北師大版2024-2025學年九年級數(shù)學上冊專題1.6特殊四邊形中的動點問題五大題型(50題)專題特訓（學生版+教師版）

專題1.6特殊四邊形中的動點問題五大題型（50題）【北師大版】【題型1與矩形有關的動點問題】1．（2024·河北唐山·二模）如圖，在矩形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從點D，B同時出發(fā)，沿DA，BC向終點A，C移動．要使四邊形AECF為平行四邊形，甲、乙分別給出了一個條件，下列判斷正確的是（

）甲：點E，F(xiàn)的運動速度相同；乙：AF=CEA．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行2．（23-24九年級·廣東潮州·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，點E在線段AD上，且AE=6cm，動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q在線段BC上．以vcm/s的速度由點B向點C運動，當△EAP與△PBQ全等時，A．2 B．4 C．4或65 D．2或3．（23-24九年級·江蘇揚州·期中）如圖，點E是矩形ABCD邊CD上一點，連接BE，將△CEB沿BE翻折，點C落在點F處，∠ABF的角平分線與EF的延長線交于點M，若AB=3，BC=6，當點E從點C運動到點D時，則點M運動的路徑長是（

）

A．2 B．3 C．4 D．54．（2024九年級·全國·專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，且OA=OB=OC=OD，點E從點B開始，沿四邊形的邊BA?AD運動至點D停止，CE與BD相交于點N，點F是線段CE的中點．連接

A．四邊形ABCD是矩形B．當點E是AB的中點時，OF=C．當AB=6，BC=8時，線段D．當點E在邊AB上，且∠COF=60°時，△OFN是等邊三角形5．（23-24九年級·浙江臺州·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，∠ACB=30°．點P從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，點Q從點C出發(fā)沿CA以每秒2個單位長度的速度向終點A運動．連接PQ，當時間是1秒時，PQ的長度是（

）

A．41 B．6 C．31 D．46．（2024·河南·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，點E是邊AB延長線上一點，BE=8，點M從點E出發(fā)，先以每秒2個單位長的速度向點B運動，點到達點B后，再以每秒6個單位長的速度沿射線BE方向運動，同時點N從點D出發(fā)，沿射線DC方向以每秒4個單位長的速度運動，設運動時間為t（s），若以E，M，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形，則t的值為（

）A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或137．（23-24九年級·四川自貢·期末）如圖．在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=10cm．BC=12cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發(fā)，以4cm/s的速度在線段BC上來回運動，當點P當?shù)竭_點D時，P、O兩點停止運動．在此運動過程中，出現(xiàn)PQA．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，78．（23-24九年級·天津薊州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=12，BC=18，點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點A運動，點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點C運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設點P運動時間為(1)當點P運動停止時，t=______，線段DP的長為______；(2)①用含t的式子填空：DP=______，BQ=______，AP=______；②t為何值時，四邊形ABQP為矩形，求出t的值；(3)在運動的過程中，是否存在某一時刻t，使以P，D，C，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由．9．（23-24九年級·云南昭通·階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=11，延長BC到點E，使CE=8．連接DE．動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線BC?CD向終點D運動，設點P運動的時間為t秒(t>0)．(1)求DE的長；(2)連接AP，當四邊形APED是平行四邊形時，求t的值；(3)連接BP、PD，設四邊形ABPD的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式．10．（23-24九年級·浙江溫州·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AB=62(1)求BC的長；(2)點P從點A開始沿著AD邊向點D以1cm/s的速度移動，點Q從點C開始沿著CB邊向點B以2cm/s的速度移動，如果P，Q分別從A，C同時出發(fā)，當點P運動到點D時，點Q也隨之停止運動．若設運動的時間為t秒，當(3)如圖，點E，G分別在邊AB，AD上，將△AEG沿EG折疊，點A恰好落在BC邊上的點F處．若5BE=AE，則AG長度為．【題型2與菱形形有關的動點問題】11．（23-24九年級·北京·期中）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，動點P在直線BC上運動，作∠APM=60°，且直線PM與直線CD相交于點G,G點到直線BC的距離為GH．(1)證明：∠BAP=∠GPC；(2)若P在線段BC上運動，求證：CP=DG；(3)若P在線段BC上運動，探求線段AC,CP,CH的一個數(shù)量關系，并證明你的結論．12．（23-24九年級·江蘇蘇州·期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=16，∠BAD=60°，點E從點A出發(fā)，沿AB以每秒4個單位長度的速度向終點B運動，當點E與點A不重合時，過點E作EF⊥AD于點F，作EG∥AD交AC于點G，過點G作射線AD垂線段GH，垂足為點H，得到矩形EFHG，設點E的運動時間為(1)當點H與點D重合時，t=；(2)設矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式；(3)設矩形EFHG的對角線EH與FG相交于點O′①當OO′∥AD時，②當OO′⊥AD13．（23-24九年級·廣西柳州·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=12cm，AB=18cm，CD=23cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線B?C?D

