人教版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊23.2旋轉(zhuǎn)中的幾何綜合(壓軸題專項講練)(學(xué)生版+解析)

專題23.2旋轉(zhuǎn)中的幾何綜合典例分析典例分析【典例1】旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中，以達(dá)到解決問題的目的．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點P，PA=2，PB=3，PC=1，求∠BPC的度數(shù)．愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn)：將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接AP'、PP'，則△BPC下面是小明的部分解答過程：解：將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段．BP'，連接AP∵BP=BP'，∴△PBP∴∠BP'P=60°∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，BC=BA，∴∠ABC?∠ABP=∠P即∠PBC=∠P請你補(bǔ)全余下的解答過程．（2）【類比遷移】如圖②，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA=17，PB=22，PC=1，則（3）【拓展延伸】如圖③，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，在直線AD上方有一點P，PA=4，PD=2，連接PO，則線段PO的最大值為______．【思路點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換把將分散的條件相對集中到一個三角形中解決問題．（1）將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，證明△PBC≌△P（2）將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BP'，證明△PBC≌△P（3）將線段OP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP'，證明△POA≌△P'OD，在△PD【解題過程】（1）解：將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接AP∵BP=BP'，∴△PBP∴∠BP'P=60°∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，BC=BA，∴∠ABC?∠ABP=∠P即∠PBC=∠P∴△PBC≌△∴PC=A在△APPA∴∠A∴∠A∴∠BPC=∠BP（2）解：將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BP'，連接AP∵BP=BP'，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BC=BA，∴∠ABC?∠ABP=∠P即∠PBC=∠P∴△PBC≌△∴PC=A在△APPA∴∠A∴∠A∴∠BPC=∠BP故答案為：135°．（3）解：將線段OP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP'，連接DP'、∵OP=OP'，∴△POP∴∠BP'P=45°∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD?∠POD=∠P即∠POA=∠P∴△POA≌△∴PA=在△DPP'當(dāng)點D在PP'∴∴PP'在Rt△POP∴O∴OP=2∴OP的最大值為32學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖1，△ABC與△EBD均為等邊三角形，將△EBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（其中0°<α<180°），連接AE，CD，M是AE的中點，BC=7（1）求證：AE=CD；（2）如圖2，連接DM，當(dāng)ED的延長線經(jīng)過點C時，請判斷四邊形MEBD的形狀，并說明理由；（3）如圖3，連接CM，若BD=2，在△EBD繞點B旋轉(zhuǎn)的過程中，求CM的最大值．2．（23-24九年級上·重慶江津·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，AD⊥BC于點D．點G是射線AD上一點，過G作GE⊥GF分別交AB、AC于點E、F

（1）如圖①所示，若點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，當(dāng)點G與點D重合時，求證：AE+AF=2（2）如圖②所示，當(dāng)點G在線段AD外，且點E與點B重合時，猜想AE，AF與AG之間存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）當(dāng)點G在線段AD上時，請直接寫出AG+BG+CG的最小值．參考公式：a3．（23-24九年級上·安徽阜陽·期中）如圖1，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CD，BC上的動點，且滿足∠EAF=45°，試判斷線段BF，EF，ED之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小聰同學(xué)的想法：將△DAE順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BAH，然后通過證明三角形全等可得出結(jié)論．請你參考小聰同學(xué)的思路完成下面的問題．

（1）線段BF，EF，ED之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，連接BD，分別交AF，AE于點M，N，試判斷線段BM，MN，ND之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4．（23-24九年級上·貴州遵義·期中）數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展如下探究活動：

（1）【操作探究】如圖1，△ABC為等邊三角形，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得到△ADE，連接BE，F(xiàn)是BE的中點，連接AF．①寫出圖1中一個等于90°的角；②圖1中AF與DE的數(shù)量關(guān)系是．（2）【遷移探究】如圖2，將（1）中的等邊△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到△ADE，其他條件不變．探究AF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=22，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，連接BE，F(xiàn)是BE的中點，連接AF．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠EBC=15°時，直接寫出線段AF5．（23-24九年級上·山東日照·期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D，E分別為AC,BC的中點，將△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△CD'E'（如圖2），使直線D（1）判斷AD'與（2）求BE（3）若將△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)直線D'E'過Rt6．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP'處，這樣就可以將三條線段PA,PB,PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB的度數(shù)．請按此方法求（2）拓展研究：請利用第（1）題解答的思想方法，解答下面的問題：①如圖2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，點E，F(xiàn)為BC邊上的點，且∠EAF=45°，判斷BE,EF,CF之間的數(shù)量關(guān)系并證明；②如圖3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=6，在△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA,PB,PC，直接寫出PA+PB+PC的最小值．7．（24-25九年級上·福建福州·開學(xué)考試）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=2，AB=4，直接寫出△PMN面積的最大值．8．（2023·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，將斜邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段AD，AD交BC于點G，過點C作CF⊥AD于點F．（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5°時，若BG=1，求AC的長；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時，連接BD，CD，延長CF交BD于點E，連接EG，求證：AG=CE+EG；（3）如圖3，點M是AC邊上一動點，在線段BM上存在一點N，使NB+NA+NC的值最小時，若NA=2，請直接寫出△CNM的面積．9．（23-24九年級上·重慶·期中）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANM，點B，C的對應(yīng)點分別為N，M．（1）如圖1，當(dāng)點N落在BC的延長線上時，且∠ACB=90°,AC=6，AB=10，求BN的長；（2）如圖2，△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ANM，延長BC交AN于點D，使得FN=AD，連接DF，猜想線段HN,MH，并證明你的猜想；（3）如圖3，連接BN,CM，點R為BC的中點，連接RG．若∠ACB=90°,AC=6，AB=10，在旋轉(zhuǎn)過程中，求出GR的最小值；若不存在，請說明理由10．（23-24八年級下·山西晉中·期末）綜合與實踐圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，在研究三角形的旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)下列問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D，E分別為AB，AC邊上一點，連接DE，且DE∥BC，將△ABC繞點（1）觀察猜想：若α=60°，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，則DB與CE的數(shù)量關(guān)系為；（2）類比探究：若α=90°，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，DB，CE相交于點O，猜想DB，CE滿足的位置關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖4，在（2）的條件下，連結(jié)CD，分別取DE，DC，BC的中點M，P，N，連結(jié)PM，PN，MN，若AD=4，AB=10，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中△PMN面積的最大值．11．（23-24九年級上·福建福州·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．CB=CA=42，點D始終在AC的上方，且∠CAD=α0°<α<180°，點E為射線AD上任意一點（點E與點A不重合），連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，直線FB交直線AD于點

（1）如圖1，當(dāng)0°<α<45°時，求證BM⊥AE；（2）當(dāng)點Q為AC邊的中點時，連接MQ，求MQ的最大值；（3）如圖2，若α=105°，AE=2時，求△BCF的面積．12．（23-24九年級上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，點D在射線CB上移動（不與B、C重合），連接AD，線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α°0°<α°≤180°得到線段DE，連接CE

