第09講概率與統(tǒng)計(jì)(原卷版+解析)

第09講概率與統(tǒng)計(jì)一、單選題1．（2021·全國(guó)高三月考（文））哥德巴赫猜想作為數(shù)論領(lǐng)域存在時(shí)間最久的未解難題之一，自年提出至今，已經(jīng)困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)三個(gè)世紀(jì)之久哥德巴赫猜想是“任一大于的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”，如．根據(jù)哥德巴赫猜想，拆分的所有質(zhì)數(shù)記為集合，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其差大于的概率為（）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)）算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字（如圖2中算盤表示整數(shù)）．如果撥動(dòng)圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，該書介紹了我國(guó)古代14種算法，其中積算（即籌算）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了知算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算13種均需要計(jì)算器械.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理這13種計(jì)算器械的相關(guān)資料，其中一人搜集5種，另兩人每人搜集4種，則不同的分配方法種數(shù)為（）A． B． C． D．4．（2019·石首市第一中學(xué)高三月考（理））中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)，蘊(yùn)涵了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計(jì)圖，其中的4個(gè)小圓均過(guò)正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為（）A． B． C． D．5．（2021·廣東）圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍世本記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年歷史圍棋不僅能抒發(fā)意境?陶冶情操?修身養(yǎng)性?生慧增智，而且還與天象易理?兵法策略?治國(guó)安邦等相關(guān)聯(lián)，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵在某次國(guó)際圍棋比賽中，甲?乙兩人進(jìn)入最后決賽比賽采取五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，沒有和局，且各局比賽的勝負(fù)互不影響，則甲在比賽中以獲得冠軍的概率為（）A． B． C． D．6．（2021·永州市第四中學(xué)高三月考）考古時(shí)在埃及金字塔內(nèi)發(fā)現(xiàn)“142857”這組神秘的數(shù)字，其神秘性表現(xiàn)在具有這樣的特征：，，…，．且．這類數(shù)因其“循環(huán)”的特征，常稱為走馬燈數(shù)．若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)x，則是剩下的3個(gè)數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)三位數(shù)的概率為（）A． B． C． D．7．（2021·吉林長(zhǎng)春十一高高二期中（理））某校高一年級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組利用激光多普勒測(cè)速儀實(shí)地測(cè)量復(fù)興號(hào)高鐵在某時(shí)刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測(cè)物體表面匯聚，探測(cè)器接收反射光，當(dāng)被測(cè)物體橫向速度為零時(shí)，反射光與探測(cè)光頻率相同，當(dāng)橫向速度不為零時(shí)，反射光相對(duì)探測(cè)光會(huì)發(fā)生頻移，其中為測(cè)速儀測(cè)得被測(cè)物體的橫向速度，為激光波長(zhǎng)，為兩束探測(cè)光線夾角的一半，如圖，若激光測(cè)速儀安裝在距離高鐵處，可近似計(jì)算，發(fā)出的激光波長(zhǎng)為（），某次檢驗(yàn)中可測(cè)頻移范圍為（）至（），該高鐵以運(yùn)行速度（至）經(jīng)過(guò)時(shí)，可測(cè)量的概率為（）A． B． C． D．8．（2021·全國(guó)高二專題練習(xí)）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)為整數(shù)，若a和b被m除得余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余.記為.若，，則b的值可以是A．2019 B．2020 C．2021 D．2022二、多選題9．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）（多選）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成，得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，如果（），那么下面關(guān)于菜布尼茨三角形的結(jié)論正確的是（）第0行第1行第2行第3行…………第行……A．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值B．C．（，）D．（，）10．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）千百年來(lái)，我國(guó)勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語(yǔ)，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”、“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，隨機(jī)觀察了他所在地區(qū)的100天日落情況和后半夜天氣，得到如下列聯(lián)表，日落云里走后半夜天氣總計(jì)下雨未下雨出現(xiàn)25530未出現(xiàn)254570總計(jì)5050100并計(jì)算得到，下列小波對(duì)該地區(qū)天氣的判斷正確的是（）A．