專題2.6對稱圖形圓（章節(jié)復(fù)習(xí)考點(diǎn)講練）學(xué)生版

20232024學(xué)年蘇科版九年級上冊冊章節(jié)知識講練專題2.6對稱圖形—圓（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點(diǎn)講練）知識點(diǎn)01：圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1．圓的定義

(1)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的，叫做圓.

(2)圓是.

細(xì)節(jié)剖析：①圓心確定，半徑確定；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定，再確定，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是圖形，對稱中心是在中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑這條弦，并且平分②平分弦(不是直徑)的直徑于弦，并且平分弦所對的.

③弦的過圓心，且平分弦對的

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧.

細(xì)節(jié)剖析：在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的、平分弦所對的在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）3．兩圓的性質(zhì)

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)，對稱軸是.

(2)相交兩圓的連心線，相切兩圓的連心線經(jīng)過4．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：.

(2)圓周角：頂點(diǎn)在，叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于

②所對的圓周角相等；在中，相等的圓周角所對的弧相等.

③所對的弦為直徑；所對的圓周角為直角.

④如果，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的.

細(xì)節(jié)剖析：(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在；②角的兩邊都和圓

(2)圓周角定理成立的前提條件是在中.

知識點(diǎn)02：與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有

點(diǎn)P在⊙O外；點(diǎn)P在⊙O上；點(diǎn)P在⊙O內(nèi).

細(xì)節(jié)剖析：和是相對應(yīng)的，即知道就可以確定；知道也可以確定.2．判定幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上的方法

當(dāng)時(shí)，在⊙O上.

3．直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑為R，點(diǎn)O到直線的距離為.

(1)直線和⊙O沒有公共點(diǎn)直線和圓相離.

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線和⊙O相切.

(3)直線和⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和⊙O相交.

4．切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定：

①是圓的切線.

②是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條，它們的切線長，這兩條切線的夾角.

5．圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)的半徑為，圓心距.

(1)和沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離

.

(2)和沒有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部內(nèi)含

(3)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切.

(4)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部內(nèi)切.

(5)和有兩個(gè)公共點(diǎn)相交.

知識點(diǎn)03：三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是.細(xì)節(jié)剖析：(1)任何一個(gè)三角形都一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有個(gè)外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形，外角等于.

(2)叫圓外切四邊形，圓外切四邊形相等.