（1）如圖1，當(dāng)點E落在線段AC上時，①直接寫出∠BAD的度數(shù)（可用α表示）；②請用等式表示CE、（2）當(dāng)點E落在線段AC的延長線上時，請在圖2中畫出符合條件的圖形，則（1）中，CE、13．（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，點D在AB上，DE⊥AB交BC于點E，F(xiàn)是AE中點．（1）線段FD與線段FC的數(shù)量關(guān)系是FD_____FC，位置關(guān)系是FD_____FC；（2）如圖2，將△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<90°，其他條件不變，線段FD與線段FC（3）將△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果BC=22，BE=2，直接寫出線段BF14．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，連接AC，點E在BC上，且BE=EC，將點C繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至F點，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為α，連接BF，與AC相交于點G，連接EF，交AC于點H，當(dāng)點C旋轉(zhuǎn)到與點A重合時旋轉(zhuǎn)停止．

（1）如圖2，當(dāng)α=60°時，①求證：EF⊥BC；②點H在線段AC的什么位置？請說明理由；（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在△CEF為等腰三角形的情況？如果存在，請直接寫出EF的長；如果不存在，請說明理由．15．（23-24九年級上·湖北黃岡·期中）如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．（1）【猜想】如圖1，點E在BC上，點D在AC上，線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）【探究】：把△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接AD，BE，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）【拓展】：把△DCE繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=6，CE=22，當(dāng)A，E，D三點在同一直線上時，直接寫出BE16．（23-24九年級上·河北保定·開學(xué)考試）【動手操作】某班數(shù)學(xué)課外興趣小組將直角三角板DOE（∠DOE=90°，∠E=30°）的直角頂點O放置在另一塊直角三角板ABC（∠ACB=90°，AC=BC）的斜邊AB的中點處，并將三角板DOE繞點O任意旋轉(zhuǎn)．

（1）【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】當(dāng)三角板DOE的兩邊DO，EO分別與另一塊三角板的邊AC，BC交于點①如圖1，當(dāng)OD⊥AC時，OP與OQ的數(shù)量關(guān)系為______；②小組成員發(fā)現(xiàn)當(dāng)OD與AC不垂直時（如圖2所示），OP與OQ之間仍然存在①中數(shù)量關(guān)系，請你說明理由；③小組成員嘉淇認(rèn)為在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形OPCQ的面積S1與△ABC的面積S（2）【探究延伸】如圖3，連接CD，直角三角板DOE在繞點O旋轉(zhuǎn)一周的過程中，若AB=12cm，DE=14cm，直接寫出線段17．（23-24九年級上·廣東深圳·期中）如圖1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形BEFG．

（1）當(dāng)點E落在BD上時，則線段DE的長度等于；（2）如圖2，當(dāng)點E落在AC上時，求△BCE的面積；（3）如圖3，連接AE、CE、AG、CG，判斷線段AE與CG的位置關(guān)系且說明理由；（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出S△BCE18．（23-24八年級下·重慶北碚·階段練習(xí)）在等邊△ABC中，點E是AC上一點，點D是BC上一點，BE與AD交于點F，且∠AFE=60°．

（1）如圖1，若BC=23，CE=32（2）如圖2，延長BE至點G，使得∠BGC=60°，連接CG，點H為AC中點，連接GH，F(xiàn)C，求證:FC=2GH；（3）如圖3，BC=23，點D為BC中點，將△ABC沿AC折疊得到四邊形ABCQ，動點P在線段CQ上運動(包括端點)，連接AP、BP，將AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到PA'，將BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)

120°得到PB'，連接．A'B'19．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．點F是點E關(guān)于AB的對稱點，連接AF、

（1）求AF和BE的長；（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）．當(dāng)點F分別平移到線段AB、AD上時，求出相應(yīng)的（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°，記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A'BF'，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A'F'所在的直線與直線AD交于點P20．（23-24九年級上·廣東清遠(yuǎn)·期末）在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，仿照北師大版九年級上冊第8頁，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動.如圖1，將長與寬都相等的兩個矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，固定矩形ABCD，將矩形EFGH繞AC的中點O逆時針旋轉(zhuǎn)α°0<α<180.（1）初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，對角線EG與邊AB、CD分別交于點S、T，如圖2，則線段OS與OT始終存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由；（2）繼續(xù)探究：旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)兩個矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時，如圖2.①求證：四邊形QMRN為菱形；②隨著矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會發(fā)生變化，若AD=4，CD=8，請求出四邊形QMRN的最大面積與最小面積．專題23.2旋轉(zhuǎn)中的幾何綜合典例分析典例分析【典例1】旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中，以達(dá)到解決問題的目的．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點P，PA=2，PB=3，PC=1，求∠BPC的度數(shù)．愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn)：將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接AP'、PP'，則△BPC下面是小明的部分解答過程：解：將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段．BP'，連接AP∵BP=BP'，∴△PBP∴∠BP'P=60°∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，BC=BA，∴∠ABC?∠ABP=∠P即∠PBC=∠P請你補(bǔ)全余下的解答過程．（2）【類比遷移】如圖②，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA=17，PB=22，PC=1，則（3）【拓展延伸】如圖③，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，在直線AD上方有一點P，PA=4，PD=2，連接PO，則線段PO的最大值為______．【思路點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換把將分散的條件相對集中到一個三角形中解決問題．（1）將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，證明△PBC≌△P（2）將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BP'，證明△PBC≌△P（3）將線段OP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP'，證明△POA≌△P'OD，在△PD【解題過程】（1）解：將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接AP∵BP=BP'，∴△PBP∴∠BP'P=60°∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，BC=BA，∴∠ABC?∠ABP=∠P即∠PBC=∠P∴△PBC≌△∴PC=A在△APPA∴∠A∴∠A∴∠BPC=∠BP（2）解：將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BP'，連接AP∵BP=BP'，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BC=BA，∴∠ABC?∠ABP=∠P即∠PBC=∠P∴△PBC≌△∴PC=A在△APPA∴∠A∴∠A∴∠BPC=∠BP故答案為：135°．（3）解：將線段OP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP'，連接DP'、∵OP=OP'，∴△POP∴∠BP'P=45°∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD?∠POD=∠P即∠POA=∠P∴△POA≌△∴PA=在△DPP'當(dāng)點D在PP'∴∴PP'在Rt△POP∴O∴OP=2∴OP的最大值為32學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖1，△ABC與△EBD均為等邊三角形，將△EBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（其中0°<α<180°），連接AE，CD，M是AE的中點，BC=7（1）求證：AE=CD；（2）如圖2，連接DM，當(dāng)ED的延長線經(jīng)過點C時，請判斷四邊形MEBD的形狀，并說明理由；（3）如圖3，連接CM，若BD=2，在△EBD繞點B旋轉(zhuǎn)的過程中，求CM的最大值．【思路點撥】本題考查幾何變換綜合題、等邊三角形性質(zhì)、菱形的判定等知識點，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線．（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AB=BC,BE=BD，∠ABE=∠CBD，證明△ABE和△ABD全等，即可得證；（2）過點B作BN⊥DE，利用30°直角三角形求出EN,BN的長，由勾股定理可求AE=CD=2BE，可得EM=BD，再利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明EM∥BD，即可得證；（3）取AB中點F，連接FM,FC，利用三角形三邊關(guān)系即可求解．【解題過程】（1）解：∵△ABC與△EBD為等邊三角形，∴AB=BC,BE=BD，∵△EBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α，∴∠ABE=∠CBD，在△ABE和△ABD中AB=BC∴△ABE≌△ABD，∴AE=CD；（2）四邊形MEBD為菱形，理由如下：過點B作BN⊥DE，垂足為N，∵△EBD為等邊三角形，∴∠BED=60°，BD=BE=ED，∵BN⊥DE，∴EN=1∵ED的延長線經(jīng)過點C，BC=7由勾股定理得，NC=5∴EC=EN+NC=1∴DC=EC?ED=2BE，由（1）得，AE=CD=2BE，∵M(jìn)是AE的中點，∴EM=1∵∠EDB=60°，∴∠BDC=120°，∴∠BEA=∠BDC=120°，∴∠BEA+∠EBD=120°+60°=180°，∴EM∥BD，∵BE=BD=EM，∴四邊形MEBD為菱形；（3）取AB中點F，連接FM,FC，∵△ABC為等邊三角形，F(xiàn)為AB中點，∴FC=3∵BC=7∴FC=21∵M(jìn)為AE中點，F(xiàn)為AB中點，∴MF為△ABE的中位線，∴MF=1在△MFC中，MC≤FM+FC∴MC最大為21+12．（23-24九年級上·重慶江津·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，AD⊥BC于點D．點G是射線AD上一點，過G作GE⊥GF分別交AB、AC于點E、F