后半夜下雨的概率約為B．未出現(xiàn)“日落云里走”時(shí)，后半夜下雨的概率約為C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，可以認(rèn)為““日落云里走’是否出現(xiàn)”與“后半夜是否下雨”有關(guān)D．根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若出現(xiàn)“日落云里走”，則后半夜有99.9%的可能會(huì)下雨11．（2021·江蘇蘇州·高二月考）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有（）第一行11第二行121第三行1331第四行14641第五行15101051第六行1615201561A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想：C．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：D．由“”猜想：12．（2021·山東煙臺(tái)·高一期末）算盤是我國(guó)古代一項(xiàng)偉大的發(fā)明，是一類重要的計(jì)算工具.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個(gè)位?十位?百位?千位……，上面一粒珠子(簡(jiǎn)稱上珠)代表5，下面一粒珠子(簡(jiǎn)稱下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個(gè)位撥動(dòng)一粒上珠?十位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個(gè)位?十位?百位?千位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子至梁上，設(shè)事件“表示的四位數(shù)能被3整除”，“表示的四位數(shù)能被5整除”，則（）A． B． C． D．三、填空題13．（2021·山東菏澤·高二期末）費(fèi)馬大定理又稱為“費(fèi)馬最后定理”，由17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出，他斷言當(dāng)時(shí)，關(guān)于，，的方程沒有正整數(shù)解．他提出后，歷經(jīng)多人猜想辯證，最終在1994年被英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯徹底證明．某同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題很感興趣，決定從1，2，3，4，5，6這6個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)選一個(gè)數(shù)字作為方程中的指數(shù)，方程存在正整數(shù)解的概率為______．14．（2021·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高三）算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長(zhǎng)方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位檔撥上一顆上珠和兩顆下珠，個(gè)位檔撥上四顆下珠，則表示數(shù)字74，若在個(gè)?十?百?千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)不同檔位各撥一顆上珠，則所表示的數(shù)字大于300的概率為___________15．（2021·廣東紅嶺中學(xué)）重慶奉節(jié)縣柑橘栽培始于漢代，歷史悠久．奉節(jié)臍橙果皮中厚、脆而易剝，酸甜適度，汁多爽口，余味清香，榮獲農(nóng)業(yè)部?jī)?yōu)質(zhì)水果、中國(guó)國(guó)際農(nóng)業(yè)博覽會(huì)金獎(jiǎng)等榮譽(yù)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，奉節(jié)臍橙的果實(shí)橫徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，現(xiàn)任取10個(gè)奉節(jié)臍橙，設(shè)其果實(shí)橫徑在的個(gè)數(shù)為，則______．附：若，則；．16．（2021·江蘇）艾薩克·牛頓(1642—1727)被稱為有史以來(lái)最有影響力的思想家之一，在數(shù)學(xué)方面，牛頓“明顯地推進(jìn)了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支”.牛頓在給萊布尼茨的信中描述了他的一個(gè)發(fā)現(xiàn)——廣義二項(xiàng)式展開，即，其中廣義二項(xiàng)式系數(shù)，，，.根據(jù)以上信息，若對(duì)任意都有，則___________.四、解答題17．（2021·貴州高三月考（理））數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每-列?每一個(gè)粗線宮（3×3）內(nèi)的數(shù)字均含1~9，且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽.（1）賽前小明在某數(shù)獨(dú)上進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度（秒/題）與訓(xùn)練天數(shù)（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：（天）1234567（秒/題）910800600440300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程（，用分?jǐn)?shù)表示）.（2）小明和小紅在數(shù)獨(dú)上玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽局后結(jié)束，求隨機(jī)變量的分布列及期望.參考數(shù)據(jù)（其中）：17500.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為18．（2021·靜寧縣第一中學(xué)（理））南鑼鼓巷這條胡同位于北京中軸線東側(cè)的交道口地區(qū)，至今已有700多年的歷史．該胡同是北京最古老的街區(qū)之一，因其地勢(shì)中間高、南北低，如一駝背人，故名羅鍋巷．到了清朝，乾隆十五年（1750年）繪制的《京城全圖》中將該胡同改稱為南鑼鼓巷．