∴N為正△ABD的中心，令菱形ABCD的邊長為a，則，?！逷A∥平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQB＝MN,∴PA∥MN即：，∴。14。解：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD＝4,BD＝，AB＝8，∴．∴AD⊥BD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．又BD平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD。(Ⅱ)當M點位于線段PC靠近C點的三等分點處時，PA∥平面MBD.證明如下：連接AC，交BD于點N，連接MN．∵AB∥DC，所以四邊形ABCD是梯形．∵AB＝2CD，∴CN：NA＝1：2．又∵CM：MP＝1：2,∴CN:NA＝CM:MP∴PA∥MN?！逷A平面MBD，MN平面MBD，∴PA∥平面MBD。（Ⅲ）過P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO為四棱錐P－ABCD的高。又∵△PAD是邊長為4的等邊三角形，∴。在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為,此即為梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面積。故.16。證明:(Ⅰ）由直三棱柱可知CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC又因為AC⊥BE,CC1BE＝E，AC⊥面BCE，所以AC⊥BC又在直三棱柱中，CC1⊥BC，ACCC1＝C，故BC⊥平面ACC1A1,C1D平面ACC1A1，所以BC⊥C1D（Ⅱ）連結(jié)AE，因為C1E∥DA，且C1E＝DA,所以四邊形ADC1E為平行四邊形，所以C1D∥EA,在△AEB中，因為M，F(xiàn)分別為BE,BA的中點，所以MF∥EA,所以C1D∥MF，又C1D平面B1FM，MF平面B1FM，所以C1D∥平面B1FM17.證明：（Ⅰ）由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC，AEEC＝E，∴DE⊥平面ABCE，∴DE⊥BC，又BC⊥CE，DEEC＝E，∴BC⊥平面DCE（Ⅱ）取AB中點H,連接GH,FH?！郍H∥BD,FH∥BC，∴GH∥平面BCD，F(xiàn)H∥平面BCD∴平面FHG∥平面BCD,∴GF∥平面BCD(或證明CQ∥FG）(Ⅲ）當R點滿足3AR＝RE時，平面BDR⊥平面BDC。證明：取BD中點Q,連結(jié)DR，BR，CQ，RQ計算得，在△BDR中，延長BQ到S使SQ＝RQ,則在平行四邊形BRDS中,對角線的平方和等于四邊的平方和。由可知，∴在△CRQ中,,∴CQ⊥RQ又在△CBD中，CD＝CB，Q為BD的中點,∴CQ⊥BD，BDRQ＝QDCPAB（第18題）∴CQ⊥平面BDR,又CQDCPAB（第18題）18。解：（Ⅰ)因為∠ABC＝90°,AD∥BC，所以AD⊥AB。而平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PA.同理可得AB⊥PA。

由于AB、AD平面ABCD，且ABAD＝C，所以PA⊥平面ABCD。（Ⅱ）(解法一）不平行。證明：假定直線l∥平面ABCD，由于l平面PCD,且平面PCD平面ABCD＝CD,所以∥CD.同理可得l∥AB，所以AB∥CD。這與AB和CD是直角梯形ABCD的兩腰相矛盾,故假設錯誤，所以直線l與平面ABCD不平行。（解法二）因為梯形ABCD中AD∥BC,所以直線AB與直線CD相交，設ABCD＝T。由TCD,CD平面PCD得T平面PCD.同理T平面PAB。即T為平面PCD與平面PAB的公共點,于是PT為平面PCD與平面PAB的交線.所以直線與平面ABCD不平行。19.證明:(Ⅰ)因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD，又AC⊥CD，且ACPA＝A，所以CD⊥平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．（Ⅱ）解法一：取AE中點G,連接FG，BG．因為F為ED的中點,所以FG∥AD且FG＝eq\F（1，2）AD．在△ACD中,AC⊥CD，∠DAC＝60°，所以AC＝eq\F（1，2）AD，所以BC＝eq\F(1，2）AD．在△ABC中,AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，從而∠ACB＝∠DAC,所以AD∥BC．綜上，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G＝BC，四邊形FGBC為平行四邊形,所以CF∥BG．又BG平面BAE,CF平面BAE，所以CF∥平面BAE．解法二：延長DC與AB交于G點,連接EG．因為在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠CAB＝60°，所以∠CAB＝∠CAD，即AC為∠DAG的平分線．又AC⊥CD，所以AG＝AD,C為DG中點，又F為ED的中點．所以CF∥EG．根據(jù)EG平面BAE，CF平面BAE，所以CF∥平面BAE．20。解：（Ⅰ）因為ABCD為矩形，AB＝2BC，P為AB的中點，所以三角形PBC為等腰直角三角形，∠BPC＝45°.同理可證∠APD＝45°.所以∠DPC＝90°，即PC⊥PD.又DE⊥平面ABCD,PC在平面ABCD內(nèi),所以PC⊥DE。因為DEPD＝D,所以PC⊥PDE。又因為PC在平面PCF內(nèi)，所以平面PCF⊥平面PDE。（Ⅱ）因為CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD，所以DE∥CF。又DC⊥CF，所以在平面ABCD內(nèi)，過P作PQ⊥CD于Q,則PQ∥BC，PQ＝BC＝2a因為BC⊥CD,BC⊥CF,所以BC⊥平面PCEF，所以PQ⊥平面DCEF,亦即P