專題09雙曲線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)突破(原卷版+解析)

1/3專題09雙曲線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)突破題型一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．與雙曲線共焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．2．與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程是A． B． C． D．3．雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B．或 C．或 D．4．設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為．5．已知、為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，△為等腰三角形，且，則的離心率為A． B． C． D．6．已知拋物線，若雙曲線以拋物線焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且一條漸近線方程是，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．7．根據(jù)下列已知條件求曲線方程．（Ⅰ）求與雙曲線共漸近線且過，點(diǎn)的雙曲線方程；（Ⅱ）求與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓方程．題型二雙曲線的性質(zhì)8．我們把方程分別為：和的雙曲線稱為共軛雙曲線，則共軛雙曲線有相同A．離心率 B．漸近線 C．焦點(diǎn) D．頂點(diǎn)9．對(duì)于雙曲線和，給出下列四個(gè)結(jié)論：（1）離心率相等；（2）漸近線相同；（3）沒有公共點(diǎn)；（4）焦距相等，其中正確的結(jié)論是A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4）10．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，過左焦點(diǎn)交雙曲線左支于、兩點(diǎn)，若，則等于．11．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，斜率為的直線過分別交雙曲線左、右支于、點(diǎn)，，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．12．直線是雙曲線等的一條漸近線，且雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為A．4 B．8 C． D．13．雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離的最大值為A． B．2 C． D．314．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、分別為漸近線和雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，則取得最小值為．15．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的面積為A． B．9 C． D．416．定義：以雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線．以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的是A．與共軛的雙曲線是 B．互為共軛的雙曲線漸近線不相同 C．互為共軛的雙曲線的離心率為，，則 D．互為共軛的雙曲線的4個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上題型三軌跡問題17．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是A． B． C． D．18．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為．19．已知?jiǎng)訄A與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．20．設(shè)是以，為焦點(diǎn)的雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則△的重心的軌跡方程是A． B． C． D．21．（1）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，該雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，求該雙曲線的方程．（2）已知圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．22．（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，的雙曲線的方程．（2）已知，，若的周長(zhǎng)為10，求頂點(diǎn)的軌跡方程．23．雙曲線，、為其左右焦點(diǎn)，是以為圓心且過原點(diǎn)的圓．（1）求的軌跡方程；（2）動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，滿足，求的軌跡方程．題型四雙曲線的離心率24．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線離心率的值為A． B． C．2 D．325．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過作漸近線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為A． B．3 C． D．26．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作以為圓心、為半徑的圓的切線切點(diǎn)為．延長(zhǎng)交的左支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且，則的離心率為A． B． C． D．27．已知雙曲線與直線相交于，兩點(diǎn)，直線上存在一點(diǎn)滿足，坐標(biāo)原點(diǎn)為，直線的斜率為2，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．328．雙曲線，的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上一點(diǎn)，軸，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．229．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，且．若，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．430．已知點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)，過作的角平分線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是A． B． C． D．31．、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，若是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．2/17專題09雙曲線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)突破題型一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．與雙曲線共焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)橢圓的半焦距為．由橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，，再由，可得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：．2．與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程是A． B． C． D．【解答】解：由，得，，，得，即橢圓的半焦距為．設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，所求雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，雙曲線方程化為：，設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，則，，，解得：．所求雙曲線的方程為．故選：．3．雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B．或 C．或 D．【解答】解：橢圓中，，焦距，雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，設(shè)雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得：，當(dāng)時(shí)，，解得，雙曲線方程為；當(dāng)時(shí)，，解得，雙曲線方程為．雙曲線方程為或．故選：．4．設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為．【解答】解：雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，設(shè)雙曲線的方程為，，把點(diǎn)代入，得：，解得，雙曲線的方程為：．故答案為：．5．已知、為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，△為等腰三角形，且，則的離心率為A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)椤鳛榈妊切?，且，所以，所以，過點(diǎn)作，垂足為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，所以，故選：．6．已知拋物線，若雙曲線以拋物線焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且一條漸近線方程是，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)殡p曲線以拋物線焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，所以①，②，雙曲線的漸近線為，所以③，由①②③，解得，，所以雙曲線的方程為．故選：．7．根據(jù)下列已知條件求曲線方程．（Ⅰ）求與雙曲線共漸近線且過，點(diǎn)的雙曲線方程；（Ⅱ）求與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為：點(diǎn)，在雙曲線上，所求雙曲線方程為：，即．（Ⅱ）若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求橢圓方程為，將點(diǎn)代入，得，故所求方程為．