高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)專題訓(xùn)練專題14導(dǎo)數(shù)中的恒成立與存在性問(wèn)題(原卷版+解析)

專題14導(dǎo)數(shù)中的恒成立與存在性問(wèn)題一、單選題已知函數(shù)f(x)=ex?x22?1，若f(x)≥kx在A.(?∞,1] B.(?∞,e] C.(?∞,2e] D.(?∞,已知f(x)=2x2?ax+lnx在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

A.(?∞,4) B.(?∞,4] C.(0,4) D.(0,4]已知函數(shù)f(x)=ln(2?x),x≤1,A.[?12,1] B.[0已知不等式x≥mlnx+n(m,n∈R，且m≠0)對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0成立，則n?2m的最大值為(

A.?2ln2 B.?ln2 C.若存在正實(shí)數(shù)x，y使得不等式lnx?x2A.22 B.2 C.322已知函數(shù)，若對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞)，都有fx1?fxA.?1 B.0 C.1 D.2當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，不等式ln(x?1)?2ax+3b≤0(a,b∈R，a≠0)恒成立，則ba的最大值為(

)A.1e B.2 C.43 D.設(shè)函數(shù)f(x)=xln?x的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，若對(duì)任意的x∈[1,+∞)，不等式f'(x)≤a+ex恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為A.1?1e B.2?1e C.丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f'x，f'x在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f''x，若在(a,b)上f''x>0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上為“凹函數(shù)”.已知fx=A.(?∞,?1) B.(?∞,?e) C.(?e,+∞) D.(?1,+∞)已知函數(shù)fx=lnx，若存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)≥x2?x?2a?2b?ln2A.38,+∞ B. C. D.二、填空題若存在x0∈(?1,2)，滿足lnx0+13>ax已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，滿足f'(x)?f(x)>0，若exf(ax?2)>eax2+1f(已知a>1，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則a的最小值為_(kāi)____．已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π6)?x22?三、解答題已知函數(shù)fx=ax+ln(1)討論函數(shù)y=fx的單調(diào)性(2)若不等式fx≤gx+a在已知f(x)=?ex+ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值；

(Ⅱ)設(shè)g(x)=lnx+12x2+ax，若對(duì)任意x1已知函數(shù)f(x)=xlnx?ax(1)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)F(x)=f'(x)?g(x)，其中f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求F(x)的最值．專題14導(dǎo)數(shù)中的恒成立與存在性問(wèn)題一、單選題已知函數(shù)f(x)=ex?x22?1，若A.(?∞,1] B.(?∞,e] C.(?∞,2e] D.(?∞,【答案】A【解析】解：當(dāng)x=0時(shí)，f(x)≥kx顯然恒成立；

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥kx即為ex?12x2?kx?1≥0，設(shè)g(x)=ex?12x2?kx?1(x>0)，

則g'(x)=ex?x?k，令?(x)=g'(x)=ex?x?k，

?'(x)=ex?1>0，

∴函數(shù)g'(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，

①當(dāng)k≤1時(shí)，g'(x)>g'(0)=1?k≥0，故函數(shù)g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，

∴g(x)>g(0)=0，即f(x)≥kx成立；

②當(dāng)k>1時(shí)，g'(0)=1?k<0，g'(k)=ek?2k>0，故存在x已知f(x)=2x2?ax+lnx在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(?∞,4) B.(?∞,4] C.(0,4) D.(0,4]【答案】B【解析】解：由f(x)=2x2?ax+lnx因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以4x?a+1x≥0即a≤4x+1x在因?yàn)閤∈(0,+∞)時(shí)，4x+1x≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=12故選B．已知函數(shù)f(x)=ln(2?x),A.[?12,1] B.[0【答案】C【解析】解：因?yàn)閒(x)=ln(2?x),x≤1,?x2+1,x>1,,

由恒成立，

得到f(x)≥ax?1，

分別作出y=fx及y=ax?1的圖象，

由圖知，當(dāng)a<0時(shí)，不符合題意，

只需考慮a≥0的情形，

當(dāng)已知不等式x≥mlnx+n(m,n∈R，且m≠0)對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0成立，則n?2m的最大值為A.?2ln2 B.?ln2 C.【答案】B【解析】解：由題意得x?mlnx≥n成立，令f(x)=x?mlnx，則f'(x)=x?mx(x>0)，

若m<0，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x→0+時(shí)f(x)→?∞，不合題意;

若m>0，當(dāng)x∈(0,m)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(m,+∞)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)最小值為f(m).所以f(m)=m?mlnm≥n，

所以n?2m≤m?mlnm?2m=?1?lnm?2m(m>0).令g(x)=1?lnx?2x(x>0)，

則g'(x)=?1x+2x若存在正實(shí)數(shù)x，y使得不等式lnx?xA.22 B.2 C.322【答案】D【解析】設(shè)f(x)=ln?x?x2+1，g(y)=ln?y+4y2?ln?4，

由題意可知，f(x)max?g(y)min，

f'(x)=1?2x2x，g'(y)=y2?8y3，

當(dāng)0<x<22時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>22時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

所以f(x)在x=22取得極大值，也是最大值，f(22)=ln22+12，

已知函數(shù)，若對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞)，都有fx1A.?1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】解：x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2,所以x1+x2>0，

[f(x1)?f(x2)](x12?x22)>k(x1x2+x22)可化為k<[f(x1)?f(x2)](x1?x當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，不等式ln(x?1)?2ax+3b≤0(a,b∈R，a≠0)恒成立，則ba的最大值為(A.1e B.2 C.43 D.【答案】C【解析】解：記f(x)=ln(x?1)?2ax+3b.則f'(x)

