2025屆安徽省六安市高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題含解析

2025屆安徽省六安市高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)列，，，，…，是其第（）項A.17 B.18C.19 D.202．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個數(shù)值，已知關于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.263．設集合，則AB=（）A.{2} B.{2，3}C.{3，4} D.{2，3，4}4．在等差數(shù)列中，，，則公差A.1 B.2C.3 D.45．設變量滿足約束條件，則的最大值為（）A.0 B.C.3 D.46．已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知直線m經(jīng)過，兩點，則直線m的斜率為（）A.-2 B.C. D.28．若則（）A.?2 B.?1C.1 D.29．若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.10．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內切球的表面積為A.B.C.D.11．直線l的方向向量為，且l過點，則點到l的距離為()A B.C. D.12．拋物線的焦點坐標為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次實驗得到如下7組數(shù)據(jù)，通過判斷知道與具有線性相關性，其線性回歸方程為，則______.（參考公式：）12345676.06.26.36.46.46.76.814．若無論實數(shù)取何值，直線與圓恒有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為___________.15．已知，，，，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________.16．已知，，且，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，，且.（1）求滿足上述條件的點M(x,y)的軌跡C的方程；（2）設曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點P，Q，點A(0,1)，當|AP|=|AQ|時，求實數(shù)m的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的離心率為，以坐標原點為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線有且只有一個公共點（1）求橢圓M的標準方程；（2）過橢圓M的右焦點F的直線交橢圓M于A，B兩點，過F且垂直于直線的直線交橢圓M于C，D兩點，則是否存在實數(shù)使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由19．（12分）已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且(其中為原點)，求的取值范圍20．（12分）【閱讀材料1】我們在研究兩個變量之間的相關關系時，往往先選取若干個樣本點（），（），……，（），將樣本點畫在平面直角坐標系內，就得到樣本的散點圖.觀察散點圖，如果所有樣本點都落在某一條直線附近，變量之間就具有線性相關關系，如果所有的樣本點都落在某一非線性函數(shù)圖象附近，變量之間就有非線性相關關系.在統(tǒng)計學中經(jīng)常選擇線性或非線性（函數(shù)）回歸模型來刻畫相關關系，并且可以用適當?shù)姆椒ㄇ蟪龌貧w模型的方程，還常用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，相關指數(shù)R2的計算公式為：當R2越大時，回歸方程的擬合效果越好；當R2越小時，回歸方程的擬合效果越差，R2是常用的選擇模型的指標之一，在實際應用中應該盡量選擇R2較大的回歸模型.【閱讀材料2】2021年6月17日9時22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征二號F遙十二運載火箭，成功將神舟十二號載人飛船送入預定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪胺3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標志著中國人首次進入自己的空間站.某公司負責生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進行應用改造，根據(jù)市場調研與模擬，得到應用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：序號123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當0<x≤13時，建立了與的兩個回歸模型：模型①:；模型②:；當x>13時，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為.根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問題：（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0<x≤13時模型①，②的相關指數(shù)R2的大小，并選擇擬合效果更好的模型.回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2（2）當應用改造的投入為20億元時，以回歸直線方程為預測依據(jù)，計算公司的收益約為多少.附：①若最小二乘法求得回歸直線方程為，則；②③，當時，.21．（12分）如圖，已知圓錐SO底面圓的半徑r=1，直徑AB與直徑CD垂直，母線SA與底面所成的角為.（1）求圓錐SO的側面積；（2）若E為母線SA的中點，求二面角E-CD-B的大小.（結果用反三角函數(shù)值表示）22．（10分）已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點，|AB|＝4（1）求拋物線的方程；（2）過點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標原點）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，分析歸納可得該數(shù)列可以寫成，，，……，，可得該數(shù)列的通項公式，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，，，…，，可寫成，，，……，，對于，即，為該數(shù)列的第20項；故選：D.【點睛】此題考查了由數(shù)列的項歸納出數(shù)列的通項公式，考查歸納能力，屬于基礎題.2、A【解析】可設出缺少的數(shù)值，利用表中的數(shù)據(jù)，分別表示出、，將樣本中心點帶入回歸方程，即可求得參數(shù).【詳解】設缺少的數(shù)值為，則，，因為回歸直線方程經(jīng)過樣本點的中心，所以，解得.故選：A3、B【解析】按交集定義求解即可.【詳解】AB={2，3}故選：B4、B【解析】由，將轉化為表示，結合，即可求解.【詳解】，.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題.5、A【解析】先畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，即可求出目標函數(shù)的最大值.