新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)+題型專項(xiàng)千題百練(新高考適用)專題08基本不等式綜合必刷100題(原卷版+解析)

專題08基本不等式綜合必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-40題一、單選題1．已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．2．已知，，且，則最小值為（）A． B． C． D．3．已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（）A．3 B．8 C．4 D．94．已知，，且，則的最小值為（）A．9 B．10 C．11 D．5．已知，函數(shù)在處的切線與直線平行，則的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知直線與圓相切，則的最大值為（）A． B． C． D．7．若，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是 D．的最小值是8．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．9．已知在中，動(dòng)點(diǎn)C滿足，其中，且，則的最小值為（）A． B． C． D．10．若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知正數(shù)x，y滿足x2+2xy-3=0，則2x+y的最小值是（）A．1 B．3C．6 D．1212．已知，，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．413．若，則的最小值為（）A． B． C． D．14．若正數(shù)，滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．15．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（）A． B． C．1 D．216．設(shè)a，b為正數(shù)，若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（）A．9 B．8 C．6 D．1017．已知，且，則的最大值為（）A． B． C． D．18．已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．19．已知，則的最小值是（）A．1 B．4 C．7 D．20．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值等于（）A．4 B． C．8 D．921．下列函數(shù)中最小值為4的是（）A． B．C． D．22．若直線（，）被圓截得弦長(zhǎng)為，則的最小值是（）A． B． C． D．23．設(shè)為正數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．24．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．25．在等比數(shù)列中，，則的最大值是（）A． B． C． D．26．已知實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則點(diǎn)到直線的最大距離是（）A． B．1 C． D．227．實(shí)數(shù)a，b滿足，，，則的最小值是（）A．4 B．6 C． D．28．已知，，則的最小值為（）A． B． C． D．29．設(shè)(其中0<x<y)，則M，N，P的大小順序是（）A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P30．若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值31．已知，且，則的最小值為（）A．4 B．6 C．9 D．1232．設(shè)，且，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．433．設(shè)均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A．8 B．16 C．9 D．634．已知，，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．35．已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（）A． B． C． D．36．設(shè)，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．437．若x，y∈R＋，3x＋y—xy=0，則2x＋y的最小值為（）A．2＋5 B．4 C．12 D．638．若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是（）A． B． C． D．39．若，，，則的最小值為（）A．8 B．10 C．4 D．640．已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題1．已知，且，，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．2．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A． B．C． D．3．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．5．如圖，在中，C是的中點(diǎn)，P在線段上，且.過點(diǎn)P的直線交線段分別于點(diǎn)N，M，且，其中，則的最小值為（）A． B． C．1 D．6．已知，滿足則的最小值是（）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)，，則的最小值為（）A．1 B．27 C．8 D．98．若，且，則的最小值為（）A． B． C． D．9．若，且，則的最小值為（）A．3 B． C． D．10．設(shè)，則的最小值為（）A． B． C．4 D．11．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（）A． B． C．1 D．212．若實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．13．的最大值為（）A． B．13 C． D．14．若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（）A． B． C． D．15．已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．16．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．417．已知函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．18．若，，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的最大值是（）A． B． C． D．19．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為（）A． B． C． D．20．已知，且，則的最小值是（）A．8 B．6 C．4 D．2第II卷（非選擇題）二、填空題21．已知，，且，則的最小值為______．22．若，，且，則的最小值為________.23．已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則的最大值為________．24．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為___________.25．已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值是___________.26．已知，則的最小值是__________．27．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為___.28．若不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為______．29．已知，且滿足，則的最小值為________．30．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________.31．已知實(shí)數(shù)x＞0，y＞0，且滿足x2y+xy2﹣11xy+8x+2y＝0，則x+y的取值范圍是________．32．已知且滿足，則的最小值是___________.三、解答題33．已知a，b，，求證：．34．設(shè)a0，b0，a+b＝2．（1）證明：≥4；（2）證明：a3+b3≥2．35．設(shè)函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若（1），，求的最小值．36．已知a，，且，求證：.37．設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若，求的最大值.38．設(shè)a>0，b>0，且＋＝1，求證：a＋2b＋.39．已知函數(shù)的最小值為．(I)求的值；(II)當(dāng)時(shí)，求證：．40．已知是正實(shí)數(shù).（1）證明：；（2）若，證明：.任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-20題1．