=1x?1?2a，當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閤>1.所以f'(x)>0，

所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，x→+∞時(shí)，

f(x)→+∞，所以不符合題意：當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)

=0?x=1+12a，當(dāng)x∈(1,1+12a)時(shí)?f'(x)>0，

f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1+12a,+∞)時(shí)，f'(x)<0．

f(x)單調(diào)遞減，所以

f(x)max=f(1+12a)=?ln2a?2a?1+3b，所以依題有?ln2a?2a?1+3b≤0，

即3b≤ln2a+2a+1，因?yàn)閍>0，所以設(shè)函數(shù)f(x)=xln?x的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，若對(duì)任意的x∈[1,+∞)，不等式f'(x)≤a+ex恒成立，則實(shí)數(shù)aA.1?1e B.2?1e C.【答案】C【解析】解：函數(shù)f(x)=xlnx，

則f'(x)=1+lnx，

不等式f'(x)≤a+ex可化為a??ex+lnx+1，

設(shè)g(x)=?ex+lnx+1，x∈1,+∞,

則g'(x)=?ex+1x=1?xexx丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f'x，f'x在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f''x，若在(a,b)上f''x>0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上為“凹函數(shù)”.已知fA.(?∞,?1) B.(?∞,?e) C.(?e,+∞) D.(?1,+∞)【答案】C【解析】解：因?yàn)閒'(x)=x?1exx2?t1x+1，

所以f''(x)=2x3?2x2+1xex+tx2．

因?yàn)閒(x)在(0,2)上為“凹函數(shù)”，

所以在(0,2)上f''(x)=2x3?2x2+1已知函數(shù)fx=lnx，若存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)≥x2?x?2a?2b?A.38,+∞ B. C. D.【答案】C【解析】解：函數(shù)f(x)=ln|x|，存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)≥x2?x?2a?2b?ln2成立，

即存在實(shí)數(shù)x使ln|x|≥x2?x?2a?2b?ln2成立，

故存在實(shí)數(shù)x使則2a+2b≥x2?x?ln|x|?ln2成立，

令g(x)=x2?x?ln|x|?ln2，則2a+2b≥g(x)min，

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=x2?x?lnx?ln2，則g'(x)=2x?1?1x=(2x+1)(x?1)x，

當(dāng)0<x<1時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)>0，

∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

故g(x)的極小值為g(1)=?ln2，

當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=x2?x?ln(?x)?ln2，則g'(x)=2x?1?1x=(2x+1)(x?1)x，

若存在x0∈(?1,2)，滿足lnx0+1【答案】(【解析】解：令f(x)=lnx+13，g(x)=ax?2a，

則曲線f(x)過(guò)點(diǎn)A(2,0)，直線g(x)=ax?2a也恒過(guò)點(diǎn)A(2,0)，

由圖象可知a≤0時(shí)，不滿足條件．

當(dāng)a>0時(shí)，若滿足條件，只需曲線f(x)=lnx+13在A(2,0)處的切線斜率小于a即可，

也就是a>f'(2)=已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，滿足f'(x)?f(x)>0，若exf(ax?2)>eax2+1f【答案】1【解析】解：根據(jù)題意設(shè)gx=fxex，因?yàn)閒'x?fx>0

所以g'x=f'(x)?f(x)ex>0，所以g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

則變形為fax2eax2>已知a>1，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則a的最小值為_(kāi)____．【答案】3【解析】解：

．

令fx=x?lnx，f'x=1?1x=x?1x，

∴fx在上單調(diào)遞增，

∵a>1，x∈13,+∞,

∴3x?1,aex>1，

又f3x?faex，

∴3x?aex?3xex?a對(duì)于任意的x∈13,+∞恒成立，

令，x∈13,+∞,已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π6)?x2【答案】?【解析】解：依題意f'(x)=2cos?(2x+π6)?x?m≤0在[0,π6]上恒成立，即m≥2cos?(2x+π6)?x在[0,π6]上恒成立，

記?(x)=2cos?(2x+π6)?x，

，

，∴?(2x+π6)∈[π三、解答題已知函數(shù)fx=ax+ln(1)討論函數(shù)y=fx的單調(diào)性(2)若不等式fx≤gx+a在【答案】解：(1)函數(shù)f(x)定義域是(0,+∞)，f'(x)=a+1x=ax+1x，

當(dāng)a≥0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,?1a)單調(diào)遞增，在(?1a,+∞)單調(diào)遞減，

(2)由已知ex?1?lnx?ax?1+a≥0在x≥1恒成立，

令F(x)=ex?1?lnx?ax?1+a，x≥1，

則F'(x)=ex?1?1x?a，易得F'(x)在[1,+∞)遞增，

∴F'(x)≥F'(1)=?a，

①當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)'(x)≥0，F(xiàn)(x)在[1,+∞)遞增，

所以F(x)≥F(1)=0成立，符合題意．

②當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn)'(1)=?a<0，且當(dāng)x=ln(a+1)+1已知f(x)=?ex+ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值；

(Ⅱ)設(shè)g(x)=lnx+12x2+ax，若對(duì)任意【答案】解：(Ⅰ)f(x)=?ex+ex的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=?ex+e，

當(dāng)x∈(?∞,1)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

故f(x)max=f(1)=0；

(Ⅱ)對(duì)任意x1∈(0,2]，總存在x2∈(0,2]，

使得g(x1)<f(x2)等價(jià)于g(x)<f(x)max．

由(Ⅰ)可知f(x)max=f(1)=0．

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)<0在x∈(0,2]恒成立．

參變量分離得：?a>lnx+12x2x=lnxx+12x已知函數(shù)f(x)=xlnx?ax(1)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)