人教版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)專題14.7整式的乘法與因式分解(壓軸題綜合測試卷)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題14.7整式乘法與因式分解（滿分100）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2022春?丹徒區(qū)月考）下列運(yùn)算正確的是（）A．x2×x3＝x5 B．（?12xy2）3=?12xC．（x﹣y）6÷（x﹣y）6＝0 D．（x﹣y）2＝x2﹣y22．（真題?齊河縣期末）下列變形屬于因式分解的是（）A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6＝（x+2）（x+3）3．（真題?仁懷市期末）如圖，從邊長為a的正方形中去掉一個(gè)邊長為b的小正方形，然后用剩余的部分剪開后拼成一個(gè)長方形，上述操作能驗(yàn)證的等式是（）A．a(chǎn)2+ab＝a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）4．（真題?綿陽期末）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，則ab＝（）A．﹣27 B．﹣27或27 C．27或?13 5．（2022春?牡丹區(qū)月考）已知a＝344，b＝433，c＝522，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜c＜a6．（2022?安徽模擬）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，則ab可表示為（）A．c2?12 B．2c2﹣1 C．c27．（真題?倉山區(qū)校級期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝7，則代數(shù)式（2021﹣a）（a﹣2020）的值是（）A．2 B．1 C．﹣3 D．38．（2022春?電白區(qū)月考）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）+1化簡的結(jié)果為（）A．21010 B．21010+1 C．22020 D．22020+19．（真題?龍泉市期末）把五張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個(gè)大長方形（長為m，寬為n）內(nèi)（如圖②），大長方形未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．當(dāng)m不變，n變長時(shí)，陰影部分的面積差總保持不變，則a，b應(yīng)滿足的關(guān)系為（）A．a(chǎn)＝5b B．a(chǎn)＝3b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)=10．（2020?田家庵區(qū)校級自主招生）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2017，且a、b、c互不相等，對c2（a+b）﹣2016＝（）A．0 B．1 C．2016 D．2017評卷人得分二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（真題?原陽縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊的長，且滿足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，則△ABC的形狀為三角形．12．（2022?德城區(qū)校級開學(xué)）請看圖（1）楊輝三角，并觀察圖（2）中等式，根據(jù)圖（2）各式的規(guī)律，則（a+b）6＝．13．（真題?昌江區(qū)校級期末）若a3+2a2+2a+1＝0，則a2021+a2022+a2023＝．14．（真題?虹口區(qū)校級月考）若，x+1x=3，則15．（真題?潮安區(qū)期末）已知正整數(shù)a，b，c（其中a≠1）滿足abc＝ab+50，則a+b+c的最小值是，最大值是．評卷人得分三．解答題（本大題共8小題，滿分55分）16．（8分）（真題?昌江區(qū)校級期末）分解因式：（1）3a（b2+9）2﹣108ab2；（2）2b3﹣b2﹣6b+5a﹣10ab+3；（3）x3﹣6x2+11x﹣6；（4）計(jì)算：(217．（4分）（真題?東坡區(qū)期末）先化簡，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2x），其中x=?12，18．（4分）（真題?溫江區(qū)校級期末）已知ax2+bx+1與2x2﹣3x+1的積不含x3項(xiàng)和x項(xiàng)，求關(guān)于x的方程a+2ba19．（6分）（2022春?駐馬店月考）（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；…（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝．（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝（其中n為正整數(shù)，且n≥2）．（3）利用（2）中猜想的結(jié)論計(jì)算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．20．（6分）（真題?西城區(qū)校級期末）給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對（a，b，c）叫做關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax2+bx+c的特征系數(shù)對，把關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax2+bx+c叫做有序?qū)崝?shù)對（a，b，c）的特征多項(xiàng)式．