已知三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最小值為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若，其中，則的最小值為A． B． C． D．3．設(shè)，則取得最小值時(shí)，的值為（）A． B．2 C．4 D．4．已知，則的最大值是（）A． B． C．0 D．5．若a，b均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為A． B． C． D．26．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知正數(shù)滿足，則的最小值是()A． B． C． D．8．（改編）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B．2 C． D．9．若，，，則的最小值為A． B． C． D．10．設(shè)，，若三個(gè)數(shù)，，能組成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題11．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值是________．12．若，，則的最小值為___________.13．已知，，若，則的最大值是________．14．已知a，b，，記，則T最大值為________.15．已知，，若，則的最大值是________．三、解答題16．已知函數(shù)．（1）求不等式的最小整數(shù)解；（2）在（1）的條件下，對(duì)任意，，若，求的最小值．17．已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足.證明：（1）；（2）.18．已知，，為正數(shù)，且滿足，證明：（1）；（2）.19．已知，，，．證明：．證明：．20．已知實(shí)數(shù)滿足.（1）若，求的最小值；（2）若，求的最小值，專題08基本不等式綜合必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-40題一、單選題1．已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式求得，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由均為正實(shí)數(shù)，且滿足，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，即的最大值為.故選：C2．已知，，且，則最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件將多項(xiàng)式寫成的形式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】由題知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故選：B3．已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（）A．3 B．8 C．4 D．9【答案】D【分析】根據(jù)兩圓公切線的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳AC1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由題設(shè)可知，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2時(shí)等號(hào)成立．故選：D.4．已知，，且，則的最小值為（）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【分析】利用“乘1法”將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后展開利用基本不等式求解．【詳解】，，又，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9．故選：A．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.5．已知，函數(shù)在處的切線與直線平行，則的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出切線的斜率，然后根據(jù)兩直線平行斜率相等得到，進(jìn)而結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)榍悬c(diǎn)為，則切線的斜率為，又因?yàn)榍芯€與直線平行，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值是，故選：C.6．已知直線與圓相切，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直線與圓相切可得，然后利用均值不等式可得，從而可求的最大值.【詳解】解：因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以的最大值為，故選：D.7．若，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是 D．的最小值是【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是，所以A正確，對(duì)于B，，且，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，所以，由選項(xiàng)B的解答可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以D錯(cuò)誤，故選：A8．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，由，展開利用基本不等式即可求解.【詳解】由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立．故選：C．9．已知在中，動(dòng)點(diǎn)C滿足，其中，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得A，B，C三點(diǎn)共線，且C點(diǎn)在線段上，于是，且，然后利用均值不等式即可求解.【詳解】解：由題意可得A，B，C三點(diǎn)共線，且C點(diǎn)在線段上，于是，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故選：C.10．若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，令，利用不等式的性質(zhì)即可求得的范圍．【詳解】解：，又，，令，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，的取值范圍是，．故選：A．11．已知正數(shù)x，y滿足x2+2xy-3=0，則2x+y的最小值是（）A．1 B．3C．6 D．12【答案】B【分析】由x2+2xy-3=0，可得y=，則2x+y=2x+，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：∵x2+2xy-3=0，∴y=，∴2x+y=2x+2=3，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取等號(hào).故選：B.12．已知，，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式求的最小值.【詳解】∵，∴，∴(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，∴(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，∴的最小值為3，故選：C.13．若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】法一：由基本不等式即可求出結(jié)果；法二“1”的妙用結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果.【詳解】解析：法一：由題意，得，，且，即，亦即，由基本不等式，得，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以的最小值為.法二：由，得.因此（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以的最小值為.故選：C.14．若正數(shù)，滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得結(jié)果.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故選：C.15．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合基本不等式，求得，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】在中，滿足，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，可得，所以．故選：A.16．設(shè)a，b為正數(shù)，若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（）A．9 B．8 C．6 D．10【答案】A【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，得到的關(guān)系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．【詳解】解：圓，即，所以圓心為，所以，即，因?yàn)?