（1）如圖①所示，若點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，當(dāng)點G與點D重合時，求證：AE+AF=2（2）如圖②所示，當(dāng)點G在線段AD外，且點E與點B重合時，猜想AE，AF與AG之間存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）當(dāng)點G在線段AD上時，請直接寫出AG+BG+CG的最小值．參考公式：a【思路點撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可求證；（2）過點G作HG上AG交AB延長線于點H，由等腰直角三角形可得∠DAB=∠DAC=45°，AG=HG，由“ASA“可證△AGF≌△HGE，可得AF=BH，可得結(jié)論；（3）將ΔABG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB'G，連接GG'，B'C，過點B'作B'N⊥AC，交CA的延長線于點N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AG+BG+CG=GG'+B【解題過程】（1）解：由題：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC于點D，GE⊥GF,則D也是BC上的中點，即AD是BC的垂直平分線，∵∠EAD=∠C=45°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE=CF，∴AE+AF=AC，∴AE+AF=2（2）AE+AF=2如圖1，過點G作HG⊥AG交AB延長線于點H，∵∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC，∴∠DAB=∠DAC=45°，∴∠AHG=∠BAD=45°，∴AG=HG，∴AH=2∵∠EGF=∠AGH=90°，∴∠AGF=∠EGH，又∵∠AHG=∠FAG=45°，∴△AGF≌△HGE(ASA)，∴AF=BH，∴AH=AE+BH=AE+AF=2（3）如圖2，將△ABG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB'GB'C，過點B'作B'N⊥AC

∵AB=AB'=6∴∠BAB'=60°，∠GA∴△AGG∴AG=GG，∴AG+BG+CG=GG∴當(dāng)點B'，點G'，點G，點AG+BG+CG的值最小，最小值為B'∵∠B∴∠B∴B'N=3∴CN=6+33∴B∴AG+BG+CG的最小值為：363．（23-24九年級上·安徽阜陽·期中）如圖1，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CD，BC上的動點，且滿足∠EAF=45°，試判斷線段BF，EF，ED之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小聰同學(xué)的想法：將△DAE順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BAH，然后通過證明三角形全等可得出結(jié)論．請你參考小聰同學(xué)的思路完成下面的問題．

（1）線段BF，EF，ED之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，連接BD，分別交AF，AE于點M，N，試判斷線段BM，MN，ND之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【思路點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)與三角形綜合，（1）先證明F、B、F三點共線，再證明△AFE≌△AFH，得到EF=FH，即可證明EF=BE+DF；（2）如圖所示，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAH，先求出∠ABD=∠ADB=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AN=AG，∠ABG=∠ADB=45°，∠GAE=90°，則∠MBG=90°，證明△AGM≌△ANMSAS【解題過程】（1）解：結(jié)論：EF=BE+DF理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AH=AE，∵∠EAF=45°，∴∠FAH=45°，∴∠FAH=∠EAF，∵∠ABF+∠ABH=90°+90°=180°，∴F、B、H三點共線，又∵AF=AF，∴△AFE≌△AFHSAS∴EF=FH，∵FH=BF+BH=BF+DE，∴EF=BE+DF．（2）結(jié)論：MN如圖所示，將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAG．∵BA=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AN=AG，∴∠MBG=∠ABG+∠ABD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAM=∠BAG+∠BAM=90°?∠EAF=45°，∴∠MAG=∠MAN，∵AM=AM，∴△AGM≌△ANMSAS∴MN=GM，∵∠MBG=90°，∴BM∴MN4．（23-24九年級上·貴州遵義·期中）數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展如下探究活動：

（1）【操作探究】如圖1，△ABC為等邊三角形，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得到△ADE，連接BE，F(xiàn)是BE的中點，連接AF．①寫出圖1中一個等于90°的角；②圖1中AF與DE的數(shù)量關(guān)系是．（2）【遷移探究】如圖2，將（1）中的等邊△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到△ADE，其他條件不變．探究AF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=22，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，連接BE，F(xiàn)是BE的中點，連接AF．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠EBC=15°時，直接寫出線段AF【思路點撥】（1）①根據(jù)△ABC為等邊三角形，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得到△ADE，可得AB=AC=AD=AE，又F為BE中點，故∠AFE=∠AFB=90°，AF∥DE∥BC，可知∠BED=90°=∠EBC；②由AF是△BDE的中位線，可得AF=1（2）由等邊△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到△ADE，可得∠BAC=60°，∠CAE=30°，AB=AC=AE=DE，即得∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，而F為BE中點，AB=AE，有AF⊥BC，故△ABF是等腰直角三角形，AB=2AF，從而（3）分兩種情況：當(dāng)BE在BC下方時，求出∠ABF=∠ABC+∠CBE=60°，AB=BC2=2，可得BF=12AB=1，故AF=AB2?BF2=2【解題過程】（1）解：①∵△ABC為等邊三角形，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得到△ADE，∴AB=AC=AD=AE，∵F為BE中點，∴∠AFE=∠AFB=90°，AF是△BDE的中位線，也是△BCE的中位線，∴AF∥DE∥BC，∴∠BED=90°=∠EBC；故答案為：∠AFE或∠AFB或∠BED或∠EBC(寫出一個即可)；②由①知，AF是△BDE的中位線，∴AF=1故答案為：AF=1（2）DE=2如圖：

