湖北省名校聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

湖北省名校聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.2．已知F1、F2是雙曲線E：(a>0，b>0）的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點P、Q．若，M為PQ的中點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為（）A. B.C. D.4．在空間直角坐標系下，點關(guān)于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.5．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.6．已知橢圓方程為：，則其離心率為（）A. B.C. D.7．設橢圓：的右頂點為，右焦點為，為橢圓在第二象限內(nèi)的點，直線交橢圓于點，為原點，若直線平分線段，則橢圓的離心率為A. B.C. D.8．算盤是中國傳統(tǒng)計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎上發(fā)明的，“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位…，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大?。F(xiàn)在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下?lián)芤涣Ｉ现椋蠐?粒下珠，得到的數(shù)為質(zhì)數(shù)（除了1和本身沒有其它的約數(shù)）的概率是（）A. B.C. D.9．頂點在原點，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點的拋物線方程為（）A. B.C. D.10．已知線段AB的端點B在直線l：y=-x+5上，端點A在圓C1：上運動，線段AB的中點M的軌跡為曲線C2，若曲線C2與圓C1有兩個公共點，則點B的橫坐標的取值范圍是（）A.（-1，0） B.（1，4）C.（0，6） D.（-1，5）11．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.12．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（nào）．如圖所示的三棱錐為一鱉臑，且平面，平面，若，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的漸近線方程為______14．函數(shù)的導函數(shù)___________.15．直線與直線間的距離為___________.16．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某中學共有名學生，其中高一年級有名學生，為了解學生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學生，依據(jù)每名學生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學生人數(shù)及圖中的值；（2）估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學生人數(shù).18．（12分）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面ABCD，（1）求證：平面ACM；（2）求平面MBC與平面DBC的夾角的大小20．（12分）我們知道：當是圓O：上一點，則圓O的過點的切線方程為；當是圓O：外一點，過作圓O的兩條切線，切點分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點弦所在直線方程.請利用上述結(jié)論解決以下問題：已知圓C的圓心在x軸非負半軸上，半徑為3，且與直線相切，點在直線上，過點作圓C的兩條切線，切點分別為.（1）求圓C的方程；（2）當時，求線段AB的長；（3）當點在直線上運動時，求線段AB長度的最小值.21．（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AC的中點.（1）證明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)的兩個極值點之差的絕對值為.（1）求的值；（2）若過原點的直線與曲線在點處相切，求點的坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設，；∴時，是增函數(shù)；時，是減函數(shù)；故時，，∴；故選：B.2、D【解析】由題干條件得到，設出，利用雙曲線定義表達出其他邊長，得到方程，求出，從而得到，，利用勾股定理求出的關(guān)系，求出離心率.【詳解】因為M為PQ的中點，且，所以△為等腰三角形，即，因為，設，則，由雙曲線定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D3、C【解析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點坐標為，則直線的方程為，設，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.4、C【解析】由空間中關(guān)于坐標軸對稱點坐標的特征可直接得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于軸對稱的點的坐標不變，坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，關(guān)于軸對稱的點為.故選：C.5、B【解析】設，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計算，比較可得答案.【詳解】解：設，因為平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.6、B【解析】根據(jù)橢圓的標準方程，確定，計算離心率即可.【詳解】由知，，，，即，故選：B7、B【解析】如上圖，設AC中點為M,連OM，則OM為的中位線，易得∽，且,即可得，選B.