、，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．故選：．17．已知，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)，由，結(jié)合基本不等式，求得，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】由，可得，又由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最大值為.故選：D.18．已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，結(jié)合基本不等式可求的最小值，然后由恒成立可知，解不等式可求的范圍，從而得解．【詳解】解：，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，若恒成立．，，解不等式可得，，故實(shí)數(shù)的最小值為，故選：．19．已知，則的最小值是（）A．1 B．4 C．7 D．【答案】C【分析】由目標(biāo)式可得，結(jié)合已知條件，應(yīng)用基本不等式即可求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C20．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值等于（）A．4 B． C．8 D．9【答案】D【分析】整理得出，進(jìn)而得，結(jié)合基本不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等式成立，故選：D．21．下列函數(shù)中最小值為4的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．22．若直線（，）被圓截得弦長(zhǎng)為，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，以及圓的半徑為2，可知直線過圓心，即，，根據(jù)此特點(diǎn)，可選擇基本不等式求出最小值.【詳解】直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，圓的半徑為,圓心為直線過圓心，故，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，最小值為9.故選：A【點(diǎn)睛】理解題意，直線與圓相交后弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形，以及由，求的最小值聯(lián)想用基本不等式求最值.23．設(shè)為正數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式，結(jié)合“1”的妙用，即可得解.【詳解】可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故選：A24．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知等式把代數(shù)式進(jìn)行變形為，再結(jié)合已知等式，利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因此，因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)），故選：A25．在等比數(shù)列中，，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可求得及，利用基本不等式可求得的最大值，即為所求結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，，即的最大值為.故選：B.26．已知實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則點(diǎn)到直線的最大距離是（）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得，求出點(diǎn)到直線的距離，代入消元后應(yīng)用基本不等式可得最大值．【詳解】由已知，點(diǎn)P到直線的距離，由均值不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故，最大值為．故選：C．27．實(shí)數(shù)a，b滿足，，，則的最小值是（）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】令，，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】令，，則，，且，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D.28．已知，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，根據(jù)展開利用基本不等式可求.【詳解】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9.故選：B.29．設(shè)(其中0<x<y)，則M，N，P的大小順序是（）A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P【答案】A【分析】利用基本不等式證明可得.【詳解】又，∴.故選：A30．若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【答案】B【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)，可得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式，可得，即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B31．已知，且，則的最小值為（）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】利用基本不等式有，再利用一元二次不等式的解法，由求解.【詳解】由，得，又因?yàn)椋?，即，解得或，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故選：B．32．設(shè)，且，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】借助于，將不等式轉(zhuǎn)化為，然后按照基本不等式的性質(zhì)即可求出最小值.【詳解】解：，且，則有，即當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“等號(hào)”成立.故選：D.33．設(shè)均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A．8 B．16 C．9 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題中條件，將所求式子化為，展開后，再利用基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).因此的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.34．已知，，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中條件，利用基本不等式，求出的最小值；得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；又不等式恒成立，所以只需，即，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.35．已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將所求代數(shù)式變形，結(jié)合基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.故選：A.36．設(shè)，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】變形為，利用基本不等式求解.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)和，即時(shí)取等號(hào)，故選：D.37．若x，y∈R＋，3x＋y—xy=0，則2x＋y的最小值為（）A．2＋5 B．4 C．12 D．6【答案】A【分析】將3x＋y—xy=0，變形為，再利用“1”的代換，將，再利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?x＋y—xy=0，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以2x＋y的最小值為2＋5，故選：A38．若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，得到y(tǒng)＝然后由x＋2y＝x＋＝，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得0<x<1，所以x＋2y＝x＋＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．所以x＋2y的最小值為.故選：A39．若，，，則的最小值為（）A．8 B．10 C．4 D．6【答案】C【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C.40．已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先通分化簡(jiǎn)，分子分母同除以，原式化為，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題1．