為了給游客更好的體驗(yàn)，南鑼鼓巷商會(huì)會(huì)長(zhǎng)、副會(huì)長(zhǎng)和負(fù)責(zé)人經(jīng)常帶人到胡同清掃衛(wèi)生，其中南鑼鼓巷商會(huì)會(huì)長(zhǎng)每天帶人到胡同清掃衛(wèi)生的概率為，副會(huì)長(zhǎng)每天帶人到胡同清掃衛(wèi)生的概率為，負(fù)責(zé)人每天帶人到胡同清掃衛(wèi)生的概率為．（1）求南鑼鼓巷負(fù)責(zé)人連續(xù)五天帶人到胡同清掃衛(wèi)生的概率；（2）設(shè)商會(huì)會(huì)長(zhǎng)、副會(huì)長(zhǎng)、負(fù)責(zé)人三人中某天到胡同清掃衛(wèi)生的人數(shù)為，求的分布列；（3）居住在南鑼鼓巷的小張對(duì)南鑼鼓巷商會(huì)會(huì)長(zhǎng)、副會(huì)長(zhǎng)、負(fù)責(zé)人非常滿意，他對(duì)別人說(shuō)：“南鑼鼓巷平均每天至少有1人（會(huì)長(zhǎng)、副會(huì)長(zhǎng)、負(fù)責(zé)人之一）帶人清掃衛(wèi)生．”請(qǐng)問(wèn)，小張說(shuō)的是真的嗎？19．（2020·山西運(yùn)城·高三月考（理））年月日是我國(guó)建國(guó)周年紀(jì)念日，黨中央、中央軍委決定在首都舉行慶祝建國(guó)周年的閱兵儀式，向國(guó)際社會(huì)展示我國(guó)近幾十年取得的偉大成就，這是一件讓全國(guó)人民高興的大事，因此每天有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機(jī)構(gòu)將每天關(guān)注新聞時(shí)間在小時(shí)以上的人稱為“新聞迷”，否則稱為“非新聞迷”，通過(guò)調(diào)查并從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行抽樣分析，得到下表（單位：人）：非新聞迷新聞迷合計(jì)歲及以下歲及以上合計(jì)（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“非新聞迷”還是“新聞迷”與年齡有關(guān)？（2）①現(xiàn)從抽取的歲及以下的人中，按“非新聞迷”與“新聞迷”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取人，然后，再?gòu)倪@人中隨機(jī)選出人，求其中至少有人是“新聞迷”的概率；②將頻率視為概率，從所有參與調(diào)查的人中隨機(jī)抽取人參加周年國(guó)慶座談會(huì)，記其中“新聞迷”的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：20．（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三）十三屆全國(guó)人大四次會(huì)議3月11日表決通過(guò)了關(guān)于國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，決定批準(zhǔn)這個(gè)規(guī)劃綱要.綱要指出：“加強(qiáng)原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已成功實(shí)現(xiàn)離子注入機(jī)全譜系產(chǎn)品國(guó)產(chǎn)化，包括中束流?大束流?高能?特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)體等離子注入機(jī)，工藝段覆蓋至28，為我國(guó)芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補(bǔ)上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機(jī)一站式解決方案.此次技術(shù)的突破可以說(shuō)為國(guó)產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻(xiàn).該企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).（1）在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率（百分號(hào)前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次芯片的次品率為，設(shè)個(gè)芯片中恰有個(gè)不合格品的概率為，記的最大值點(diǎn)為，改進(jìn)生產(chǎn)工藝后批次的芯片的次品率.某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對(duì)使用這款手機(jī)的用戶回訪，對(duì)開機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，回訪的名用戶中，安裝批次有部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有人；安裝批次有部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有人.求，并判斷是否有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān)？附：.21．（2021·山東高二期中）年遼寧、廣東、河北、湖北、湖南、江蘇、福建、重慶等八省市將全部采用“”的新高考模式．“”指的是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，這三門科目考試參加統(tǒng)一高考，由教育部考試中心統(tǒng)一命題，以原始成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)；“”指的是物理和歷史中的一科，考生必須從物理和歷史兩個(gè)科目中選擇一科，由各省自主命題，以原始成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)．為了讓考生更好的適應(yīng)新高考模式，某省幾個(gè)地市進(jìn)行了統(tǒng)一的高考適應(yīng)性考試．在所有入考考生中有人選考物理，考后物理成績(jī)(滿分分)服從正態(tài)分布．（1）分別估計(jì)成績(jī)?cè)诤头忠陨险叩娜藬?shù)；（運(yùn)算過(guò)程中精確到，最后結(jié)果保留為整數(shù)）附1：，，．（2）本次考試物理成績(jī)服從正態(tài)分布．令，則，若本次考試物理成績(jī)的前劃定為優(yōu)秀等級(jí)，試估計(jì)物理優(yōu)秀等級(jí)劃線分大約為多少分？附2：若，則．22．（2021·廣東中山·高二期末）高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過(guò)程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過(guò)7次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2…，6的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號(hào)球槽，則在前6次碰撞中有2次向右4次向左滾到第7層的第3個(gè)空隙處，再以的概率向右滾下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滾到第7層的第4個(gè)空隙處，再以的概率向左滾下.