新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題45空間幾何體的折疊問(wèn)題專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題45空間幾何體的折疊問(wèn)題一、題型選講題型一、展開問(wèn)題例1、【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.例2、(2017南京三模）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)AD＋DC1最小時(shí)，三棱錐D－ABC1的體積為▲．AACBA1B1C1D題型二、折疊問(wèn)題例3、【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.例4、【2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.例5、（2020屆山東省德州市高三上期末）如圖（1），邊長(zhǎng)為的正方形中，，分別為、上的點(diǎn)，且，現(xiàn)沿把剪切、拼接成如圖（2）的圖形，再將，，沿，，折起，使、、三點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖（3）.（1）求證：；（2）求二面角最小時(shí)的余弦值.例6、（2020屆浙江省寧波市余姚中學(xué)高考模擬）如圖，為正三角形，且，，將沿翻折.（1）若點(diǎn)的射影在上，求的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)的射影在中，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng).題型三、折疊的綜合性問(wèn)題例7、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知菱形中，，與相交于點(diǎn)，將沿折起，使頂點(diǎn)至點(diǎn)，在折起的過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是()A． B．存在一個(gè)位置，使為等邊三角形C．與不可能垂直 D．直線與平面所成的角的最大值為例8、（2020屆浙江省臺(tái)州市溫嶺中學(xué)3月模擬）如圖，在直角梯形中，，，，為中點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到，到，在翻折過(guò)程中，有下列命題：①的最小值為；②平面；③存在某個(gè)位置，使；④無(wú)論位于何位置，均有.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，則過(guò)，，，四點(diǎn)的球的表面積為（）A． B． C． D．2、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）如圖，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且到直線與直線的距離相等，如果將正方體在平面內(nèi)展開，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡在展開圖中的形狀是（）A． B．C． D．3、如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF將這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，則在這個(gè)空間圖形中必有()A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF4、【2020年高考浙江】已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm2）為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：cm）是_______．5、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）下圖是兩個(gè)腰長(zhǎng)均為的等腰直角三角形拼成的一個(gè)四邊形，現(xiàn)將四邊形沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的體積為__________．6、(2018南京、鹽城、連云港二模）在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為________．（圖1）（圖2）7、【天津市和平區(qū)2020屆高考三?！咳鐖D甲所示的平面五邊形PABCD中，PD=PA，AC=CD=BD=5，AB=1，AD=2，PD⊥PA，現(xiàn)將圖甲所示中的△PAD沿AD邊折起，使平面PAD⊥平面ABCD得如圖乙所示的四棱錐P?ABCD

（1）求證：PD⊥平面PAB；（2）求二面角A?PB?C的大?。唬?）在棱PA上是否存在點(diǎn)M使得BM與平面PCB所成的角的正弦值為13專題45空間幾何體的折疊問(wèn)題一、題型選講題型一、展開問(wèn)題例1、【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.例2、(2017南京三模）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)AD＋DC1最小時(shí)，三棱錐D－ABC1的體積為▲．AACBA1B1C1D【答案】．eq\f(1,3)【解析】：將側(cè)面展開如下圖，所以由平面幾何性質(zhì)可得：，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線取到.此時(shí)，所以.在直三棱柱ABC－A1B1C1中有，又，易得平面，所以平面，即是三棱錐的高，所以題型二、折疊問(wèn)題例3、【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EHBC，垂足為H．因?yàn)镋H平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H–xyz，則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小為30°．例4、【2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】方法一：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）在平面DEF中，過(guò)P作PH⊥EF于點(diǎn)H，連接DH，如圖，由于EF為平面ABCD和平面PEF的交線，PH⊥EF，則PH⊥平面ABFD，故PH⊥DH.則與平面所成的角為.在三棱錐P-DEF中，可以利用等體積法求PH.因?yàn)镈E∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，則PF⊥平面PDE，故，因?yàn)锽F∥DA且BF⊥平面PEF，所以DA⊥平面PEF，所以DE⊥EP.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則PD=2a，DE=a，在△PDE中，，所以，故，又，所以，所以在△PHD中，，故與平面所成角的正弦值為.方法二：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）作PH⊥EF，垂足為H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H?xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.則為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則.所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.例5、（2020屆山東省德州市高三上期末）如圖（1），邊長(zhǎng)為的正方形中，，分別為、上的點(diǎn)，且，現(xiàn)沿把剪切、拼接成如圖（2）的圖形，再將，，沿，，折起，使、、三點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖（3）.（1）求證：；（2）求二面角最小時(shí)的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）折疊前，，折疊后，，又，所以平面，因此；（2）由（1）及題意知，因此以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：令，，，所以，，設(shè)平面法向量為則所以，令，則又平面法向量為，設(shè)二面角的大小為，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以.所以二面角最小時(shí)的余弦值為.