(1)當t為何值時，直線PQ把四邊形ABCD分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形？(2)只改變點Q的運動速度，使運動過程中某一時刻四邊形PBCQ為菱形，則點O的運動速度應為多少？14．（23-24九年級·江蘇無錫·期中）如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，對角線AC、BD交于點O，P從B點出發(fā)，沿B→D→C方向勻速運動，P點運動速度為1cm/s．圖2是點P運動時，△APC的面積y（cm2）隨P點運動時間x（s）變化的函數(shù)圖像．(1)AB=cm，a=；(2)P點在BD上運動時，x為何值時，四邊形ADCP的面積為43(3)在P點運動過程中，是否存在某一時刻使得△APB為直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．15．（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）已知點P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上運動（點P不與B，C重合），且(1)如圖①，若AP⊥BC，求證：AP=AQ；(2)如圖②，若AP與BC不垂直，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．16．（23-24九年級·廣東廣州·期中）已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，點P為菱形內部或邊上一點．(1)如圖1，若點P在對角線BD上運動，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E在菱形ABCD內部或邊上，連接CE，求證：BP=CE．(2)如圖2，若點P在對角線BD上運動，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E在菱形ABCD的外部，若AB=4，DP=1，求CE；(3)如圖3，若∠APB=60°，點E，F(xiàn)分別在AP，BP上，且AE=BF，連接AF，EF，∠AFE=30°，求證：AF17．（23-24九年級·江蘇徐州·期中）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE=AD，且BE⊥DC．(1)求證：四邊形DBCE為菱形；(2)若△DBC是邊長為1的等邊三角形，點P、M、N分別在線段DC、DE、CE上運動，求PM+PN的最小值．18．（23-24九年級·河北廊坊·期中）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F(xiàn)分別是邊AB、BC上的點，且∠EDF=60°．(1)若點E是AB的中點，則DE與DF之間的數(shù)量關系為______；(2)若點E不是AB的中點，判斷DE與DF之間的數(shù)量關系并說明理由；(3)若AB=4，直接寫出△EDF周長的最小值；(4)當點E在AB邊上運動時，小亮發(fā)現(xiàn)，四邊形DEBF的面積保持不變，請你幫助小亮驗證他的發(fā)現(xiàn)．19．（23-24九年級·遼寧沈陽·期末）如圖1，已知△ABD≌△CBD,AB=AD,CB=CD，點E從點A出發(fā)，沿A→D→B的方向以1cm/s的速度勻速運動到點B．圖2是點E運動時△EBC的面積ycm2(1)BD=__________；(2)求a的值．20．（23-24九年級·重慶北碚·期中）如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°．點P，Q分別以每秒2個單位長度的速度同時從點A出發(fā)，點P沿折線A→D→C方向勻速運動，點Q沿折線A→B→C方向勻速運動，當兩者相遇時停止運動．設運動時間為x秒，點P，Q的距離為(1)請直接寫出y關于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質；(3)結合函數(shù)圖象，直接寫出當y≤4時x的取值范圍．【題型3與正方形有關的動點問題】21．（2024·山東臨沂·一模）在正方形ABCD中，E是BC邊上一點（點E不與點B，C重合），AE⊥EF，垂足為點E，EF與正方形的外角∠DCG的平分線交于點F．(1)如圖1，若點E是BC的中點，猜想AE與EF的數(shù)量關系是_________；證明此猜想時，可取AB的中點P，連接EP，根據(jù)此圖形易證△AEP≌△EFC，則判斷△AEP≌△EFC的依據(jù)是_______．(2)點E在BC邊上運動，如圖2，（1）中的猜想是否仍然成立？請說明理由．22．（23-24九年級·廣東廣州·期中）如圖，在正方形ABCD中，點M在CD邊上，點N在正方形ABCD外部，且滿足∠CMN=90°，CM=MN，連接AN，CN，取AN的中點E，連接BE，AC，交于F點．(1)依題意補全圖形；(2)求∠ABE的度數(shù)；(3)設AB=2，若點M沿著線段CD從點C運動到點D，則在該運動過程中，線段EN所掃過的面積為多少？23．（23-24九年級·河南周口·期末）正方形ABCD的邊長為4，點E從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿BC向點C運動．AE交BD于點F，DG⊥AE于點G，∠DGE的平分線GH分別交BD，CD于點P，H，連接FH，F(xiàn)C．設點E的運動時間為t．（1）在點E的運動過程中，∠DHG與∠DFC有什么數(shù)量關系？請證明你的結論；（2）當AE把正方形ABCD的面積分成1:2兩部分時，請直接寫出t的值．24．（23-24九年級·山西太原·期中）綜合與實踐問題情境在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“大小不等的兩個正方形”為主題開展數(shù)學活動，如圖1，現(xiàn)有一個邊長為6cm的正方形ABCD，點E從對角線AC的點A出發(fā)向點C運動，連接EB并延長至點F，使EF>AB，以EF為邊在EF右側作正方形EFGH，邊EH與射線DC交于點M操作發(fā)現(xiàn)（1）點E在運動過程中，判斷線段BE與線段EM之間的數(shù)量關系，并說明理由；實踐探究（2）在點E的運動過程中，某時刻正方形ABCD與正方形EFGH重疊的四邊形EBCM的面積是16cm2，求此時探究拓廣（3）請借助備用圖2，探究當點E不與點A，C重合時，線段AE，EC與MC之間存在的數(shù)量關系，請直接寫出.25．（23-24九年級·山東煙臺·期中）如圖，正方形ABCD中，對角線AC＝8cm．射線AF⊥AC，垂足為A．動點P從點C出發(fā)在CA上運動，動點Q從點A出發(fā)在射線AF上運動，兩點的運動速度都是2cm/s．若兩點同時出發(fā)，多少時間后，四邊形AQBP是特殊四邊形？請說明特殊四邊形的名稱及理由．26．（23-24九年級·河南安陽·期末）【問題情境】數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上一動點（點E與點B，C不重合），連接AE，作AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．【思考嘗試】（1）如圖1，當E是邊BC的中點時，觀察并猜想AE與EP的數(shù)量關系：________；【實踐探究】（2）小王同學受問題（1）的啟發(fā)，提出了新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，若E是邊BC上一動點（點E與點B，C不重合），那么問題（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；【拓展遷移】（3）小李同學深入研究了小王同學提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，當E在邊BC上運動時（點E與點B，C不重合），連接DP，AP．若知道正方形的邊長，則可以求出△ADP周長的最小值．當AB=4時，請你直接寫出△ADP周長的最小值：________．（說明：備用圖中CJ是外角∠DCG的平分線）27．（23-24九年級·吉林四平·期中）如圖1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2．動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段AB向終點B運動，過點P作PE⊥AB交AC于點E．以PE為一邊向右作正方形PEFG．設點P的運動時間為t秒．正方形PEFG與△ABC重疊部分圖形的面積為S．(1)當t=12時，(2)當點F落在BC上時，t=________；(3)當t=32時，在圖2中畫出圖形，并求出(4)連接CF，當△CEF是等腰三角形時，直接寫出t的值．28．（23-24九年級·山東濟南·期末）已知四邊形ABCD是邊長為8cm的正方形，P，Q是正方形邊上的兩個動點，點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A→B→C方向運動，點Q同時從點D出發(fā)以1cm/s速度沿D→C方向運動．設點P(1)如圖1，點P在AB邊上，PQ，AC相交于點O，當PQ，AC互相平分時，求t的值；(2)如圖2，點P在BC邊上，AP，BQ相交于點H，當AP⊥BQ時，求t的值．29．（23-24九年級·吉林·階段練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為16，∠A=∠B=∠C=∠D=90°;AB=BC=CD=AD，點P為正方形ABCD邊上的動點，動點P從點A出發(fā)，沿著A→B→C→D運動到D點時停止，設點P經過的路程為x,△APD的面積為y．(1)當x=4時，y=______；(2)當點P在邊BC上運動時，y=______；(3)若點E是邊BC上一點且CE=6，連接DE，是否存在一點P，使得△DCE與△BCP全等？若存在，求出此時x的值；若不存在，請說明理由．30．（23-24九年級·吉林·期中）如圖，AC為正方形ABCD的對角線，AB=4．動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，均以每秒2個單位長度的速度分別沿AB、CD向終點B、D運動．連接PQ交AC于點O，過點O作OE⊥PQ交邊AD于點E．設點P運動的時間為t秒．(1)當點P運動到邊AB的中點時，四邊形DEOQ的面積為__________；(2)連接AQ、PC，求證：四邊形APCQ是平行四邊形；(3)求四邊形APOE的面積；(4)當OA將四邊形APOE分成面積比為2:3兩部分時，直接寫出t的值．【題型4與梯形形有關的動點問題】31．（23-24九年級·吉林·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q

(1)當t=5時，P，Q兩點之間的距離為__________cm；(2)線段PC與DQ互相平分時，求t的值；(3)t為何值時，四邊形APQB的面積為梯形ABCD面積的31032．（23-24九年級·山東濟寧·階段練習）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24cm，E是BC的中點．動點P從點A出發(fā)沿AD向終點D運動，動點P平均每秒運動1cm；同時動點Q從點C出發(fā)沿CB向終點B運動，動點Q平均每秒運動2cm，當動點P停止運動時，動點(1)當動點P運動t(0<t<9)秒時，則PD=________；(用含t的代數(shù)式直接表示)(2)當動點Q運動t秒時，①若0<t<6，則EQ=________；(用含t的代數(shù)式直接表示)②若6<t<9，則EQ=________；(用含t的代數(shù)式直接表示)(3)當運動時間t為多少秒時，以點P，Q，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形？33．（23-24九年級·廣東廣州·期中）如圖①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°,AB=AC,G,F分別是AB、AC上的兩點，且GF//BC．AF=2,BG=4．（1）求梯形BCFG的面積；（2）如圖②，有一梯形DEFG與梯形BCFG重合，固定△ABC，將梯形DEFG向右運動，當點D與點C重合時梯形DEFG停止運動；①若某時段運動后形成的四邊形BDG'G中，DG⊥BG'，求運動路程BD的長，并求此時G'B②設運動中BD的長度為x，試用含x的代數(shù)式表示梯形DEFG與Rt△ABC重合部分面積S．34．（23-24九年級·廣東廣州·期末）如圖，在梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=20cm，AB=8cm，BC=26cm，動點P從A點開始沿AD邊向D以1cm/秒的速度運動，動點Q從C點開始沿CB邊向B以3cm/秒的速度運動，P、Q分別從A、C