若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為代入點(diǎn)，得，．題型二雙曲線的性質(zhì)8．我們把方程分別為：和的雙曲線稱為共軛雙曲線，則共軛雙曲線有相同A．離心率 B．漸近線 C．焦點(diǎn) D．頂點(diǎn)【解答】解：共軛雙曲線和的，設(shè)，，可得它們的焦點(diǎn)為，，漸近線方程均為，離心率分別為和，它們的頂點(diǎn)分別為，，故選：．9．對(duì)于雙曲線和，給出下列四個(gè)結(jié)論：（1）離心率相等；（2）漸近線相同；（3）沒有公共點(diǎn)；（4）焦距相等，其中正確的結(jié)論是A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4）【解答】解：由題意，雙曲線，，（1）離心率分別為，；（2）漸近線相同，為；（3）沒有公共點(diǎn)；（4）焦距相等，為10，故選：．10．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，過左焦點(diǎn)交雙曲線左支于、兩點(diǎn)，若，則等于．【解答】解：如圖，由雙曲線定義可得：，，，又已知，，得．故答案為：．11．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，斜率為的直線過分別交雙曲線左、右支于、點(diǎn)，，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，由雙曲線定義得：，，所以，作，△中，，可得，△中，勾股定理得：①，△中，勾股定理得：，可得②，由①②可得，整理可得，即可得．所以漸近線的斜率為，故漸近線方程為．故選：．12．直線是雙曲線等的一條漸近線，且雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為A．4 B．8 C． D．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的漸近線為，又直線是雙曲線的一條漸近線，所以，①因?yàn)殡p曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為，所以點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，②由①②得，，所以雙曲線的虛軸長(zhǎng)，故選：．13．雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離的最大值為A． B．2 C． D．3【解答】解：雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線過定點(diǎn)，所以雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離的最大值為線段的長(zhǎng)，即最大值為，故選：．14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、分別為漸近線和雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，則取得最小值為．【解答】解：依題意，，，不妨取其中一條漸近線為，由雙曲線的定義知，，，則，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)且垂直于漸近線時(shí)，取得最小值．此時(shí)，到漸近線的距離為，最小值為：．故答案為：．15．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的面積為A． B．9 C． D．4【解答】解：如圖，設(shè)的右焦點(diǎn)為，由題意可得，，因?yàn)椋?，．的周長(zhǎng)為，即當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，即此時(shí)的縱坐標(biāo)為，故的面積為．故選：．16．定義：以雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線．以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的是A．與共軛的雙曲線是 B．互為共軛的雙曲線漸近線不相同 C．互為共軛的雙曲線的離心率為，，則 D．互為共軛的雙曲線的4個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上【解答】解：對(duì)：根據(jù)所給定義可得與共軛的雙曲線是，故錯(cuò)誤；對(duì)：由雙曲線方程與，可得其漸近線方程均為，故錯(cuò)誤；對(duì)：由雙曲線方程程與，可得，，則，即，因?yàn)椋笥?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故正確；對(duì)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，這四個(gè)焦點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，故正確．故選：．題型三軌跡問題17．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是A． B． C． D．【解答】解：由知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線右支，得，，，，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．故選：．18．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為．【解答】解：設(shè)，由于動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，則，故點(diǎn)到定點(diǎn)與到定點(diǎn)的距離差為6，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦距，以6為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支，由于，，則，故的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．故答案為：．19．已知?jiǎng)訄A與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．【解答】解：由圓，可得圓心，半徑；由圓可得圓心，半徑．設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意可得，．．由雙曲線的定義可得：動(dòng)圓的圓心在以定點(diǎn)，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上．，．．動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．故答案為．20．設(shè)是以，為焦點(diǎn)的雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則△的重心的軌跡方程是A． B． C． D．【解答】解：是△的重心，，設(shè)，，則，代入雙曲線方程可得：．故選：．21．（1）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，該雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，求該雙曲線的方程．（2）已知圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．【解答】解：（1）由雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，把點(diǎn)代入，可得，即．該雙曲線的方程為；（2）圓的圓心為，半徑為2；圓的圓心為，半徑為10．設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，則，，于是，動(dòng)圓圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12的橢圓．，，．的軌跡方程為：．22．（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，的雙曲線的方程．（2）已知，，若的周長(zhǎng)為10，求頂點(diǎn)的軌跡方程．【解答】解：（1）根據(jù)題意，要求雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，則設(shè)要求雙曲線的方程為，又由要求雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，則有，解可得，則要求雙曲線的方程為，（2）根據(jù)題意，已知，，若的周長(zhǎng)為10，則，分析可得：頂點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，（排除長(zhǎng)軸的端點(diǎn)）則，則頂點(diǎn)的軌跡方程為，．23．雙曲線，、為其左右焦點(diǎn)，是以為圓心且過原點(diǎn)的圓．（1）求的軌跡方程；（2）動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，滿足，求的軌跡方程．【解答】解：（1）由已知得，，故，所以、，因?yàn)槭且詾閳A心且過原點(diǎn)的圓，故圓心為，半徑為4，所以的軌跡方程為；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，，則，，由，得，，，即，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，代入得，化簡(jiǎn)得．題型四雙曲線的離心率24．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線離心率的值為A． B． C．2 D．3【解答】解：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，點(diǎn)到漸近線的距離，，在中，運(yùn)用余弦定理，可得，，，，．故選：．25．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過作漸近線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為A． B．3 C． D．【解答】解：如圖，不妨取漸近線為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則，，則．故選：．26．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作以為圓心、為半徑的圓的切線切點(diǎn)為．延長(zhǎng)交的左支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且，則的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由題意，得，，，，所以，解得，故選：．27．已知雙曲線與直線相交于，兩點(diǎn)，直線上存在一點(diǎn)滿足，坐標(biāo)原點(diǎn)為，直線的斜率為2，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．3【解答】解：設(shè)，，，，、在雙曲線上，①，②，①②得：，即，點(diǎn)，