（1）關(guān)于x的二次多項(xiàng)式3x2+2x﹣1的特征系數(shù)對為；（2）求有序?qū)崝?shù)對（1，4，4）的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對（1，﹣4，4）的特征多項(xiàng)式的乘積；（3）若有序?qū)崝?shù)對（p，q，﹣1）的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對（m，n，﹣2）的特征多項(xiàng)式的乘積的結(jié)果為2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接寫出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值為．21．（9分）（真題?長沙縣期末）方法探究：已知二次多項(xiàng)式x2﹣4x﹣21，我們把x＝﹣3代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x+3）．設(shè)另一個(gè)因式為（x+k），多項(xiàng)式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），則有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因?yàn)閷?yīng)項(xiàng)的系數(shù)是對應(yīng)相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多項(xiàng)式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：（1）對于二次多項(xiàng)式x2﹣4，我們把x＝代入該式，會(huì)發(fā)現(xiàn)x2﹣4＝0成立；（2）對于三次多項(xiàng)式x3﹣x2﹣3x+3，我們把x＝1代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x﹣1），設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），多項(xiàng)式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），試求出題目中a，b的值；（3）對于多項(xiàng)式x3+4x2﹣3x﹣18，用“試根法”分解因式．22．（9分）（2021春?丹陽市期末）如圖，有長為m，寬為n的長方形卡片A（m＞n），邊長為m的正方形卡片B，邊長為n的正方形卡片C，將卡片C按如圖1放置于卡片A上，其未疊合部分（陰影）面積為S1，將卡片A按如圖2放置于卡片B上，其未疊合部分（陰影）面積為S2．（1）S1＝，S2＝；（用含m、n的代數(shù)式表示）（2）若S1+S2＝18，則圖3中陰影部分的面積S3＝；（3）若m﹣n＝6，mn＝10，求圖4中陰影部分的面積S4．23．（9分）（真題?樂昌市期末）教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）例如．求代數(shù)式2x2+4x﹣1的最小值．原式＝2x2+4x﹣1＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）2﹣3．可知當(dāng)x＝﹣1時(shí)，2x2+4x﹣1有最小值，最小值是﹣3．（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝．（2）試說明：x、y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．（3）當(dāng)m，n為何值時(shí)，多項(xiàng)式m2﹣2mn+2n2﹣4m﹣4n+25有最小值，并求出這個(gè)最小值．專題14.7整式的乘法與因式分解（滿分100）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2022春?丹徒區(qū)月考）下列運(yùn)算正確的是（）A．x2×x3＝x5 B．（?12xy2）3=?12xC．（x﹣y）6÷（x﹣y）6＝0 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則、積的乘方的運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則、完全平方公式進(jìn)行解答即可．【解題過程】解：A、x2×x3＝x5，原計(jì)算正確，故本選項(xiàng)符合題意；B、（?12xy2）3=?18xC、（x﹣y）6÷（x﹣y）6＝1，原計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．（真題?齊河縣期末）下列變形屬于因式分解的是（）A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6＝（x+2）（x+3）【思路點(diǎn)撥】依據(jù)因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式判斷即可．【解題過程】解：A、x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6，右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；C、（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，從左邊到右邊的變形屬于整式的乘法，故此選項(xiàng)不符合題意；D、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．3．（真題?仁懷市期末）如圖，從邊長為a的正方形中去掉一個(gè)邊長為b的小正方形，然后用剩余的部分剪開后拼成一個(gè)長方形，上述操作能驗(yàn)證的等式是（）A．