（1）若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入第7層第6個(gè)空隙處的概率；（2）小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來(lái)到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元，其中.①求的分布列：②高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能盈利嗎？第09講概率與統(tǒng)計(jì)一、單選題1．（2021·全國(guó)高三月考（文））哥德巴赫猜想作為數(shù)論領(lǐng)域存在時(shí)間最久的未解難題之一，自年提出至今，已經(jīng)困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)三個(gè)世紀(jì)之久哥德巴赫猜想是“任一大于的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”，如．根據(jù)哥德巴赫猜想，拆分的所有質(zhì)數(shù)記為集合，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其差大于的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由題意求出集合，然后結(jié)合題意利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】由題可知，所以，所以從中任取兩個(gè)不同的數(shù)的基本事件共有種，滿足差大于的基本事件為，，，，共4種，所以，故選：B．2．（2021·全國(guó)）算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字（如圖2中算盤表示整數(shù)）．如果撥動(dòng)圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分四種情況討論：①個(gè)位撥動(dòng)三枚；②十位撥動(dòng)一枚，個(gè)位撥動(dòng)兩枚；③十位撥動(dòng)兩枚，個(gè)位撥動(dòng)一枚；④十位撥動(dòng)三枚.分別列舉出每種情況下對(duì)應(yīng)的數(shù)字，利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意，撥動(dòng)三枚算珠，有種撥法：①個(gè)位撥動(dòng)三枚，有種結(jié)果：、；②十位撥動(dòng)一枚，個(gè)位撥動(dòng)兩枚，有種結(jié)果：、、、；③十位撥動(dòng)兩枚，個(gè)位撥動(dòng)一枚，有種結(jié)果：、、、；④十位撥動(dòng)三枚，有種結(jié)果：、．綜上，撥動(dòng)題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為．故選：C.3．（2021·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，該書介紹了我國(guó)古代14種算法，其中積算（即籌算）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了知算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算13種均需要計(jì)算器械.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理這13種計(jì)算器械的相關(guān)資料，其中一人搜集5種，另兩人每人搜集4種，則不同的分配方法種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】按先分組后分配的方法計(jì)算出不同的分配方法種數(shù).【詳解】依題意，先將13種計(jì)算器械分為3組，方法種數(shù)為，再分配給3個(gè)人，方法種數(shù)為.故選：A.4．（2019·石首市第一中學(xué)高三月考（理））中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)，蘊(yùn)涵了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計(jì)圖，其中的4個(gè)小圓均過(guò)正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，根據(jù)圖形求出小圓的半徑，可得黑色部分剛好組成一個(gè)小圓，根據(jù)面積之比即可求出.【詳解】如圖所示，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，設(shè)小圓的半徑為，由題可得，，，，解得，由圖可知黑色部分剛好組成一個(gè)小圓，所以黑色部分的面積為，正方形的面積為4，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為.故選：A.5．（2021·廣東）圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍世本記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年歷史圍棋不僅能抒發(fā)意境?陶冶情操?修身養(yǎng)性?生慧增智，而且還與天象易理?兵法策略?治國(guó)安邦等相關(guān)聯(lián)，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵在某次國(guó)際圍棋比賽中，甲?乙兩人進(jìn)入最后決賽比賽采取五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，沒有和局，且各局比賽的勝負(fù)互不影響，則甲在比賽中以獲得冠軍的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】甲在比賽中以3:1獲得冠軍，即前三局中甲勝兩局，且第四局甲勝，進(jìn)而由獨(dú)立事件的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】甲在比賽中以3:1獲得冠軍，即前三局中甲勝兩局，且第四局甲勝.所以，甲在比賽中以3:1獲得冠軍的概率.故選：B.6．（2021·永州市第四中學(xué)高三月考）考古時(shí)在埃及金字塔內(nèi)發(fā)現(xiàn)“142857”這組神秘的數(shù)字，其神秘性表現(xiàn)在具有這樣的特征：，，…，．