人教版2024-2025學年九年級數(shù)學上冊22.8圖形中的動點問題-二次函數(shù)的應(yīng)用(壓軸題專項講練)(學生版+解析)

專題22.8圖形中的動點問題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】如圖1，矩形OABC頂點B的坐標為(6,2)，定點D的坐標為(9,0)，動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點Q從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動，P、Q兩點同時運動，相遇時停止，在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設(shè)運動時間為t秒．（1）當t=___________時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B，當t=___________時，點R落在邊BC上；（2）設(shè)△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，過定點E(4,0)作EF⊥BC，垂足為F，當△PQR的頂點R落在矩形OABC的內(nèi)部時，過點R作x軸、y軸的平行線，分別交EF、BC于點M、N，若∠MAN=45°，直接寫出t的值___________．【思路點撥】（1）△PQR的邊QR經(jīng)過點B時，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，則有AB=AQ，由此列方程求出t即可，當R落在BC邊上時，因為ΔPQR是等腰直角三角形，故PR=（2）在圖形運動過程中分三種情況討論，按t的取值范圍分段寫出關(guān)系式即可；（3）首先判定四邊形ABFE是正方形，其次通過旋轉(zhuǎn)，由三角形全等證明MN=EN+BN，設(shè)EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的關(guān)系式，由此等式列方程求出t【解題過程】解：（1）△PQR的邊QR經(jīng)過點B時，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，∴AB=AQ，即2=9?6?t，解得t=1，∴t=1時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B；點R落在邊BC上，則R縱坐標的長度和AB相同，∵△PQR為等腰直角三角形，∴PQ=2AB=2×2=4，即9?t?2t=4，解得t=5∴t=53時，點R落在邊故答案為：1，53（2）①當0≤t≤1時，如圖1所示，設(shè)PR交BC于點G，過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=PH=2，∴S=S②當1<t≤5設(shè)PR交BC于點C，RQ交BC、AB于點S、T，過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=HP=2，QD=t，則AQ=AT=9?6?t=3?t，∴BT=BS=AB?AT=2?(3?t)=t?1，∴S=S③當53設(shè)RQ與AB交于點T，則AT=AQ=9?6?t=3?t，PQ=9?2t?t=9?3t，∴PR=RQ=2∴S=S綜上，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=10?4t(0≤t≤1)S=?（3）∵E(4,0)，∴AE=AB=2，∴四邊形ABFE是正方形，如圖4，將△AME繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABM'，其中AE和∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，∴∠BAM∴∠MAN=∠M連接MN，在△MAN和△MAM=AM∴△MAN≌△M∴MN=M∴MN=EM+BN，設(shè)EM=m，BN=n，則FM=2?m，F(xiàn)N=2?n，在Rt△FMN中，由勾股定理得：F即(2?m)2整理得，mn+2(m+n)?4=0，①延長NR交x軸于點S，則m=EM=RS=1∵QS=12PQ=∴n=BN=AS=QS?AQ=1∴m=3n，代入①式，化簡得：3n解得n=?4+273∴BN=3解得t=17?4故答案為：17?47學霸必刷學霸必刷1．（23-24九年級上·河北保定·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，點P從點A沿AC向點C以1cms的速度運動，同時點Q從點C沿CB向點B以2cms的速度運動（點A．19cm2 B．16cm2 C．2．（23-24八年級下·山東濟寧·期末）直線y=12x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，點C在線段AB上，過點C作x軸的垂線，垂足為D．E是線段AB上一動點(不與點A，B，C重合)，過點E作x軸的垂線，垂足為F，連接OC，OE．若點C的橫坐標為?2，則SA．S△OEF>S△OCD B．S△OEF=3．（23-24九年級上·浙江紹興·階段練習）如圖，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AD向終點D移動，設(shè)移動時間為ts.