浙江省杭州市上城區(qū)東城實驗學(xué)校2023--2024學(xué)年上學(xué)期九年級期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市上城區(qū)東城實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．1．（3分）把圖形繞點順時針旋轉(zhuǎn)180度后，得到的圖形是A． B． C． D．2．（3分）已知，則的值為A． B． C． D．3．（3分）已知正多邊形的一個外角為，則該正多邊形的邊數(shù)是A．5 B．6 C．8 D．104．（3分）已知的半徑長為1，，則可以得到的正確圖形可能是A． B． C． D．5．（3分）下列命題中是真命題的為A．弦是直徑 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．圓的兩條平行弦所夾的弧相等 D．相等的圓周角所對的弧相等6．（3分）如圖，是的直徑，，則等于A． B． C． D．7．（3分）已知，，是拋物線上的點，則A． B． C． D．8．（3分）已知函數(shù)的對稱軸為直線，則關(guān)于的方程的根為A．0，6 B．1，7 C．1， D．，79．（3分）已知二次函數(shù)，它的圖象可能是A． B． C． D．10．（3分）已知，線段，點為平面上一點，若，則線段的最大值是A．4 B． C．8 D．二、填空題：本大題有6個小題，每小題4分，共24分．11．（4分）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，前6次都是正面朝上，則擲第7次時正面朝上的概率是．12．（4分）若，，則和的比例中項．13．（4分）設(shè)二次函數(shù)，，是常數(shù)，，如表列出了、的部分對應(yīng)值．1230則方程的解是，不等式的解集是．14．（4分）如圖，是的直徑，弦垂直平分，是上一點，則等于．15．（4分）如圖，以的一邊為直徑的半圓與其它兩邊，的交點分別為，，且．若半圓的直徑為13，，則的長為．16．（4分）已知點在拋物線上，當(dāng)時，總有，當(dāng)時總有，則的值為．三、解答題：本題共8個小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟．17．（6分）現(xiàn)有一個不透明的口袋裝有分別標(biāo)有漢字“最”、“美”、“蘭”、“州”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球．（1）若從中任取一個球，取出的球上的漢字是“美”的概率為；（2）小明同學(xué)從中任取一個球，不放回，再從中任取一個球，請用畫樹狀圖或列表的方法，求出小明取出兩個球上的漢字恰能組成“蘭州”的概率．18．（6分）已知正六邊形的外接圓圓心為，半徑．（1）求正六邊形的邊長；（2）求的長度．19．（6分）如圖是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為，直徑是河底線，弦是水位線，，米，于點，此時測得．（1）求的長；（2）如果水位以0.4米小時的速度上升，則經(jīng)過多長時間橋洞會剛剛被灌滿？20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的部分圖象與軸，軸的交點分別為和．（1）求此二次函數(shù)的表達式；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．21．（10分）如圖，在中，，，，點在上，從點到點運動（不包括點），點運動的速度為；點在上從點運動到點（不包括點），速度為．若點，分別從、同時運動，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程：（1）經(jīng)過多少時間后，，兩點的距離最短，最短距離是多少？（2）經(jīng)過多少時間后，的面積最大，最大面積是多少？22．（12分）如圖，在中，，點是邊上一點，以為直徑的圓經(jīng)過點，點是直徑上一點（不與、重合），延長交圓于點，連接．（1）求證：；（2）若，，①求的度數(shù)；②若，求的長．23．（12分）設(shè)二次函數(shù)，其中是常數(shù)，且．（1）當(dāng)時，試判斷點是否在該函數(shù)圖象上．（2）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求該函數(shù)的表達式．（3）當(dāng)時，隨的增大而減小，求的取值范圍．24．（6分）根據(jù)背景素材，探索解決問題．測算石拱橋拱圈的半徑素材1某數(shù)學(xué)興趣小組測算一座石拱橋拱圈的半徑（如圖，石拱橋由矩形的花崗巖疊砌而成，上、下的花崗巖錯縫連接（花崗巖的各個頂點落在上、下花崗巖各邊的中點，如圖2所示）．素材2通過觀察發(fā)現(xiàn)，，三個點都在拱圈上，是拱圈的最高點，且在兩塊花崗巖的連接處，，兩個點都是花崗巖的頂點（如圖．素材3如果沒有帶測量工具，那么可以用身體的“尺子”來測，比如前臂長（包括手掌、手指）稱為1肘（如圖，利用該方法測得一塊花崗巖的長和寬（如圖．問題解決任務(wù)1獲取數(shù)據(jù)通過觀察、計算，兩點之間的水平距離及鉛垂距離（高度差）．任務(wù)2分析計算通過觀察、計算石拱橋拱圈的半徑．注：測量、計算時，都以“肘”為單位．