(1)AP的長度為cm，PD的長度為cm，（用t的式子表示），其中t的取值范圍為．(2)當t為何值時，四邊形PBQD是平行四邊形，請說明理由；(3)朱華同學研究發(fā)現(xiàn)：按以上變化，四邊形PBQD在變化過程中不可能為菱形，除非改變動點的運動速度．請?zhí)骄咳绾胃淖僎點的速度（勻速運動），使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求此時點Q的速度．35．（23-24九年級·上海虹口·期末）如圖，已知∠ABP=90°，AB=8，點C、E在射線BP上（點C、E不與點B重合且點C在點E的左側），連接AC、AE，D為AC的中點，過點C作CF∥AE，交ED的延長線于點F，連接AF．(1)求證：四邊形ABCF是梯形；(2)如果CE=5，當△CDE為等腰三角形時，求BC的長．36．（23-24九年級·廣東惠州·期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，點E為AB上一點，且AE=2cm，點F為AD上一動點，以EF為邊作菱形EFGH，且點H落在邊BC上，點G在梯形

(1)直接寫出CD的長與∠DCB的度數(shù)．(2)在點F運動過程中，是否存在某個x的值，使得四邊形EFGH為正方形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．(3)若菱形EFGH的頂點G恰好在邊CD上，則求出此時x的值．

37．（2024九年級·上?！ｎ}練習）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18，BC=21．點P從點A出發(fā)沿AD以每秒1個單位的速度向點D勻速運動，點Q從點C沿CB以每秒2個單位的速度向點B勻速運動．點P、Q同時出發(fā)，其中一個點到達終點時兩點停止運動，設運動的時間為(1)當AB=10時，設A、B、Q、P四點構成的圖形的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式，并寫出定義域；(2)設E、F為AB、CD的中點，求四邊形PEQF是平行四邊形時t的值．38．（23-24九年級·山東淄博·期末）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，動點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/s速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3cm/s的速度運動．點P、Q分別從點A(1)t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？(2)t為何值時，四邊形ABQP為矩形？(3)是否存在t，使梯形ABQP的面積為24cm39．（23-24九年級·廣東惠州·期中）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，點E為AB上一點，且AE=2cm；點F為AD上一動點，以EF為邊作菱形EFGH，且點H落在邊BC上，點G在梯形ABCD的內部或邊（1）直接寫出CD的長與∠DCB的度數(shù)：CD=______，∠DCB=______；（2）在點F運動過程中，是否存在某個x的值，使得四邊形EFGH為正方形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由；（3）若菱形EFGH的頂點G恰好在邊CD上，則求出點G在CD上的位置和此時x的值．40．（23-24九年級·海南?？凇て谥校┤鐖D，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠?B=90°，AD=6，BC=8，設點P，Q運動的時間是t秒(t＞0)．（1）設PQ的長為y，在點P從點M向點B運動的過程中，寫出y與t之間的函數(shù)關系式（不必寫t的取值范圍）．（2）當BP=1時，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積．（3）隨著時間t的變化，線段AD會有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個時刻會達到最大值，請回答：該最大值能否持續(xù)一個時段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．【題型5平面直角坐標系中與特殊四邊形有關的動點問題】41．（23-24九年級·甘肅定西·階段練習）如圖，平行四邊形OABC的頂點O為坐標原點，A點在x軸正半軸上，∠COA=60°，OA=10cm，OC=4cm，點P從C點出發(fā)沿CB方向，以1cm/s的速度向點B運動；點Q從(1)求點C，B的坐標（結果用根號表示）(2)從運動開始，經過多少時間，四邊形OCPQ是平行四邊形；(3)在點P、Q運動過程中，四邊形OCPQ有可能成為菱形嗎？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由．42．（23-24九年級·浙江金華·期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，B的坐標分別為A0,4，B8,4，點D為對角線OB中點，點E在x軸上運動，連接DE，把△ODE沿DE翻折，點(1)當點F在第四象限時（如圖1），求證：DE∥BF．(2)當點F落在矩形的某條邊上時，求EF的長．(3)是否存在點E，使得以D，E，43．（23-24九年級·江蘇揚州·階段練習）已知，如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A10,0，C0,3，點D是OA的中點，動點P在線段BC上以每秒2個單位長的速度由點C向B運動.設動點P的運動時間為

(1)當t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形；(2)在直線CB上是否存在一點Q，使得O、D、Q、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)在線段PB上有一點M且PM=5，直接寫出四邊形OAMP的周長的最小值，并在圖上畫圖標出點M的位置，44．（23-24九年級·安徽阜陽·期中）如圖，在菱形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為6，0，∠COA=60°．動點P從點A出發(fā)，沿著射線AO以每秒3個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，沿著射線CB以每秒1個單位長度的速度運動．點P，Q同時出發(fā)，設運動時間為(1)求點C的坐標．(2)當t=1時，求△POQ的面積．(3)試探究在點P，Q運動的過程中，是否存在某一時刻，使得以C，O，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請求出此時t的值與點Q的坐標；若不存在，請說明理由．45．（23-24九年級·江蘇無錫·期中）如圖，正方形OABC的頂點O在坐標原點，定點A的坐標為4,3．

(1)求正方形OABC頂點C的坐標為（，）頂點B的坐標為（，）；(2)現(xiàn)有一動點P從C點出發(fā)，沿線段CB向終點B運動，P的速度為每秒1個單位長度，同時另一動點Q從點A出發(fā)沿A→O→C向終點C運動，速度為每秒k個單位長度．設運動時間為2秒時，將三角形CPQ沿它的一邊翻折，若翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，求k的值．46．（23-24九年級·江蘇揚州·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B坐標為12,5，點D在CB邊上從點C運動到點B，以AD為邊作正方形ADEF，連BE、BF，在點D運動過程中，請?zhí)骄恳韵聠栴}：(1)若△BEF為直角三角形，求此時正方形ADEF的邊長；(2)△ABF的面積是否改變，如果不變，求出該定值；如果改變，請說明理由；(3)設Ex,y，直接寫出y關于x的函數(shù)關系式及自變量x47．（23-24九年級·江蘇無錫·期中）如圖，正方形OABC的頂點B的坐標為2，?2，Dm，0為x軸上的一個動點(m>2)，以BD(1)線段CD的長為_______（用m的代數(shù)式表示）．(2)試判斷線段AD與CF的數(shù)量關系，并說明理由；(3)設正方形BDEF的對稱中心為M，直線CM交y軸于點G．隨著點D的運動，點G的位置是否會發(fā)生變化？若保持不變，請求出點G的坐標；若發(fā)生變化，請說明理由．48．（23-24九年級·福建福州·期中）如圖①所示，以正方形ABCO的點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中線段OA在y軸上，線段OC在x軸上，其中正方形ABCO的周長為16．(1)直接寫出B、C兩點坐標；(2)如圖②，連接OB，若點P在y軸上，且S△BOP=2S(3)如圖③，若OB//DE，點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向運動，連接PB,PE．則∠OBP，∠DEP，∠BPE三個角之間具有怎樣的數(shù)量關系（不考慮點P與點O，D，C重合的情況）？并說明理由．49．（23-24九年級·江蘇宿遷·期中））如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為(?3,3)．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的正方向運動；點Q從點O同時出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運動，連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D．BD與y軸交于點E，連接PE，設點P運動的時間為t(s(1)∠EBP的度數(shù)為______，點D的坐標為______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當t=1時，平面內是否存在點M，使以點P、D、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)在整個運動過程中，判斷線段PE、AP與CE之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．50．（23-24九年級·吉林四平·期末）如圖1，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°．B?3,0，C(1)點A坐標為，四邊形ABOD的面積為；(2)如圖2，點E在線段AC上運動，△DEF為等邊三角形．①求證：AF=BE，并求AF的最小值；②點E在線段AC上運動時，點F的橫坐標是否發(fā)生變化？若不變，請求出點F的橫坐標．若變化，請說明理由．專題1.6特殊四邊形中的動點問題五大題型（50題）【北師大版】【題型1與矩形有關的動點問題】1．（2024·河北唐山·二模）如圖，在矩形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從點D，B同時出發(fā)，沿DA，BC向終點A，C移動．要使四邊形AECF為平行四邊形，甲、乙分別給出了一個條件，下列判斷正確的是（