連接PC，以PC為一邊作正方形PCEFA．32 B．34 C．454．（2024·安徽淮南·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點E是BC的中點，點F是邊AB上的動點，連接FE并延長交DC的延長線于點G,點H在五邊形ADCEF中，連接HG,HF,若HF=HG,∠FHG=90°,則四邊形ADHFA．413 B．412 C．415．（2023·廣東廣州·一模）如圖，點D為等邊三角形ABC邊BC上一動點，AB=4，連接AD，以AD為邊作正方形ADEF，連接CE、CF，則當BD=時，△CEF的面積為最小值．6．（2024九年級下·全國·專題練習）如圖，△ABC和△A'B'C'是邊長分別為5和2的等邊三角形，點B'、C'、B、C都在直線l上，△ABC固定不動，將△A'B'C'在直線l上自左向右平移．開始時，點C'與點B重合，當點B7．（2023·山東泰安·一模）已知菱形ABCD的邊長為1，∠DAB=60°，E為AD上的動點，F(xiàn)在CD上，且AE+CF=1，設(shè)ΔBEF的面積為y，AE=x，當點E運動時，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是8．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，點P，Q同時從點A出發(fā)，點P以1cm/s的速度沿A→C→D的方向運動，點Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方向運動，當其中一點到達點D時，兩點停止運動．設(shè)運動時間為xs，△APQ的面積為ycm2，則

9．（23-24九年級上·廣東湛江·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=10cm，點P從點A開始沿AB邊向點B移動，速度為1cm/s；點Q從點B開始沿BC邊向點C移動，速度為2cm/s，點P、Q分別從點（1）幾秒時，PQ的長度為42（2）幾秒時，△PBQ的面積為8cm（3）當t0<t<5為何值時，四邊形APQC10．（23-24九年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，兩個動點P，Q同時從A點出發(fā)，點P沿AC運動，點Q沿AB，BC運動，兩點同時到達點C．

（1）點Q的速度是點P速度的多少倍？（2）設(shè)AP=x，△APQ的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）求出y的最大值．11．（23-24八年級上·上海黃浦·期中）等腰直角△ABC的直角邊AB=BC=20cm,AC=202cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度做直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設(shè)P點運動時間為（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當點P運動幾秒時，S△PCQ（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？如果不變，請直接寫出DE的長度；如果改變，請說明理由．12．（23-24九年級上·吉林·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=8，點D為BC邊的中點.動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動，同時動點Q從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向終點B運動，當點P與點D、C不重合時，以PQ、PD為鄰邊作?PDEQ，設(shè)點P的運動時間為（1）用含t的代數(shù)式表示線段PD的長；（2）當線段QE被邊AC平分時，求t的值；（3）設(shè)?PDEQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S=6時t的值.13．（23-24九年級上·吉林四平·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm．動點P，Q從A同時出發(fā)，且速度均為3cm/s，點P，Q分別沿折線AB?BC，AD?DC向終點C運動．設(shè)點P的運動時間為xs0<x<3