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市上城區(qū)東城實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．1．（3分）把圖形繞點順時針旋轉(zhuǎn)180度后，得到的圖形是A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：把圖形繞點順時針旋轉(zhuǎn)180度后，得到的圖形是選項的圖形．故選：．【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2．（3分）已知，則的值為A． B． C． D．【分析】利用合比性質(zhì)解答．【解答】解：由，得．故選：．【點評】考查了比例的性質(zhì)，此題比較簡單，熟記合比性質(zhì)即可解題．3．（3分）已知正多邊形的一個外角為，則該正多邊形的邊數(shù)是A．5 B．6 C．8 D．10【分析】正多邊形的外角和是，這個正多邊形的每個外角相等，因而用除以外角的度數(shù)，就得到外角和中外角的個數(shù)，外角的個數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【解答】解：這個正多邊形的邊數(shù)：．故選：．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，熟記正多邊形的邊數(shù)與外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（3分）已知的半徑長為1，，則可以得到的正確圖形可能是A． B． C． D．【分析】根據(jù)點到圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系即可．【解答】解：的半徑長1，若，，點在圓外，故選：．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出點到圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，難度不大．5．（3分）下列命題中是真命題的為A．弦是直徑 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．圓的兩條平行弦所夾的弧相等 D．相等的圓周角所對的弧相等【分析】根據(jù)弦和直徑的關(guān)系、垂徑定理的推論、圓周角定理判斷即可．【解答】解：、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故本小題命題是假命題，不符合題意；、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本小題命題是假命題，不符合題意；、圓的兩條平行弦所夾的弧相等，是真命題，符合題意；、在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，故本小題命題是假命題，不符合題意；故選：．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．6．（3分）如圖，是的直徑，，則等于A． B． C． D．【分析】先根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，再由補角的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：，，．故選：．【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．7．（3分）已知，，是拋物線上的點，則A． B． C． D．【分析】求出拋物線的對稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對稱性解答即可．【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，，時，函數(shù)值最大，又到的距離比1到的距離小，．故選：．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性和對稱性，求出對稱軸是解題的關(guān)鍵．8．（3分）已知函數(shù)的對稱軸為直線，則關(guān)于的方程的根為A．0，6 B．1，7 C．1， D．，7【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸是直線求出的值，再把的值代入方程，求出的值即可．【解答】解：二次函數(shù)的對稱軸是直線，，解得，關(guān)于的方程可化為，解得，．故選：．【點評】本題考查的是拋物線與軸交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的對稱軸方程是解答此題的關(guān)鍵．9．（3分）已知二次函數(shù)，它的圖象可能是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法，可以判斷各個選項中的圖象是否正確，本題得以解決．【解答】解：二次函數(shù)，當(dāng)時，，即該函數(shù)的圖象過點，故選項錯誤；該函數(shù)的頂點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，該函數(shù)圖象開口向上，頂點的橫坐標(biāo)小于，故選項正確，選項錯誤；當(dāng)時，該函數(shù)圖象開口向下，頂點的橫坐標(biāo)大于，故選項錯誤；故選：．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．10．