）甲：點E，F(xiàn)的運動速度相同；乙：AF=CEA．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的性質與判定，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．添加甲，根據(jù)題意可知DE=BF，從而推出AE∥CF，AE=CF，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理進行判斷即可；添加乙，根據(jù)AF=CE可證Rt△ABF≌Rt△CDE，知道DE=BF，從而推出AE=CF【詳解】若添加甲條件，可證四邊形AECF為平行四邊形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形∴AD=BC，AD∴AE∥CF又∵點E，F(xiàn)分別從點D，B同時出發(fā)且運動速度相同∴DE=BF∴AD?DE=BC?BF即AE=CF∴四邊形AECF為平行四邊形；若添加乙條件，可證四邊形AECF為平行四邊形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC∴AE∥CF在Rt△ABF和RtAB=CD∴∴DE=BF∴AD?DE=BC?BF即AE=CF∴四邊形AECF為平行四邊形．故選A．2．（23-24九年級·廣東潮州·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，點E在線段AD上，且AE=6cm，動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q在線段BC上．以vcm/s的速度由點B向點C運動，當△EAP與△PBQ全等時，A．2 B．4 C．4或65 D．2或【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質及全等三角形的判定與性質等知識點，數(shù)形結合、分類討論并熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．當△EAP與△PBQ全等時，有兩種情況：①當EA=PB時，△APE≌△BQP，②當AP=BP時，△AEP≌△BQP，分別按照全等三角形的性質及行程問題的基本數(shù)量關系求解即可．【詳解】解：當△EAP與△PBQ全等時，有兩種情況：①當EA=PB時，△APE≌△BQP(SAS∵AB=10cm，AE=6∴BP=AE=6cm，AP=4∴BQ=AP=4cm∵動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B∴點P和點Q的運動時間為：4÷2=2s∴v=4÷2=2cm/s②當AP=BP時，△AEP≌△BQP(SAS∵AB=10cm，AE=6∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6∵5÷2=2.5s，∴2.5v=6，∴v=綜上，v的值為2或125故選：D．3．（23-24九年級·江蘇揚州·期中）如圖，點E是矩形ABCD邊CD上一點，連接BE，將△CEB沿BE翻折，點C落在點F處，∠ABF的角平分線與EF的延長線交于點M，若AB=3，BC=6，當點E從點C運動到點D時，則點M運動的路徑長是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質和翻折變換，全等三角形的判定和性質，勾股定理，過點M作MG⊥BA，交BA的延長線于點G，延長GM交CD的延長線于點H，則四邊形ADHG為矩形，由折疊可得△BCE≌△BFE，得到∠BFE=∠C=90°，BC=BF=6，進而可得△BGM≌△BFMAAS，從而判斷出點M在GH上運動，又由全等三角形的性質可得MG=MF，CD=DF=3，設MG=MF=x，則MD=x+3，MH=GH?GM=6?x，由勾股定理得MD2=MH2+D【詳解】解：如圖，過點M作MG⊥BA，交BA的延長線于點G，延長GM交CD的延長線于點H，則四邊形ADHG為矩形，

∴GH=AD=BC=6，AG=HD，BG=CH，由折疊得，△BCE≌△BFE，∴∠BFE=∠C=90°，BC=BF=6，∴∠G=∠BFM=90°，∵BM為∠GBF的平分線，∴∠GBM=∠FBM，在△BGM和△BFM中，∠GBM=∠FBM∠G=∠BFM∴△BGM≌△BFM(AAS∴BG=BF=6，∴AG=BG?AB=3，∵點M在GH上，∴點M到AD的距離等于AG=3，即點M在GH上運動，∴點E與點C重合時，點M與點H重合，當點E與點D重合時，如圖，

∵△BGM≌△BFM，∴MG=MF，∵△BCE≌△BFE，∴CD=DF=3，∵四邊形ADHG為矩形，∴DH=AG=3，設MG=MF=x，則MD=x+3，MH=GH?GM=6?x，∵∠H=90°，∴MD∴x+32解得x=2，∴MH=GH?GM=6?2=4，∴當點E從點C運動到點D時，點M運動的路徑長為線段HM的長，等于4，故選：C．4．（2024九年級·全國·專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，且OA=OB=OC=OD，點E從點B開始，沿四邊形的邊BA?AD運動至點D停止，CE與BD相交于點N，點F是線段CE的中點．連接

A．四邊形ABCD是矩形B．當點E是AB的中點時，OF=C．當AB=6，BC=8時，線段D．當點E在邊AB上，且∠COF=60°時，△OFN是等邊三角形【答案】D【分析】本題考查矩形的判定和性質，三角形中位線的性質，等邊三角形的判定等．根據(jù)矩形的判定得出A選項，根據(jù)中位線定理判斷B選項，根據(jù)當點E與點D重合時OF的值最大得出C選項，進而根據(jù)等邊三角形的判定判斷D選項即可．【詳解】解：∵OA=OB=OC=OD，∴四邊形ABCD是矩形，故A正確，不符合題意．∵點O，F(xiàn)分別是AC，∴OF是△ACE的中位線．∴OF=又∵點E是AB的中點，∴CD=AB=2AE．∴CD=4OF，即OF=1故B正確，不符合題意．當點E與點D重合時，OF的值最大．∵AD=BC=8，∴AE的最大值是8．∴OF=12AE=4，即線段OF故C正確，不符合題意．當∠COF=60°時，∠OAB=60°，又∵OA=OB，∴∠OBA=60°，∴∠FON=60°，∵∠BEN>∠OAB，∴∠OFN≠60°，∴△OFN不是等邊三角形，故D錯誤，符合題意；故選D．5．（23-24九年級·浙江臺州·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，∠ACB=30°．點P從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，點Q從點C出發(fā)沿CA以每秒2個單位長度的速度向終點A運動．連接PQ，當時間是1秒時，PQ的長度是（

）

A．41 B．6 C．31 D．4【答案】C【分析】本題主要考查了矩形的性質，含30°的直角三角形的性質，作QH⊥AB，根據(jù)題意得AC=2AB=8，CQ=2，進而可得AQ=8?2=6，AH=12AQ=3，QH=33，根據(jù)題意知AP=1，得【詳解】解：作QH⊥AB，由矩形ABCD中，AB=4，∠ACB=30°，

則AC=2AB=8，CQ=1×2=2，則AQ=8?2=6，AH=12AQ=3由題意知，AP=1×1=1，則PH=3?1=2，得PQ=P故選：C．6．（2024·河南·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，點E是邊AB延長線上一點，BE=8，點M從點E出發(fā)，先以每秒2個單位長的速度向點B運動，點到達點B后，再以每秒6個單位長的速度沿射線BE方向運動，同時點N從點D出發(fā)，沿射線DC方向以每秒4個單位長的速度運動，設運動時間為t（s），若以E，M，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形，則t的值為（