（1）當點P與點B重合時，x的值為______．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．（3）當PQ長度不變時，直接寫出x的取值范圍及PQ的長度．14．（23-24九年級下·江西贛州·階段練習）如圖1，在正方形ABCD中，動點P，Q同時從點A出發(fā)，以相同的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點C運動．設(shè)運動時間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為（單位：cm2），y與x之間的函數(shù)圖象如圖2（1）正方形的邊長為______，點P的運動速度為______；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若P在AB上運動時，點P，Q的位置記為P1，Q1，若P在BC上運動時，點P，Q的位置記為P2，Q2，且點P從15．（23-24九年級上·遼寧葫蘆島·階段練習）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=6cm，動點P以2cm/s的速度從點B出發(fā)，沿BC邊向終點C運動，過P作PQ⊥AB于點Q，以BP、BQ為鄰邊作平行四邊形PBQM，設(shè)點P的運動時間為ts，平行四邊形PBQM與（1）當點M落在AC邊上時，求t的值；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出自變量t的取值范圍．16．（2023·吉林·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠DAB=60°，點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A?D?C運動，過點P作射線AB的垂線，交射線AB于點Q，在點P運動過程中，設(shè)運動時間為t，△APQ與菱形ABCD重疊部分的面積為（1）寫出線段PD的長（用含t的式子表示）．（2）當PQ平分菱形面積時，求t的值．（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．17．（23-24九年級下·吉林·階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，點E是AB的中點．動點P從點E出發(fā)，沿折線EA?AD?DC以2cm/s的速度運動，作∠PEQ=90°，EQ交邊DC或邊CB于點Q，連接PQ．當點Q與點B重合時，點P停止運動．設(shè)點P的運動時間為xsx>0（1）當x=1.5時，△PQE的形狀是______．（2）當點Q與點B重合時，求x的值．（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．18．（2024·吉林四平·一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線BD=6，∠A=60°．點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到點B停止．過點P作PQ⊥AB，交折線AD?DB于點Q，以PQ、PB為邊作矩形PQEB，設(shè)矩形PQEB與△ABD重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為ts（1）用含t的代數(shù)式表示PB的長；（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（3）作射線CE，當CE截矩形PQEB所得的圖形存在軸對稱圖形時，直接寫出t的值．19．（23-24九年級上·吉林白城·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm．動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1cms的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，沿BA方向以1cms的速度向終點A運動．以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設(shè)點P的運動時間為xsx>0（1）當點D落在QF上時，x的值為______．（2）當點D落在BC上時，求x的值．（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．20．（2024·天津西青·一模）在平面直角坐標系中，O為原點，△OAB的頂點A的坐標為16,0，點B在第一象限，∠OBA=90°，BO=BA，矩形OCDE的頂點E在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，點D坐標為?4,10．（1）如圖①，求點B的坐標；（2）將矩形OCDE沿x軸向右平移，得到矩形O'C'D'E'，點O，C，D，E的對應(yīng)點分別為O'，C'，D'，①如圖②，當矩形O'C'D'E'與△OAB重疊部分為五邊形時，D'E'與OB相交于點M，C'②當3≤t≤14時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．專題22.8圖形中的動點問題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】如圖1，矩形OABC頂點B的坐標為(6,2)，定點D的坐標為(9,0)，動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點Q從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動，P、Q兩點同時運動，相遇時停止，在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設(shè)運動時間為t秒．