a(chǎn)2+ab＝a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【思路點(diǎn)撥】用代數(shù)式分別表示左圖、右圖的涂色部分的面積即可．【解題過程】解：左圖，涂色部分的面積為a2﹣b2，拼成右圖的長為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：D．4．（真題?綿陽期末）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，則ab＝（）A．﹣27 B．﹣27或27 C．27或?13 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式計(jì)算，注意分情況討論．【解題過程】解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，∴2（b﹣1）＝±4，解得b1＝3或b2＝﹣1，∴ab＝﹣27或?1故選：D．5．（2022春?牡丹區(qū)月考）已知a＝344，b＝433，c＝522，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜c＜a【思路點(diǎn)撥】根據(jù)冪的乘方法則，a＝344＝（34）11＝8111，b＝433＝（43）11＝6411，c＝522＝（52）11＝2511，再比較底數(shù)，即可得出答案．【解題過程】解：∵a＝344＝（34）11＝8111，b＝433＝（43）11＝6411，c＝522＝（52）11＝2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，∴a＞b＞c，故選：B．6．（2022?安徽模擬）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，則ab可表示為（）A．c2?12 B．2c2﹣1 C．c2【思路點(diǎn)撥】把第一個(gè)式子中的c移項(xiàng)到等號的右側(cè)，等式兩邊同時(shí)平方，經(jīng)過變形為2ab＝c2﹣a2﹣b2，再結(jié)合第二個(gè)式子即可．【解題過程】解：∵a+b+c＝0，∴﹣c＝a+b，兩邊同時(shí)平方得：c2＝a2+b2+2ab，移項(xiàng)得：2ab＝c2﹣（a2+b2），又∵a2+b2+c2＝1，∴a2+b2＝1﹣c2，∴2ab＝2c2﹣1，∴ab=c故選：C．7．（真題?倉山區(qū)校級期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝7，則代數(shù)式（2021﹣a）（a﹣2020）的值是（）A．2 B．1 C．﹣3 D．3【思路點(diǎn)撥】設(shè)2021﹣a＝x，a﹣2020＝y(tǒng)，可得x+y＝1，再由已知可得x2+y2＝7，先求出xy＝﹣3，再求（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣3即可．【解題過程】解：設(shè)2021﹣a＝x，a﹣2020＝y(tǒng)，∴x+y＝1，∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝7，∴x2+y2＝7，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，∴2xy＝1﹣（x2+y2）＝1﹣7＝﹣6，解得：xy＝﹣3，∴（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣3．故選：C．8．（2022春?電白區(qū)月考）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）+1化簡的結(jié)果為（）A．21010 B．21010+1 C．22020 D．22020+1【思路點(diǎn)撥】利用添項(xiàng)法，構(gòu)造平方差公式計(jì)算即可．【解題過程】解：設(shè)S＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）∴（2﹣1）S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21010+1）＝（21010﹣1）（21010+1）＝22020﹣1，∴（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）+1＝S+1＝22020﹣1+1＝22020．故選：C．9．（真題?龍泉市期末）把五張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個(gè)大長方形（長為m，寬為n）內(nèi)（如圖②），大長方形未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．當(dāng)m不變，n變長時(shí)，陰影部分的面積差總保持不變，則a，b應(yīng)滿足的關(guān)系為（）A．a(chǎn)＝5b B．a(chǎn)＝3b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)=【思路點(diǎn)撥】先用字母a、b、m、n表示出陰影部分的面積差，再由陰影部分的面積差總保持不變，得出字母n的系數(shù)為0，進(jìn)而即可得出a，b應(yīng)滿足的關(guān)系．【解題過程】解：陰影部分的面積差為：（m﹣3b）（n﹣2b）﹣（m﹣a）（n﹣a）＝mn﹣2mb﹣3bn+6b2﹣（mn﹣ma﹣an+a2）＝mn﹣2mb﹣3bn+6b2﹣mn+ma+an﹣a2＝m（a﹣2b）+n（a﹣3b）+a2+6b2，∵當(dāng)m不變，n變長時(shí)，陰影部分的面積差總保持不變，∴a﹣3b＝0，∴a＝3b，故選：B．10．（2020?田家庵區(qū)校級自主招生）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2017，且a、b、c互不相等，對c2（a+b）﹣2016＝（）A．