∵等邊△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到△ADE，∴∠BAC=60°，∠CAE=30°，AB=AC=AE=DE，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∵F為BE中點，AB=AE，∴AF⊥BC，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB=2∴DE=2（3）當(dāng)BE在BC下方時，如圖：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBE=60°，∵AB=AC=AE，F(xiàn)為BE中點，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=30°，∵BC=22∴AB=BC2=2∴BF=1∴AF=AB當(dāng)BE在BC上方時，如圖：

∵∠ABF=∠ABC?∠EBC=45°?15°=30°，∠AFB=90°，∴AF=1綜上所述，AF的長為3或1．5．（23-24九年級上·山東日照·期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D，E分別為AC,BC的中點，將△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△CD'E'（如圖2），使直線D（1）判斷AD'與（2）求BE（3）若將△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)直線D'E'過Rt【思路點撥】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的不變性證明△CD（2）設(shè)AD'=BE'（3）分類討論，分第一次經(jīng)過點B，經(jīng)過點A，再次經(jīng)過點B討論，根據(jù)變化中的不變性，不變的是基本圖形關(guān)系即△CD'A≌△C【解題過程】（1）解：AD'與BD∵AC=BC，D，E分別為AC,BC的中點，∴CD=CE，即CD∵∠C=90°，即∠BCA=∠D∴∠ACD∴△CD∴∠CE∵∠C=90°，CD'=C∴∠CD∴∠CE∴∠AD即：AD（2）解：Rt△ACB中，AC=BC=2∴BA=AC2∵△CD∴AD設(shè)AD在Rt△AD'解得：x=14∴BE（3）解：①經(jīng)過點B時，題（2）已求BE②經(jīng)過點A時，如圖所示，同理可證：△CD∴∠D'∵∠1=∠2，∴∠AE設(shè)BE在Rt△AE'解得：x=2即：BE③再次經(jīng)過點B時，如下圖：同理可證：△CD'A≌△C設(shè)BE在Rt△AD'解得：x=2即：BE綜上所述：BE'=6．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP'處，這樣就可以將三條線段PA,PB,PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB的度數(shù)．請按此方法求（2）拓展研究：請利用第（1）題解答的思想方法，解答下面的問題：①如圖2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，點E，F(xiàn)為BC邊上的點，且∠EAF=45°，判斷BE,EF,CF之間的數(shù)量關(guān)系并證明；②如圖3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=6，在△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA,PB,PC，直接寫出PA+PB+PC的最小值．【思路點撥】（1）連接PP'，根據(jù)題意得到AP=AP'=3,∠PAP'=60°，BP=CP'=4，∠APB=∠A（2）①證明∠B=∠ACB=45°，將△BAE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CAD，連接DF，得到∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，進(jìn)而得到∠DCE=90°，根據(jù)勾股定理得到DF2=CF2+CD②將△ABP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A'BP'，連接PP'，A'C，即可得到∠ABA'=∠PBP'=60°，A'B=AB=4，BP=BP'，A'P'=AP，從而得到△BPP'為等邊三角形，∠A【解題過程】解：（1）連接PP∵將△APB繞頂點A逆時針PP'旋轉(zhuǎn)60°到∴AP=AP'=3,∠PA∴△APP∴PP∵P'P2∴P'∴△PP'C∴∠AP∴∠APB=∠AP（2）①BE證明：∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，如圖，將△BAE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CAD，連接DF，則：∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，∴∠DCE=∠ACB+∠ACD=90°，∴DF∵∠EAF=45°，∠EAD=90°，∴∠DAF=∠EAF=45°，又∵AE=AD,AF=AF，∴△AEF≌△ADF，∴EF=DF，∴BE②PA+PB+PC的最小值為2如圖，將△ABP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A'BP'則：∠ABA'=∠PBP'=60°，∴△BPP'為等邊三角形，∴BP=PP'∴PA+PB+PC=A∴當(dāng)且僅當(dāng)A'，P'，P，C四點共線時，PA+PB+PC的值最小為∵∠A∴A'∴PA+PB+PC的最小值為2137．（24-25九年級上·福建福州·開學(xué)考試）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=2，AB=4，直接寫出△PMN面積的最大值．【思路點撥】（1）根據(jù)三角形中位線定理得PN∥BD，PN=12BD，PM∥CE，PM=12（2）首先利用SAS證明△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠ACE，BD=CE，再由（1）同理說明結(jié)論成立；（3）先判斷出MN最大時，△PMN的面積最大，進(jìn)而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面積公式即可得出結(jié)論．【解題過程】（1）解：∵點P，N是BC，CD的中點，∴PN∥BD，PN=1∵點P，M是CD，DE的中點，∴PM∥CE，PM=1∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM=PN，PM⊥PN；（2）解：△PMN是等腰直角三角形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位線得，PN=12BD∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）解：如圖，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，連接AN,AM，∵M(jìn)N≤AM+AN，∴當(dāng)點A,M,N三點共線時，MN最大，如圖：∴MN最大時，△PMN的面積最大，∴MN最大=AM+AN，在△ADE中，AD=AE=2，∠DAE=90∴由勾股定理得：DE=2∵點M為DE中點，∴AM=1在Rt△ABC中，AB=AC=4，同上可求AN=2∴MN同上可得：MN=2∴PM=2∴S8．（2023·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，將斜邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段AD，AD交BC于點G，過點C作CF⊥AD于點F．（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5°時，若BG=1，求AC的長；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時，連接BD，CD，延長CF交BD于點E，連接EG，求證：AG=CE+EG；（3）如圖3，點M是AC邊上一動點，在線段BM上存在一點N，使NB+NA+NC的值最小時，若NA=2，請直接寫出△CNM的面積．【思路點撥】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想思考問題（1）過點G作GH⊥AC于點H，得到HG=BG=1，即可求得CG=2，再由BC=AB=BG+CG，勾股定理求得AC（2）延長CF交AB于點T，連接BT，求得Rt△AGB≌Rt△CTB，可得AG=CT，BT=BG，由BD∥（3）將△BCN繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BPQ，連接NQ、AP，當(dāng)點P、Q、N、A四點共線時，NB+NA+NC的值最小，此時BM是等腰直角三角形ABC的一條中線，即可求得△CNM的面積【解題過程】（1）解：如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5°時，則∠CAG=∠GAB=22.5°，過點G作GH⊥AC于點H，則GH=BG=1，在等腰Rt△CGH中，∠BCA=45°則CG=2則BC=BG+CG=2在等腰Rt△ABCAC=2（2）證明：如圖2，過點D作DM⊥AC于點M，過點B作BN⊥AC于點N，∵∠DAM=30°，∴DM=∵∠ABC=90°，AB=AC，∴BN=而AC=AD，∴DM=BN又DM⊥AC，BN⊥AC，∴四邊形BDMN是矩形∴BD延長CE交BA的延長線于點T，∵CF⊥AD，∴∠CFG=∠ABC=90°，∵∠AGB=∠CGF，∴∠TCG=∠GAB，∵∠ABG=∠CBT=90°，BA=BC，∴△ABG≌△CBT∴AG=CT，BG=BT，∵BD∥∴∠EBG=∠ACB=45°，則∠EBT=90°?