第10講復(fù)數(shù)(原卷版+解析)

第10講復(fù)數(shù)一、單選題1．（2022·全國高三專題練習(xí)）歐拉公式θ(是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將三角函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當(dāng)時，就有，根據(jù)上述背景知識，試判斷表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．（2021·全國高三月考）歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式，有拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉多面體公式、初等數(shù)論中的歐拉數(shù)論公式等其中最著名的是復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式——把復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來（，自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位）．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B．C． D．3．（2021·江蘇高一月考）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式（e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被普為“數(shù)學(xué)中的天橋”.下列說法正確的是（）A． B．C． D．4．（2021·廣東潮州·高一期末）18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義，例如，，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點到原點的距離.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，）是純虛數(shù)，其對應(yīng)的點為，滿足條件的點與之間的最大距離為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021·河南南陽·高二期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對應(yīng)向量（為坐標(biāo)原點），設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時針旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：，則（）A． B．C． D．6．（2021·湖北武漢·高一期中）系數(shù)的擴張過程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(Kronecker，1823﹣1891)說“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．7．（2021·沙坪壩·重慶一中高三月考）在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，它說的是：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)集中有個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）那么在復(fù)平面內(nèi)使除了1和這兩個根外，還有一個復(fù)數(shù)根為（）A． B． C． D．8．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了一個公式：，是虛數(shù)單位，為自然對數(shù)的底數(shù).此公式被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，（）（注：底數(shù)是正實數(shù)的實數(shù)指數(shù)冪的運算律適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪的運算）A．1 B． C．i D．二、多選題9．（2021·重慶）歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)可以巧妙地關(guān)聯(lián)起來：（把稱為復(fù)數(shù)的三角形式，其中從軸的正半軸到向量的角叫做復(fù)數(shù)的輻角，把向量的長度叫做復(fù)數(shù)的模），之后法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：若復(fù)數(shù)，，則我們可以簡化復(fù)數(shù)乘法：.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（）A．若，則有B．若，，則C．若，則D．設(shè)，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限10．（2021·江蘇）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)了被人們稱為“世界上最完美的公式”——歐拉公式：（其中是虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)），它也滿足實數(shù)范圍內(nèi)指數(shù)的運算性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若復(fù)數(shù)的虛部為，，則的實部為D．已知，，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，，則三角形面積的最大值為11．（2021·江蘇南京市第二十九中學(xué)高二期中）棣莫佛（，1667~1754）出生于法國香檳，十八歲去了英國倫敦，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文，英國著名詩人波普（A.Pope，1688~1744）在《人類小品》中寫道：“是誰教那蜘蛛/不用直線或直尺幫忙/畫起平行線來/和棣莫佛一樣穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根據(jù)這個公式可得（）A．B．C．D．存在8個不同的復(fù)數(shù)，使12．（2021·徐聞縣第一中學(xué)）早在古巴比倫時期，人們就會解一元二次方程.16世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一元次方程有個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）．下列選項中屬于方程的根的是（）A． B． C． D．1三、填空題13．（2019·浙江高三月考）歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，若復(fù)數(shù)，則z的實部為______，______.14．（2021·福建廈門一中高二期中）18世紀(jì)末，挪威測量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z對應(yīng)的點Z到原點的距離．已知復(fù)數(shù)z滿足，i為虛數(shù)單位，則的最小值為________．15．（2021·江蘇南京·高一期中）歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個公式也被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)此公式，的最大值為________．16．（2021·浙江高二期末）人教版新教材中增加了如下內(nèi)容：任何一個復(fù)數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，下列法正確的是________．①；②當(dāng)，時，；③當(dāng)，時，；④當(dāng)，時，若為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；⑤第10講復(fù)數(shù)一、單選題1．（2022·全國高三專題練習(xí)）歐拉公式θ(是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將三角函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當(dāng)時，就有，根據(jù)上述背景知識，試判斷表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)歐拉公式，化簡復(fù)數(shù)得的，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，可得，所以復(fù)數(shù)表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為位于第二象限．故選：B.2．（2021·全國高三月考）歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式，有拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉多面體公式、初等數(shù)論中的歐拉數(shù)論公式等其中最著名的是復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式——把復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來（，自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位）．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)歐拉公式求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方求得，即可得復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)虛部的定義即可得出答案.