直線的傾斜角與斜率

2.2.1直線的傾斜角與斜率第2課時(shí)新授課1.理解直線的方向向量和法向量的概念，會(huì)利用方向向量判斷三點(diǎn)共線.

思考1：(1)一條直線的傾斜程度可以用什么描述？知識(shí)點(diǎn)一：直線的方向向量傾斜角與斜率

一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的一個(gè)方向向量，記作a//l.例如，a=(1，0)是所有傾斜角為0°(即與y軸垂直)的直線的一個(gè)方向向量，

b=(0，1)是所有傾斜角為90°(即與x軸垂直)的直線的一個(gè)方向向量，

c=(1，1)是所有傾斜角為45°的直線的一個(gè)方向向量，如圖所示.概念講解

提示：(1)如果a為直線l的一個(gè)方向向量，那么對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ≠0，向量λa都是l的一個(gè)方向向量，而且直線l的任意兩個(gè)方向向量一定共線：是直線l的一個(gè)方向向量.(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則問題1：直線l的方向向量是否同向？不一定同向，當(dāng)λ>0時(shí)，同向；當(dāng)λ<0時(shí)，反向，所以直線l的方向向量可以同向共線，也可以反向共線.

則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosθ，sinθ).

(2)一般地，如果直線l的傾斜角為θ，斜率為k，那么直線l的一個(gè)方向向量該如何表示？

思考3：(1)如圖所示，如果a=(-1，1)為直線l的一個(gè)方向向量，那么直線l的斜率k和傾斜角θ該如何表示？若直線l的斜率為k，則(1，k)也是直線l的一個(gè)方向向量，因此a=(-1，1)與(1，k)共線.可得k=-1.即tanθ=-1，因此θ=135°.(-1)×k=1×1從而(2)一般地，如果已知a=(u，v)為直線l的一個(gè)方向向量，那么直線l的斜率k和傾斜角θ該如何表示？一般地，如果已知a=(u，v)為直線l的一個(gè)方向向量，則：(1)當(dāng)u=0時(shí)，顯然直線l的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)當(dāng)u≠0時(shí)，直線l的斜率是存在的，而且此時(shí)(1，k)與a=(u，v)都是直線l的一個(gè)方向向量，由直線的任意兩個(gè)方向向量共線可知1×v=k×u，從而

解：由已知可得是直線l的一個(gè)方向向量.例2已知A(-3，-1)，B(1，3)，C(5，8)，判斷A，B，C是否共線.

又因?yàn)?×9≠4×8，所以AB與AC不共線，從而A，B，C不共線.解：(方法一)因?yàn)橛忠驗(yàn)閗AB≠kAC，所以AB與AC不共線，從而A，B，C不共線.歸納總結(jié)如果A，B，C是平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)不同的點(diǎn)，則這三點(diǎn)共線的充要條件是與共線.三點(diǎn)共線的充要條件：ABC練一練求證：A(1，5)，B(0，2)，C(2，8)三點(diǎn)共線.(方法二)∵∴即A，B，C三點(diǎn)共線.證明：(方法一)∵∴kAB=kAC，即A，B，C三點(diǎn)共線.一般地，如果表示非零向量v的有向線段所在直線與直線l垂直，則稱向量v為直線l的一個(gè)法向量，記作v⊥l.知識(shí)點(diǎn)二：直線的法向量1-1-11yxvl2l1

問題2：如圖所示，非零向量v在直線l2上，直線l1和l2有什么關(guān)系？非零向量v和l2有什么關(guān)系？l1⊥l2v⊥l2

當(dāng)x0與y0不全為0時(shí)，因?yàn)橄蛄?x0，y0)與(y0，-x0)是互相垂直的，所以，如果其中一個(gè)為直線l的一個(gè)方向向量，則另一個(gè)一定是直線l的一個(gè)法向量.yxvla

問題3：如圖所示，若向量a，v分別是直線l的方向向量和法向量，向量a，v之間有怎樣的位置關(guān)系？a⊥v已知直線過點(diǎn)A(-1,-2),B(3,2),求直線的一個(gè)方向向量a,法向量v,斜率k與傾斜角θ.練一