（3分）已知，線段，點為平面上一點，若，則線段的最大值是A．4 B． C．8 D．【分析】以為邊作直角三角形，作等腰直角三角形的外接圓，根據(jù)圓周角定理解答即可．【解答】解：以為邊作等腰直角三角形，作的外接圓，為等腰直角三角形，，，，點在優(yōu)弧上，當(dāng)為外接圓的直徑時，最大，且最大值為8，故選：．【點評】本題考查了三角形的外接圓，圓周角定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題有6個小題，每小題4分，共24分．11．（4分）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，前6次都是正面朝上，則擲第7次時正面朝上的概率是．【分析】根據(jù)概率的意義，概率公式，即可解答．【解答】解：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，前6次都是正面朝上，則擲第7次時正面朝上的概率是，故答案為：．【點評】本題考查了概率的意義，概率公式，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．12．（4分）若，，則和的比例中項2或．【分析】根據(jù)比例中項的概念，得，再利用平方根的意義計算得到的值即可．【解答】解：是，的比例中項，，又，，，解得：；故答案為：2或．【點評】本題考查了比例中項的概念、平方根的求法；熟練掌握比例中項的概念得出是解決問題的關(guān)鍵．13．（4分）設(shè)二次函數(shù)，，是常數(shù)，，如表列出了、的部分對應(yīng)值．1230則方程的解是或，不等式的解集是．【分析】根據(jù)函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系求解．【解答】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，二次函數(shù)的對稱軸為直線．當(dāng)時，，當(dāng)時，．方程的解是或．當(dāng)時，，當(dāng)時，．當(dāng)時，隨的增大而增大，．不等式的解集是或．故答案為：或；或．【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，是的直徑，弦垂直平分，是上一點，則等于．【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出，得到是等邊三角形，因此，由圓周角定理推出，，即可得到．【解答】解：垂直平分，，，是等邊三角形，，，是圓的直徑，，．故答案為：．【點評】本題考查圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由線段垂直平分線的性質(zhì)推出是等邊三角形，由圓周角定理推出，．15．（4分）如圖，以的一邊為直徑的半圓與其它兩邊，的交點分別為，，且．若半圓的直徑為13，，則的長為．【分析】先連結(jié)，根據(jù)判定，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求得和的長，再根據(jù)面積法即可求得的長．【解答】解：連結(jié)，是直徑，，，，又，，，即為等腰三角形，，，在中，，，，，是直徑，，，，故答案為：．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理的推論等知識，掌握圓周角定理的推論是解答本題的關(guān)鍵．16．（4分）已知點在拋物線上，當(dāng)時，總有，當(dāng)時總有，則的值為．【分析】依解析式可知頂點坐標(biāo)，根據(jù)當(dāng)時，總有，可知，由增減性可列不等式組，解出即可．【解答】解：拋物線，拋物線的頂點為，當(dāng)時，總有，不可能大于0，則，時，隨的增大而增大，時，隨的增大而減小，當(dāng)時，總有，當(dāng)時，總有，且與對稱，時，，時，，當(dāng)或7時，，，．故答案為：．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握增減性．三、解答題：本題共8個小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟．17．（6分）現(xiàn)有一個不透明的口袋裝有分別標(biāo)有漢字“最”、“美”、“蘭”、“州”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球．（1）若從中任取一個球，取出的球上的漢字是“美”的概率為；（2）小明同學(xué)從中任取一個球，不放回，再從中任取一個球，請用畫樹狀圖或列表的方法，求出小明取出兩個球上的漢字恰能組成“蘭州”的概率．【分析】（1）直接利用概率公式進行計算即可得；（2）先畫出樹狀圖，從而可得小明取出兩個球上的漢字的所有等可能的結(jié)果，再找出小明取出兩個球上的漢字恰能組成“蘭州”的結(jié)果，然后利用概率公式求解即可得．【解答】解：（1）由題意，從中任取一個球共有4種結(jié)果，則從中任取一個球，取出的球上的漢字是“美”的概率為，故答案為：．（2）由題意，畫出樹狀圖如下：由圖可知，小明取出兩個球上的漢字的所有等可能的結(jié)果共有12種，其中，小明取出兩個球上的漢字恰能組成“蘭州”的結(jié)果有2種，則小明取出兩個球上的漢字恰能組成“蘭州”的概率為，答：小明取出兩個球上的漢字恰能組成“蘭州”的概率為．【點評】本題考查了利用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．