（1）當t=___________時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B，當t=___________時，點R落在邊BC上；（2）設(shè)△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，過定點E(4,0)作EF⊥BC，垂足為F，當△PQR的頂點R落在矩形OABC的內(nèi)部時，過點R作x軸、y軸的平行線，分別交EF、BC于點M、N，若∠MAN=45°，直接寫出t的值___________．【思路點撥】（1）△PQR的邊QR經(jīng)過點B時，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，則有AB=AQ，由此列方程求出t即可，當R落在BC邊上時，因為ΔPQR是等腰直角三角形，故PR=（2）在圖形運動過程中分三種情況討論，按t的取值范圍分段寫出關(guān)系式即可；（3）首先判定四邊形ABFE是正方形，其次通過旋轉(zhuǎn)，由三角形全等證明MN=EN+BN，設(shè)EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的關(guān)系式，由此等式列方程求出t【解題過程】解：（1）△PQR的邊QR經(jīng)過點B時，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，∴AB=AQ，即2=9?6?t，解得t=1，∴t=1時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B；點R落在邊BC上，則R縱坐標的長度和AB相同，∵△PQR為等腰直角三角形，∴PQ=2AB=2×2=4，即9?t?2t=4，解得t=5∴t=53時，點R落在邊故答案為：1，53（2）①當0≤t≤1時，如圖1所示，設(shè)PR交BC于點G，過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=PH=2，∴S=S②當1<t≤5設(shè)PR交BC于點C，RQ交BC、AB于點S、T，過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=HP=2，QD=t，則AQ=AT=9?6?t=3?t，∴BT=BS=AB?AT=2?(3?t)=t?1，∴S=S③當53設(shè)RQ與AB交于點T，則AT=AQ=9?6?t=3?t，PQ=9?2t?t=9?3t，∴PR=RQ=2∴S=S綜上，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=10?4t(0≤t≤1)S=?（3）∵E(4,0)，∴AE=AB=2，∴四邊形ABFE是正方形，如圖4，將△AME繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABM'，其中AE和∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，∴∠BAM∴∠MAN=∠M連接MN，在△MAN和△MAM=AM∴△MAN≌△M∴MN=M∴MN=EM+BN，設(shè)EM=m，BN=n，則FM=2?m，F(xiàn)N=2?n，在Rt△FMN中，由勾股定理得：F即(2?m)2整理得，mn+2(m+n)?4=0，①延長NR交x軸于點S，則m=EM=RS=1∵QS=12PQ=∴n=BN=AS=QS?AQ=1∴m=3n，代入①式，化簡得：3n解得n=?4+273∴BN=3解得t=17?4故答案為：17?47學霸必刷學霸必刷1．（23-24九年級上·河北保定·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，點P從點A沿AC向點C以1cms的速度運動，同時點Q從點C沿CB向點B以2cms的速度運動（點A．19cm2 B．16cm2 C．【思路點撥】本題考查了二次函數(shù)的最值和勾股定理．利用分割圖形求面積法找出S四邊形PABQ是解題的關(guān)鍵．在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC，設(shè)運動時間為t(0≤t≤4)，則PC=(6?t)cm，CQ=2tcm【解題過程】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，∴AB=A設(shè)運動時間為t(0≤t≤4)，則PC=(6?t)cm，CQ=2t∴S===∴當t=3時，四邊形PABQ的面積取最小值，最小值為15cm故答案為：C．2．（23-24八年級下·山東濟寧·期末）直線y=12x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，點C在線段AB上，過點C作x軸的垂線，垂足為D．E是線段AB上一動點(不與點A，B，C重合)，過點E作x軸的垂線，垂足為F，連接OC，OE．若點C的橫坐標為?2，則SA．S△OEF>S△OCD B．S△OEF=【思路點撥】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)，先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)計算出S△OCD，設(shè)點E的坐標為m,12m+2，用關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式表示出S△OEF【解題過程】解：∵點C在線段AB上，橫坐標為?2，∴點C的縱坐標為12∴OD=2，CD=1，∴S△OCD設(shè)點E的坐標為m,1則OF=m=?m，∴S△OEF∵?1∴當m=?2時，S△OEF取最大值，最大值為1，此時點E與點C∴S△OEF故選C．