且．這類數(shù)因其“循環(huán)”的特征，常稱為走馬燈數(shù)．若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)x，則是剩下的3個(gè)數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)三位數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)x的總個(gè)數(shù)，再求出滿足“是剩下的3個(gè)數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)三位數(shù)”的x的個(gè)數(shù)，進(jìn)而用古典型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)x，共有個(gè)這樣的數(shù)．注意到1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中，，將它們分成三組：．易知滿足“是剩下的3個(gè)數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)三位數(shù)”的x為每組中取1個(gè)數(shù)的不同排列，其個(gè)數(shù)為．故所求概率為．故選：C.7．（2021·吉林長(zhǎng)春十一高高二期中（理））某校高一年級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組利用激光多普勒測(cè)速儀實(shí)地測(cè)量復(fù)興號(hào)高鐵在某時(shí)刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測(cè)物體表面匯聚，探測(cè)器接收反射光，當(dāng)被測(cè)物體橫向速度為零時(shí)，反射光與探測(cè)光頻率相同，當(dāng)橫向速度不為零時(shí)，反射光相對(duì)探測(cè)光會(huì)發(fā)生頻移，其中為測(cè)速儀測(cè)得被測(cè)物體的橫向速度，為激光波長(zhǎng)，為兩束探測(cè)光線夾角的一半，如圖，若激光測(cè)速儀安裝在距離高鐵處，可近似計(jì)算，發(fā)出的激光波長(zhǎng)為（），某次檢驗(yàn)中可測(cè)頻移范圍為（）至（），該高鐵以運(yùn)行速度（至）經(jīng)過(guò)時(shí)，可測(cè)量的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)公式算出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得頻移范圍為至，而可測(cè)頻移范圍為（）至（），結(jié)合幾何概型公式計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，該高鐵以運(yùn)行速度（至）經(jīng)過(guò)時(shí)頻移范圍為至，其區(qū)間長(zhǎng)度為，因?yàn)槟炒螜z驗(yàn)中可測(cè)頻移范圍為（）至（）其區(qū)間長(zhǎng)度為，所以可測(cè)量的概率為.故選：A.8．（2021·全國(guó)高二專題練習(xí)）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)為整數(shù)，若a和b被m除得余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余.記為.若，，則b的值可以是A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】A【分析】先利用二項(xiàng)式定理將表示為，再利用二項(xiàng)式定理展開，得出除以的余數(shù)，結(jié)合題中同余類的定義可選出合適的答案．【詳解】，則，所以，除以的余數(shù)為，以上四個(gè)選項(xiàng)中，除以的余數(shù)為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查數(shù)的整除問(wèn)題，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是將指數(shù)冪的底數(shù)表示為與除數(shù)的倍數(shù)相關(guān)的底數(shù)，結(jié)合二項(xiàng)定理展開式可求出整除后的余數(shù)，考查計(jì)算能力與分析問(wèn)題的能力，屬于中等題．二、多選題9．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）（多選）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成，得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，如果（），那么下面關(guān)于菜布尼茨三角形的結(jié)論正確的是（）第0行第1行第2行第3行…………第行……A．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值B．C．（，）D．（，）【答案】BC【分析】對(duì)于A，由題圖知當(dāng)時(shí)，中間的一項(xiàng)為，但，當(dāng)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，均為，但，由此可判斷；對(duì)于B，由組合數(shù)的運(yùn)算公式代入計(jì)算可判斷；對(duì)于C，由（，），根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可判斷；對(duì)于D，因?yàn)槿R布尼茨三角形的性質(zhì)得，由此可判斷．【詳解】對(duì)于A，由題圖知當(dāng)時(shí)，中間的一項(xiàng)為，但，當(dāng)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，均為，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，（，），根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，得該等式顯然成立，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槿R布尼茨三角形從第0行開始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，即（，），故D錯(cuò)誤．故選：BC．10．