∠EBG=45°=∠EBG，∵BT=BG，BE=BE，∴△BEG≌∴ET=EG，∴AG=CT=CE+ET=CE+EG；（3）解：如圖3，將△CBN繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△PBQ，連接QN，AP．則PQ=CN，△BQN是等邊三角形，∴BN=NQ，∠BNQ=∠BQN=60°，∵CN+AN+BN=PQ+QN+NA≥AP，∴當(dāng)P，Q，N，A共線時，NC+BN+AN的值最小．此時∠ABP=90°+60°=150°，PB=AB，∠BAN=15°，并且△BQN是等邊三角形，∠BNQ=60°，∴∠ABN=60°?15°=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∵BA=BC，∴BM⊥AC，且CM=AM又∠MAN=45°?15°=30°，∴NM=12AN=1∴CM=AM=3∴△CNM的面積=19．（23-24九年級上·重慶·期中）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANM，點B，C的對應(yīng)點分別為N，M．（1）如圖1，當(dāng)點N落在BC的延長線上時，且∠ACB=90°,AC=6，AB=10，求BN的長；（2）如圖2，△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ANM，延長BC交AN于點D，使得FN=AD，連接DF，猜想線段HN,MH，并證明你的猜想；（3）如圖3，連接BN,CM，點R為BC的中點，連接RG．若∠ACB=90°,AC=6，AB=10，在旋轉(zhuǎn)過程中，求出GR的最小值；若不存在，請說明理由【思路點撥】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB=AN=10，利用勾股定理求得BC=8,CN=8，故BN的長為16；（2）在NM上取點Q，使NQ=CD，連接FQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：AN=AB,∠BAN=60°，得△ABN是等邊三角形，證明△FNQ≌△ADCSAS，可得∠FQN=∠ACD,FQ=AC，即可得∠FQH=∠ACB，由∠M=∠ACB，可得∠FQH=∠M，從而可證△FQH≌△AMH（3）過B作BP∥MN交MC延長線于P，連接NC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC=AM,∠ACB=∠AMN=90°,BC=MN，證得∠P=∠BCP，得BP=BC，從而BP=MN，即可證△BPG≌△NMGAAS，可知G是BN中點，GR=12NC，要使GR最小，只需NC最小，此時N、C、A共線，【解題過程】（1）解：∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANM，∴AB=AN=10，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=90°，∵AC=6，∴BC=A∴BN=BC+CN=16；（2）解：HN?MH=CD，證明如下：在NM上取點Q，使NQ=CD，連接FQ，如圖：由△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ANM得：AN=AB,∠BAN=60°，∴△ABN是等邊三角形，∴∠ANB=60°，∴∠FNQ=180°?∠ANB?∠ANM=180°?60°?∠ANM=120°?∠ANM，在△ABD中，∠ADB=180°?∠BAN?∠ABC=180°?60°?∠ABC=120°?∠ABC，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠ANM=∠ABC，∴∠ADB=∠FNQ，∵FN=AD，∴△FNQ≌∴∠FQN=∠ACD,FQ=AC，∴180°?∠FQN=180°?∠ACD，即∠FQH=∠ACB，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠M=∠ACB，∴∠FQH=∠M，∵AM=AC，∴FQ=AM，∵∠FHQ=∠AHM，∴△FQH≌∴QH=MH，∵HN?QH=NQ，∴HN?MH=CD；（3）解：在旋轉(zhuǎn)過程中，GR存在最小值2，理由如下：過B作BP∥MN交MC延長線于P，連接∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANM，∴AC=AM,∠ACB=∠AMN=90°,BC=MN，∴∠ACM=∠AMC，而∠BCP=180°?∠ACB?∠ACM=90°?∠ACM，∠NMP=∠AMN?∠AMC=90°?∠AMC，∴∠BCP=∠NMP，∵BP∥∴∠P=∠NMP，∴∠P=∠BCP，∴BP=BC，∴BP=MN，在△BPG和△NMG中，∠BGP=∠NGM∠P=∠NMG∴△BPG≌∴BG=NG，即G是BN中點，∵點R為BC的中點，∴GR是△BCN的中位線，∴GR=1要使GR最小，只需NC最小，而AN=AB=10,AC=6，∴N、C、A共線，NC的最小值為AN?AC=4，∴GR最小為1210．（23-24八年級下·山西晉中·期末）綜合與實踐圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，在研究三角形的旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)下列問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D，E分別為AB，AC邊上一點，連接DE，且DE∥BC，將△ABC繞點（1）觀察猜想：若α=60°，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，則DB與CE的數(shù)量關(guān)系為；（2）類比探究：若α=90°，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，DB，CE相交于點O，猜想DB，CE滿足的位置關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖4，在（2）的條件下，連結(jié)CD，分別取DE，DC，BC的中點M，P，N，連結(jié)PM，PN，MN，若AD=4，AB=10，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中△PMN面積的最大值．【思路點撥】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和“SAS”可證△ADB≌（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和“SAS”可證△ADB≌△AEC，可得（3）先證明△PMN是等腰直角三角形，可得S△PMN=12PN2=18BD【解題過程】（1）解：如圖1，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，由旋轉(zhuǎn)得:∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC,∴∠DAB=∠EAC,在△ADB和△AEC中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ADB≌∴BD=CE，故答案為：BD=CE；（2）解：DB⊥CE，理由如下：如圖，設(shè)AB與CE的交點為點P，∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，a=90°，∴∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠EAC，在△ADB和△AEC中，AD=AE∠DAB=∠EAC∴△ADB≌∴∠ABD=∠ACE，∵∠CPB是△BPO的外角，也是△ACP的外角，∴∠CPB=∠ABO+∠COB=∠ACO+∠CAB，∴∠COB=∠CAB=90°，∴DB⊥CE；（3）解：∵M(jìn)，P，N分別是DE，DC，BC的中點，∴DB∥PN，PM∥CE，∵△ADB≌∴DB=CE，∴PN=PM，∵DB⊥CE，DB∥PN，∴PN⊥PM，∴△PMN是等腰直角三角形，∴=1∵AD=4，AB=10，∴當(dāng)點A，點D，點B三點共線時，BD有最大值，即△PMN面積有最大值，∴BD的最大值為14，∴△PMN面積的最大值為1811．（23-24九年級上·福建福州·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．CB=CA=42，點D始終在AC的上方，且∠CAD=α0°<α<180°，點E為射線AD上任意一點（點E與點A不重合），連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，直線FB交直線AD于點