已知，且，，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式可比較A，B大小，作差判斷正負(fù)可判斷大小.【詳解】，即，，，故.故選：B.2．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】將化為，再利用換元法結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】解：實(shí)數(shù)，滿足化為：令，，則解得：，則：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以的最小值為.故選：A.3．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】在，中利用余弦定理，并結(jié)合，利用誘導(dǎo)公式，消去角，求得，結(jié)合中使用余弦定理，得到，然后結(jié)合基本不等式求得的取值范圍，進(jìn)而得到中線長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】是邊上的中線，在中，①，在中，②.又，，由①＋②得.由余弦定理得.，，，即，.故選C.4．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分離出a2+b2，應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù)，進(jìn)而求出最小值．【詳解】若ab+c取最小值，則ab異號(hào)，c＜0，根據(jù)題意得：，又由，即有，，當(dāng)，分別取時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為-5，故選：D5．如圖，在中，C是的中點(diǎn)，P在線段上，且.過點(diǎn)P的直線交線段分別于點(diǎn)N，M，且，其中，則的最小值為（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】依題意可得，再根據(jù)平面向量共線定理得到，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：，則，，又P，M，N共線，∴.又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：C.6．已知，滿足則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，然后代入方程，進(jìn)而根據(jù)“法”解得答案.【詳解】由題意，設(shè)，代入方程得：，所以，即的最小值為：.故選：D.7．已知實(shí)數(shù)，，則的最小值為（）A．1 B．27 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式得，，從而可求得最小值.【詳解】因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B.8．若，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C.9．若，且，則的最小值為（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】利用給定條件確定，變形并借助均值不等式求解即得.【詳解】因，且，則，即有，同理，由得：，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：D10．設(shè)，則的最小值為（）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】原式可變形為，然后根據(jù)基本不等式即可求解【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)故選：A11．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】設(shè)BD、AE交于O，根據(jù)題意可得，所以，進(jìn)而可得，根據(jù)O、F、B三點(diǎn)共線，可得x，y的關(guān)系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.【詳解】設(shè)BD、AE交于O，因?yàn)?，所以，所?所以，則，所以，因?yàn)镺、F、B三點(diǎn)共線，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以，故選：A12．若實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，則，由權(quán)方和不等式和基本不等式得，即可求解．【詳解】由得因?yàn)?，，則令則化為恒成立，由權(quán)方和不等式得當(dāng)且僅當(dāng)，得即時(shí)等號(hào)成立．所以故選：D13．的最大值為（）A． B．13 C． D．【答案】B【分析】先由基本不等式得到，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).）所以，，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值13.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是由基本不等式得到.14．若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào)，則的最大值為．故選：A．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致.15．已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，所以，記，可得，然后利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，得，所以，記，所以，所以，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，此時(shí)，.故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.16．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】由題得，再通過變形得到，再利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是對(duì)式子進(jìn)行合理的變形和拼湊，使之能使用基本不等式求最值.17．已知函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，得到不等式組，利用條件，對(duì)所求式子進(jìn)行放縮，以為變量建立函數(shù)關(guān)系式，利用構(gòu)造函數(shù)和基本不等式求出其最小值.【詳解】，，因?yàn)楹瘮?shù)沒有極值點(diǎn)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則有，即，所以，令，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的問題，正確解題的關(guān)鍵對(duì)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)這個(gè)條件的正確轉(zhuǎn)化，以及會(huì)利用基本不等式求最值.18．若，，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由知為線段的靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，由推出為的平分線，根據(jù)角平分線定理得到，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理以及基本不等式求出的最小值，從而可得的最大值.【詳解】由知為線段的靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，因?yàn)椋?，所以，所以，所以為的平分線，根據(jù)角平分線定理可得，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最大值是.故選：B【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.19．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)，然后由基本不等式得最值，及，這樣可化為的二次函數(shù)，易得最大值．【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，因此所以時(shí)等號(hào)成立．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)和方程思想．基本不等式的使用價(jià)值在于簡(jiǎn)化最值確定過程，而能否使用基本不等式的關(guān)鍵是中的是否為定值，本題通過得以實(shí)現(xiàn)．20．已知，且，則的最小值是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn),結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?由，可得，所以，代入，得解得，又因?yàn)?，所以．此時(shí)“等號(hào)”成立，故所求最小值為8．故選：A.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其滿足的三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.