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）千百年來(lái)，我國(guó)勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語(yǔ)，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”、“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，隨機(jī)觀察了他所在地區(qū)的100天日落情況和后半夜天氣，得到如下列聯(lián)表，日落云里走后半夜天氣總計(jì)下雨未下雨出現(xiàn)25530未出現(xiàn)254570總計(jì)5050100并計(jì)算得到，下列小波對(duì)該地區(qū)天氣的判斷正確的是（）A．后半夜下雨的概率約為B．未出現(xiàn)“日落云里走”時(shí)，后半夜下雨的概率約為C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，可以認(rèn)為““日落云里走’是否出現(xiàn)”與“后半夜是否下雨”有關(guān)D．根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若出現(xiàn)“日落云里走”，則后半夜有99.9%的可能會(huì)下雨【答案】AC【分析】視頻率為概率，利用數(shù)表計(jì)算后半夜下雨及未出現(xiàn)“日落云里走”時(shí)，后半夜下雨的頻率即可判斷A，B，由給定的觀測(cè)值與臨界值比對(duì)即可判斷C，D作答.【詳解】由題意，把頻率看作概率，可得后半夜下雨的概率約為，A判斷正確；未出現(xiàn)“日落云里走”時(shí)，后半夜下雨的概率約為，B判斷情誤；由，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與“當(dāng)晚后半夜是否下雨”有關(guān)，C判斷正確；“日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚后半夜是否下雨”有關(guān)，有關(guān)只是說(shuō)可能性，不代表一定要下雨，D判斷錯(cuò)誤．故選：AC11．（2021·江蘇蘇州·高二月考）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有（）第一行11第二行121第三行1331第四行14641第五行15101051第六行1615201561A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想：C．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：D．由“”猜想：【答案】ABC【分析】結(jié)合楊輝三角、合情推理以及二項(xiàng)式有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：，A正確.由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想：，B正確.由“第行所有數(shù)之和為”猜想：，C正確.，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC12．（2021·山東煙臺(tái)·高一期末）算盤是我國(guó)古代一項(xiàng)偉大的發(fā)明，是一類重要的計(jì)算工具.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個(gè)位?十位?百位?千位……，上面一粒珠子(簡(jiǎn)稱上珠)代表5，下面一粒珠子(簡(jiǎn)稱下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個(gè)位撥動(dòng)一粒上珠?十位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個(gè)位?十位?百位?千位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子至梁上，設(shè)事件“表示的四位數(shù)能被3整除”，“表示的四位數(shù)能被5整除”，則（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】只撥動(dòng)一粒珠子至梁上，因此數(shù)字只表示1或5，由此可得四位數(shù)的個(gè)數(shù)，能被3整除，只能是2個(gè)1和2個(gè)5，求出四位數(shù)的個(gè)數(shù)后可得概率，而被5整除，只要個(gè)位數(shù)字是5即可．由此計(jì)數(shù)后可計(jì)算出概率，判斷各選項(xiàng)．【詳解】只撥動(dòng)一粒珠子至梁上，因此數(shù)字只表示1或5，四位數(shù)的個(gè)數(shù)是，能被3整除的數(shù)字1和5各出現(xiàn)2個(gè)，因此滿足條件的四位數(shù)和個(gè)數(shù)是，所以，能被5帶除的四位數(shù)個(gè)數(shù)為，，能被15帶除的是能被3整除的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是5，因此滿足這個(gè)條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是，概率為，．故選：ACD．三、填空題13．（2021·山東菏澤·高二期末）費(fèi)馬大定理又稱為“費(fèi)馬最后定理”，由17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出，他斷言當(dāng)時(shí)，關(guān)于，，的方程沒有正整數(shù)解．他提出后，歷經(jīng)多人猜想辯證，最終在1994年被英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯徹底證明．某同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題很感興趣，決定從1，2，3，4，5，6這6個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)選一個(gè)數(shù)字作為方程中的指數(shù)，方程存在正整數(shù)解的概率為______．【答案】【分析】根據(jù)費(fèi)馬大定理計(jì)算．【詳解】從1，2，3，4，5，6這6個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)選一個(gè)數(shù)字共有6種選法，其中只有或2使得方程有整數(shù)解，故概率為．故答案為：．14．（2021·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高三）算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長(zhǎng)方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位檔撥上一顆上珠和兩顆下珠，個(gè)位檔撥上四顆下珠，則表示數(shù)字74，若在個(gè)?十?百?