2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第11講第五章平面向量及解三角形章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷(19題新題型)(學(xué)生版+解析)

第12講第五章平面向量及解三角形章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷（19題新題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．，都是單位向量，則C．若，則 D．零向量方向任意2．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知均為平面單位向量，若，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知的重心為O，若向量，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）碧津塔是著名景點(diǎn)·某同學(xué)為了瀏量碧津塔的高，他在山下A處測(cè)得塔尖D的仰角為，再沿方向前進(jìn)24.4米到達(dá)山腳點(diǎn)B，測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為，塔底點(diǎn)E的仰角為，那么碧津塔高約為（，）（

）A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.526．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，已知圓O的半徑為2，弦長(zhǎng)為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）11．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習(xí)）如圖所示，在直角三角形中，是上一點(diǎn)，，，則下列說法中正確的有（

）A． B．C． D．三角形的面積三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，向量在向量方向上的投影為，則實(shí)數(shù)的值為．13．（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）在中，為上一點(diǎn)，為的平分線，則．14．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，圓是的外接圓，，，，若，則的最大值是．四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，，，，且.(1)求的值；(2)求向量與向量夾角的余弦值.16．（2024·安徽阜陽·一模）在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)求角的大??；(2)若，且，求的面積．17．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)分別為線段，上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值；(3)直線分別交線段于M，N兩點(diǎn)，若B，N，D三點(diǎn)在同一直線上，求的值.18．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）約會(huì)“哈爾濱”，松花江北岸一方繽紛的冰雪童話世界永藏記憶.龍年春節(jié)初六24時(shí)，隨著最后一名“小金豆”從超級(jí)大滑梯上滑下后走出大門，華麗繽紛的哈爾濱冰雪大世界正式閉園.游客從A處上至大滑梯頂端C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿電梯到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處出發(fā)，甲沿勻速步行，速度為.在甲出發(fā)后，乙從A乘電梯到B，在B處停留后，再勻速步行到C，假設(shè)電梯勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量得，.(1)求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)乙在電梯上與甲的距離最短時(shí)，乙出發(fā)了多少min?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過，問乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?19．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）將所有平面向量組成的集合記作，f是從到的映射，記作或，其中，，，，，都是實(shí)數(shù)．定義映射的模為：在的條件下的最大值，記作．若存在非零向量，及實(shí)數(shù)使得，則稱為的一個(gè)特征值．(1)若，求；(2)若，計(jì)算的特征值并求出相應(yīng)的；（若符合條件的向量有多個(gè)，寫出其中一個(gè)即可）(3)若，要使有唯一的特征值，實(shí)數(shù)，，，應(yīng)滿足什么條件？試找出一個(gè)映射，滿足以下兩個(gè)條件：①有唯一的特征值；②，并驗(yàn)證滿足這兩個(gè)條件．第12講第五章平面向量及解三角形章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷（19題新題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．，都是單位向量，則C．若，則 D．零向量方向任意【答案】C【分析】根據(jù)向量的相關(guān)定義即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，，A正確，對(duì)于B,，是單位向量，則，B正確，對(duì)于C，向量有大小和方向，不可以比較大小，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，零向量是模長(zhǎng)為0，方向任意的向量，D正確，故選：C2．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理解三角形.【詳解】中，由正弦定理，得.故選：A.3．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知均為平面單位向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將已知等式兩邊同時(shí)平方，得到，再由數(shù)量積公式得到，從而得到答案.【詳解】?jī)蛇呁瑫r(shí)平方得，則，解得，即，故選：B．4．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知的重心為O，若向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的重心性質(zhì)，將表示為，對(duì)照系數(shù)即可求得.【詳解】

如圖，設(shè)E是的中點(diǎn)，由于O是三角形的重心，所以．則.故選:D．5．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）碧津塔是著名景點(diǎn)·某同學(xué)為了瀏量碧津塔的高，他在山下A處測(cè)得塔尖D的仰角為，再沿方向前進(jìn)24.4米到達(dá)山腳點(diǎn)B，測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為，塔底點(diǎn)E的仰角為，那么碧津塔高約為（，）（

）A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出，再結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系求解即得.【詳解】在中，，則，，由正弦定理得，則，在中，，則，在中，，則，又，因此，，所以碧津塔高約為38.23米.故選：B6．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，已知圓O的半徑為2，弦長(zhǎng)為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，結(jié)合圖形分析臨界情況，即可得解.【詳解】依題意，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，當(dāng)與圓相切時(shí)取到最大值與最小值，如圖，根據(jù)對(duì)稱性，以下對(duì)左側(cè)圖形進(jìn)行分析，因?yàn)閳A的半徑為，弦長(zhǎng)，所以為等邊三角形，所以，連接，則，此時(shí)四邊形為平行四邊形，則，所以也為等邊三角形，所以，，所以，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)圖形所示位置，同理可得，所以，所以．故選：D7．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）在中，，，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．三邊均不相等的三角形C．等邊三角形 D．等腰（非等邊）三角形【答案】D【分析】結(jié)合條件利用數(shù)量積的運(yùn)算律得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求得，即可判斷三角形的形狀.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以為等腰非等邊三角?故選：D8．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，即可求出，最后由，利用兩角和的正切公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，即，由余弦定理得，又，所以，又，，所以，則，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，則下列對(duì)的個(gè)數(shù)的判斷正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，有兩解B．當(dāng)時(shí)，有一解C．當(dāng)時(shí)，無解D．當(dāng)時(shí)，有兩解【答案】AC【分析】由正弦定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，得到答案.【詳解】對(duì)于A，由正弦定理得，即，所以，又因?yàn)?，所以或，有兩解，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理得，無解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正弦定理得，無解，故C正確；對(duì)于D，由正弦定理得，又，所以為銳角，此三角形只有一解，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，則下列說法正確的是（

