2025屆內(nèi)蒙古包頭鐵路第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

2025屆內(nèi)蒙古包頭鐵路第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則離心率（）A. B.C. D.2．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.3．設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為若以為直徑的圓與直線相切，則的面積為（）A. B.C. D.4．設(shè)是空間一定點(diǎn)，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是（）A.圓 B.直線C.平面 D.線段5．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.CD.6．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.7．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°8．已知隨機(jī)變量，且，，則為（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27189．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A. B.C. D.10．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A.3 B.1C.0 D.﹣111．若：，：，則為q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件12．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)（1）若時(shí)函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意的，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍14．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是______________15．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—325年），大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸：反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱軸的光線，經(jīng)C上點(diǎn)P反射后交C于點(diǎn)Q，則PQ的長(zhǎng)度為______.16．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的焦距為，點(diǎn)在C上（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線：上任意一點(diǎn)，設(shè)直線RM，RQ，RN的斜率分別為，，，若，，成等差數(shù)列，求的方程.18．（12分）已知點(diǎn)是拋物線C：上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.19．（12分）已知圓.（1）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求直線的方程；（2）若斜率為1的直線被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過圓的圓心，求直線的方程.20．（12分）已知拋物線與直線相切.（1）求該拋物線的方程；（2）在軸的正半軸上，是否存在某個(gè)確定的點(diǎn)M,過該點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，使得為定值.如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.21．（12分）為了解某城中村居民收入情況，小明利用周末時(shí)間對(duì)該地在崗居民月收入進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)直方圖估算：（1）在該地隨機(jī)調(diào)查一位在崗居民，該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率；（2）該地區(qū)在崗居民月收入的平均數(shù)和中位數(shù)；22．（10分）已知數(shù)列通項(xiàng)公式為：，其中．記為數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求，；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，得到，利用離心率公式即可求得答案.【詳解】∵，∴，故，故選：D2、D【解析】的準(zhǔn)線方程為.【詳解】的準(zhǔn)線方程為.故選：D.3、C【解析】據(jù)三角形中位線可得；再由雙曲線的定義求出，進(jìn)而求出的面積【詳解】雙曲線的方程為：，，設(shè)以為直徑的圓與直線相切與點(diǎn)，則，且，，∥.又為的中點(diǎn)，，又，，的面積為：.故選:C4、C【解析】根據(jù)法向量的定義可判斷出點(diǎn)所構(gòu)成的圖形.【詳解】是空間一定點(diǎn)，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件，所以，構(gòu)成的圖形是經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量的平面.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中動(dòng)點(diǎn)的軌跡，考查了法向量定義的理解，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可求出.【詳解】，.故選：B.6、D【解析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法即可計(jì)算作答.【詳解】因，則，所以，所以.故選：D7、B【解析】取AD中點(diǎn)為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補(bǔ)角，據(jù)此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點(diǎn)為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補(bǔ)角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補(bǔ)角，當(dāng)∠EGF＝60°時(shí)，∠FEG＝60°，當(dāng)∠EGF＝120°時(shí)，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B8、C【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求概率.【詳解】由題設(shè)可得，，故選：C.9、C【解析】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系10、C【解析】線性規(guī)劃問題，作出可行域后，根據(jù)幾何意義求解【詳解】作出可行域如圖所示，，數(shù)形結(jié)合知過時(shí)取最小值故選：C11、D【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，：，所以，所以為q的既不充分又不必要條件.故選：D.12、D【解析】如圖根據(jù)拋物線定義可知，進(jìn)而推斷出的值，在直角三角形中求得，進(jìn)而根據(jù)，利用比例線段的性質(zhì)可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）（2）【解析】（1）將函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，令，求導(dǎo)確定單調(diào)性求出極值即可求解；（2）求導(dǎo)確定單調(diào)性，結(jié)合以及得，由得，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，．函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，即有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根令，則，令得或，在和上均減函數(shù)，在上為增函數(shù)，極小值為，極大值為，的取值范圍是；【小問2詳解】，且，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，，又，，又，又在上恒成立，即，即當(dāng)時(shí)，恒成立在上單減，故最小值為，的取值范圍是14、【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，．則四邊形是平行四邊形，可得．設(shè)，由點(diǎn)M到直線l的距離不小于，即有，解得．再利用離心率計(jì)算公式即可得出范圍【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，．則四邊形是平行四邊形，故，所以，所以，設(shè)，則，故，從而，，，所以，即橢圓的離心率的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題15、####【解析】根據(jù)題意，求得點(diǎn)以及拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得所在直線方程，聯(lián)立其與拋物線方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱軸的光線交拋物線于點(diǎn)，故對(duì)，令，則可得，也即的坐標(biāo)為，又拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，，解得或，將代入，可得，即的坐標(biāo)為，則.故答案為：.16、【解析】利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：因?yàn)?，所?故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為，點(diǎn)在C上，由求解；（2）設(shè)，，，的斜率不存在時(shí)，則的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立求得M，N的坐標(biāo)，由，，成等差數(shù)列求解；的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，然后由，，成等差數(shù)列，結(jié)合韋達(dá)定理求解；【小問1詳解】解：由題意得，解得，，所以C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則的方程為，將代入，得.因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即，顯然當(dāng)時(shí)，方程恒成立.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，則，.，.因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即恒成立.則，解得.綜上所述，的方程為.18、（1）；（2）1或.【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義，即可求得p值；(2)由過拋物線焦點(diǎn)的直線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義，即可求出弦長(zhǎng)AB【詳解】（1）拋物線C：的準(zhǔn)線為，由得：，得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，，由，，∴，∵直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，∴解得：，所以k的值為1或.【點(diǎn)睛】考核拋物線的定義及過焦點(diǎn)弦的求法19、（1）（或（2）或【解析】(1)由條件可得，由此可求直線的斜率，由點(diǎn)斜式求直線的方程；(2)由條件可求到直線的距離，利用待定系數(shù)法求直線的方程.【小問1詳解】圓，得圓心，半徑，直線的斜率：，設(shè)直線的斜率為，有，解得.所求直線的方程為：.（或【小問2詳解】直線m被圓C截得的弦EF為直徑的圓經(jīng)過圓心C，∴圓心C到直線的距離為.設(shè)直線方?為，則解得或直線的方程為：或20、(1)；(2).【解析】（1）直線與拋物線相切，所以有，可解得，得拋物線方程.(2)聯(lián)立直線與拋物線有，把目標(biāo)式坐標(biāo)化可得與無關(guān)，可得.試題解析：(1)聯(lián)立方程有，，有，由于直線與拋物線相切，得，所以.(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，直線，有，，設(shè)，有，，，，當(dāng)時(shí)，為定值，所以.21、（1）（2）平均數(shù)為；中位數(shù)為.【解析】（1）直接根據(jù)概率和為1計(jì)算