千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)不同檔位各撥一顆上珠，則所表示的數(shù)字大于300的概率為___________【答案】【分析】先分析所有表示的數(shù)的種數(shù)，然后考慮所表示的數(shù)不大于的種數(shù)：①下珠在個(gè)、十位檔上、②下珠在百位檔上，根據(jù)種數(shù)相除即可求解出數(shù)字不大于的概率，則所表示的數(shù)字大于的概率可求.【詳解】由題意，在個(gè)?十?百?千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)不同檔位各撥一顆上珠，共有種，①當(dāng)在個(gè)?十位檔中隨機(jī)選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機(jī)從個(gè)?十位兩個(gè)不同檔位各撥一顆上珠時(shí)，得到的數(shù)字不大于300，有種；②當(dāng)在百位檔中隨機(jī)選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機(jī)從個(gè)?十位兩個(gè)不同檔位各撥一顆上珠時(shí)，得到的數(shù)字不大于300，有種；所以所撥數(shù)字大于300的概率為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于理解每個(gè)位檔上一個(gè)算珠所表示的數(shù)字大小以及“正難則反”思想的運(yùn)用，利用排列組合的思想先分析數(shù)字小于的種數(shù)，最后結(jié)合古典概型的概率計(jì)算方法完成求解.15．（2021·廣東紅嶺中學(xué)）重慶奉節(jié)縣柑橘栽培始于漢代，歷史悠久．奉節(jié)臍橙果皮中厚、脆而易剝，酸甜適度，汁多爽口，余味清香，榮獲農(nóng)業(yè)部?jī)?yōu)質(zhì)水果、中國(guó)國(guó)際農(nóng)業(yè)博覽會(huì)金獎(jiǎng)等榮譽(yù)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，奉節(jié)臍橙的果實(shí)橫徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，現(xiàn)任取10個(gè)奉節(jié)臍橙，設(shè)其果實(shí)橫徑在的個(gè)數(shù)為，則______．附：若，則；．【答案】【分析】首先利用正態(tài)分布得到，再利用二項(xiàng)分布求即可.【詳解】由題知：，，所以，，所以.因?yàn)榉亩?xiàng)分布，，所以.故答案為：16．（2021·江蘇）艾薩克·牛頓(1642—1727)被稱為有史以來(lái)最有影響力的思想家之一，在數(shù)學(xué)方面，牛頓“明顯地推進(jìn)了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支”.牛頓在給萊布尼茨的信中描述了他的一個(gè)發(fā)現(xiàn)——廣義二項(xiàng)式展開，即，其中廣義二項(xiàng)式系數(shù)，，，.根據(jù)以上信息，若對(duì)任意都有，則___________.【答案】【分析】方法一：利用廣義二項(xiàng)式展開可得展開，同時(shí)確定的展開，兩式相除后，整理可得結(jié)果，由結(jié)果中的系數(shù)可得；方法二：利用，對(duì)比兩側(cè)的系數(shù)，依次可判斷出對(duì)應(yīng)的值.【詳解】方法一：方法二：，顯然，比較兩邊的系數(shù)；比較兩邊的系數(shù)；比較兩邊的系數(shù).故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理中的新定義運(yùn)算的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠充分理解廣義二項(xiàng)式展開的定義，將其變?yōu)槭熘亩?xiàng)式運(yùn)算問(wèn)題.四、解答題17．（2021·貴州高三月考（理））數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每-列?每一個(gè)粗線宮（3×3）內(nèi)的數(shù)字均含1~9，且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽.（1）賽前小明在某數(shù)獨(dú)上進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度（秒/題）與訓(xùn)練天數(shù)（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：（天）1234567（秒/題）910800600440300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程（，用分?jǐn)?shù)表示）.（2）小明和小紅在數(shù)獨(dú)上玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽局后結(jié)束，求隨機(jī)變量的分布列及期望.參考數(shù)據(jù)（其中）：17500.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【分析】（1）由題意可得，由有表中數(shù)據(jù)計(jì)算，根據(jù)公式計(jì)算和的值即可求解.（2）隨機(jī)變量X的可能取值為3，4，5，求出相應(yīng)的概率即可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所以，所以，所以，所以所求回歸方程為；（2）隨機(jī)變量X的可能取值為3，4，5，，，.所以隨機(jī)變量X的分布列為.18．（2021·靜寧縣第一中學(xué)（理））南鑼鼓巷這條胡同位于北京中軸線東側(cè)的交道口地區(qū)，至今已有700多年的歷史．該胡同是北京最古老的街區(qū)之一，因其地勢(shì)中間高、南北低，如一駝背人，故名羅鍋巷．到了清朝，乾隆十五年（1750年）繪制的《京城全圖》中將該胡同改稱為南鑼鼓巷．為了給游客更好的體驗(yàn)，南鑼鼓巷商會(huì)會(huì)長(zhǎng)、副會(huì)長(zhǎng)和負(fù)責(zé)人經(jīng)常帶人到胡同清掃衛(wèi)生，其中南鑼鼓巷商會(huì)會(huì)長(zhǎng)每天帶人到胡同清掃衛(wèi)生的概率為，副會(huì)長(zhǎng)每天帶人到胡同清掃衛(wèi)生的概率為，負(fù)責(zé)人每天帶人到胡同清掃衛(wèi)生的概率為．（1）求南鑼鼓巷負(fù)責(zé)人連續(xù)五天帶人到胡同清掃衛(wèi)生的概率；（2）設(shè)商會(huì)會(huì)長(zhǎng)、副會(huì)長(zhǎng)、負(fù)責(zé)人三人中某天到胡同清掃衛(wèi)生的人數(shù)為，求的分布列；（3）居住在南鑼鼓巷的小張對(duì)南鑼鼓巷商會(huì)會(huì)長(zhǎng)、副會(huì)長(zhǎng)、負(fù)責(zé)人非常滿意，他對(duì)別人說(shuō)：“南鑼鼓巷平均每天至少有1人（會(huì)長(zhǎng)、副會(huì)長(zhǎng)、負(fù)責(zé)人之一）帶人清掃衛(wèi)生．”