北師版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 7.5 三角形內(nèi)角和定理（1）課件

第七章平行線的證明7.5三角形內(nèi)角和定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.證明三角形內(nèi)角和定理，掌握它的兩個(gè)推論，并能運(yùn)用這些定理解決簡(jiǎn)單的問題.2.經(jīng)歷探索與證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展推理能力.3.在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問題的經(jīng)驗(yàn)，提升解決問題的能力.復(fù)習(xí)回顧三角形的內(nèi)角和等于_______.ABC180°以前我們都用什么方法探索過這個(gè)結(jié)論呢？度量66°50°64°銳角三角形50°+64°+66°=180°度量26°118°36°26°+118°+36°=180°鈍角三角形度量19°71°19°+71°=90°直角三角形剪拼ABC21折疊ABC123探究一：通過度量、剪拼圖或折疊的方法驗(yàn)證了幾個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，但這些三角形只是所有三角形中有限的幾個(gè)，而形狀不同的三角形有無數(shù)多個(gè)，我們?nèi)绾文艿贸觥八械娜切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角的和都等于180°”這個(gè)結(jié)論呢？根據(jù)前面給出的基本事實(shí)和定理去證明新課探究已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.ACB分析：延長BC到D，過點(diǎn)C作射線CE//BA（如下圖），這就相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.ACBDE12這里的CD，CE稱為輔助線，輔助線通常畫成虛線.證明：延長BC到D,過點(diǎn)C作射線CE//BA，則∠1=∠A(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠2=∠B(兩直線平行，同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義)，∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°.你還能用其他方法證明三角形內(nèi)角和定理嗎？ACBDE12例1.如圖，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABDC解：在△ABC中，∵∠B=38°，∠C=62°（已知），∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性質(zhì)）.∵AD平分∠BAC（已知），

∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形內(nèi)角和定理）.∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性質(zhì)）.在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形內(nèi)角和定理）.∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已證），ABDCACB1DACB1D探究二：觀察∠1在各圖形中的位置，它們有什么共同特征？BCA1D1.∠1的頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上;2.∠1和三角形共用一條邊;3.∠1的另一條邊是三角形的某條邊的延長線.外角的定義△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角，稱為△ABC的外角.如右圖，∠1是△ABC的∠ABC的外角.∠1與其他角有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？ACB1D432ACB1D432分析：如圖，∠1+∠4=180°（平角的定義），∠2+∠3+∠4=180°（三角形內(nèi)角和定理），∠1=∠2+∠3（等量代換）.定理三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.因?yàn)椤?＞0，∠3＞0，則∠1＞∠3，∠1＞∠2，即可得到如下結(jié)論：所以得到下面結(jié)論：定理三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.推論的概念

在上面，我們通過三角形的內(nèi)角和定理直接推導(dǎo)出兩個(gè)新定理.像這樣，由一個(gè)基本事實(shí)或定理直接推出的定理，叫做這個(gè)基本事實(shí)或定理的推論.推論可以當(dāng)做定理使用.例2.已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.

求證：AD//BC.

分析：要證明AD//BC，只需證明“同位角相等”或“內(nèi)錯(cuò)角相等”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”.EBACD證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∠B=∠C（已知），

∵AD平分∠EAC（已知），∴∠DAC=∠C（等量代換）.∴AD//BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.EBACD

ABDEFCABDEFC外角個(gè)數(shù)的探究1.一個(gè)三角形有六個(gè)外角；2.每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有兩個(gè).3.每一個(gè)頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角大小相等例3.如圖，∠4,∠5,∠6是△ABC

的三個(gè)外角，它們的和是多少？65432CAB1解：解法1：∵∠4=∠2+∠3，∠5=∠1+∠3，

∠6=∠1+∠2，∴∠4+∠5+∠6

=(∠2+∠3)+(∠1+∠3)+(∠1+∠2)

=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)65432CAB1解法2：∵∠4+∠1=180°，

∠5+∠2=180°，

∠6+∠3=180°，∴∠4+∠5+∠6+∠1+∠2+∠3=540°．

∵∠1+∠2+∠3=180°.∴∠4+∠5+∠6=540°-180°=360°.(三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ))例3.如圖，∠4,∠5,∠6是△ABC

的三個(gè)外角，它們的和是多少？65432CAB1解法3：過A作AD∥BC，∴∠5=∠7，∠6=∠8.∴∠4+∠5+∠6=∠4+∠7+∠8=360°.(兩直線平行，同位角相等)8D7例3.如圖，∠4,∠5,∠6是△ABC

的三個(gè)外角，它們的和是多少？性質(zhì)一：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.三角形外角的性質(zhì)性質(zhì)二：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.性質(zhì)三：三角形的外角和等于360°.總結(jié)歸納三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°.1.如圖，已知∠AEC=110°，求∠A+∠B+∠C+∠D的度數(shù).解：∵∠AEC是△ABE的外角,∴∠AEC=∠A+∠B=110°.∴∠AEC=∠C+∠D=110°.∴∠A+∠B+∠C+∠D=220°.∵∠AEC是△CDE的外角,ABCDE隨堂練習(xí)2.如圖，從A處觀測(cè)C處的仰角∠CAD=30°，從B處觀測(cè)C處的仰角∠CBD=45°.從C處觀測(cè)A、B兩處的視角∠A