第II卷（非選擇題）二、填空題21．已知，，且，則的最小值為______．【答案】/【分析】由題可知，再利用基本不等式可得，然后分類討論即得.【詳解】∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值，且最小值為．故答案為：22．若，，且，則的最小值為________.【答案】【分析】將目標(biāo)式改寫為，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最小值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為.故答案為：23．已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則的最大值為________．【答案】2【分析】利用湊配法，結(jié)合基本不等式，化簡(jiǎn)求得的最大值.【詳解】依題意，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：2.24．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為___________.【答案】.【分析】將所求代數(shù)式整理為，再利用的代換即可得正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，故答案為：.25．已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值是___________.【答案】2【分析】證明，由，即，結(jié)合基本不等式求出，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t，則，即，又，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最小值是2.故答案為：2.26．已知，則的最小值是__________．【答案】2【分析】根據(jù)已知條件將進(jìn)行變形，進(jìn)而結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是2，故答案為：2.27．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為___.【答案】2【分析】由題設(shè)可得，而，再利用基本不等式求最小值即可.【詳解】∵，令，則，∴2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為2.故答案為：2.28．若不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為______．【答案】2【分析】將給定恒成立的不等式分離參數(shù)，再利用均值不等式求的最大值即可.【詳解】因，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，所以實(shí)數(shù)的最小值為2.故答案為：229．已知，且滿足，則的最小值為________．【答案】【分析】由已知條件可知，且，由展開利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：.30．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________.【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，利用基本不等式得到，再開平方即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所?所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，即，即.故答案為：31．已知實(shí)數(shù)x＞0，y＞0，且滿足x2y+xy2﹣11xy+8x+2y＝0，則x+y的取值范圍是________．【答案】[2，9]【分析】根據(jù)已知條件可考慮等式兩邊同時(shí)除以，使得等式中有“”，進(jìn)一步利用基本不等式求解即可．【詳解】解：由，，得等式兩邊同時(shí)除以，有，即，令，則．由，當(dāng)且僅當(dāng)，，即、或、時(shí)，等號(hào)成立．所以，所以，所以，所以，即，解得，當(dāng)、時(shí)，；當(dāng)、時(shí)，，所以的取值范圍為，．故答案為：，．32．已知且滿足，則的最小值是___________.【答案】【分析】將因式分解，令，，即可求得，代入利用均值不等式即可求得最小值．【詳解】解：，令，，則，，且，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值故答案為：．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方．三、解答題33．已知a，b，，求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)給定條件利用配湊思想借助均值不等式及不等式性質(zhì)即可得證.【詳解】因?yàn)閍，b，，則，，，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，將上述三個(gè)不等式相加得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此有，所以，當(dāng)a，b，時(shí)，.34．設(shè)a0，b0，a+b＝2．（1）證明：≥4；（2）證明：a3+b3≥2．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）把展開化簡(jiǎn)，利用基本不等式即可得證；（2）結(jié)合已知條件，利用兩數(shù)和的立方公式展開，再用基本不等式即可得證.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，?.且（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故.所以（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，故.35．設(shè)函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若（1），，求的最小值．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）．【分析】（1）化簡(jiǎn)，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得不等式的解集.（2）結(jié)合基本不等式以及對(duì)分類討論，由此求得的最小值.【詳解】（1）由題意可得，即為，即，當(dāng)時(shí)，，由，解得或；當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，由，解得；當(dāng)時(shí)，，由，解得．綜上可得，時(shí)，解集為或；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；（2）由，，可得，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，可得的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．36．已知a，，且，求證：.【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)條件及基本不等式可得，變形得，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得最小值.【詳解】證明：，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又，設(shè)函數(shù)，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，，，即.37．設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若，求的最大值.【答案】【分析】方程對(duì)應(yīng)的曲線是旋轉(zhuǎn)后的圓錐曲線，可選用極坐標(biāo)方程再結(jié)合所表示的幾何意義求解【詳解】解法一：方程對(duì)應(yīng)的曲線是旋轉(zhuǎn)后的圓錐曲線.可以聯(lián)想到極坐標(biāo)方程達(dá)到減少參數(shù)的目的，再利用代數(shù)式所反映的幾何意義求解最值問題，把代入：，.令，可看成是點(diǎn)與連線的斜率，點(diǎn)在圓上，如圖1-109所示.借助圓的方程與直線相切、相交的位置關(guān)系，可以得，∴.所求的最大值為.解法二：設(shè)，則，，∴，∴.取，∴，∴.即取最大值.38．設(shè)a>0，b>0，且＋＝1，求證：a＋2b＋.【答案】證明見解析【分析】設(shè)2a＋b＝x，b＋1＝y(tǒng)，則x>0，y>1，＋＝1，則a＝，b＝y(tǒng)－1，所以a＋2b＝＋2y－2，利用基本式不等式化簡(jiǎn)計(jì)算即可證明結(jié)果.【詳解】設(shè)2a＋b＝x，b＋1＝y(tǒng)，則x>0，y>1，＋＝1，則a＝，b＝y(tǒng)－1，所以a＋2b＝＋2y－2＝＋－＝－＝＋＋2＋＝＋，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝＋，b＝時(shí)等號(hào)成立.故a＋2b＋.39．已知函數(shù)的最小值為．(I)求的值；(II)當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)利用絕對(duì)值不等式得，再加上可得，；(2)先用基本不等式得，再用基本不等式得，所以.