專題八多三角形問題(原卷版+解析)

專題八多三角形問題多三角形計算問題求解多個三角形問題的關鍵及思路求解多個三角形的計算問題，關鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到多個三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換公式等建立已知和所求的關系．具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果．做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機結合，才能順利解決問題．【例題選講】[例1]如圖，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點D在邊BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7)．(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長．解析(1)在△ADC中，∵cos∠ADC＝eq\f(1,7)，∴sin∠ADC＝eq\r(1－cos2∠ADC)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))2)＝eq\r(\f(48,49))＝eq\f(4\r(3),7)，則sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC·cos∠B－cos∠ADC·sin∠B＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14)．(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝eq\f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7))＝3．在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcosB＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49，即AC＝7．[例2](2020·江蘇)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°．(1)求sinC的值；(2)在邊BC上取一點D，使得cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，求tan∠DAC的值．解析(1)在△ABC中，因為a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×eq\r(2)cos45°＝5，所以b＝eq\r(5)．在△ABC中，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(\r(5),sin45°)＝eq\f(\r(2),sinC)，所以sinC＝eq\f(\r(5),5)．(2)在△ADC中，因為cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以∠ADC為鈍角．而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C為銳角．故cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(2\r(5),5)，則tanC＝eq\f(sinC,cosC)＝eq\f(1,2)．因為cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以sin∠ADC＝eq\r(1－cos2∠ADC)＝eq\f(3,5)，所以tan∠ADC＝eq\f(sin∠ADC,cos∠ADC)＝－eq\f(3,4)．從而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－eq\f(tan∠ADC＋tanC,1－tan∠ADC×tanC)＝－eq\f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×\f(1,2))＝eq\f(2,11)．[例3](2018·全國Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2eq\r(2)，求BC．解析(1)在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠A)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即eq\f(5,sin45°)＝eq\f(2,sin∠ADB)，所以sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5)．由題意知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝eq\r(1－sin2∠ADB)＝eq\r(1－\f(2,25))＝eq\f(\r(23),5)．(2)由題意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5)．在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),5)＝25，所以BC＝5．[例4]如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝eq\f(3π,4)，AB⊥AD，AB＝1．(1)若AC＝eq\r(5)，求△ABC的面積；(2)若∠ADC＝eq\f(π,6)，CD＝4，求sin∠CAD．解析(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋eq\r(2)BC，解得BC＝eq\r(2)，所以△ABC的面積S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)．(2)設∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，即eq\f(AC,sin\f(π,6))＝eq\f(4,sinθ)，①在△ABC中，∠BAC＝eq\f(π,2)－θ，∠BCA＝π－eq\f(3π,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝θ－eq\f(π,4)，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，即eq\f(AC,sin\f(3π,4))＝eq\f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))，②①②兩式相除，得eq\f(sin\f(3π,4),sin\f(π,6))＝eq\f(4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))),sinθ)，即4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))＝eq\r(2)sinθ，整理得sinθ＝2cosθ．又因為sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，即sin∠CAD＝eq\f(2\r(5),5)．[例5]如圖，在△ABC中，AB＝2，cosB＝eq\f(1,3)，點D在線段BC上．(1)若∠ADC＝eq\f(3π,4)，求AD的長．(2)若BD＝2DC，△ACD的面積為eq\f(4,3)eq\r(2)，求eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)的值．解析(1)在△ABC中，∵cosB＝eq\f(1,3)，∴sinB＝eq\f(2\r(2),3)．∵∠ADC＝eq\f(3π,4)，∴∠ADB＝eq\f(π,4)．在△ABD中，由正弦定理可得eq\f(AD,\f(2\r(2),3))＝eq\f(2,\f(\r(2),2))，∴AD＝eq\f(8,3)．(2)∵BD＝2DC，△ACD的面積為eq\f(4,3)eq\r(2)，∴S△ABC＝3S△ACD，則4eq\r(2)＝eq\f(1,2)×2×BC×eq\f(2\r(2),3)，∴BC＝6，DC＝2．∴由余弦定理得AC＝eq\r(4＋36－2×2×6×\f(1,3))＝4eq\r(2)．由正弦定理可得eq\f(4,sin∠BAD)＝eq\f(2,sin∠ADB)，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB．又∵eq\f(2,sin∠CAD)＝eq\f(4\r(2),sin∠ADC)，∴sin∠CAD＝eq\f(\r(2),4)sin∠ADC．∵sin∠ADB＝sin∠ADC，∴eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)＝4eq\r(2)．【對點訓練】1．(2013·全國Ⅰ)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°．(1)若PB＝eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．2．如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD＝6，BD＝3，DC＝2．(1)如圖1，若AD⊥BC，求∠BAC的大?。?2)如圖2，若∠ABC＝eq\f(π,4)，求△ADC的面積．3．如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2．(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE．4．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝DA＝2，∠ACB＝30°．(1)求證：BC＝4cos∠CBD；(2)點C移動時，判斷CD是否為定長，并說明理由．5．如圖，在平面四邊形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝eq\r(7)，EA＝2，∠ADC＝eq\f(2π,3)，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差數(shù)列．(1)求sin∠CED；(2)求BE的長．6．如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝eq\f(\r(3),3)．(1)求△ACD的面積；(2)若BC＝2eq\r(3)，求AB的長．7．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝eq\r(5)，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面積為2．(1)求AD的長；(2)求△CBD的面積．8．已知在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝eq\f(3π,4)，AB⊥AD，AB＝1，△ABC的面積為eq\f(1,2)．(1)求sin∠CAB的值；(2)若∠ADC＝eq\f(π,6)，求CD的長．專題八多三角形問題多三角形計算問題求解多個三角形問題的關鍵及思路求解多個三角形的計算問題，關鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到多個三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換公式等建立已知和所求的關系．具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果．做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機結合，才能順利解決問題．【例題選講】[例1]如圖，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點D在邊BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7)．(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長．解析(1)在△ADC中，∵cos∠ADC＝eq\f(1,7)，∴sin∠ADC＝eq\r(1－cos2∠ADC)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))2)＝eq\r(\f(48,49))＝eq\f(4\r(3),7)，則sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC·cos∠B－cos∠ADC·sin∠B＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14)．(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝eq\f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7))＝3．在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcosB＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49，即AC＝7．[例2](2020·江蘇)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°．(1)求sinC的值；(2)在邊BC上取一點D，使得cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，求tan∠DAC的值．解析(1)在△ABC中，因為a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×eq\r(2)cos45°＝5，所以b＝eq\r(5)．在△ABC中，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(\r(5),sin45°)＝eq\f(\r(2),sinC)，所以sinC＝eq\f(\r(5),5)．(2)在△ADC中，因為cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以∠ADC為鈍角．而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C為銳角．故cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(2\r(5),5)，則tanC＝eq\f(sinC,cosC)＝eq\f(1,2)．因為cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以sin∠ADC＝eq\r(1－cos2∠ADC)＝eq\f(3,5)，所以tan∠ADC＝eq\f(sin∠ADC,cos∠ADC)＝－eq\f(3,4)．從而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－eq\f(tan∠ADC＋tanC,1－tan∠ADC×tanC)＝－eq\f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×\f(1,2))＝eq\f(2,11)．[例3](2018·全國Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2eq\r(2)，求BC．解析(1)在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠A)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即eq\f(5,sin45°)＝eq\f(2,sin∠ADB)，所以sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5)．由題意知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝eq\r(1－sin2∠ADB)＝eq\r(1－\f(2,25))＝eq\f(\r(23),5)．(2)由題意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5)．在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),5)＝25，所以BC＝5．[例4]如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝eq\f(3π,4)，AB⊥AD，AB＝1．(1)若AC＝eq\r(5)，求△ABC的面積；(2)若∠ADC＝eq\f(π,6)，CD＝4，求sin∠CAD．解析(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋eq\r(2)BC，解得BC＝eq\r(2)，所以△ABC的面積S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)．(2)設∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，即eq\f(AC,sin\f(π,6))＝eq\f(4,sinθ)，①在△ABC中，∠BAC＝eq\f(π,2)－θ，∠BCA＝π－eq\f(3π,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝θ－eq\f(π,4)，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，即eq\f(AC,sin\f(3π,4))＝eq\f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))，②①②兩式相除，得eq\f(sin\f(3π,4),sin\f(π,6))＝eq\f(4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))),sinθ)，即4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))＝eq\r(2)sinθ，整理得sinθ＝2cosθ．又因為sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，即sin∠CAD＝eq\f(2\r(5),5)．[例5]如圖，在△ABC中，AB＝2，cosB＝eq\f(1,3)，點D在線段BC上．(1)若∠ADC＝eq\f(3π,4)，求AD的長．(2)若BD＝2DC，△ACD的面積為eq\f(4,3)eq\r(2)，求eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)的值．解析(1)在△ABC中，∵cosB＝eq\f(1,3)，∴sinB＝eq\f(2\r(2),3)．∵∠ADC＝eq\f(3π,4)，∴∠ADB＝eq\f(π,4)．在△ABD中，由正弦定理可得eq\f(AD,\f(2\r(2),3))＝eq\f(2,\f(\r(2),2))，∴AD＝eq\f(8,3)．(2)∵BD＝2DC，△ACD的面積為eq\f(4,3)eq\r(2)，∴S△ABC＝3S△ACD，則4eq\r(2)＝eq\f(1,2)×2×BC×eq\f(2\r(2),3)，∴BC＝6，DC＝2．