3．（23-24九年級上·浙江紹興·階段練習）如圖，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AD向終點D移動，設(shè)移動時間為ts.連接PC，以PC為一邊作正方形PCEFA．32 B．34 C．45【思路點撥】設(shè)△PCD的面積為y，根據(jù)面積公式求出y=5?t，根據(jù)勾股定理求出PC2=t2【解題過程】解：設(shè)△PCD的面積為y，由題意得：AP=t，PD=5?t，∴y=1∵四邊形EFPC是正方形，∴S∵PC∴PC∴S當t為4時，△DEF的面積最小，且最小值為32故選：C．4．（2024·安徽淮南·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點E是BC的中點，點F是邊AB上的動點，連接FE并延長交DC的延長線于點G,點H在五邊形ADCEF中，連接HG,HF,若HF=HG,∠FHG=90°,則四邊形ADHFA．413 B．412 C．41【思路點撥】先證明△EFB≌△EGCASA，再證明四邊形BERQ為正方形和四邊形AQHT為矩形，利用已知條件從而可推出HT的長度，最后利用面積法列二次函數(shù)從而求出△AFH【解題過程】解：過點H作HQ⊥AB于點Q，過點E作ER⊥HQ于點R，過點H作HT⊥AD于點T，連接EH和AH，如圖所示，∵E為BC的中點，∴BE=CE,在△EFB和△EGC中，∠FEB=∠GEC∴△EFB∴EF=EG∴△FHG是等腰直角三角形，∴HE=EF=EG，HE⊥FG,∵ER⊥QR,四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠BQR=∠ERQ=90°,∴四邊形BERQ是矩形，∵∠FEH=90°,∠BER=90°,∴∠BEF+∠FER=∠REH+∠REF,∴∠BEF=∠REH,∵∠B=∠ERH=∠ERQ=90°,∠BEF=∠REH,EF=EH,∴△BEF≌∴BE=ER,BF=RH,∵BE=EC,BC=AD=8,∴ER=RQ=BE=4,∵四邊形BQRE為矩形，∴四邊形BQRE為正方形，∴BQ=BE=4,∵AB=6,∴AQ=AB?BQ=6?4=2,∵HQ⊥AB,HT⊥AD,∠BAD=90°,∴四邊形HQAT是矩形，∴HT=AQ=2,∴S設(shè)BF=RH=x,∴QH=QR+RH=4+x，∴S△AFH∵?∴當x=1時，△AFH的面積最大，最大值為252所以，四邊形ADHF面積的最大值為S故選：B5．（2023·廣東廣州·一模）如圖，點D為等邊三角形ABC邊BC上一動點，AB=4，連接AD，以AD為邊作正方形ADEF，連接CE、CF，則當BD=時，△CEF的面積為最小值．【思路點撥】設(shè)BD=x，CD=4?x，根據(jù)勾股定理用含x代數(shù)式表示出正方形ADEF的面積，利用面積關(guān)系S△CEF=12S【解題過程】解：如圖，過點A作AH⊥BC垂足為點H，∵△ABC是等邊三角形，AB=4，∴BH=HC=12BC=設(shè)BD=x，則DH=2?x，CD=4?x，S正方形S△ACD如圖，在正方形ADEF中，AD=DE=EF=AF，過點C作AF的垂線，交AF于點M，交DE于點N，∵AF∥DE，MN⊥AF，∴MN⊥DE，∴四邊形ADNM為矩形，MN=AD=DE=EF=AF，∴S∴SS△CEF當x=2?3時，S△CEF的面積最小為故答案為：2?3，96．（2024九年級下·全國·專題練習）如圖，△ABC和△A'B'C'是邊長分別為5和2的等邊三角形，點B'、C'、B、C都在直線l上，△ABC固定不動，將△A'B'C'在直線l上自左向右平移．開始時，點C'與點B重合，當點B【思路點撥】根據(jù)運動過程可分三種情況討論：當0<x≤2時，兩個三角形重疊部分為△BC'D的面積，當2<x≤5時，兩個三角形重疊部分為△A'【解題過程】解：①當0<x≤2時，如圖1所示，兩個三角形重疊部分為△BC由題意得，BC∵△ABC和△A'B'C'是邊長分別為5和2的等邊三角形，∴△BC'D過點D作DE⊥BC于點E，∴BE=1∴DE=3∴S即y=3②當2<x≤5時，如圖2所示，兩個三角形重疊部分為△A由題意得，B'過點A'作A'E⊥∴A∴S即y=3③當5<x≤7時，如圖3所示，兩個三角形重疊部分為△B由題意得，BC∵△ABC和△A∴△B'CD過點D作DE⊥BC于點E，∴DE=3∴S即y=3綜上，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=3故答案為：y=7．（2023·山東泰安·一模）已知菱形ABCD的邊長為1，∠DAB=60°，E為AD上的動點，F(xiàn)在CD上，且AE+CF=1，設(shè)ΔBEF的面積為y，AE=x，當點E運動時，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是【思路點撥】證明△BEF是等邊三角形，求出△BEF的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，即可得出答案．