知識點(diǎn)04：圓中有關(guān)計(jì)算

1．圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.細(xì)節(jié)剖析：(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.考點(diǎn)一：垂徑定理【典例精講】（2023?薛城區(qū)二模）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長8m，輪子的吃水深度CD為2m，則該槳輪船的輪子直徑為（）A．10m B．8m C．6m D．5m【思路點(diǎn)撥】設(shè)半徑為r，再根據(jù)圓的性質(zhì)及勾股定理，可求出答案．【規(guī)范解答】解：設(shè)半徑為rm，則OA＝OC＝rm，∴OD＝（r﹣2）m，∵AB＝8m，∴AD＝4m，在Rt△ODA中，有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5m，則該槳輪船的輪子直徑為10m．故選：A．【考點(diǎn)評析】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵在于知道OC垂直平分AB這個(gè)隱藏的條件．【變式訓(xùn)練11】（2023?衢州二模）一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A，B，C，D四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．請你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【變式訓(xùn)練12】（2023?高州市一模）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可表達(dá)為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長為多少？【變式訓(xùn)練13】（2022秋?石景山區(qū)期末）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)代的語言表述如下，請解答：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直徑AB的長．考點(diǎn)二：圓心角、弧、弦的關(guān)系【典例精講】（2023?肅州區(qū)三模）下列語句中，正確的有（）（1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）長度相等的兩條弧是等弧；（4）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是對稱軸．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【思路點(diǎn)撥】由圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，等弧的概念，圓的對稱性，即可判斷．【規(guī)范解答】解：（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故（1）不符合題意；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故（2）不符合題意；（3）長度和度數(shù)相等的兩條弧是等弧，故（3）不符合題意；（4）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是對稱軸，故（4）不符合題意．∴正確的有0個(gè)．故選：A．【考點(diǎn)評析】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，等弧的概念，圓的認(rèn)識，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練21】（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，點(diǎn)A是優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)E，與圓交于點(diǎn)D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，則圓的半徑為（）A． B．3 C． D．【變式訓(xùn)練22】（2022秋?大荔縣期末）如圖，⊙O上依次有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，＝，連接AB，AD，BD，延長AB到點(diǎn)E，使BE＝AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，連接BF．求證：BF＝BD．【變式訓(xùn)練23】（2023?漢陽區(qū)模擬）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝16，以AB為直徑作半圓交AC于D，F(xiàn)為劣弧AD上一點(diǎn)，過D作DE⊥BC于E，DE的反向延長線交AF于G．（1）求證：D是AC中點(diǎn)；（2）如圖2，若F是的中點(diǎn)，連結(jié)FB交AC于H，求FH的長．考點(diǎn)三：圓周角定理【典例精講】（2023?甘孜州）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠OBA＝∠OAB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【規(guī)范解答】解：∵∠C＝30°，∴∠AOB＝2∠C＝60°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，故選：C．【考點(diǎn)評析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠AOB度數(shù)和得出∠OAB＝∠OBA．【變式訓(xùn)練31】（2023?南關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，一塊直角三角板的30°角的頂點(diǎn)P落在⊙O上，兩邊分別交⊙O于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)AO，BO，則∠AOB的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．80° D．90°【變式訓(xùn)練32】（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖，在⊙O中，AB＝CD，弦AB與CD相交于點(diǎn)M．（1）求證：＝．（2）連接AC，AD，若AD是⊙O的直徑，求證：∠BAC+2∠BAD＝90°．【變式訓(xùn)練33】（2022秋?海陵區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B是第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，以AB為直徑的圓交x軸于D，C兩點(diǎn)．（1）OA與OD滿足什么條件時(shí)，AC＝BC，寫出滿足的條件，并證明AC＝BC；（2）在（1）的條件下，若OA＝1，，求CD長．考點(diǎn)四：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【典例精講】（2023?長嶺縣模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝128°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．100° B．128° C．104° D．124°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理求解即可．【規(guī)范解答】解：四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，由圓周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，故選：C．【考點(diǎn)評析】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識．【變式訓(xùn)練41】（2023?樂東縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，AB為半圓O的直徑，連接OC，若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∠BCD＝140°，則∠ABC的度數(shù)為°．