）A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或13【答案】D【分析】本題考查了矩形、平行四邊形的性質及判定的應用．由題得出共四種情況，當M從E向B運動時，N在DC上時；當點N在射線DC上的點C右側時；當點M從點B向點E運動且點M在BE上時；當點M從點B向點E方向運動且點M在點E右側時，根據(jù)每種情況，分別求出NC和ME，令NC=ME，再求出t即可．【詳解】解：由題得，DN=4t，∵四邊形ABCD是矩形，∴NC∥∴若NC=ME，則以E、M、C，N為頂點的四邊形是平行四邊形，∵DC=AB=6，∴CN=6?4t，當M從E向B運動時，EM=2t，當N在DC上時，即0≤t≤3得6?4t=2t，∴t=1；當點N在射線DC上的點C右側時，即32<t≤4時，∴4t?6=2t，∴t=3；當點M從點B向點E運動且點M在BE上時，即4<t≤16ME=8?6(t?4)，∴8?6(t?4)=4t?6，∴t=19當點M從點B向點E方向運動且點M在點E右側時，即t>16ME=6(t?4)?8，∴6(t?4)?8=4t?6，∴t=13；綜上t的值為1或3或13．故選：D．7．（23-24九年級·四川自貢·期末）如圖．在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=10cm．BC=12cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發(fā)，以4cm/s的速度在線段BC上來回運動，當點P當?shù)竭_點D時，P、O兩點停止運動．在此運動過程中，出現(xiàn)PQA．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的性質，動點問題，勾股定理，根據(jù)題意分別求得PQ∥CD和PQ=CD的情形，分類討論，即可求解．【詳解】解：設點P的運動時間為t，∵AD=10，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，，當點P當?shù)竭_點D時，P∴t=101=10秒，∵BC=12cm，點Q從點C同時出發(fā)，以4cm/∴124當PQ∥CD時，則四邊形∴PD=CQ當0≤t<3時，點Q從C到B運動，CQ=4t∴10?t=4t，解得：t=2當3≤t<6時，點Q從B到C運動，CQ=2×12?4t∴10?t=2×12?4t，解得：t=當6≤t<9時，點Q從C到B運動，CQ=4t?2×12∴10?t=4t?2×12，解得：t=當9≤t≤10，點Q從B到C運動，CQ=3×12?4t∴10?t=3×12?4t，解得：t=26∴PQ∥如圖所示，過點P,D分別作BC的垂線，垂足分別為F,E，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四邊形ABED是矩形，∴BE=AD=10，CE=BC?BE=12?10=2，DE=AB=8,∴Rt△CDE中，DC=當PQ=CD時，在Rt△PFQ中，∴FQ=2當0≤t<3時，點Q從C到B運動，F(xiàn)Q=∴12?5t=2，解得：t=2或當3≤t<6時，點Q從B到C運動，F(xiàn)Q=∴12?3t=2，解得：t=10當6≤t<9時，點Q從C到B運動，F(xiàn)Q=∴36?5t=2，解得：t=34當9≤t≤10，點Q從B到C運動，，F(xiàn)Q=∴36?3t=2，解得：t=383∴PQ=CD能出現(xiàn)6次，故選：A．8．（23-24九年級·天津薊州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=12，BC=18，點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點A運動，點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點C運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設點P運動時間為(1)當點P運動停止時，t=______，線段DP的長為______；(2)①用含t的式子填空：DP=______，BQ=______，AP=______；②t為何值時，四邊形ABQP為矩形，求出t的值；(3)在運動的過程中，是否存在某一時刻t，使以P，D，C，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)9；9(2)①t；2t；12?t；②t=4(3)t=6【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，矩形的判定，一元一次方程的幾何應用：（1）分別計算出點P和點Q到達終點的時間，進而得到停止時間，據(jù)此求出對應的DP的長即可；（2）①根據(jù)題意列出對應的代數(shù)式即可；②根據(jù)題意可得當四邊形ABQP是平行四邊形時，四邊形ABQP是矩形，則AP=BQ，據(jù)此列出方程求解即可；（3）根據(jù)題意可得四邊形PDCQ為平行四邊形，則PD=CQ，據(jù)此列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵121∴點P運動9秒后停止，即t=9，∴DP=1×9=9，故答案為：9；9；（2）解：①由題意得，DP=t，∵AD=12，∴AP=AD?DP=12?t，故答案為：t；2t；12?t；②∵∠A=90°，∴當四邊形ABQP是平行四邊形時，四邊形ABQP是矩形，∴此時有AP=BQ，∴12?t=2t，解得t=4；（3）解：∵以P，D，C，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，且PQ∥CQ，∴此時四邊形PDCQ為平行四邊形，∴PD=CQ，∴t=18?2t，解得t=6．9．（23-24九年級·云南昭通·階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=11，延長BC到點E，使CE=8．連接DE．動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線BC?CD向終點D運動，設點P運動的時間為t秒(t>0)．(1)求DE的長；(2)連接AP，當四邊形APED是平行四邊形時，求t的值；(3)連接BP、PD，設四邊形ABPD的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式．【答案】(1)10(2)當四邊形APED是平行四邊形時，t的值為4(3)S=【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，平行四邊形的性質，梯形面積的計算，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）因為四邊形ABCD是矩形，所以AB=CD=6，根據(jù)勾股定理列式DE=6（2）因為四邊形APED是平行四邊形，所以PE=AD=11，則BP=BC+CE?PE=8，結合運動速度列式計算，即可作答．（3）進行分類討論，即當0<t<112時；當【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，∠BCD=90在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE=6（2）解：∵四邊形APED是平行四邊形，∴PE=AD=11，∴BP=BC+CE?PE=8，∴t=8÷2=4，∴當四邊形APED是平行四邊形時，t的值為4；（3）解：∵BC=AD=11，DC=AB=6，且動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線BC?CD向終點∴當0<t<11由題意知，BP=2t，∴S=12當112≤t<17∴S=12綜上．S=10．（23-24九年級·浙江溫州·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AB=62(1)求BC的長；(2)點P從點A開始沿著AD邊向點D以1cm/s的速度移動，點Q從點C開始沿著CB邊向點B以2cm/s的速度移動，如果P，Q分別從A，C同時出發(fā)，當點P運動到點D時，點Q也隨之停止運動．若設運動的時間為t秒，當(3)如圖，點E，G分別在邊AB，AD上，將△AEG沿EG折疊，點A恰好落在BC邊上的點F處．若5BE=AE，則AG長度為．【答案】(1)BC=24(2)當PQ與四邊形ABCD的其中一邊平行時，此時t的值為8s或103(3)10【分析】（1）過A作AH⊥BC于點H，過點D作DM⊥BC于點M，利用等腰直角三角形的性質，矩形的判定與和直角三角形的性質，勾股定理解答即可；（2）利用t的代數(shù)式表示出相等AP，PD，CQ，BQ的長度，再利用分類討論的思想方法分兩種情況，依據(jù)平行四邊形的對邊相等的性質列出關于t的方程解答即可；（3）過E作EH⊥BC于點H，過點A作AK⊥BC于點K，過點G作GI⊥BC于點I，設AG=GF=xcm，利用等腰直角三角形的性質和折疊的性質表示出線段GF，F(xiàn)I，GI的長度，再利用勾股定理列出方程解答即可．【詳解】（1）解：過A作AH⊥BC于點H，過點D作DM⊥BC于點M，如圖，∵AH⊥BC，∠B=45°，∴AH=BH=22AB=6(∵AD∥BC，AH⊥BC，∴四邊形AHMD為矩形，∴DM=AH=6，HM=AD=10cm∴CM=CD2?D∴BC=BH+HM+MC=6+8+10=24(cm（2）由題意得：AP=tcm，CQ=2tcm，∴PD=(10?t)cm，BQ=(24?2t)①當PQ∥∵PQ∥∴四邊形ABQP為平行四邊形，∴AP=BQ，∴t=24?2t，∴t=8．②當PQ∥∵PQ∥∴四邊形PQCD為平行四邊形，∴DP=CQ，∴10?t=2t，∴t=103綜上，當PQ與四邊形ABCD的其中一邊平行時，此時t的值為8s或103（3）過E作EH⊥BC于點H，過點A作AK⊥BC于點K，過點G作GI⊥BC于點I，如圖，∵AB=62cm，5BE=AE∴BE=2cm，AE=52cm，∵EH⊥BC，∠B=45°∴BH=EH=22BE=1(同理可求AK=BK=6cm由題意得：EF=AE=52cm，AG=GF，設AG=GF=xcm，∴HF=EF2?E∴BF=BH+FH=8(cm∵AK⊥BC，GI⊥BC，AD∥∴四邊形AKIG為矩形，∴KI=AG=xcm，AK=GI=6，∴FI=BK+KI?BF=6+x?8=(x?2)cm∵FI∴(x?2)2∴x=10．∴AG長度為10．故答案為：10．【點睛】本題考查了矩形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，勾股定理和折疊的性質，分類討論是解題的關鍵．【題型2與菱形形有關的動點問題】11．（23-24九年級·北京·期中）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，動點P在直線BC上運動，作∠APM=60°，且直線PM與直線CD相交于點G,G點到直線BC的距離為GH．(1)證明：∠BAP=∠GPC；(2)若P在線段BC上運動，求證：CP=DG；(3)若P在線段BC上運動，探求線段AC,CP,CH的一個數(shù)量關系，并證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)AC=CP+2CH，理由見解析【分析】此題考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，菱形的性質，含30°角的直角三角形的性質；（1）根據(jù)菱形的性質得到∠ABC=60°，進而根據(jù)三角形的外角的性質，即可得到結論；（2）過點P作PE∥CD交AC于點E，連接AG先證明△AEP≌△GCP，再證明△APG是等邊三角形．從而得到△APC≌△AGD，進而即可得到結論；（3）根據(jù)等邊三角形的性質可知AC=CD，結合PC=DG，以及直角三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵ABCD為菱形，∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∵∠APM=60°，∴∠APC=∠APM+∠GPC=∠ABP+∠BAP，∴∠BAP=∠GPC；（2）過點P作PE∥CD交AC于點E，連接AG∵ABCD為菱形，∠BAD=120°，∴∠ACB=∠ACD=60°．∵PE∥CD，∴∠EPC=∠ACD=60°．∴△CPE是等邊三角形．∴EP=PC,∠PEC=60°．∵∠AEP=∠PCG=120°，∠BAP=∠GPC∴△AEP≌△GCP．∴AP=PG．∵∠APM=60°，∴△APG是等邊三角形．∴AP=AG．∵∠PAC+∠CAG=60°,∠CAG+∠GAD=60°，∴∠PAC=∠GAD．∵AC=AD，∴△APC≌△AGD∴PC=DG．（3）AC=CP+2CH，理由如下：∵AC=CD,CD=CG+DG，∴AC=CG+DG．∵PC=DG，∴AC=CG+CP．∵∠GHC=90°,∠GCH=60°，∴∠CGH=30°，∴CG=2CH，∴AC=2CH+CP．12．（23-24九年級·江蘇蘇州·期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=16，∠BAD=60°，點E從點A出發(fā)，沿AB以每秒4個單位長度的速度向終點B運動，當點E與點A不重合時，過點E作EF⊥AD于點F，作EG∥AD交AC于點G，過點G作射線AD垂線段GH，垂足為點H，得到矩形EFHG，設點E的運動時間為(1)當點H與點D重合時，t=；(2)設矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式；(3)設矩形EFHG的對角線EH與FG相交于點O′①當OO′∥AD時，②當OO′⊥AD【答案】(1)t=(2)S=(3)①4；②3【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，可得GE=AE=4t，F(xiàn)H=GE=4t，AF=12AE=2t，EF=AE2?AF2=23t，（2）①當H在邊AD上，即0<t≤83時，根據(jù)三角形的面積公式即可解答；②當H在邊AD延長線上，即83<t≤4時，設HG交CD于M，求出（3）①當O′O∥AD時，證明O′O是△AFG的中位線，得O是AG中點，從而可得G與C重合，此時，E與②當OO′⊥AD時，延長OO′交AD于N，證明O′N是△FGH的中位線，從而可得AN=AF+FN=4t，而在Rt△AON中，【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴∠DAC=∠BAC=1∵GE∥AD，∴∠GEB=∠BAD=60°，∴∠EGA=∠GEB?∠BAC=30°，∴∠EGA=∠BAC=30°，∴GE=AE=4t，∵四邊形EFHG是矩形，∴FH=GE=4t，在Rt△AEF中，AF=12∴AH=AF+FH=6t，當點H與點D重合時，AH=AD，∴6t=16，∴t=8（2）解：①當H在邊AD上，即0<t≤8

矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積即是矩形EFHG的面積，∴S=EF?FH=23②當H在邊AD延長線上，即83設HG交CD于M，如圖：

在Rt△DHM中，∠HDM=∠DAB=60°，DH=AH?AD=6t?16∴DM=2DH=12t?32，HM=D∴S∴矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積S=EF?FH?S綜上所述，矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積S=8（3）解：①當O′過點A作AT∥FO′，交∵O′O∥AD，∴四邊形FATO∴AT=FO∵四邊形EFHG是矩形，∴O′是FG的中點，則∴AT=GO∵AT∥∴∠T=∠GO∴△OO∴OA=OG，又∵O是AC中點，OA=OC，∴G與C重合，此時，E與B重合，∴t=AE故答案為：4；②當OO′⊥AD時，延長OO′

∵OO′∴OO∵O′是∴O′N∴N是FH的中點，∵FH=4t，∴FN=HN=2t，∴AN=AF+FN=4t，在Rt△AOB中，AB=16，∠OAB=30°∴OB=8，OA=A在Rt△AON中，∠DAC=30°∴ON=12OA=4∴4t=12，∴t=3．【點睛】本題考查菱形性質及應用、矩形的性質應用，涉及勾股定理、中位線定理等的應用，解題的關鍵是方程的思想的應用，用t表達出相關線段的長度，再列方程解決問題．13．（23-24九年級·廣西柳州·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=12cm，AB=18cm，CD=23cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線B?C?D

(1)當t為何值時，直線PQ把四邊形ABCD分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形？(2)只改變點Q的運動速度，使運動過程中某一時刻四邊形PBCQ為菱形，則點O的運動速度應為多少？【答案】(1)t=313(2)當Q點的速度為5.2cm/s【分析】本題考查了四邊形的綜合題，涉及到菱形的性質、平行四邊形的性質，矩形的性質與判定，勾股定理．（1）過點B作BH⊥CD于H，證明四邊形ADHB是矩形，得到BH=AD=12cm，DH=AB=18cm，則CH=5cm，在Rt△HBC中，由勾股定理得BC=BH2+C（3）設Q的速度為xcm/s，Q在CD邊上，此時PBCQ【詳解】（1）解：如圖所示，過點B作BH⊥CD于H，∵AB∥CD，∠ADC=90°，∴∠A=90°，∴四邊形ADHB是矩形，∴BH=AD=12cm，∴CH=5cm在Rt△HBC中，由勾股定理得BC=