（1）如圖1，當(dāng)0°<α<45°時，求證BM⊥AE；（2）當(dāng)點Q為AC邊的中點時，連接MQ，求MQ的最大值；（3）如圖2，若α=105°，AE=2時，求△BCF的面積．【思路點撥】（1）證△ACE≌△BCF得∠EAC=∠FBC，再利用三角形得內(nèi)角和定理及垂直定義即可得證；（2）如圖，取AB中點O，連接OM、OQ，由勾股定理得AB=CA2+CB（3）連接MC，過點B作BH⊥CM于點H，過點C作CP⊥DA交DA延長線于點P，CN⊥BM于點N，證△ACP≌△BCN，得CP=CN，進(jìn)而求得AB=2【解題過程】（1）證明：如圖，∵∠ACB=90°，將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，∴∠ACE=∠BCA?∠BCE=90°?∠BCE，∠BCF=∠ECF?∠BCE=90°?∠BCE，∴∠ACE=∠BCF∵CA=CB，CE=CF，∴△ACE≌△BCF∴∠EAC=∠FBC∵∠1=∠2，∴∠BMA=∠BCA=90°∴BM⊥AE

（2）解：如圖，取AB中點O，連接OM、OQ，

∵∠AMB=∠BCA=90°，∴AB=C∴OM∵點Q為AC的中點，∴OQ=當(dāng)M、O、Q三點共線時，MQ最大此時，MQ=OM+OQ=1（3）解：如圖，連接MC，過點B作BH⊥CM于點H，過點C作CP⊥DA交DA延長線于點P，CN⊥BM于點N，

∴∠CPA=∠CNB=90°，∠ACB=90°∴∠ACP=∵CA=CB∴△ACP≌△BCN∴CP=CN∴∠CMN=∵CA=CB=4∴AB=∵∠CAD=105°，∠BAC=45°∴∠BAM=60°∴AM=12∴BH=MH=22∴MC=MH+HC=2∵∴CN=∴S12．（23-24九年級上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，點D在射線CB上移動（不與B、C重合），連接AD，線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α°0°<α°≤180°得到線段DE，連接CE

（1）如圖1，當(dāng)點E落在線段AC上時，①直接寫出∠BAD的度數(shù)（可用α表示）；②請用等式表示CE、（2）當(dāng)點E落在線段AC的延長線上時，請在圖2中畫出符合條件的圖形，則（1）中，CE、【思路點撥】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD=ED，∠ADE=α，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=45°，由三角形內(nèi)角和定理得出2∠BAD+90°+α=180°，則可得出答案；②過點E作EF⊥BC于F，證明△ABD≌△DFE（AAS）（2）過點E作EF⊥BC，交BC的延長線于F，證明△ABD≌△DFE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BD=EF【解題過程】（1）①∵線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α°0°<α°≤180°得到線段DE∴AD=ED，∴∠DAE=∠AED，∴2∠BAD+∠BAC∵AB=BC，∴∠BAC=45°，∴2∠BAD+90°+α=180°，∴∠BAD=45°?1②過點E作EF⊥BC于F，

∵AB=BC，∴∠C=45°，∵EF⊥BC，∴∠C=∠CEF=45°，∴EF=CF=2∵線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α°0°<α°≤180°得到線段DE∴AD=DE，∵∠ADE=α，∴∠EDF=90°?∠BAD?∠ADE=90°?45°?∴∠BAD=∠EDF，又∵∠ABD=∠EFD=90°，

∴△ABD≌△DFE（AAS）∴AB=DF，∵DF=DB+BF，∴DB=CF=EF，∴CD=BC+DB=BC+EF=BC+2故答案為：CD=CB+（2）如圖，

不成立，CD=CB?2過點E作EF⊥BC，交BC的延長線于F，∵線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α°得到線段DE，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，設(shè)∠BAD=x，則∠DAC=45°?x，∵∠ADC=90°+x,∠ADE+2∠DAE=180°，∴90°+x+∠EDF+245°?x∴∠EDF=x，∴∠BAD=∠EDF，

∵∠ABD=∠DFE=90°，∴△ABD≌△DFE（AAS）∴BD=EF，∵∠ACB=∠ECF=45°，∴∠ECF=∠CEF=45°，∴EF=CF=2∴CD=CB?BD=CB?EF=CB?213．（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，點D在AB上，DE⊥AB交BC于點E，F(xiàn)是AE中點．（1）線段FD與線段FC的數(shù)量關(guān)系是FD_____FC，位置關(guān)系是FD_____FC；（2）如圖2，將△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<90°，其他條件不變，線段FD與線段FC（3）將△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果BC=22，BE=2，直接寫出線段BF【思路點撥】（1）由直角三角形斜邊中線定理即可證明FD=FC，進(jìn)而可證DF⊥CF；（2）如圖，延長AC到M使得CM=CA，延長ED到N，使得DN=DE，連接BN、BM、EM、AN，延長ME交AN于H，交AB于O，證明△ABN≌△MBE，推出AN=EM，再利用三角形中位線定理即可解決問題；（3）分別求出BF的最大值、最小值即可解決問題．【解題過程】（1）∵∠ADE=∠ACE=90°，AF=FE，∴DF=AF=EF=CF，∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°，∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2∠FAD+∠FAC∴DF=FC，DF⊥FC，故答案為：＝，⊥；（2）線段FD與線段FC的關(guān)系不發(fā)生變化．理由如下：如圖，延長AC到M使得CM=CA，延長ED到N，使得DN=DE，連接BN、BM、EM、AN，延長ME交AN于H，交AB于O，

∵∠ACB=90°，BC=AC，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵BC⊥AM，AC=CM，∴BA=BM，∴∠ABC=∠MBC=45°，∴∠ABM=90°，同理可證BE=BN，∠EBN=90°∵∠ABM=∠EBN=90°，∴∠NBA=∠EBM，∴△ABN≌△MBESAS∴AN=EM，∠BAN=∠BME，∵AF=FE，AC=CM，∴CF=12EM同理可證FD=12AN∴FD=FC，∵∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，∴∠BAN+∠AOH=90°，∴∠AHO=90°，∴AN⊥MH，F(xiàn)D⊥FC；（3）如圖2，連接BF．

∵|BE?BF|≤BF≤BE+BF，∴如圖3時BF取得最大值時，點E落在AB上時，

∵AC=BC=22，∠ACB=90°∴AB=A∵BE=2，∴AE=4?2=2，∵點F是AE的中點，∴AF=EF=1，∴BF的最大值=AB?AF=4?1=3；如圖4中，當(dāng)點E落在AB的延長線上時，BF的值最小，