【詳解】(I)因?yàn)椋?dāng)時(shí)，等號(hào)成立；又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，所以.(II)當(dāng)時(shí)，由基本不等式得，，又，所以.原命題得證.40．已知是正實(shí)數(shù).（1）證明：；（2）若，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）利用三個(gè)同向不等式，，相加即可得證；（2）利用，將化為，再根據(jù)基本不等式即可得證.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用基本不等式和不等式的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵.任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-20題1．已知三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)單調(diào)性可知恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可確定，由此化簡(jiǎn)所求式子為；利用，配湊出符合對(duì)號(hào)函數(shù)的形式，利用對(duì)號(hào)函數(shù)求得最小值.【詳解】在上單調(diào)遞增，恒成立，，，，，，令，設(shè)，則，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，即的最小值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)號(hào)函數(shù)求解最值的問題，涉及到根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍、分式型函數(shù)最值的求解問題；關(guān)鍵是能夠通過二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造出符合對(duì)號(hào)函數(shù)特點(diǎn)的函數(shù).2．已知函數(shù)，若，其中，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【分析】通過函數(shù)解析式可推得，再利用倒序相加法求得，得到的值，然后對(duì)分類討論利用基本不等式求最值即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，令則所以所以，所以，其中，則.當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立；因?yàn)椋缘淖钚≈禐?故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.3．設(shè)，則取得最小值時(shí)，的值為（）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化條件為原式，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.4．已知，則的最大值是（）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】利用均值不等式及三角換元法，即可得到結(jié)果.【詳解】令，等號(hào)在時(shí)取到．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值問題，考查了三角換元法，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.5．若a，b均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為A． B． C． D．2【答案】B【分析】對(duì)原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且a=1取等，即a=1,b=取等即則的最大值為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，熟練變形是關(guān)鍵，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致，是難題.6．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，化簡(jiǎn)得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼牵裕钟捎嘞叶ɡ?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運(yùn)算能力.7．已知正數(shù)滿足，則的最小值是()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用不等式進(jìn)行變型，轉(zhuǎn)化為，所以原式變化成關(guān)于z的函數(shù)，然后求導(dǎo)進(jìn)行求最值即可得到答案.【詳解】(當(dāng)且緊當(dāng)時(shí)取等號(hào))又因?yàn)橐阎龜?shù)滿足，所以即故令此時(shí)函數(shù)遞增；此時(shí)函數(shù)遞減；故故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式綜合，利用基本不等式進(jìn)行變型，然后還考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，利用單調(diào)性求最值，屬于較難題.8．（改編）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】分析：由變形為，將乘以后再根據(jù)基本不等式求解即可得到所求．詳解：∵，∴．∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值為．故選C．點(diǎn)睛：（1）使用基本不等式求最值時(shí)，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且這三個(gè)條件缺一不可．（2）在運(yùn)用基本不等式時(shí)，若條件不滿足使用的條件，則要注意通過“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正”“定”“等”的條件．9．若，，，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè),則,所以,因?yàn)?所以,故選A.點(diǎn)睛:本題考查基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題目.解此類題目的兩個(gè)技巧:(1)創(chuàng)設(shè)運(yùn)用基本不等式的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式，其目的在于使等號(hào)能夠成立．(2)既要記住基本不等式的原始形式，而且還要掌握它的變形形式及公式的逆用等，例如：，(a>0，b>0)．10．設(shè)，，若三個(gè)數(shù)，，能組成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，可令，判斷可得，可得，化為，結(jié)合基本不等式和導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范圍．【詳解】，，令，，，，，，，y，z能組成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，可得，即為，設(shè)，可得，可令，即有，即為，由，當(dāng)且僅當(dāng)上式取得等號(hào)，但，可得，則，即；又設(shè)，可得，由的導(dǎo)數(shù)為，由可得，即函數(shù)y為增函數(shù)，可得，即有，即有，可得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)求最值.第II卷（非選擇題）二、填空題11．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值是________．【答案】【分析】先消去，再將分子分母同除以，然后令，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：先消去，再將分子分母同除以，可得原式，設(shè)，可得原式，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以或，所以原式，故答案為：.12．若，，則的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)題中所給等式可化為，再通過平方關(guān)系將其與聯(lián)系起來(lái)，運(yùn)用基本不等式求解最小值即可.【詳解】因?yàn)榍?，則兩邊同除以，得，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為:13．已知，，若，則的最大值是________．【答案】【分析】以為主元，以為參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)勾函數(shù)的最值問題，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】令，則，令，因?yàn)?，等價(jià)于，所以題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在有最小值，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，故的最大值是．故答案為：.【點(diǎn)