∴Q在BC上運動時間為13÷2=6.5s，∵BC+CD=23+13=36cm∴Q運動時間最長為36÷2=18s當點Q在BC上時，直線PQ把四邊形ABCD分成兩個部分，不可能存在其中的一部分是平行四邊形，當6.5s≤t≤18s時，Q此時，直線PQ把四邊形ABCD分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形，分兩種情況：①四邊形PQCB是平行四邊形，如圖所示：

∵AB∥CD即PB∥CQ∴只需PB=CQ即可，由題意得，AP=tcm，PB=18?t∴18?t=2t?13解得：t=31②四邊形ADQP是平行四邊形，如圖所示：

同理∵AP∥DQ∴只需AP=DQ，四邊形ADQP是平行四邊形∵DQ=CD+CB?2t=36?2t∴36?2t=t解得：t=12綜上所述：當t=313s或12s時，直線（2）解：設Q的速度為xcm/s，由（2）可知，Q在CD∵PB∥CQ∴只需滿足PB=BC=CQ即可由題意得，PB=18?tcm，CQ=∴18?t=13，xt?13=13，解得：t=5s，∴當Q點的速度為5.2cm/s14．（23-24九年級·江蘇無錫·期中）如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，對角線AC、BD交于點O，P從B點出發(fā)，沿B→D→C方向勻速運動，P點運動速度為1cm/s．圖2是點P運動時，△APC的面積y（cm2）隨P點運動時間x（s）變化的函數(shù)圖像．(1)AB=cm，a=；(2)P點在BD上運動時，x為何值時，四邊形ADCP的面積為43(3)在P點運動過程中，是否存在某一時刻使得△APB為直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)2，3(2)x=(3)存在，x的值為3或433或【分析】（1）由圖2知，當點P在點A時，y=△ABC的面積=3=34（2）由四邊形ADCP的面積=SΔACD（3）①當點P和點O重合時，∠APB為直角，則x=BP=3；②當∠BAP′為直角時，則PP′=33，則x=BP+PP′=433；③當∠BAP″為直角時，則x=BD+DP【詳解】（1）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，則△ABC、△ACD為全等的兩個等邊三角形，設△ABC的邊長為b，則其面積為34由圖2知，當點P在點A時，y=△ABC的面積=3=解得b=±2（負值已舍去），即菱形的邊長為2，則AB=2（cm），由題意知，點P與點O重合時，對于圖2的a所在的位置，則AO=1，故a=BO=A故答案為2；3．（2）解：由（1）知點P在BO段運動時，對于圖2第一段直線，而該直線過點(0,3)、(3設其對應的函數(shù)表達式為y=kx+t，則t=33k+t=0故該段函數(shù)的表達式為y=?x+3當點P在BD上運動時，四邊形ADCP的面積為433，則點P只能在則四邊形ADCP的面積=SΔACD解得x=2（3）解：存在，理由：由（1）知，菱形的邊長為2，則BP=3，AO=1過點A作AP′′⊥DC于點P′′交BD于點P′，∵ΔABC、ΔACD①當點P和點O重合時，∠APB為直角，則x=BP=3②當∠BAP′為直角時，則同理可得：PP′=33，則③當∠BAP′′為直角時，則x=BD+DP′′=23綜上，x的值為3或433或【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質、直角三角形和菱形的性質、三角形全等和相似、面積的計算等．15．（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）已知點P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上運動（點P不與B，C重合），且(1)如圖①，若AP⊥BC，求證：AP=AQ；(2)如圖②，若AP與BC不垂直，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)成立，證明見解析．【分析】本題考查菱形的性質及全等三角形性質與判定，解題的關鍵是熟練運用全等三角形的性質與判定，本題屬于中等題型．（1）根據(jù)菱形的性質、結合已知得到AQ⊥CD，證明△APB≌△AQD，由全等三角形的性質可得AP=AQ；（2）作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，由（1）的結論得到∠EAP=∠FAQ，證明△AEP≌△AFQ，根據(jù)全等三角形的性質證明．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，∵∠PAQ=∠B，∴∠PAQ+∠C=180°，∴∠APC+∠AQC=180°，∵AP⊥BC，∴∠APC=90°∴∠AQC=90°在△APB和△AQD中，∠B=∠D∴△APB≌△AQD(∴AP=AQ；（2）（1）中的結論還成立，理由如下：如圖，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．由（1）可得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，∴∠EAP=∠FAQ，在△AEP和△AFQ中，∠AEP=∠AF∠Q=90°∴△AEP≌△AFQ(ASA∴AP=AQ；16．（23-24九年級·廣東廣州·期中）已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，點P為菱形內部或邊上一點．(1)如圖1，若點P在對角線BD上運動，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E在菱形ABCD內部或邊上，連接CE，求證：BP=CE．(2)如圖2，若點P在對角線BD上運動，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E在菱形ABCD的外部，若AB=4，DP=1，求CE；(3)如圖3，若∠APB=60°，點E，F(xiàn)分別在AP，BP上，且AE=BF，連接AF，EF，∠AFE=30°，求證：AF【答案】(1)見解析(2)4(3)見解析【分析】（1）連接AC，根據(jù)菱形的性質和等邊三角形的性質證明△BAP≌△CAE，再根據(jù)全等三角形的性質即可得證；（2）連接AC，根據(jù)菱形的性質和等邊三角形的性質證明△BAP≌△CAE，再根據(jù)全等三角形的性質及線段的和差即可證CE=BD?PD，然后根據(jù)菱形的性質和勾股定理即可得出BD，從而得出答案；（3）連接AC交BP于點G，連接CF，CE，利用SAS證明△CBF≌△CAE，得出CF=CE，∠BCF=∠ACE，再根據(jù)角的和差求出∠AFC=90°，然后根據(jù)勾股定理即可得證．【詳解】（1）證明：如圖1，連接AC∵四邊形ABCD是菱形∴AB=CB∵∠ABC=60°∴△ABC是等邊三角形∴AB=AC，∠BAC=60°∵△APE是等邊三角形∴AP=AE，∠PAE=60°∴∠BAP=∠CAE=60°?∠PAC∴△BAP≌△CAE∴BP=CE；（2）解：如圖2，連接AC，交BD于點M∵四邊形ABCD是菱形∴AB=CB，∠ABD=12∠ABC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∠ABD=30°∴AB=AC，∠BAC=60°，AM=∴BM=∴BD=2BM=4∵△APE是等邊三角形∴AP=AE，∠PAE=60°∵∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP，∠CAE=∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP∴∠BAP=∠CAE又∵AB=AC，AP=AE∴△BAP≌△CAE∴BP=CE；∵BP=BD?PD∴CE=BD?PD=43（3）證明：如圖3，連接AC交BP于點G，連接CF，CE∵四邊形ABCD是菱形∴AB=CB∵∠ABC=60°∴△ABC是等邊三角形∴CB=AC，∠ACB=60°∵∠APB=60°，∠AGP=∠BGC∴∠CBF=∠CAE又∵CB=CA，BF=AE∴△CBF≌△CAE∴CF=CE，∠BCF=∠ACE∴∠BCF+∠FCA=∠ACE+∠FCA∴∠ACB=∠ECF=60°∴△CEF是等邊三角形∴∠ECF=60°，EF=CF∵∠AFE=30°∴∠AFC=90°∴A即AF【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，涉及到等邊三角形的判定及性質、全等三角形的判定及性質、勾股定理、菱形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．