∵AB=4，BE=2，∴AE=AB+BE=6，∵點F是AE的中點，∴AF=EF=3，∴BF的最小值=AB?AF=4?3=1，綜上所述，1≤BF≤3．14．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，連接AC，點E在BC上，且BE=EC，將點C繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至F點，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為α，連接BF，與AC相交于點G，連接EF，交AC于點H，當(dāng)點C旋轉(zhuǎn)到與點A重合時旋轉(zhuǎn)停止．

（1）如圖2，當(dāng)α=60°時，①求證：EF⊥BC；②點H在線段AC的什么位置？請說明理由；（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在△CEF為等腰三角形的情況？如果存在，請直接寫出EF的長；如果不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）①證明：證明△BCF為等邊三角形，再根據(jù)E為BC的中點，可得EF⊥BC；②由先求出∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，過點H作HP⊥AB于點P，證明四邊形HPBE是矩形，再證明△AHP≌△HCEASA（2）根據(jù)△CEF為等腰三角形，分情況討論：第一種情況：當(dāng)EF=EC時，可得BE+EF=BF，這與BE+EF>BF相矛盾，故此種情況不存在；第二種情況：當(dāng)EF=FC時，過F點作FQ⊥BC于Q點，如圖，在Rt△BFQ中，F(xiàn)Q=BF2?BQ2=7，再在Rt△EFQ中，F(xiàn)E=FQ2+EQ2=22；第三種情況：當(dāng)EC=FC時，過F點作FT⊥BC于T點，過B點作BS⊥FC于S點，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得【解題過程】（1）①證明：∵BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到BF，∴BF=BC，∵α=60°，即∠FBC=60°，∴△BCF為等邊三角形，∵E為BC的中點，∴EF⊥BC；②由（1）知EF⊥BC，∴∠FEB=∠FEC=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，如圖，過點H作HP⊥AB于點P，

則∠HPB=90°，∴四邊形HPBE是矩形，∠AHP=90°?∠BAC=45°，∴HP=BE=EC，∴△AHP≌△HCE∴AH=HC，∴H在AC中點的位置；（2）存在．EF的長為22或6根據(jù)△CEF為等腰三角形，分情況討論：第一種情況：當(dāng)EF=EC時，∵EB=EC，F(xiàn)B=BC，∴BE+EF=BE+EC=BC=BF，∴BE+EF=BF，這與BE+EF>BF相矛盾，故此種情況不存在；第二種情況：當(dāng)EF=FC時，過F點作FQ⊥BC于Q點，如圖，

∵EF=FC，F(xiàn)Q⊥BC，∴EQ=QC=1∵EB=EC，BC=4，BC=BF，∴EB=EC=2，BF=4，EQ=QC=1，∴BQ=3，∴在Rt△BFQ中，F(xiàn)Q=∴在Rt△EFQ中，F(xiàn)E=第三種情況：當(dāng)EC=FC時，過F點作FT⊥BC于T點，過B點作BS⊥FC于S點，如圖，

∵EC=FC，EB=EC=2，∴EC=FC=2，∵BC=BF=4，BS⊥FC，∴FS=SC=1∴在Rt△BFS中，BS=∵FT⊥BC，∴S△BFC∴FT=BS×FC∴在Rt△TFC中，TC=∴ET=EC?TC=3∴在Rt△TFE中，EF=綜上：EF的長為22或615．（23-24九年級上·湖北黃岡·期中）如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．（1）【猜想】如圖1，點E在BC上，點D在AC上，線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）【探究】：把△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接AD，BE，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）【拓展】：把△DCE繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=6，CE=22，當(dāng)A，E，D三點在同一直線上時，直接寫出BE【思路點撥】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC=AC，EC=DC，得出BE=AD，再用（2）先由旋轉(zhuǎn)得出∠BCE=∠ACD，進(jìn)而判斷出△BCE≌△ACD，得出BE=AD，∠CBE=∠CAD，進(jìn)而得出（3）分兩種情況，①當(dāng)點E在線段AD上時，過點C作CM⊥AD于M，求出AE，再用勾股定理求出BE，即可得出結(jié)論；②當(dāng)點E在線段AD的延長線上時，過點C作CN⊥AD于N，求出AE，再由勾股定理求出根據(jù)勾股定理得BE，即可得出結(jié)論．【解題過程】（1）解：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=AC，EC=DC，∴BC?EC=AC?DC，∴BE=AD，∵∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案為：BE=AD，（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由：由旋轉(zhuǎn)知，∠BCE=∠ACD，∵BC=AC，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；（3）解：①當(dāng)點E在線段AD上時，如圖3，過點C作CM⊥AD于M，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22∴DE=C∵CM⊥AD，∴CM=EM=1在Rt△ACM中，AC=6∴AM=A∴AE=AM?EM=42在Rt△ACB中，AC=6AB=A在Rt△ABEBE=A②當(dāng)點D在線段AE上時，如圖4，過點C作CN⊥AE于N，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22∴DE=C∵CN⊥AD，∴CN=EN=1在Rt△ACN中，AC=6∴AN=A∴AE=AN+NE=42在Rt△ACB中，AC=6AB=A在Rt△ABEBE=A綜上，BE的長為42?2或16．（23-24九年級上·河北保定·開學(xué)考試）【動手操作】某班數(shù)學(xué)課外興趣小組將直角三角板DOE（∠DOE=90°，∠E=30°）的直角頂點O放置在另一塊直角三角板ABC（∠ACB=90°，AC=BC）的斜邊AB的中點處，并將三角板DOE繞點O任意旋轉(zhuǎn)．

（1）【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】當(dāng)三角板DOE的兩邊DO，EO分別與另一塊三角板的邊AC，BC交于點①如圖1，當(dāng)OD⊥AC時，OP與OQ的數(shù)量關(guān)系為______；②小組成員發(fā)現(xiàn)當(dāng)OD與AC不垂直時（如圖2所示），OP與OQ之間仍然存在①中數(shù)量關(guān)系，請你說明理由；③小組成員嘉淇認(rèn)為在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形OPCQ的面積S1與△ABC的面積S（2）【探究延伸】如圖3，連接CD，直角三角板DOE在繞點O旋轉(zhuǎn)一周的過程中，若AB=12cm，DE=14cm，直接寫出線段【思路點撥】（1）①連接OC，由已知可證四邊形CPOQ是正方形，即可得OP=OQ；②連接CO，證明△AOP≌△COQ，即得OP=OQ；③由△AOP≌△COQ，知S△AOP=S△COQ，故（2）由AB=12cm，DE=14cm，∠DOE=90°，∠E=30°，∠ACB=90°，AC=BC，求出OC=12AB=6cm，OD=12DE=7cm，當(dāng)點D，C，O在一條直線上，且點C在點D和點O之間時，線段CD長的最小，此時線段CD長的最小值為OD?OC=1cm；當(dāng)點D，C，O在一條直線上，且點，O【解題過程】（1）解：①OP=OQ，理由如下：連接OC，如圖：

