2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習講義(新高考)第01講平面向量的概念及其線性運算(知識+真題+7類高頻考點)(精講)(學生版+解析)

第01講平面向量的概念及其線性運算目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：平面向量的概念與表示 4高頻考點二：模 4高頻考點三：零向量與單位向量 5高頻考點四：相等向量 6高頻考點五：平面向量的加法與減法 6高頻考點六：平面向量的數(shù)乘 7高頻考點七：共線向量定理的應用 8第四部分：典型易錯題型 9備注：“”的方向是任意的 9第五部分：新定義題 9第一部分：基礎知識1、向量的有關概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量表示方法：向量或；?；?（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.（3）單位向量：長度等于1個單位的向量，常用表示.特別的：非零向量的單位向量是.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；特別的：與任一向量平行或共線.（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.2、向量的線性運算2.1向量的加法①定義：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規(guī)定.②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.2.2向量的減法①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.②向量減法的三角形法則（共起點，連終點，指向被減向量）已知向量,,在平面內(nèi)任取一點,作,,則向量.如圖所示如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.2.3向量的數(shù)乘向量數(shù)乘的定義:一般地,我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：①②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.3、共線向量定理①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數(shù)，.②向量共線定理的注意問題：定理的運用過程中要特別注意；特別地，若，實數(shù)仍存在，但不唯一．4、常用結(jié)論4.1向量三角不等式①已知非零向量，，則（當與反向共線時左邊等號成立；當與同向共線時右邊等號成立）；②已知非零向量，，則（當與同向共線時左邊等號成立；當與反向共線時右邊等號成立）；記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如中，中間連接號一負一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：中中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；4.2中點公式的向量形式：若為線段的中點，為平面內(nèi)任意一點，則.4.3三點共線等價形式：（，為實數(shù)），若，，三點共線第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·甲卷理）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：平面向量的概念與表示典型例題例題1．（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例題2．（23-24高一下·全國·課時練習）給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強度；（9）體積.其中不是向量的有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個練透核心考點1．（23-24高一·全國·專題練習）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是(

)A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量2．（2023高一·全國·單元測試）下列各量：①數(shù)軸；②溫度；③拉力；④密度；⑤風速.其中是向量的有個.高頻考點二：模典型例題例題1．（23-24四川南充·一模）已知正方形的邊長為1，則（

）A．0 B． C． D．4例題2．（23-24高一下·甘肅·期末）若正方形的邊長為2，則（

）A． B． C． D．例題3．（多選）（2024高一下·全國·專題練習）已知非零向量、，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則練透核心考點

1．（23-24·福建南平·模擬預測）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足，則（

）A． B．1 C． D．2．（23-24高一下·江西上饒·階段練習）已知四邊形是邊長為的正方形，求：(1)；(2)高頻考點三：零向量與單位向量典型例題例題1．（2023·北京大興·三模）設，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例題2．（多選）（23-24高一下·甘肅白銀·期中）下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若與共線，則與方向相同或相反C．若，為單位向量，則 D．是與非零向量共線的單位向量練透核心考點1．（23-24高一下·湖南益陽·階段練習）給出下列四個說法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中正確的說法有（

）個.A． B． C． D．2．（23-24高三上·福建廈門·開學考試）下列命題不正確的是（

）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D．若，，則例題3．（2024高一·江蘇·專題練習）化簡下列各式：(1)；(2)．練透核心考點1．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）在正六邊形中，（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·天津濱海新·階段練習）下列四式不能化簡為的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一下·廣東江門·階段練習）化簡：.高頻考點六：平面向量的數(shù)乘典型例題例題1．（23-24高一下·湖北·階段練習）在△ABC中，記，，且，，則（

）A． B． C． D．例題2．（2024高一·江蘇·專題練習）化簡下列各式：(1)3；(2)；(3)2．練透核心考點1．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習）若，設，則的值為.2．（23-24高一下·廣東惠州·開學考試）化簡：.高頻考點七：共線向量定理的應用典型例題例題1．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習）設不共線，，若A，B，D三點共線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2例題2．（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）設，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（

）A． B．C． D．例題3．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，在中，是的中點，．

(1)若，，求；(2)若，求的值．練透核心考點1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量與且則一定共線的三點是（

）A．A，C，D三點 B．A，B，C三點C．A，B，D三點 D．B，C，D三點2．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習）已知為非零不共線向量，向量與共線，則（