【解題過程】解：連接BD，如圖所示：∵菱形ABCD的邊長為1，∠DAB=60°，∴△ABD和△BCD都是等邊三角形，∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，∵AE+DE=AD=1，AE+CF=1，∴DE=CF，在△BDE和△BCF中，DE=CF∠BDE=∠C∴△BDE?△BCF(SAS∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，∴∠DBF+∠DBE=60°，∴∠EBF=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE=EF，∴△BEF的面積y=3作BE'⊥AD于E∵AE=x，∴EE∴BE∴y=3∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=3故答案為：y=8．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，點P，Q同時從點A出發(fā)，點P以1cm/s的速度沿A→C→D的方向運動，點Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方向運動，當其中一點到達點D時，兩點停止運動．設(shè)運動時間為xs，△APQ的面積為ycm2，則

【思路點撥】先證明△ABC，△ACD均為等邊三角形，再分0≤x≤1、1<x≤2、2<x≤3三種情況，分別畫出對應(yīng)圖形，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積公式求得y與x的函數(shù)關(guān)系式即可．【解題過程】解：∵四邊形ABCD是菱形，AB=2cm，∠D=60°∴AD=CD=BC=AB=2cm，∠B=∠D=60°∴△ABC，△ACD均為等邊三角形，∴∠CAD=∠ACD=∠ACB=∠BAC=60°，AC=AB=2cm∴運動時間為xs最大為2cm×3當0≤x≤1時，點P在AC，點Q在AB上，如圖，過P作PE⊥AB于E，

由題意，AP=xcm，AQ=2xcm，在Rt△APE∴AE=1則PE=A∴y=1當1<x≤2時，點P在AC上，點Q在AB上，如圖，過Q作QF⊥AC于F，

由題意，AP=xcm，CQ=在Rt△CQF中，∠CQF=90°?∠ACB=30°∴CF=1則QF=C∴y=1當2<x≤3時，點P、Q均在CD上，如圖，過A作于G，

由題意，CP=x?2cm，∴PQ=CQ?CP=2x?4?x?2在Rt△ADG中，∠DAG=90°?∠D=30°∴DG=1則AG=A∴y=1綜上，當0≤x≤1時，y=32x2；當1<x≤2時，y=?3故答案為：當0≤x≤1時，y=32x2；當1<x≤2時，y=?39．（23-24九年級上·廣東湛江·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=10cm，點P從點A開始沿AB邊向點B移動，速度為1cm/s；點Q從點B開始沿BC邊向點C移動，速度為2cm/s，點P、Q分別從點（1）幾秒時，PQ的長度為42（2）幾秒時，△PBQ的面積為8cm（3）當t0<t<5為何值時，四邊形APQC【思路點撥】本題主要考查了勾股定理，二次函數(shù)的極值，一元二次方程分應(yīng)用，本題是動點問題，利用t代數(shù)式表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)運動時間為t秒，分別用t的代數(shù)式表示出線段PB,BQ的長度，利用勾股定理列出方程即可求解；（2）利用（1）中的方法，利用三角形的面積公式列出方程即可求解；（3）利用（1）中的方法求得四邊形APQC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解題過程】（1）解：設(shè)運動時間為t秒時，PQ的長度為42依題意得：AP=tcm,BQ=2tcm∴PB=6?t∴∠B=90°，∴PB∴6?t解得：t=2或25∴2秒或25秒時，PQ的長度為4（2）解：設(shè)運動時間為t秒時，△PBQ的面積為8cm依題意得：AP=tcm∴PB=6?t∵△PBQ的面積為8cm∴1解得：t=2或4．∴2秒或4秒時，△PBQ的面積為8cm（3）解：四邊形APQC的面積=S====t?3∵1>0，∴當t=3時，四邊形APQC的面積最小，最小值為21．10．（23-24九年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，兩個動點P，Q同時從A點出發(fā)，點P沿AC運動，點Q沿AB，BC運動，兩點同時到達點C．

（1）點Q的速度是點P速度的多少倍？（2）設(shè)AP=x，△APQ的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）求出y的最大值．【思路點撥】（1）由于在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，由此可以利用勾股定理求出BC，AC的長度，又兩個動點P，Q同時從A點出發(fā)，點P沿AC運動，點Q沿AB，BC運動，兩點同時到達點C，利用這個條件即可求解；（2）有兩種情況：①當Q在AB上，利用（1）的結(jié)論和三角形的面積公式即可求解；②當Q在BC上，利用（1）的結(jié)論求出BQ，CQ的長度，也就可以求出Q到AB的距離，再利用三角形的面積公式即可求解；（3）利用（2）的結(jié)論和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解題過程】（1）解：∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=3而兩個動點P，Q同時從A點出發(fā)，點P沿AC運動，點Q沿AB，BC運動，兩點同時到達點C，∴Q的速度是P的速度的(2+1)÷3（2）解：∵設(shè)AP=x，△APQ的面積是y，①當Q在AB上，