【詳解】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由，可得，因為目標函數(shù)，即，表示斜率為，截距為的直線，由圖可知，當直線經(jīng)過時截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值為，故選：A.6、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結合圓的性質進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因為，所以，于是有，因為，所以，而，或，所以，故選：D7、A【解析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為：.故選：A8、B【解析】分子分母同除以，化弦為切，代入即得結果.【詳解】由題意，分子分母同除以，可得.故選：B.9、D【解析】將方程化為標準式即可.【詳解】方程化為標準式得，則.故選：D.10、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，根據(jù)等積法求出幾何體內切球的半徑，再計算內切球的表面積【詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，放入棱長為2的正方體中，如圖所示：設三棱錐內切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內切球的表面積為故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內切球表面積的應用問題，屬于中檔題11、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計算.【詳解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距離故選：C.12、D【解析】拋物線的標準方程為，從而可得其焦點坐標【詳解】拋物線的標準方程為，故其焦點坐標為，故選D.【點睛】本題考查拋物線的性質，屬基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9##【解析】求得樣本中心點的坐標，代入回歸直線，即可求得.詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得：故，解得.故答案為：.14、【解析】根據(jù)點到直線的距離公式得到，根據(jù)，解不等式得到答案.【詳解】依題意有圓心到直線的距離，即，又無論取何值，，故，故.故答案：15、【解析】由題可得，求導可得的單調性，將的最小值代入，即得.【詳解】∵，，使得成立，∴由，得，當時，，∴在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又在上單調遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，∴，即實數(shù)的取值范圍是故答案為：.16、4【解析】利用“1”的妙用，運用基本不等式即可求解.【詳解】∵，即，∴又∵，，∴，當且僅當且，即，時，等號成立，則的最小值為4.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）應用向量垂直的坐標表示得x2+3y2=3，即可寫出M的軌跡C的方程；（2）由直線與曲線C交于不同的兩點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，設直線y=kx+m(k≠0)，聯(lián)立方程整理所得方程有，且由根與系數(shù)關系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N為PQ的中點結合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量關系，結合即可求m的范圍.【詳解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即點M(x,y)的軌跡C的方程為+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=.設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，線段PQ的中點N(x0,y0)，則.∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，設kAN表示直線AN的斜率，又k≠0，∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1②，而3k2>0，有m>.將②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，∴m的取值范圍為.【點睛】思路點睛：1、由向量垂直，結合其坐標表示得到關于x，y的方程，寫出曲線C的標準方程即可.2、由直線與曲線C相交，聯(lián)立方程有，由|AP|=|AQ|得直線的垂直關系，即斜率之積為-1，進而可求參數(shù)的范圍.18、（1）（2）存在，【解析】（1）求出后可得橢圓的標準方程.（2）設直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達定理可用表示，從而可求的值.【小問1詳解】據(jù)題意，得，∴，∴所求橢圓M的標準方程為【小問2詳解】據(jù)（1）求解知，點F坐標為若直線的斜率存在，且不等于0，設直線據(jù)得設，則，∴同理可求知，∴，∴，即此時存滿足題設；若直線的斜率不存在，則；若直線的斜率為0，則，此時若，則綜上，存在實數(shù)，且使19、（1）；（2）【解析】（1）求出橢圓的焦點和頂點，即得雙曲線的頂點和焦點，從而易求得標準方程；（2）將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點，得的取值范圍，設，由韋達定理得則代入可求得的范圍【詳解】(1)設雙曲線的方程為，則，再由，得故的方程為(2)將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點，得①設則又，得，，即，解得②由①②得＜k2＜1，故的取值范圍【點睛】本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線相交中的范圍問題．應注意：(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍20、（1）模型②擬合效果更好（2）69.1（億元）【解析】（1）分別求出兩個模型的相關指數(shù)，在進行比較即可，（2）利用最小二乘法求出回歸方程，再求收益即可【小問1詳解】對于模型①，因為，故對應的，故對應的相關指數(shù)，對于模型②，同理對應的相關指數(shù)，故模型②擬合效果更好【小問2詳解】當時，后五組的，由最小二乘法可得，所以當時，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為故當投入20億元時，預測公司的收益約為：（億元）21、（1）（2）【解析】（1）先根據(jù)母線與底面的夾角求出圓錐的母線長，然后根據(jù)圓錐的側面積公式即可（2）利用三角形的中位線性質，先求出二面角，然后利用二面角與二面角的互補關系即可求得【小問1詳解】根據(jù)母線SA與底面所成的角為，且底面圓的半徑可得：則圓錐的側面積為：【小問2詳解】如圖所示，過點作底面的垂線交于，連接，則為的中位線則有：，，易知，則，又直徑AB與直徑CD垂直，則則有：為二面角可得：又二面角與二面角互為補角，則二面角的余弦值為故二面角大小為22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義以及拋物線通徑的性質可得，從而可得結果；（2）設直線的方程為，代入，得，利用弦長公式，結合韋達定理可得的值，由點到