）A． B． C． D．83．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知，是兩個不共線的單位向量，，，若與共線，則.第四部分：典型易錯題型備注：“”的方向是任意的1．（22-23高三上·四川成都·期中）關于向量，，，下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則第五部分：新定義題1．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）已知平面直角坐標系中，點，點（其中為常數(shù)，且），點為坐標原點.(1)設點為線段近的三等分點，，求的值；(2)如圖所示，設點是線段的等分點，其中，①當時，求的值（用含的式子表示）；②當時.求的最小值.（說明：可能用到的計算公式：）.第01講平面向量的概念及其線性運算目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：平面向量的概念與表示 4高頻考點二：模 5高頻考點三：零向量與單位向量 7高頻考點四：相等向量 9高頻考點五：平面向量的加法與減法 11高頻考點六：平面向量的數(shù)乘 13高頻考點七：共線向量定理的應用 14第四部分：典型易錯題型 17備注：“”的方向是任意的 17第五部分：新定義題 17第一部分：基礎知識1、向量的有關概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量表示方法：向量或；?；?（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.（3）單位向量：長度等于1個單位的向量，常用表示.特別的：非零向量的單位向量是.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；特別的：與任一向量平行或共線.（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.2、向量的線性運算2.1向量的加法①定義：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規(guī)定.②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.2.2向量的減法①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.②向量減法的三角形法則（共起點，連終點，指向被減向量）已知向量,,在平面內(nèi)任取一點,作,,則向量.如圖所示如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.2.3向量的數(shù)乘向量數(shù)乘的定義:一般地,我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：①②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.3、共線向量定理①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數(shù)，.②向量共線定理的注意問題：定理的運用過程中要特別注意；特別地，若，實數(shù)仍存在，但不唯一．4、常用結(jié)論4.1向量三角不等式①已知非零向量，，則（當與反向共線時左邊等號成立；當與同向共線時右邊等號成立）；②已知非零向量，，則（當與同向共線時左邊等號成立；當與反向共線時右邊等號成立）；記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如中，中間連接號一負一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：中中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；4.2中點公式的向量形式：若為線段的中點，為平面內(nèi)任意一點，則.4.3三點共線等價形式：（，為實數(shù)），若，，三點共線第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·甲卷理）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設,由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：平面向量的概念與表示典型例題例題1．（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.【詳解】對于A：若，則只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；對于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯誤；對于C：若，則方向相同，C正確；對于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯誤.故選：C.例題2．（23-24高一下·全國·課時練習）給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強度；（9）體積.其中不是向量的有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】A【分析】根據(jù)向量的概念，即可得出答案.【詳解】看一個量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒有方向，不是向量.故選：A.練透核心考點1．（23-24高一·全國·專題練習）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是(

)A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量【答案】D【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷.【詳解】密度、溫度、質(zhì)量、功只有大小，沒有方向，是數(shù)量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故選：D．2．（2023高一·全國·單元測試）下列各量：①數(shù)軸；②溫度；③拉力；④密度；⑤風速.其中是向量的有個.【答案】2【分析】根據(jù)向量的定義判斷即可．【詳解】既有大小，又有方向的量叫做向量；溫度、密度、風速只有大小沒有方向，因此不是向量；而數(shù)軸、拉力既有大小，又有方向，因此它們都是向量.故答案為:2.高頻考點二：模典型例題例題1．（23-24四川南充·一模）已知正方形的邊長為1，則（

）A．0 B． C． D．4【答案】C【分析】利用向量運算法則得到.【詳解】，因為正方形的邊長為1，所以，故.故選：C例題2．（23-24高一下·甘肅·期末）若正方形的邊長為2，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運算即可求解．【詳解】由正方形的邊長為2，則，所以．故選：A．

例題3．（多選）（2024高一下·全國·專題練習）已知非零向量、，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】利用向量、共線向量、相等向量等概念逐項判斷.【詳解】對于A，向量是具有方向的量，若，則向量與的大小一樣，方向不確定，不一定共線，故A錯誤；對于B，若，則一定有，故B正確；對于C，若，則只能說明非零向量、共線，當、大小不同或方向相反時，都有，故C錯誤；對于D，若，則、共線且方向相同，所以，故D正確．故選：BD．練透核心考點

1．（23-24·福建南平·模擬預測）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何關系求解.【詳解】如圖，，所以M是AC的中點，；故選：C.2．（23-24高一下·江西上饒·階段練習）已知四邊形是邊長為的正方形，求：(1)；(2)【答案】(1)(2)2【分析】利用向量的加減法法則化簡向量即可解決問題.【詳解】（1）四邊形是邊長為的正方形，（2）高頻考點三：零向量與單位向量典型例題例題1．（2023·北京大興·三模）設，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，則，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B例題2．（多選）（23-24高一下·甘肅白銀·期中）下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若與共線，則與方向相同或相反C．若，為單位向量，則 D．是與非零向量共線的單位向量【答案】AD【分析】根據(jù)零向量的定義與性質(zhì)，單位向量的定義以及共線向量的定理，可得答案.【詳解】對于A，根據(jù)零向量的定義，故A正確；對于B，當時，顯然與共線，當零向量的方向是任意的，故B錯誤；對于C，設，，顯然為單位向量，但，故C錯誤；對于D，由，則為單位向量，由，則向量與共線，故D正確.故選：AD.練透核心考點1．（23-24高一下·湖南益陽·階段練習）給出下列四個說法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中正確的說法有（