18．（6分）已知正六邊形的外接圓圓心為，半徑．（1）求正六邊形的邊長；（2）求的長度．【分析】（1）求出正六邊形的中心角，得到是等邊三角形，得到；（2）求出的度數(shù)，由弧長公式即可求出的長．【解答】解：（1），，是等邊三角形，；（2），，，的長．【點評】本題考查正多邊形和圓，弧長的計算，關(guān)鍵是掌握弧長公式，正多邊形的性質(zhì)．19．（6分）如圖是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為，直徑是河底線，弦是水位線，，米，于點，此時測得．（1）求的長；（2）如果水位以0.4米小時的速度上升，則經(jīng)過多長時間橋洞會剛剛被灌滿？【分析】（1）設(shè)米，則米，由勾股定理求得的長，即可得出結(jié)論；（2）延長交圓于點，求得的長，即可解決問題．【解答】解：（1）直徑米，（米，，，，，設(shè)米，則米，在中，由勾股定理得：，解得：（負(fù)值已舍去），米，（米；（2）由（1）得：米，如圖，延長交圓于點，（米，（小時），答：經(jīng)過5小時橋洞會剛剛被灌滿．【點評】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的部分圖象與軸，軸的交點分別為和．（1）求此二次函數(shù)的表達式；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）把和代入得到關(guān)于、的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式；（2）由圖象可知，拋物線得對稱軸為，再根據(jù)當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，隨著的增大而增大求解即可．【解答】解：（1）拋物線與軸、軸的交點分別為和，得：，解得：，拋物線的表達式為：；（2）由圖象可知，拋物線得對稱軸為，當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，隨著的增大而增大，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．21．（10分）如圖，在中，，，，點在上，從點到點運動（不包括點），點運動的速度為；點在上從點運動到點（不包括點），速度為．若點，分別從、同時運動，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程：（1）經(jīng)過多少時間后，，兩點的距離最短，最短距離是多少？（2）經(jīng)過多少時間后，的面積最大，最大面積是多少？【分析】（1）由勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（2）由三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）由題意可得：，，，，當(dāng)時，最小，最小值為；答：經(jīng)過時間后，，兩點的距離最短，最短距離是；（2），當(dāng)時，面積最大值為9．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理，三角形的面積公式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（12分）如圖，在中，，點是邊上一點，以為直徑的圓經(jīng)過點，點是直徑上一點（不與、重合），延長交圓于點，連接．（1）求證：；（2）若，，①求的度數(shù)；②若，求的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到，根據(jù)圓周角定理得出，即可求解．（2）①連接，由圓周角定理得到，再由可求解；②作，只要證明為等腰直角三角形即可求解．【解答】解：（1），，又，．（2）連接，，，，，且，．②作于，，，，，，，，，．【點評】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．23．（12分）設(shè)二次函數(shù)，其中是常數(shù)，且．（1）當(dāng)時，試判斷點是否在該函數(shù)圖象上．（2）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求該函數(shù)的表達式．（3）當(dāng)時，隨的增大而減小，求的取值范圍．【分析】（1）將的值代入，得出二次函數(shù)解析式，再將點的坐標(biāo)代入驗證即可．（2）用待定系數(shù)法即可解決問題．（3）利用分類討論的思想即可解決問題．【解答】解：（1）將代入二次函數(shù)解析式得，．將代入二次函數(shù)解析式得，，所以點在該函數(shù)圖象上．（2）因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，解得或，當(dāng)時，該函數(shù)的表達式為；當(dāng)時，該函數(shù)的表達式為；所以該函數(shù)的表達式為：或．（3）由題知，二次函數(shù)的表達式可化為，所以該拋物線的對稱軸為直線．又因為當(dāng)時，隨的增大而減小，則當(dāng)時，，解得或，所以．當(dāng)時，，解得或，所以．綜上所述：的取值范圍是或．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟知待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（6分）根據(jù)背景素材，