0 B．1 C．2016 D．2017【思路點(diǎn)撥】先對已知條件進(jìn)行變形和因式分解，得到ab+ac+bc＝0，然后再將2016看成是2017﹣1，即看成a2（b+c）﹣1代入即可求解．【解題過程】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c），∴a2b+a2c﹣ab2﹣cb2＝0，∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0，即：（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0，∵a，b，c互不相等，∴ab+ac+bc＝0，∴c2（a+b）﹣2016＝c2（a+b）﹣[a2（b+c）﹣1]＝ac2+bc2﹣a2b﹣a2c+1＝ac（c﹣a）+b（a+c）（c﹣a）+1＝（c﹣a）（ac+ab+bc）+1＝（c﹣a）×0+1＝0+1＝1．故選：B．評卷人得分二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（真題?原陽縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊的長，且滿足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，則△ABC的形狀為等邊三角形．【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用完全平方公式將等式化簡，可求a＝b＝c，則△ABC是等邊三角形．【解題過程】解：∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0且a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC的形狀為等邊三角形．故答案為：等邊．12．（2022?德城區(qū)校級開學(xué)）請看圖（1）楊輝三角，并觀察圖（2）中等式，根據(jù)圖（2）各式的規(guī)律，則（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．【思路點(diǎn)撥】第五行系數(shù)規(guī)律依次是：1，5，10，10，5，1；第六行系數(shù)規(guī)律依次是：1，6，15，20，15，6，1，（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，由此解答即可．【解題過程】解：根據(jù)題意，第五行系數(shù)規(guī)律依次是：1，5，10，10，5，1；第六行系數(shù)規(guī)律依次是：1，6，15，20，15，6，1，∴（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．故答案為：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．13．（真題?昌江區(qū)校級期末）若a3+2a2+2a+1＝0，則a2021+a2022+a2023＝﹣1或0．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知等式得到（a+1）（a2+a+1）＝0，再整體代入所求式子，求值即可．【解題過程】解：∵a3+2a2+2a+1＝0，∴（a+1）（a2+a+1）＝0，∴a+1＝0或a2+a+1＝0，當(dāng)a+1＝0時(shí)，a2021+a2022+a2023＝﹣1+1+（﹣1）＝﹣1；當(dāng)a2+a+1＝0時(shí)，a2021+a2022+a2023＝a2021（1+a+a2）＝0．故答案為：﹣1或0．14．（真題?虹口區(qū)校級月考）若，x+1x=3，則x3【思路點(diǎn)撥】在x+1x=3的基礎(chǔ)上，兩次利完全平方公式，可得到x4+1x4=47，同樣在【解題過程】解：∵x+1∴（x+1x）即x2+1∴（x2+1x2∴x4+1（x+1x）∴x3+1x3+3（x2?即x3+1∴x3故答案為：1215．（真題?潮安區(qū)期末）已知正整數(shù)a，b，c（其中a≠1）滿足abc＝ab+50，則a+b+c的最小值是10，最大值是53．【思路點(diǎn)撥】由已知abc＝ab+50可化為ab（c﹣1）＝50，因?yàn)閍、b、c都是正整數(shù)，a只能取5的倍數(shù)且最大值只能取50，即可得出b、c的值，計(jì)算即可得出答案．【解題過程】解：因?yàn)閍bc＝ab+50，所以abc﹣ab＝50，即ab（c﹣1）＝50，因?yàn)閍、b、c都是正整數(shù)，所以當(dāng)a＝50時(shí)，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，當(dāng)a＝25時(shí)，b＝1，c＝3，a+b+c＝28，當(dāng)a＝10時(shí)，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，當(dāng)a＝5時(shí)，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，當(dāng)a＝5時(shí)，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，所以則a+b+c的最小值是10，最大值是53．故答案為：10，53．評卷人得分三．解答題（本大題共8小題，滿分55分）16．（真題?