例6、（2020屆浙江省寧波市余姚中學(xué)高考模擬）如圖，為正三角形，且，，將沿翻折.（1）若點(diǎn)的射影在上，求的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)的射影在中，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng).【答案】（1）2（2）.【解析】（1）過(guò)A作交于E，則平面.取中點(diǎn)O，連接，，∵平面，平面，∴，又是正三角形，∴，又，AE，平面，∴平面，∴.又，O為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn).∵，∴，，，∴，.∴；（2）取中點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為,連接,因?yàn)?以O(shè)為原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸，以平面的過(guò)O的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)二面角為，因?yàn)槠矫?，與（1）同理可證平面，，，則，，，.∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得.∴，解得.∴，又，∴.題型三、折疊的綜合性問(wèn)題例7、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知菱形中，，與相交于點(diǎn)，將沿折起，使頂點(diǎn)至點(diǎn)，在折起的過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是()A． B．存在一個(gè)位置，使為等邊三角形C．與不可能垂直 D．直線與平面所成的角的最大值為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)榱庑沃?，與相交于點(diǎn)，所以，；將沿折起，使頂點(diǎn)至點(diǎn)，折起過(guò)程中，始終與垂直，因此，又，由線面垂直的判定定理，可得：平面，因此，故A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)檎燮鸬倪^(guò)程中，邊長(zhǎng)度不變，因此；若為等邊三角形，則；設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，因?yàn)椋瑒t，即，又，所以，即二面角的余弦值為時(shí)，為等邊三角形；故B正確；C選項(xiàng)，，，由A選項(xiàng)知，，，所以，因此，同B選項(xiàng)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，易得，，所以，顯然當(dāng)時(shí)，，即；故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，同BC選項(xiàng)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，，，由幾何體直觀圖可知，當(dāng)平面，直線與平面所成的角最大，為，易知.故選：ABD.例8、（2020屆浙江省臺(tái)州市溫嶺中學(xué)3月模擬）如圖，在直角梯形中，，，，為中點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到，到，在翻折過(guò)程中，有下列命題：①的最小值為；②平面；③存在某個(gè)位置，使；④無(wú)論位于何位置，均有.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在直角梯形中，，，，為中點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到，到，在翻折過(guò)程中，當(dāng)與重合時(shí)，的最小值為；所以①正確；連接交于連接，可以證明平面平面，所以平面，所以②正確；當(dāng)平面時(shí)，可得平面，所以，所以③正確；因?yàn)?，，所以直線平面，所以無(wú)論位于何位置，均有.所以④正確；故選：D.二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，則過(guò)，，，四點(diǎn)的球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，構(gòu)成以D為頂點(diǎn)的三棱錐，且三條側(cè)棱互相垂直，可構(gòu)造以其為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體，其對(duì)角線即為球的直徑，三條棱長(zhǎng)分別為1,1，，所以，球面積，故選C.2、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）如圖，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且到直線與直線的距離相等，如果將正方體在平面內(nèi)展開，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡在展開圖中的形狀是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】在平面BCC1B1上，P到直線C1D1的距離為|PC1|，∵P到直線BC與直線C1D1的距離相等，∴點(diǎn)P到點(diǎn)C1的距離與到直線BC的距離相等，∴軌跡為拋物線,且點(diǎn)C1為焦點(diǎn)，BC為準(zhǔn)線；故排除C，D，同理可得，在平面ABB1A1上，點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到直線C1D1的距離相等，從而排除A，本題選擇B選項(xiàng).3、如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF將這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，則在這個(gè)空間圖形中必有()A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF【答案】B【解析】根據(jù)折疊，AH⊥HE，AH⊥HF不變，得AH⊥平面EFH，故B正確；因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A只有一條直線與平面EFH垂直，所以A不正確；因?yàn)锳G⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，所以EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，所以平面HAG⊥AEF，過(guò)點(diǎn)H作直線垂直于平面AEF，該直線一定在平面HAG內(nèi)，所以C不正確；由條件證不出HG⊥平面AEF，所以D不正確．故選B.4、【2020年高考浙江】已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm2）為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：cm）是_______．【答案】【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得.故答案為：5、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）下圖是兩個(gè)腰長(zhǎng)均為的等腰直角三角形拼成的一個(gè)四邊形，現(xiàn)將四邊形沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的體積為__________．【答案】【解析】由題設(shè)可將該三棱錐拓展成如圖所示的正方體，則該正方體的外接球就是三棱錐的外接球，由于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，即球的半徑，該球的體積，應(yīng)填答案．6、(2018南京、鹽城、連云港二模）在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為________．（圖1）（圖2）【答案】.eq\f(4,3)【解析】：連結(jié)EG，HF，交點(diǎn)為O，正方形EFGH的對(duì)角線EG＝2，EO＝1，則點(diǎn)E到線段AB的距離為1，EB＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).SO＝eq\r(SE2－OE2)＝eq\r(5－1)＝2，故正四棱錐SEFGH的體積為eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×2＝eq\f(4,3).7、【天津市和平區(qū)2020屆高考三?！咳鐖D甲所示的平面五邊形P