【變式訓(xùn)練42】（2023?方城縣模擬）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AC為圓O的直徑，∠BAC＝∠ADB．（1）試說明△ABC的形狀；（2）若，．①求CD的長度；②將△ABD沿BD所在的直線折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A′，連接BA′、CA′，直接寫出∠BA′C的度數(shù)．【變式訓(xùn)練43】（2023?南安市校級模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝90°，BA＝DA，作BF⊥AD于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF、DE相交于點(diǎn)M．求證：四邊形BCDM是菱形．考點(diǎn)五：直線與圓的位置關(guān)系【典例精講】（2022秋?華容區(qū)期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以C為圓心所作的圓與邊AB僅一個(gè)交點(diǎn)，則半徑r為r＝4.8或6＜r≤8．【思路點(diǎn)撥】要使圓與斜邊AB有1個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)滿足直線AB和圓相切即圓心到斜邊的距離為半徑即斜邊上的高；或圓與直線AB相交，此時(shí)半徑要大于AC且半徑不大于BC．【規(guī)范解答】解：當(dāng)直線AB和圓相切時(shí)，圓心到斜邊的距離為半徑即斜邊上的高，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，∴；當(dāng)圓與直線AB相交，此時(shí)半徑要大于AC且半徑不大于BC，∴6＜r≤8；故答案為：r＝4.8或6＜r≤8．【考點(diǎn)評析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，正確理解相切，相交的基本條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練51】（2023?南關(guān)區(qū)校級三模）如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB＝45°，點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過點(diǎn)P且與OA平行的直線與⊙O有公共點(diǎn)，設(shè)OP＝x，則x的取值范圍是【變式訓(xùn)練52】（2023?未央?yún)^(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠DAB．（1）判定直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并說明你的理由；（2）若AD＝3，AC＝4，求圓的半徑．【變式訓(xùn)練53】（2023?任丘市校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AD的垂線，分別交AB與AD的延長線于點(diǎn)E和點(diǎn)F．（1）判斷EF與⊙O的位置關(guān)系，并證明；（2）若，通過計(jì)算比較⊙O的直徑與劣弧的長度哪個(gè)更長．考點(diǎn)六：切線的判定與性質(zhì)【典例精講】（2022秋?雄縣期末）在黑板上有如下內(nèi)容：“如圖，AB是半圓O所在圓的直徑，AB＝2，點(diǎn)C在半圓上，過點(diǎn)C的直線交AB的延長線于點(diǎn)D．”王老師要求添加條件后，編制一道題目，下列判斷正確的是（）嘉嘉：若給出∠DCB＝∠BAC，則可證明直線CD是半圓O的切線；淇淇：若給出直線CD是⊙O的切線，且BC＝BD，則可求出△ADC的面積．A．只有嘉嘉的正確 B．只有淇淇的正確 C．嘉嘉和淇淇的都不正確 D．嘉嘉和淇淇的都正確【思路點(diǎn)撥】根據(jù)切線的求證方法，如圖所示（見詳解），連接OC，證明OC⊥CD即可求解；根據(jù)切線的性質(zhì)，BC＝BD，可求出等腰三角形，等邊三角形，根據(jù)含特殊角的直角三角形的直線可求出各邊的長度，由此即可求解．【規(guī)范解答】解：∵AB是半圓O所在圓的直徑，∴∠ACB＝90°，如圖所示，連接OC，∵OA，OC是半徑，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠OAC+∠OCB＝90°，嘉嘉給出的條件是：∠DCB＝∠BAC，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CD，且點(diǎn)C在圓上，∴直線CD是半圓O的切線，故嘉嘉給出的條件正確；淇淇給出的條件：直線CD是⊙O的切線，且BC＝BD，如圖所示，∴OC⊥CD，且△BCD是等腰三角形，∴∠DCB+∠BCO＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠DCB，∵∠COB＝2∠ACO，∠CBO＝2∠DCB，∴CO＝CB，且CO＝BO，∴△OBC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠BCD＝∠D＝30°，∵AB＝2，∴OA＝OC＝OB＝BC＝BD＝1，∴AD＝3，如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥OB于E，在△OBC是等邊三角形，，∴，故淇淇給出的條件正確，故選：D．【考點(diǎn)評析】本題主要考查圓與特殊角的直角三角形的綜合，掌握圓切線的求證方法，含特殊角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練61】（2022秋?順平縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)D，過點(diǎn)A的直線與DC交于點(diǎn)C，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠BOD＝2∠BAD B．如果AD平分∠ODC，AD＝OD C．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC D．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切線【變式訓(xùn)練62】（2022秋?邯山區(qū)校級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點(diǎn)D作⊙O的切線CD交BA的延長線于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OE∥AD交CD于點(diǎn)E，連接BE．（1）直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的長．【變式訓(xùn)練63】（2023?瀘縣校級模擬）已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上的一點(diǎn)，AE⊥CD交DC的延長線于E，交⊙O于G，CF⊥AB于F，點(diǎn)C是弧BG的中點(diǎn)．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的兩根，求CE和AG的長．考點(diǎn)七：切線長定理【典例精講】（2022秋?潮州期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為（）A．8 B．12 C．16 D．20【思路點(diǎn)撥】由切線長定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，則可求得答案．【規(guī)范解答】解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周長為16．故選：C．【考點(diǎn)評析】本題主要考查切線的性質(zhì)，利用切線長定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練71】（2022秋?濱?？h期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝8，CD＝12，則四邊形ABCD的周長為．【變式訓(xùn)練72】（2021秋?高安市期末）如圖，PA、PB、CD是⊙O的切線，點(diǎn)A、B、E為切點(diǎn)．（1）如果△PCD的周長為10，求PA的長；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②連AE，BE，求∠AEB．【變式訓(xùn)練73】（2021?濱?？