請(qǐng)問(wèn)，小張說(shuō)的是真的嗎？【答案】（1）；（2）分布列詳見解析；（3）小張說(shuō)的是真的.【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列.（3）計(jì)算出，由此作出判斷.【詳解】（1）負(fù)責(zé)人連續(xù)五天帶人到胡同清掃衛(wèi)生的概率為.（2）的所有可能取值為，，，，，所以的分布列為（3）由（2）得，所以小張說(shuō)的是真的.19．（2020·山西運(yùn)城·高三月考（理））年月日是我國(guó)建國(guó)周年紀(jì)念日，黨中央、中央軍委決定在首都舉行慶祝建國(guó)周年的閱兵儀式，向國(guó)際社會(huì)展示我國(guó)近幾十年取得的偉大成就，這是一件讓全國(guó)人民高興的大事，因此每天有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機(jī)構(gòu)將每天關(guān)注新聞時(shí)間在小時(shí)以上的人稱為“新聞迷”，否則稱為“非新聞迷”，通過(guò)調(diào)查并從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行抽樣分析，得到下表（單位：人）：非新聞迷新聞迷合計(jì)歲及以下歲及以上合計(jì)（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“非新聞迷”還是“新聞迷”與年齡有關(guān)？（2）①現(xiàn)從抽取的歲及以下的人中，按“非新聞迷”與“新聞迷”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取人，然后，再?gòu)倪@人中隨機(jī)選出人，求其中至少有人是“新聞迷”的概率；②將頻率視為概率，從所有參與調(diào)查的人中隨機(jī)抽取人參加周年國(guó)慶座談會(huì)，記其中“新聞迷”的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“非新聞迷”還是“新聞迷”與年齡有關(guān)；（2）①，②.【分析】（1）計(jì)算，從而由獨(dú)立性檢驗(yàn)得方法即可得到答案；（2）①先求出“非新聞迷”與“新聞迷”抽取的人數(shù)，然后利用幾何概型求解即可；②由已知可得人群中任意抽取人，恰好抽到“新聞迷”的概率為，“新聞迷”人數(shù)服從二項(xiàng)分布，再由二項(xiàng)分布的性質(zhì)求解即可【詳解】．，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“非新聞迷”還是“新聞迷”與年齡有關(guān)．（2）①依題意，抽取的名歲及以下的人中，是“非新聞迷”的有（人），是“新聞迷”的有（人）．則選出的人中至少有人是“新聞迷”的概率為．②由列聯(lián)表知是“新聞迷”的頻率為，將頻率視為概率，即從人群中任意抽取人，恰好抽到“新聞迷”的概率為．“新聞迷”人數(shù)由題意得“新聞迷”人數(shù)服從二項(xiàng)分布，且，，．20．（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三）十三屆全國(guó)人大四次會(huì)議3月11日表決通過(guò)了關(guān)于國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，決定批準(zhǔn)這個(gè)規(guī)劃綱要.綱要指出：“加強(qiáng)原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已成功實(shí)現(xiàn)離子注入機(jī)全譜系產(chǎn)品國(guó)產(chǎn)化，包括中束流?大束流?高能?特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)體等離子注入機(jī)，工藝段覆蓋至28，為我國(guó)芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補(bǔ)上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機(jī)一站式解決方案.此次技術(shù)的突破可以說(shuō)為國(guó)產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻(xiàn).該企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).（1）在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率（百分號(hào)前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次芯片的次品率為，設(shè)個(gè)芯片中恰有個(gè)不合格品的概率為，記的最大值點(diǎn)為，改進(jìn)生產(chǎn)工藝后批次的芯片的次品率.某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對(duì)使用這款手機(jī)的用戶回訪，對(duì)開機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，回訪的名用戶中，安裝批次有部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有人；安裝批次有部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有人.求，并判斷是否有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān)？附：.【答案】（1）①；②；（2），有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān).【分析】（1）①利用對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件概率乘法公式求得所求的次品率.②根據(jù)條件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.（2）先求得的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得，填寫列聯(lián)表，計(jì)算，由此作出判斷.【詳解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率為.②設(shè)批次Ⅰ的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)合格為事件，人工抽檢合格為事件，