17．（23-24九年級·江蘇徐州·期中）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE=AD，且BE⊥DC．(1)求證：四邊形DBCE為菱形；(2)若△DBC是邊長為1的等邊三角形，點P、M、N分別在線段DC、DE、CE上運動，求PM+PN的最小值．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）先證BC∥DE，BC=DE，得到四邊形DBCE是平行四邊形，再根據(jù)（2）作N關于DC的對稱點N′，過D作DH⊥BC于H，由對稱性可得PM+PN=PM+PN′，當P、M、N′共線時，PM+PN′=M【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵DE=AD，∴DE=BC，∵E在AD的延長線上，∴DE∥∴四邊形DBCE是平行四邊形，∵BE⊥DC，∴?DBCE是菱形；（2）解：作N關于DC的對稱點N′，過D作DH⊥BC于H由菱形的對稱性知，點N關于DC的對稱點N′在BC∴PM+PN=PM+PN∴當P、M、N′共線時，PM+P∵DE∥∴MN′的最小值為平行線間距離即PM+PN的最小值為DH的長，∵△DBC是邊長為1的等邊三角形，∴BD=BC=CD=1，∵DH⊥BC，∴BH=1∴在Rt△DBH中，DH=∴PM+PN的最小值為32【點睛】本題考查平行四邊形的性質，菱形的判定及性質，最短路徑問題，等邊三角形的性質，勾股定理，平行線間的距離．綜合運用相關知識，熟練運用化歸思想是解題的關鍵．18．（23-24九年級·河北廊坊·期中）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F(xiàn)分別是邊AB、BC上的點，且∠EDF=60°．(1)若點E是AB的中點，則DE與DF之間的數(shù)量關系為______；(2)若點E不是AB的中點，判斷DE與DF之間的數(shù)量關系并說明理由；(3)若AB=4，直接寫出△EDF周長的最小值；(4)當點E在AB邊上運動時，小亮發(fā)現(xiàn)，四邊形DEBF的面積保持不變，請你幫助小亮驗證他的發(fā)現(xiàn)．【答案】(1)DE=DF(2)DE=DF；理由見解析(3)6(4)見解析【分析】（1）連接BD，得出△ABD為等邊三角形，求出∠ADB=60°，證明△BDE≌△BDF，得出DE=DF；（2）連接BD，根據(jù)四邊形ABCD為菱形，得出AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=60°，AB∥CD，∠ABD=∠CBD，證明△ADE≌△BDF，得出DE=DF；（3）證明△EDF為等邊三角形，得出當DE最小時，△EDF的周長最小，根據(jù)垂線段最短，得出當DE⊥AB時，DE最小，求出最小值即可；（4）根據(jù)△ADE≌△BDF，得出S△ADE=【詳解】（1）解：連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=60°，AB∥CD，∠ABD=∠CBD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠ADB=60°，∵點E是AB的中點，∴∠ADE=∠BDE=1∵∠EDF=60°，∴∠BDF=60°?30°=30°，∴∠BDE=∠BDF，∵BD=BD，∴△BDE≌△BDF，∴DE=DF；（2）解：連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=60°，AB∥CD，∠ABD=∠CBD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠ADB=60°，BD=AD，∵AB∥CD，∴∠ABC=180°?∠C=120°，∴∠ABD=∠CBD=1∴∠DBF=∠A=60°，∵∠ADB=∠EDF=60°，∴∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDF，∴∠ADE=∠BDF，∵BD=BD，∴△ADE≌△BDF，∴DE=DF；（3）解：∵DE=DF，∠EDF=60°，∴△EDF為等邊三角形，∴當DE最小時，△EDF的周長最小，∵垂線段最短，∴當DE⊥AB時，DE最小，根據(jù)解析（2）可知，△ABD為等邊三角形，∴當DE⊥AB時，AE=BE=1∴DE=A∴△EDF周長的最小值為3×23（4）解：根據(jù)解析（2）可知，△ADE≌△BDF，∴S△ADE∴S===1【點睛】本題主要考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．19．（23-24九年級·遼寧沈陽·期末）如圖1，已知△ABD≌△CBD,AB=AD,CB=CD，點E從點A出發(fā)，沿A→D→B的方向以1cm/s的速度勻速運動到點B．圖2是點E運動時△EBC的面積ycm2(1)BD=__________；(2)求a的值．【答案】(1)5(2)5【分析】本題主要了動點問題的函數(shù)圖象，菱形的性質，解題的關鍵是根據(jù)圖象分析得出點E的位置于x的關系．（1）根據(jù)全等三角形的性質推出四邊形ABCD為菱形，則AD∥BC，進而得出當點E在AD上時，點E到BC的距離不變，由圖2可知，當0<x<a時，y的值不變，即可得出AD=a，當x=a+5時，點E與點B（2）過點D作DH⊥BC于點H，根據(jù)S△BCD=12BC?DH=a，求出DH=2，根據(jù)勾股定理得出BH=【詳解】（1）解：∵△ABD≌△CBD,AB=AD,CB=CD，∴AB=AD=CB=CD，∴四邊形ABCD為菱形，∴AD∥∴當點E在AD上時，點E到BC的距離不變，由圖2可知，當0<x<a時，y的值不變，∵點E的速度為1cm/s∴AD=a，∵當a<x<a+5時，y隨x∴當x=a+5時，點E與點B∴BD=5故答案為：5；（2）解：過點D作DH⊥BC于點H，∵BC=AD=a，S△BCD∴S△BCD=1解得：DH=2，在Rt△BDH中，根據(jù)勾股定理可得：BH=∴CH=BC?BH=a?1，在Rt△CDH中，根據(jù)勾股定理可得：C即a?12解得：a=520．（23-24九年級·重慶北碚·期中）如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°．點P，Q分別以每秒2個單位長度的速度同時從點A出發(fā)，點P沿折線A→D→C方向勻速運動，點Q沿折線A→B→C方向勻速運動，當兩者相遇時停止運動．設運動時間為x秒，點P，Q的距離為(1)請直接寫出y關于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質；(3)結合函數(shù)圖象，直接寫出當y≤4時x的取值范圍．【答案】(1)y=(2)見解析，當0≤x≤3時，y隨x的增大而增大，當3<x≤6時，y隨x的增大而減小(3)0≤x≤2或4≤x≤6【分析】此題考查了動點問題，一次函數(shù)的圖象及性質，菱形的性質及等邊三角形的判定和性質：（1）當點P在AD，點Q在AB上運動時，即0≤x≤3時，證明△APQ是等邊三角形，即可求解；當3<x≤6時，同理可解；（2）當x=0時，y=0，當x=3時，y=6，當x=12時，y=0，即可畫出函數(shù)圖象，進而求解；（3）觀察函數(shù)圖象即可求解．正確理解動點問題是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵菱形ABCD∴AD+DC=AB+BC=12∴總的運動時間為：12÷2=6（秒），當點P在AD，點Q在AB上運動時，即0≤x≤3時，連接PQ，由題意得AP=AQ，∴△APQ是等邊三角形，∴y=AP=2x；當點P在CD，點Q在CB上運動時，即3＜x≤6時，如圖所示：∴CP=12?2x，∴y=12?2x；綜上可得：y=2x（2）解：當x=0時，y=0，當x=3時，y=6，當x=12時，y=0，依次描點再連接該函數(shù)圖象如圖所示：當0≤x≤3時，y隨x的增大而增大，當3<x≤6時，y隨x的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?/p>