2025屆北京海淀中關村中學數學高一上期末考試模擬試題含解析

2025屆北京海淀中關村中學數學高一上期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，則的值為A. B.C. D.2．已知則（）A. B.C. D.3．下列選項中，與最接近的數是A. B.C. D.4．若偶函數在區(qū)間上單調遞增，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.5．已知集合，，若，則a的取值范圍是A B.C. D.6．已知函數是奇函數，則A. B.C. D.7．設函數，對于滿足的一切值都有，則實數的取值范圍為A B.C. D.8．函數的零點所在區(qū)間是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，+∞）9．已知函數（且）圖像經過定點A，且點A在角的終邊上，則（）A. B.C.7 D.10．若，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設向量，，則__________12．函數且的圖象恒過定點__________.13．計算：__________14．若函數在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，則實數的取值范圍是_________15．已知一組數據的平均數，方差，則另外一組數據的平均數為___________，方差為___________.16．函數的定義域為_________________________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．冰雪裝備器材產業(yè)是冰雪產業(yè)的重要組成部分，加快發(fā)展冰雪裝備器材產業(yè)，對籌辦好北京2022年冬奧會、冬殘奧會，帶動我國3億人參與冰雪運動具有重要的支撐作用.某冰雪裝備器材生產企業(yè)，生產某種產品的年固定成本為300萬元，每生產千件，需另投入成本（萬元）.當年產量低于60千件時，；當年產量不低于60千件時，.每千件產品售價為60萬元，且生產的產品能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；（2）當年產量為多少千件時，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？18．如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M為BC的中點.（I）證明：AM⊥PM；(II)求二面角P－AM－D的大小.19．已知函數（1）若，求a的值；（2）判斷函數的奇偶性，并證明你的結論；（3）若對于恒成立，求實數m的范圍20．已知函數．（1），，求的單調遞減區(qū)間；（2）若，，的最大值是，求的值21．已知.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】利用同角三角函數的基本關系把原式的分母“1”變?yōu)閟in2α+cos2α，然后給分子分母求除以cos2α，把原式化為關于tanα的關系式，把tanα的值代入即可求出值【詳解】因為tanα＝3，所以故選C【點睛】本題是一道基礎題，考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系化簡求值的能力，做題的突破點是“1”的靈活變形2、D【解析】先利用同角三角函數基本關系式求出和，然后利用兩角和的余弦公式展開代入即可求出cos（α+β）【詳解】∵∴∴，∴，∴故選：D3、C【解析】，該值接近，選C.4、D【解析】由偶函數定義可確定函數在上的單調性，由單調性可解不等式．【詳解】由于函數是偶函數，在區(qū)間上單調遞增，且，所以，且函數在上單調遞減.由此畫出函數圖象，如圖所示，由圖可知，的解集是.故選：D.【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性，屬于基礎題．5、D【解析】化簡集合A，根據，得出且，從而求a的取值范圍，得到答案詳解】由題意，集合或，；若，則且，解得，所以實數的取值范圍為故選D【點睛】本題主要考查了對數函數的運算性質，以及集合的運算問題，其中解答中正確求解集合A，再根據集合的運算求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、A【解析】由函數的奇偶性求出，進而求得答案【詳解】因為是奇函數，所以，即，則，故.【點睛】本題考查函數的奇偶性，屬于基礎題7、D【解析】用分離參數法轉化為求函數的最大值得參數范圍【詳解】滿足的一切值，都有恒成立，，對滿足的一切值恒成立，，，時等號成立，所以實數的取值范圍為，故選：D.8、B【解析】計算出,并判斷符號,由零點存在性定理可得答案.【詳解】因為,,所以根據零點存在性定理可知函數的零點所在區(qū)間是,故選:B【點睛】本題考查了利用零點存在性定理判斷函數的零點所在區(qū)間,解題方法是計算區(qū)間端點的函數值并判斷符號,如果異號,說明區(qū)間內由零點,屬于基礎題.9、B【解析】令指數為零，即可求出函數過定點，再根據三角函數的定義求出，最后根據同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入計算可得；【詳解】解：令解得，所以，故函數（且）過定點，所以由三角函數定義得，所以，故選：B10、D【解析】根據給定條件，將指數式化成對數式，再借助換底公式及對數運算法則計算即得.【詳解】因為，于是得，，又因為，則有，即，因此，，而，解得，所以.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】，故，故填.12、【解析】令真數為，求出的值，再代入函數解析式，即可得出函數的圖象所過定點的坐標.【詳解】令，得，且.函數的圖象過定點.故答案為：.13、【解析】.故答案為.點睛：（1）任何非零實數的零次冪等于1；（2）當，則；（3）.14、【解析】反比例函數在區(qū)間上單調遞減，要使函數在區(qū)間上單調遞減，則，還要滿足在上單調遞增，故求出結果【詳解】函數根據反比例函數的性質可得：在區(qū)間上單調遞減要使函數在區(qū)間上單調遞減，則函數在上單調遞增則，解得故實數的取值范圍是【點睛】本題主要考查了函數單調性的性質，需要注意反比例函數在每個象限內是單調遞減的，而在定義域內不是單調遞減的15、①.32②.135【解析】由平均數與方差的性質即可求解.【詳解】由題意，數據的平均數為，方差為.故答案為：；16、(-1,2).【解析】分析：由對數式真數大于0，分母中根式內部的代數式大于0聯立不等式組求解x的取值集合得答案詳解：由，解得﹣1＜x＜2∴函數f（x）=+ln（x+1）的定義域為（﹣1，2）故答案為（﹣1，2）點睛：常見基本初等函數定義域的基本要求(1)分式函數中分母不等于零(2)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.(3)一次函數、二次函數的定義域均為R.(4)y＝x0定義域是{x|x≠0}(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域為(0，＋∞)三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當該企業(yè)年產量為50千件時，所獲得利潤最大，最大利潤是950萬元【解析】(1)根據題意，分段寫出年利潤的表達式即可；（2）根據年利潤的解析式，分段求出兩種情況下的最大利潤值，比較大小，可得答案.【小問1詳解】當時，；當時，.所以；【小問2詳解】當時，.當時，取得最大值，且最大值為950.當時，當且僅當時，等號成立.因為，所以當該企業(yè)年產量為50千件時，所獲得利潤最大，最大利潤是950萬元.18、（1）見解析；（2）45°.【解析】（Ⅰ）以D點為原點，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,求出與的坐標，利用數量積為零，即可證得結果；（Ⅱ）求出平面PAM與平面ABCD的法向量，代入公式即可得到結果.【詳解】（I）證明:以D點為原點，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,依題意，可得∴∴即,∴AM⊥PM.(II)設，且平面PAM，則,即∴,取，得；取，顯然平面ABCD，∴，結合圖形可知，二面角P－AM－D為45°.【點睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.19、（1）（2）奇函數，證明見解析（3）【解析】（1）代入，得到，利用對數的運算即可求解；（2）先判斷奇偶性，然后分析定義域并計算的數量關系，由此完成證明；（3）將已知轉化為，求出在的最小值，即可得解.【小問1詳解】，，即，解得，所以a的值為【小問2詳解】為奇函數，證明如下：由，解得：或，所以定義域為關于原點對稱，又，所以為奇函數；【小問3詳解】因為，又外部函數為增函數，內部函數在上為增函數，由復合函數的單調性知函數在上為增函數，所以，又對于恒成立，所以，所以，所以實數的范圍是20、（1），；（2）.【解析】（1）先利用三角恒等變換公式化簡函數，通過余弦函數的單調性求解即可．（2）利用函數的最大值為，由