點睛：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，本題的關(guān)鍵是利用中位線定理和相似三角形定理8、B【解析】根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】依題有，算盤所表示的數(shù)可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是質(zhì)數(shù)的有：17，71，53，故所求事件的概率為故選：B9、C【解析】根據(jù)題意，設拋物線的方程為，進而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設拋物線的方程為，因為在拋物線上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C10、D【解析】設，AB的中點，由中點坐標公式求得，代入圓C1：得點點M的軌跡方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系建立不等式，代入，求解即可得點B的橫坐標的取值范圍.【詳解】解：設，AB的中點，則，所以，又因為端點A在圓C1：上運動，所以，即，因為曲線C2與圓C1有兩個公共點，所以，又因B在直線l：y=-x+5上，所以，所以，整理得，即，解得，所以點B的橫坐標的取值范圍是，故選：D.11、A【解析】利用空間向量線性運算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.12、A【解析】根據(jù)平面，平面求解.【詳解】因為平面，平面，所以，又，，，所以,所以，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將雙曲線方程化成標準方程，得到且，利用雙曲線漸近線方程，可得結(jié)果【詳解】把雙曲線化成標準方程為，且，雙曲線的漸近線方程為，即故答案為【點睛】本題主要考查利用雙曲線的方程求漸近線方程，意在考查對基礎知識的掌握情況，屬于基礎題．若雙曲線方程為，則漸近線方程為；若雙曲線方程為，則漸近線方程為.14、【解析】利用導函數(shù)的乘法公式和復合函數(shù)求導法則進行求解【詳解】故答案為：15、【解析】利用平行間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，直線、間的距離為.故答案為：.16、132【解析】根據(jù)程序框圖模擬程序運行，確定變量值的變化可得結(jié)論【詳解】程序運行時，變量值變化如下：，判斷循環(huán)條件，滿足，，；判斷循環(huán)條件，滿足，，；判斷循環(huán)條件，不滿足，輸出故答案為：132三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）樣本中高一年級學生的人數(shù)為，；（2）；（3）.【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學生的人數(shù)，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（3）利用頻率分布直方圖可計算出全校睡眠時間超過個小時的學生人數(shù).【小問1詳解】解：樣本中高一年級學生的人數(shù)為.，解得.【小問2詳解】解：設中位數(shù)為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為.【小問3詳解】解：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在的頻率為，故全校睡眠時間超過個小時的學生人數(shù)約為.18、（1），△的面積為；（2）.【解析】（1）應用余弦定理求的大小，由三角形面積公式求△的面積；（2）由（1）及正弦定理的邊角關(guān)系可得，即可求目標式的值.【小問1詳解】在△中，由余弦定理得：，又，則.所以△的面積為.【小問2詳解】由（1）得：，由正弦定理得：，則，所以.19、（1）證明見解析（2）30°【解析】（1）連接BD，借助三角形中位線可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法直接可求.【小問1詳解】連接BD，與AC交于點O，在中，因為O，M分別為BD，PD的中點，則，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.【小問2詳解】設E是AB的中點，連接PE，因為為正三角形，則，又因為平面底面ABCD，平面平面，則平面ABCD，過點E作EF平行于CB，與CD交于點F，以E為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，所以，，設平面CBM的法向量為，則，令，則，因為平面ABCD，則平面ABCD的一個法向量為，所以，所以平面MBC與平面DBC所成角大小為30°20、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根據(jù)圓圓心和半徑設圓的標準方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求出a；(2)根據(jù)題意寫出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長；(3)根據(jù)題意求出AB經(jīng)過的定點Q，當CQ垂直于AB時，AB最短.【小問1詳解】由題，設圓C的標準方程為，則，解得.故圓C方程為；【小問2詳解】根據(jù)題意可知，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離為，故弦長；【小問3詳解】設，則，又直線方程為：，故直線過定點Q，設圓心C到直線距離為，則，故當最大時，最短，而，故與垂直時最大，此時，，∴線段長度的最小值4.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1），連接，證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）說明平面，取的中點F，連接，以D為原點，分別以的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明：記，連接，由直棱柱的性質(zhì)可知四邊形是矩形，則E為的中點.因為D是的中點，所以，又平面平面，所以平面；【小問2詳解】因為底面是等邊三角形，D是的中點，所以，由直棱柱的性質(zhì)可知平面平面，平面平面，面，所以平面，取的中點F，連接，則兩兩垂直，故以D為原點，分別以的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，從而，設平面的法向量為，則，令x=2，得，同理平面的一個法向量為，則cosm由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角B1-AC-C1的余弦值為.22、（1）；