昌江區(qū)校級期末）分解因式：（1）3a（b2+9）2﹣108ab2；（2）2b3﹣b2﹣6b+5a﹣10ab+3；（3）x3﹣6x2+11x﹣6；（4）計(jì)算：(2【思路點(diǎn)撥】（1）綜合利用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解即可；（2）利用分組分解法進(jìn)行因式分解可得；（3）首先將11x拆項(xiàng)，進(jìn)而利用提取公因式法以及公式法分解因式進(jìn)而得出答案；（4）先利用公式法將x4【解題過程】解：（1）原式＝3a[（b2+9）﹣36b2]＝3a（b2+9+6b）（b2+9﹣6b）＝3a（b+3）2（b﹣3）2；（2）原式＝（2b3﹣b2）+（﹣6b+3）+（﹣10ab+5a）＝b2（2b﹣1）﹣3（2b﹣1）﹣5a（2b﹣1）＝（2b﹣1）（b2﹣3﹣5a）；（3）原式＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）；（4）∵x=x=(x=(x∴原式==13=85＝85．17．（真題?東坡區(qū)期末）先化簡，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2x），其中x=?12，【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式算括號里面的，再合并同類項(xiàng)，算除法，再代入求出答案即可．【解題過程】解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2x）＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷（﹣2x）＝（﹣2x2﹣2xy）÷（﹣2x）＝x+y，當(dāng)x=?12，y＝1時(shí)，原式=?118．（真題?溫江區(qū)校級期末）已知ax2+bx+1與2x2﹣3x+1的積不含x3項(xiàng)和x項(xiàng)，求關(guān)于x的方程a+2ba【思路點(diǎn)撥】由題意列出算式，利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，合并后令三次項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù)為0，即可求出a與b的值，然后代入方程解方程即可．【解題過程】根據(jù)題意列得：（ax2+bx+1）（2x2﹣3x+1）＝2ax4+（2b﹣3a）x3+（a+2﹣3b）x2+（b﹣3）x+1，∵不含x3的項(xiàng)，也不含x的項(xiàng)，∴2b﹣3a＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3，將a＝2，b＝3代入a+2ba得4x+1＝0，解得x=?119．（2022春?駐馬店月考）（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；…（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝a2023﹣b2023．（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n為正整數(shù)，且n≥2）．（3）利用（2）中猜想的結(jié)論計(jì)算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【思路點(diǎn)撥】（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算前面簡單的式子，觀察規(guī)律可得結(jié)論；（2）利用（1）中的規(guī)律直接得出結(jié)論即可；（3）將式子乘以13【解題過程】解：（1）∵（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4，???∴（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝a2023﹣b2023，故答案為：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4，a2023﹣b2023；（2）由（1）的運(yùn)算結(jié)論猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n為正整數(shù)，且n≥2）．故答案為：an﹣bn；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=13[2﹣（﹣1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣2=13[2﹣（﹣1）]（29+28×（﹣1）+27×（﹣1）2…+23×（﹣1）6+22×（﹣1）7+2×（﹣1）8+（﹣1）=13[2﹣（﹣1）][29+28×（﹣1）+27×（﹣1）2…+23×（﹣1）6+22×（﹣1）7+2×（﹣1）8+（﹣1）=13[210﹣（﹣1）=1＝341+1＝342．20．（真題?西城區(qū)校級期末）給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對（a，b，c）叫做關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax2+bx+c的特征系數(shù)對，把關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax2+bx+c叫做有序?qū)崝?shù)對（a，b，c）的特征多項(xiàng)式．（1）關(guān)于x的二次多項(xiàng)式3x2+2x﹣1的特征系數(shù)對為（3，2，﹣1）；（2）求有序?qū)崝?shù)對（1，4，4）的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對（1，﹣4，4）的特征多項(xiàng)式的乘積；（3）若有序?qū)崝?shù)對（p，q，﹣1）的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對（m，n，﹣2）的特征多項(xiàng)式的乘積的結(jié)果為2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接寫出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值為﹣6．