）個.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)零向量定義、向量模長、平行的定義等知識依次判斷各個選項即可.【詳解】對于①，模長為零的向量為零向量，①正確；對于②，的模長相同，但方向不確定，未必同向或反向，②錯誤；對于③，若，則同向或反向，但模長未必相同，③錯誤；對于④，當時，，成立，但此時未必平行，④錯誤.故選：A.2．（23-24高三上·福建廈門·開學考試）下列命題不正確的是（

）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D．若，，則【答案】A【分析】AB選項，由零向量的定義進行判斷；C選項，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正確；D選項，根據(jù)向量的性質(zhì)得到D正確.【詳解】A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；C選項，因為與都是單位向量，所以只有當與是相反向量，即與是反向共線時才成立，故C正確；D選項，由向量相等的定義知D正確.故選：A高頻考點四：相等向量典型例題例題1．（22-23高一下·北京·期中）給出下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若且，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)向量平行及相等定義分別判斷各個選項即可.【詳解】對于A，當與方向不同時，不成立，∴A錯誤，對于B，若，，則，∴B正確，對于C，當與方向相反時，不成立，∴C錯誤，對于D，當時，滿足，，但不一定成立．所以D錯誤.故選：B．例題2．（多選）（22-23高一下·湖南益陽·階段練習）下列說法不正確的有（

）A．若，，則 B．若，則與的方向相同或相反C．若，則 D．若，，則【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的有關概念逐一判斷即可.【詳解】若，，則，故A正確；對于B，當有一個為零向量時不成立，故B錯誤；對于C，當與垂直時，可得，但推不出，故C錯誤；對于D，當時不成立，故D錯誤，故選：BCD.練透核心考點1．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）如圖，四邊形是菱形，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量相等的定義判斷A，根據(jù)向量的加法減法運算法則判斷BCD.【詳解】對于A，因為向量方向不同，所以，故A錯；對于B，，故B錯；對于C，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，，故C錯；對于D，根據(jù)向量減法運算可知，，故D對.故選：D2．（23-24高一下·廣東東莞·開學考試）設點是正方形的中心，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．與共線【答案】B【分析】畫出圖形，結(jié)合相等向量與共線向量的定義判斷即可.【詳解】如圖，

因為，方向相同，長度相等，故，故A正確；因為，方向不同，故，故B錯誤；因為，，三點共線，所以，故C正確；因為，所以與共線，故D正確.故選：B高頻考點五：平面向量的加法與減法典型例題例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習）下列各式中不能化簡為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量加、減運算法則及運算律計算可得.【詳解】對于A：，故A不合題意；對于B：，故B滿足題意；對于C：，故C不合題意；對于D：，故D不合題意.故選：B例題2．（23-24高一下·江西九江·階段練習）下列各式化簡結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則求解.【詳解】對于A，若，則，則，矛盾，A錯誤，對于B，因為，所以，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確；故選：D.例題3．（2024高一·江蘇·專題練習）化簡下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量的加減法運算即可得答案；（2）由向量的加減法運算即可得答案.【詳解】（1）．（2）.練透核心考點1．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）在正六邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的線性運算結(jié)合正六邊形的幾何性質(zhì)可化簡所求向量.【詳解】由正六邊形的性質(zhì)可知，、互為相反向量，所以，.故選：A.2．（23-24高一下·天津濱海新·階段練習）下列四式不能化簡為的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量的加法或減法原則求解即可.【詳解】，，，.故選：A.3．（23-24高一下·廣東江門·階段練習）化簡：.【答案】/【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則化簡求解.【詳解】.故答案為：高頻考點六：平面向量的數(shù)乘典型例題例題1．（23-24高一下·湖北·階段練習）在△ABC中，記，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用表示，然后利用得到的表達式，最后利用得到的表達式.【詳解】由，得，又因為，故，A正確.故選：A.例題2．（2024高一·江蘇·專題練習）化簡下列各式：(1)3；(2)；(3)2．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用向量的數(shù)乘運算計算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）.練透核心考點1．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習）若，設，則的值為.【答案】2【分析】根據(jù)向量的線性運算計算即可.【詳解】因為，所以，則，又因為，所以.故答案為：.2．（23-24高一下·廣東惠州·開學考試）化簡：.【答案】【分析】利用向量的線性運算即可得解.【詳解】.故答案為：.高頻考點七：共線向量定理的應用典型例題例題1．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習）設不共線，，若A，B，D三點共線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由向量共線定理求解．【詳解】由已知，又三點共線，則共線，而不共線，，所以，即，故選：A．例題2．（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）設，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析