∴由余弦定理得AC＝eq\r(4＋36－2×2×6×\f(1,3))＝4eq\r(2)．由正弦定理可得eq\f(4,sin∠BAD)＝eq\f(2,sin∠ADB)，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB．又∵eq\f(2,sin∠CAD)＝eq\f(4\r(2),sin∠ADC)，∴sin∠CAD＝eq\f(\r(2),4)sin∠ADC．∵sin∠ADB＝sin∠ADC，∴eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)＝4eq\r(2)．【對點訓練】1．(2013·全國Ⅰ)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°．(1)若PB＝eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．1．解析(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2＝AB2＋PB2－2AB·PBcos∠PBA＝3＋eq\f(1,4)－2×eq\r(3)×eq\f(1,2)cos30°＝eq\f(7,4)．故PA＝eq\f(\r(7),2)．(2)設∠PBA＝α，由已知得eq\f(PB,BC)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，即PB＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得eq\f(\r(3),sin150°)＝eq\f(sinα,sin(30°－α))，化簡得eq\r(3)cosα＝4sinα．所以tanα＝eq\f(\r(3),4)，即tan∠PBA＝eq\f(\r(3),4)．2．如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD＝6，BD＝3，DC＝2．(1)如圖1，若AD⊥BC，求∠BAC的大??；(2)如圖2，若∠ABC＝eq\f(π,4)，求△ADC的面積．2．解析(1)設∠BAD＝α，∠DAC＝β．因為AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，所以tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1．又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝eq\f(π,4)．(2)設∠BAD＝α．在△ABD中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AD＝6，BD＝3．由正弦定理得eq\f(AD,sin\f(π,4))＝eq\f(BD,sinα)，解得sinα＝eq\f(\r(2),4)．因為AD>BD，所以α為銳角，從而cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(14),4)．因此sin∠ADC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)＋\f(\r(14),4)))＝eq\f(1＋\r(7),4)．所以△ADC的面積S＝eq\f(1,2)×AD×DC·sin∠ADC＝eq\f(1,2)×6×2×eq\f(1＋\r(7),4)＝eq\f(3,2)(1＋eq\r(7))．3．如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2．(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE．3．解析(1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，∴∠CBE＝15°，∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)．(2)在△ABE中，AB＝2，由正弦定理可得eq\f(AE,sin45°－15°)＝eq\f(2,sin90°＋15°)，得AE＝eq\f(2sin30°,cos15°)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq\r(6)－eq\r(2)．4．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝DA＝2，∠ACB＝30°．(1)求證：BC＝4cos∠CBD；(2)點C移動時，判斷CD是否為定長，并說明理由．4．解析(1)在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝30°，由正弦定理可知，eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(2,sin30°)，所以BC＝4sin∠BAC．又∠ABD＝60°，∠ACB＝30°，則∠BAC＋∠CBD＝90°，則sin∠BAC＝cos∠CBD，所以BC＝4cos∠CBD．(2)CD為定長，因為在△BCD中，由(1)及余弦定理可知，CD2＝BC2＋BD2－2×BC×BD×cos∠CBD＝BC2＋4－4BCcos∠CBD＝BC2＋4－BC2＝4，所以CD＝2．5．如圖，在平面四邊形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝eq\r(7)，EA＝2，∠ADC＝eq\f(2π,3)，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差數(shù)列．(1)求sin∠CED；(2)求BE的長．5．解析設∠CED＝α．因為∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差數(shù)列，所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝eq\f(π,3)．(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理得eq\f(EC,sin∠EDC)＝eq\f(CD,sinα)，于是sinα＝eq\f(CD·sin\f(2π,3),EC)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(21),7)，即sin∠CED＝eq\f(\r(21),7)．(2)由題設知0<α<eq\f(π,3)，由(1)知cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(21,49))＝eq\f(2\r(7),7)，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝eq\f(2π,3)－α，所以cos∠AEB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝coseq\f(2π,3)cosα＋sineq\f(2π,3)sinα＝－eq\f(1,2)×eq\f(2\r(7),7)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(21),7)＝eq\f(\r(7),14)．在Rt△EAB中，cos∠AEB＝eq\f(EA,BE)＝eq\f(2,BE)＝eq\f(\r(7),14)，所以BE＝4eq\r(7)．6．如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝eq\f(\r(3),3)．(1)求△ACD的面積；(2)若BC＝2eq\r(3)，求AB的長．6．解析(1)因為∠D＝2∠B，cosB＝eq\f(\r(3),3)，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－eq\f(1,3)，因為∠D∈(0，π)，所以sinD＝eq\r(1－cos2D)＝eq\f(2\r(2),3)．因為AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面積S＝eq\f(1,2)AD·CD·sinD＝eq\f(1,2)×1×3×eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2)．(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2eq\r(3)，因為BC＝2eq\r(3)，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以eq\f(2\r(3),sinB)＝eq\f(AB,sinπ－2B)＝eq\f(AB,sin2B)＝eq\f(AB,2sinBcosB)＝eq\f(AB,\f(2\r(3),3)sinB)，所以AB＝4．7．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝eq\r(5)，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面積為2．(1)求AD的長；(2)求△CBD的面積．7．解析(1)由已知S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BD·sin∠ABD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)×sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝eq\f(2\r(5),5)，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cos∠