）A．的相反向量是B．若，則C．在上的投影向量為D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)相反向量定義以及投影向量的公式計(jì)算可以判斷AC，計(jì)算，由向量垂直以及向量共線的運(yùn)算法則計(jì)算可求出的值，從而判斷BD.【詳解】對(duì)于A，由相反向量的定義，即可得到的相反向量是，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，且，所以，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，又，且，所以，解得，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習(xí)）如圖所示，在直角三角形中，是上一點(diǎn)，，，則下列說法中正確的有（

）A． B．C． D．三角形的面積【答案】ACD【分析】對(duì)于A，設(shè)表示出，利用，在三角形中，正弦定理求出的值，進(jìn)而判斷A；對(duì)于B，根據(jù)，即可判斷B；由，判斷C；利用，判斷D.【詳解】設(shè)，則在直角三角形中，，在三角形中，，根據(jù)正弦定理可得，即，得，所以，因?yàn)椋?，所以，即，所以，?duì)于A選項(xiàng)，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以由正弦定理得，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，向量在向量方向上的投影為，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】/【分析】由向量在向量方向上的投影為以及，計(jì)算的值，代入中，可求出的值.【詳解】由題知，，，，．故答案為：13．（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）在中，為上一點(diǎn)，為的平分線，則．【答案】【分析】由余弦定理計(jì)算的長(zhǎng)，依據(jù)三角形面積結(jié)合三角形面積公式可求出.【詳解】由余弦定理可得，而，所以，整理可得：，解得或（舍），為的平分線，所以，因?yàn)?，而，所以，解得．故答案為?4．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，圓是的外接圓，，，，若，則的最大值是．【答案】【分析】分別取的中點(diǎn)，連接，易得，，再根據(jù)，，分別求出，，從而可求出，再利用基本不等式即可得解.【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，則，故，，又，，所以，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：先根據(jù)數(shù)量積的定義分別求出，，再根據(jù)，，分別求出，，求出，是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，，，，且.(1)求的值；(2)求向量與向量夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出的坐標(biāo)，由向量平行的判斷方法可得關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)與的夾角為，由向量夾角公式計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，，，則，因?yàn)?，則有，解得.（2）可知，，設(shè)與的夾角為，則，所以，向量與向量夾角的余弦值為.16．（2024·安徽阜陽·一模）在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)求角的大小；(2)若，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理邊化角，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以根?jù)正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，即．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．?）．因?yàn)?，所以①．因?yàn)?，所以②．?lián)立①②可得，解得（負(fù)根舍去），故的面積為．17．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)分別為線段，上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值；(3)直線分別交線段于M，N兩點(diǎn)，若B，N，D三點(diǎn)在同一直線上，求的值.【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合模長(zhǎng)公式即可求解，（2）根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解，（3）根據(jù)三點(diǎn)共線共線即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，，，即．（2），．（3）連接三點(diǎn)共線，，為的中點(diǎn)，．(3)到之間（含端點(diǎn)值）【分析】（1）利用和余弦差公式求出每個(gè)角的正弦和余弦值，然后通過正弦定理即可求出的長(zhǎng)；（2）設(shè)從乙開始出發(fā)經(jīng)過了分鐘后，甲乙兩人分別在點(diǎn)處，即可得到米，米，然后使用余弦定理即可將表示為關(guān)于的函數(shù)，再研究該函數(shù)的最小值點(diǎn)即可；（3）設(shè)乙步行時(shí)每分鐘走米，然后分別計(jì)算出甲乙兩人到點(diǎn)時(shí)的取值，由條件知甲乙兩人到點(diǎn)時(shí)的取值之差的絕對(duì)值不超過，從而得到關(guān)于的不等式.最后解該不等式即可得到所求范圍.【詳解】（1）我們記，，，根據(jù)條件有，，.這意味著，，從而，故.所以由正弦定理有.（2）設(shè)從乙開始出發(fā)經(jīng)過了分鐘后，甲乙兩人分別在點(diǎn)處，則米，米.同時(shí)，乙在電梯上的時(shí)間段對(duì)應(yīng)，即.由余弦定理知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)最短，從而當(dāng)乙在電梯上與甲的距離最短時(shí)，乙出發(fā)了.（3）首先由正弦定理有.當(dāng)甲到達(dá)點(diǎn)時(shí)，有，即.設(shè)乙