∵∠ACB=∠CPO=∠POQ=90°，∴四邊形CPOQ是矩形，∵∠ACB=90°，AC=BC，O為AB中點，∴∠ACO=1∵OD⊥AC，∴∠COP=45°=∠ACO，∴CP=OP，∴四邊形CPOQ是正方形，∴OP=OQ，故答案為：OP=OQ；②OP=OQ，理由如下：連接CO，如圖：

∵∠ACB=90°，AC=BC，O為AB中點，∴CO=AO=12AB，∠BCO=∠A=45°∴∠AOC=90°=∠DOE，∴∠AOP=∠COQ，在△AOP和△COQ中，∠OCQ=∠AOC=OA∴△AOP≌△COQ(ASA∴OP=OQ；③S1∵△AOP≌△COQ，∴S∴S∵S∴四邊形OPCQ的面積始終保持不變，即S1故答案為：S1（2）如圖：

∵AB=12cm，DE=14cm，∠DOE=90°，∠E=30°，∠ACB=90°，∴OC=12AB=6在△OCD中，OD?OC<CD，∴當(dāng)點D，C，O在一條直線上，且點C在點D和點O之間時，線段CD長的最小，如圖：

此時線段CD長的最小值為OD?OC=7?6=1(cm)當(dāng)點D，C，O在一條直線上，且點，O在點D和點C之間時，線段CD長的最大，如圖：

此時線段CD長的最大值為OD+OC=7+6=13(cm)答：CD長的最小值是1cm，最大值是1317．（23-24九年級上·廣東深圳·期中）如圖1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形BEFG．

（1）當(dāng)點E落在BD上時，則線段DE的長度等于；（2）如圖2，當(dāng)點E落在AC上時，求△BCE的面積；（3）如圖3，連接AE、CE、AG、CG，判斷線段AE與CG的位置關(guān)系且說明理由；（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出S△BCE【思路點撥】（1）求出BD的長度，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=BE，進(jìn)而求出DE的長度即可；（2）過點B作BM⊥AC于點M，利用等面積法求出BM的長度，利用勾股定理求出ME、MC的長度，進(jìn)而求出CE的長度，從而求出△BCE的面積；（3）連接AC、EG，設(shè)AE與CG相交于點N，AE與BC相交于點P，利用△ABE和△CBG是等腰三角形，且∠ABE=∠CBG從而得出∠BAE=∠BCG，然后利用∠1=∠2得出∠PNC=∠ABP=90°，從而得出AE⊥CG；（4）過點C作CH⊥直線BE于點H，過點G作EQ⊥直線AB于點Q，SΔBCE=12?CH?BE，SΔABG=12?GQ?AB，利用AB=BE得出：當(dāng)CH+GQ最大時，【解題過程】（1）解：當(dāng)E落在BD上時，如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，∴每個內(nèi)角都等于90°，∵AB=3，BD=A由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=BE=3，∴DE=BD?BE=5?3=2，故答案為：2；（2）解：當(dāng)點E落在AC上時，過點B作BM⊥AC于點M，

在Rt△ABCAC=A∵△ABC是直角三角形，BM⊥AC，∴12∴BM=12在Rt△BMEME=在Rt△BMCMC=B∴CE=MC?ME=16∴SΔ（3）解：AE⊥CG，理由如下：證明：連接AC、EG，設(shè)AE與CG相交于點N，AE與BC相交于點P，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠ABE=∠CBG，AB=BE，∴在等腰△ABE和等腰△CBG中得到：∠EAB=180°?∠ABE2，∴∠EAB=∠BCG，∵∠1=∠2，∴∠CNP=∠ABP=90°，即AE⊥CG；（4）解：過點C作CH⊥直線BE于點H，過點G作EQ⊥直線AB于點Q，

∴SΔBCE=∵AB=BE=3∴S△BCE∴當(dāng)CH+GQ最大時，S△BCE在旋轉(zhuǎn)過程中，0≤CH≤4,0≤GQ≤4，∴0≤CH+GQ≤8，∴當(dāng)點A、B、E三點共線時，CH+GQ=∴S△BCE+S18．（23-24八年級下·重慶北碚·階段練習(xí)）在等邊△ABC中，點E是AC上一點，點D是BC上一點，BE與AD交于點F，且∠AFE=60°．

（1）如圖1，若BC=23，CE=32（2）如圖2，延長BE至點G，使得∠BGC=60°，連接CG，點H為AC中點，連接GH，F(xiàn)C，求證:FC=2GH；（3）如圖3，BC=23，點D為BC中點，將△ABC沿AC折疊得到四邊形ABCQ，動點P在線段CQ上運動(包括端點)，連接AP、BP，將AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到PA'，將BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)

120°得到PB'，連接．A'B'【思路點撥】（1）過點A作AT⊥BC于點T，根據(jù)已知條件證明△ABD≌△BCEASA，得出BD=CE=32，在Rt（2）延長AF至M，使得FM=BF，連接BM，證明△ABM≌△BCGASA，得出AM=BG，證明△AFG是等邊三角形，延長CG至N，使得GN=CG，證明△AGN≌△FGCSAS，得出AN=FC，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出（3）連接PM，將PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到PB″，連接B'B″則△PB'B″【解題過程】（1）解：如圖所示，過點A作AT⊥BC于點T，

∵等邊△ABC中，∴AB=BC，∠ABC=60°∵∠AFE=∠BFD=∠BAF+∠ABF=60°，又∵∠ABF+∠EBC=∠ABC=60°∴∠BAD=∠CAE，在△ABD,△BCE中，∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△BCE∴BD=CE=在Rt△ABT中，BT=TC=12∴DT=BT?BD=3在Rt△ADT中，（2）解：如圖所示，

延長AF至M，使得FM=BF，連接BM∵∠BFM=∠AFE=60°∴△BMF是等邊三角形，∴BF=FM=BM，設(shè)∠BAD=α，由（1）可得∠GBC=∠BAM=α，∴∠ABM=180°?α?60°=120°?α，又∵∠BGC=60°，∴∠BCG=120°?α，∴∠ABM=∠BCG，在△ABM,△BCG中，∠BAM=∠CAG∴△ABM≌△BCG∴AM=BG又∵BF=FM∴AF=FG∵∠AFG=60°∴△AFG是等邊三角形，∴AG=FG，∠AGF=60°延長CG至N，使得GN=CG，∴∠AGN=180°?60°?60°=60°∴∠AGN=∠FGC在△AGN，AG=FG∠AGN=∠FGC∴△AGN≌△FGCSAS∴AN=FC，∵AH=HC,GN=GC，∴HG=1∴HG=1（3）解：如圖所示，連接PM，將PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到PB″，連接B'

∵將△ABC沿AC折疊得到四邊形ABCQ，∴四邊形ABCQ是菱形，依題意，B',P,B又PA'∴△∴A∵M(jìn)為A'∴PM=12∵∠∴∠