h一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點(diǎn)E，△PCD的周長為12，∠APB＝60°．求：（1）PA的長；（2）∠COD的度數(shù)．考點(diǎn)八：切割線定理【典例精講】（2021春?永嘉縣校級期末）如圖，四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，AB、DC的延長線交于點(diǎn)P，若C是PD的中點(diǎn)，且PD＝6，PB＝2，那么AB的長為（）A．9 B．7 C．3 D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)切割線定理得到PC?PD＝PB?PA，代入計(jì)算得到答案．【規(guī)范解答】解：∵C是PD的中點(diǎn)，PD＝6，∴PC＝CD＝PD＝3，由切割線定理得，PC?PD＝PB?PA，即3×6＝2×PA，解得，PA＝9，∴AB＝PA﹣PB＝7，故選：B．【考點(diǎn)評析】本題考查的是切割線定理，掌握從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練81】．（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，已知⊙O與Rt△AOB的斜邊交于C，D兩點(diǎn)，C、D恰好是AB的三等分點(diǎn)，若⊙O的半徑等于5，則AB的長為．【變式訓(xùn)練82】．（2017秋?回民區(qū)期末）如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的長．【變式訓(xùn)練83】（2016?洪山區(qū)校級模擬）如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點(diǎn)，若PE＝2，CD＝1，求DE的長．考點(diǎn)九：正多邊形和圓【典例精講】（2022秋?安徽期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，PD與⊙O相切于點(diǎn)D，連接OE并延長，交PD于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．36° B．28° C．20° D．18°【思路點(diǎn)撥】連接OD，利用切線的性質(zhì)證明∠ODP＝90°，再利用正五邊形的性質(zhì)求出∠POD，可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，連接OD．∵PD是⊙O的切線，∴∠ODP＝90°，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠EOD＝＝72°，∴∠P＝90°﹣∠POD＝18°．故選：D．【考點(diǎn)評析】本題考查正多邊形與圓，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正五邊形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練91】（2023?東莞市校級二模）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝20°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式訓(xùn)練92】（2023?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，點(diǎn)E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點(diǎn)C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點(diǎn)C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是．【變式訓(xùn)練93】（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，⊙O是△PAD的外接圓，⊙O交邊AB與于點(diǎn)E．（1）求證：PA＝PD；（2）當(dāng)AE是以點(diǎn)O為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：．考點(diǎn)十：弧長的計(jì)算【典例精講】（2022秋?綏中縣期末）已知：如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，半徑OA＝18，將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則的長為（）A．2π B．3π C．4π D．5π【思路點(diǎn)撥】如圖，連接OD．根據(jù)折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)推知△ODB是等邊三角形，則易求∠AOD＝100°﹣∠DOB＝40°，然后由弧長公式弧長的公式l＝來求的長．【規(guī)范解答】解：如圖，連接OD．根據(jù)折疊的性質(zhì)知，OB＝DB．又∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，即△ODB是等邊三角形，∴∠DOB＝60°．∵∠AOB＝100°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝40°，∴的長為＝4π．故選：C．【考點(diǎn)評析】本題考查了弧長的計(jì)算，翻折變換（折疊問題）．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．所以由折疊的性質(zhì)推知△ODB是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵之處．【變式訓(xùn)練101】（2023?定遠(yuǎn)縣校級三模）東南環(huán)立交是蘇州中心城區(qū)城市快速內(nèi)環(huán)道路系統(tǒng)的重要節(jié)點(diǎn)，也是江蘇省最大規(guī)模的城市立交．左圖是該立交橋的部分道路示意圖（道路寬度忽略不計(jì)），A為立交橋入口，D、G為出口，其中直行道為AB、CD、FG，且AB＝CD＝FG；彎道是以點(diǎn)O為圓心的一段弧，且BC、CE、EF所在的圓心角均為90°．甲、乙兩車由A口同時(shí)駛?cè)肓⒔粯颍?6m/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車到點(diǎn)O的距離y（m）與時(shí)間x（s）的對應(yīng)關(guān)系如圖所示．結(jié)合題目信息，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．該段立交橋總長為672m B．從G口出比從D口出多行駛192m C．甲車在立交橋上共行駛22s D．甲車從G口出，乙車從D口出【變式訓(xùn)練102】（2023?浙江二模）如圖，已知⊙O的半徑為，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連結(jié)AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．（1）求的長；（2）求證：AD平分△ABC的外角∠EAC．【變式訓(xùn)練103】（2023?叢臺區(qū)四模）如圖，將半徑為5的扇形AOB，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°得到扇形COD．（1）∠A與∠D的數(shù)量關(guān)系是：∠A＝∠D；（2）求證：△AOG≌△DOE；（3）當(dāng)AD為直徑時(shí)，OB⊥CD，求a的值及優(yōu)弧AB的長．考點(diǎn)十一：扇形面積的計(jì)算【典例精講】（2023?乾安縣四模）如圖①，一個(gè)扇形紙片的圓心角為90°，半徑為4．如圖②，將這張扇形紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)O恰好重合，折痕為CD，圖中陰影為重合部分，則陰影部分的面積為．【思路點(diǎn)撥】連接OD，根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠AOD，根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：連接OD，在Rt△OCD中，，∴∠ODC＝30°，，∴∠COD＝60°，∴陰影部分的面積＝，故答案為：．【考點(diǎn)評析】本題考查的是扇形面積計(jì)算、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握扇形面積公式．【變式訓(xùn)練111】（2023?鄲城縣三模）如圖，在△ABC中