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)特征系數(shù)對的定義即可解答；（2）根據(jù)特征多項(xiàng)式的定義先寫出多項(xiàng)式，然后再根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)特征多項(xiàng)式的定義先寫出多項(xiàng)式，然后再令x＝﹣2即可得出答案．【解題過程】解：（1）關(guān)于x的二次多項(xiàng)式3x2+2x﹣1的特征系數(shù)對為（3，2，﹣1），故答案為：（3，2，﹣1）；（2）∵有序?qū)崝?shù)對（1，4，4）的特征多項(xiàng)式為：x2+4x+4，有序?qū)崝?shù)對（1，﹣4，4）的特征多項(xiàng)式為：x2﹣4x+4，∴（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）＝x4﹣4x3+4x2+4x3﹣16x2+16x+4x2﹣16x+16＝x4﹣8x2+16；（3）根據(jù)題意得（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，令x＝﹣2，則（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝2×16﹣8﹣10×4+2+2，∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝32﹣8﹣40+2+2，∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12，∴（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6，故答案為：﹣6．21．（真題?長沙縣期末）方法探究：已知二次多項(xiàng)式x2﹣4x﹣21，我們把x＝﹣3代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x+3）．設(shè)另一個(gè)因式為（x+k），多項(xiàng)式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），則有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因?yàn)閷?yīng)項(xiàng)的系數(shù)是對應(yīng)相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多項(xiàng)式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：（1）對于二次多項(xiàng)式x2﹣4，我們把x＝±2代入該式，會(huì)發(fā)現(xiàn)x2﹣4＝0成立；（2）對于三次多項(xiàng)式x3﹣x2﹣3x+3，我們把x＝1代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x﹣1），設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），多項(xiàng)式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），試求出題目中a，b的值；（3）對于多項(xiàng)式x3+4x2﹣3x﹣18，用“試根法”分解因式．【思路點(diǎn)撥】（1）將x＝±2代入即可；（2）由題意得x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可；（3）多項(xiàng)式有因式（x﹣2），設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），則x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可．【解題過程】解：（1）當(dāng)x＝±2時(shí)，x2﹣4＝0，故答案為：±2；（2）由題意可知x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），∴x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，∴1﹣a＝1，b＝﹣3，∴a＝0，b＝﹣3；（3）當(dāng)x＝2時(shí)，x3+4x2﹣3x﹣18＝8+16﹣6﹣18＝0，∴多項(xiàng)式有因式（x﹣2），設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+ax+b），∴x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，∴a﹣2＝4，2b＝18，∴a＝6，b＝9，∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+6x+9）＝（x﹣2）（x+3）2．22．（2021春?丹陽市期末）如圖，有長為m，寬為n的長方形卡片A（m＞n），邊長為m的正方形卡片B，邊長為n的正方形卡片C，將卡片C按如圖1放置于卡片A上，其未疊合部分（陰影）面積為S1，將卡片A按如圖2放置于卡片B上，其未疊合部分（陰影）面積為S2．（1）S1＝mn﹣n2，S2＝m2﹣mn；（用含m、n的代數(shù)式表示）（2）若S1+S2＝18，則圖3中陰影部分的面積S3＝18；（3）若m﹣n＝6，mn＝10，求圖4中陰影部分的面積S4．【思路點(diǎn)撥】（1）如圖1，陰影面積S1＝卡面A面積﹣卡片C面積；如圖2，陰影面積S2＝卡片B面積﹣卡片A面積；（2）如圖3，陰影面積S3＝卡片B面積﹣卡片C面積＝m2﹣n2，而由已知S1+S2＝18，可解出18＝S1+S2＝m2﹣n2，即可依此解答；（3）由于已知若m﹣n＝6，mn＝10，有代數(shù)式m﹣n，mn，所以在運(yùn)算S4過程中出現(xiàn)：12（m2+n2+mn）=12[（m﹣n）2+3mn]，要轉(zhuǎn)化成m﹣n【解題過程】解：卡片A面積＝mn