【詳解】解：∵，∴．又∵，∴復(fù)數(shù)，∴，則的虛部為.故選：D．3．（2021·江蘇高一月考）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式（e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被普為“數(shù)學(xué)中的天橋”.下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)中的公式和復(fù)數(shù)運算法則，逐項計算后可得正確的選項.【詳解】對于A，當(dāng)時，因為，所以，故不一定成立，選項A錯誤；對于B，，所以B錯誤；對于C，由，，所以,得出,選項C正確；對于D，由C選項的分析得，得出，選項D錯誤.故選：C.4．（2021·廣東潮州·高一期末）18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義，例如，，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點到原點的距離.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，）是純虛數(shù)，其對應(yīng)的點為，滿足條件的點與之間的最大距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的運算化簡，由為純虛數(shù)可求得的值，從而可求得，，設(shè)且，，由兩點間的距離公式即可求解點與之間的最大距離.【詳解】由，因為復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，）是純虛數(shù)，所以，解得，所以，則，由于，故設(shè)且，，所以，故點與之間的最大距離為3.故選：C.5．（2021·河南南陽·高二期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對應(yīng)向量（為坐標(biāo)原點），設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時針旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目中所給的棣莫弗定理進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A6．（2021·湖北武漢·高一期中）系數(shù)的擴張過程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(Kronecker，1823﹣1891)說“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用虛數(shù)單位的冪的運算規(guī)律化簡即得,然后利用共軛復(fù)數(shù)的概念判定.【詳解】解：,故選：C.7．（2021·沙坪壩·重慶一中高三月考）在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，它說的是：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)集中有個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）那么在復(fù)平面內(nèi)使除了1和這兩個根外，還有一個復(fù)數(shù)根為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程根的意義，把代入方程，經(jīng)化簡變形即可得解.【詳解】因是方程的根，即，所以是方程的根.故選：B8．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了一個公式：，是虛數(shù)單位，為自然對數(shù)的底數(shù).此公式被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，（）（注：底數(shù)是正實數(shù)的實數(shù)指數(shù)冪的運算律適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪的運算）A．1 B． C．i D．【答案】D【分析】先根據(jù)公式將原式變?yōu)?，再根?jù)注釋將原式變?yōu)椋Y(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可計算出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：D.二、多選題9．（2021·重慶）歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)可以巧妙地關(guān)聯(lián)起來：（把稱為復(fù)數(shù)的三角形式，其中從軸的正半軸到向量的角叫做復(fù)數(shù)的輻角，把向量的長度叫做復(fù)數(shù)的模），之后法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：若復(fù)數(shù)，，則我們可以簡化復(fù)數(shù)乘法：.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（）A．若，則有B．若，，則C．若，則D．設(shè)，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限【答案】AC【分析】根據(jù)題干所給出的新定義判斷各個選項即可．【詳解】解：對于，，故正確；對于，由棣莫弗定理可知，兩個復(fù)數(shù)，相乘，所得到的復(fù)數(shù)的輻角是復(fù)數(shù)，的輻角之和，模是復(fù)數(shù)，的模之積，所以的輻角是復(fù)數(shù)的輻角的倍，模是，故正確；對于，，所以，故錯誤；對于，設(shè)，故，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點為，不在第一象限，故錯誤．故選：．10．（2021·江蘇）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)了被人們稱為“世界上最完美的公式”——歐拉公式：（其中是虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)），它也滿足實數(shù)范圍內(nèi)指數(shù)的運算性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若復(fù)數(shù)的虛部為，，則的實部為D．已知，，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，，則三角形面積的最大值為【答案】AB【分析】根據(jù)歐拉公式及復(fù)數(shù)得模即可判斷A；，整理即可判斷B；根據(jù)歐拉公式及復(fù)數(shù)的虛部為，，結(jié)合三角恒等變換，求出，即可求出的實部，從而判斷C；根據(jù)題意可得，點得軌跡時以原點為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)三角形的面積公式即可求得三角形面積的最大值，從而判斷D.【詳解】解：對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，因為復(fù)數(shù)的虛部為，所以，又，所以，故，所以，所以，，，即的實部為，故C錯誤；對于D，由題意，，則點得軌跡時以原點為圓心，1為半徑的圓，又，，當(dāng)，即時，取最大值，所以三角形面積的最大值為，故D錯誤.故選：AB.11．（2021·江蘇南京市第二十九中學(xué)高二期中）棣莫佛（，1667~1754）出生于法國香檳，十八歲去了英國倫敦，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文，英國著名詩人波普（A.Pope，1688~1744）在《人類小品》中寫道：“是誰教那蜘蛛/不用直線或直尺幫忙/畫起平行線來/和棣莫佛一樣穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根據(jù)這個公式可得（）A．B．C．D．存在8個不同的復(fù)數(shù)，使【答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式的性質(zhì)和三角函數(shù)恒等變換公式逐個分析判斷即可【詳解】解：根據(jù)題意，在，令可得.對于A，設(shè)，則有，變形可得，則，A正確；對于B，設(shè)，則有，變形可得，則，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，設(shè)，若，即，則有，，則，在區(qū)間上，有8個解，即存在8個不同的復(fù)數(shù)，使，D正確；故選：AD.12．（2021·徐聞縣第一中學(xué)）早在古巴比倫時期，人們就會解一元二次方程.16世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一元次方程有個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）．下列選項中屬于方程的根的是（）A． B． C． D．1【答案】BCD【分析】逐項代入驗證是否滿足即可.【詳解】解：對A，當(dāng)時，，故，A錯誤；對B，當(dāng)時，，故，B正確；對C，當(dāng)時，故，C正確；對D，顯然時，滿足，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．（2019·浙江高三月考）歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，若復(fù)數(shù)，則z的實部為______，______.【答案】【分析】根據(jù)歐拉公式可得，化簡求值即可．【詳解】復(fù)數(shù)，由歐拉公式，有,，，故答案為：；．【點睛】本題考查歐拉公式和復(fù)數(shù)的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意誘導(dǎo)公式的運用.14．（2021·福建廈門一中高二期中）18世紀(jì)末，挪威測量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有