即0<x≤33時，②當Q在BC上，過Q作QE⊥AC于E，如圖，∵CQ=AB+BC?(AB+BQ)=3?3x，∴QE=1

∴當33<x<3即：y=?3綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=3（3）解：對于y=當x=33時，對于y=?34當x=32時，∵33∴當x=32時，11．（23-24八年級上·上海黃浦·期中）等腰直角△ABC的直角邊AB=BC=20cm,AC=202cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度做直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設(shè)P點運動時間為（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當點P運動幾秒時，S△PCQ（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？如果不變，請直接寫出DE的長度；如果改變，請說明理由．【思路點撥】（1）由題可以看出P沿AB向右運動，Q沿BC向上運動，且速度都為1cm/秒，求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出（2）求出△ABC的面積，結(jié)合S△PCQ=S△ABC，設(shè)P運動的時間為t秒，分別分析當t<20秒時，以及當（3）過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M，連接EQ、PM，易證△APE≌【解題過程】（1）解：當t≤20秒時，P在線段AB上，此時CQ=t，PB=20?t，∴S當t>20秒時，P在線段AB的延長線上，此時CQ=t，PB=t?20，∴S綜上所述S=?（2）解：S△ABC當0<t<20秒時，?1方程無解；當t>20秒時，12解得x1∴當點P運動10+105秒時，S（3）解：線段DE的長度不會改變，理由如下：如圖，過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M，∵AB=BC=20cm∴∠A=∠ACB=∠QCM=45°∵AP=QC=t，∠QMC=∠AEP=90°∴△APE≌∴AE=PE=CM=QM=2∵EP∥∴四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對角線EM的一半，∴EM=EC+CM=EC+AE=202∴ED=1同理，當點P在點B右側(cè)時，DE=102綜上所述，當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變，為12．（23-24九年級上·吉林·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=8，點D為BC邊的中點.動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動，同時動點Q從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向終點B運動，當點P與點D、C不重合時，以PQ、PD為鄰邊作?PDEQ，設(shè)點P的運動時間為（1）用含t的代數(shù)式表示線段PD的長；（2）當線段QE被邊AC平分時，求t的值；（3）設(shè)?PDEQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S=6時t的值.【思路點撥】（1）分0<t<2和2<t<4兩種情況進行求解即可；（2）設(shè)AC與QE相交于點F，求出QF=2AQ=2t，由平行四邊形的性質(zhì)得到QE=PD=4?2t，又有QE=2QF，則（3）過點Q作QH⊥BC于點H，分0<t<2和2<t<4兩種情況求解S，再分兩種情況代入S=6進一步求解即可.此題考查了列函數(shù)關(guān)系式、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次根式運算等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是是解題的關(guān)鍵.【解題過程】（1）解：∵點D為BC邊的中點，∴BD=CD=1當0<t<2時，PD=BD?PB=4?2t，當2<t<4時，PD=PB?BD=2t?4；（2）如圖1，設(shè)AC與QE相交于點F，在Rt△AQF中，∠AQE=∠B=45°,AQ=∴QF=2∵以PQ、PD為鄰邊作?PDEQ，∴QE=PD=4?2t，又∵QE=2QF，∴4?2t=4t，解得t=3（3）如圖，過點Q作QH⊥BC于點H，∵∠BAC=90°，∴AB=AC=2在Rt△BQH中，BQ=42∴QH=BH=2當0<t<2時，PD=BD?PB=4?2t，∴S=PD?QH=4?2t當2<t<4時，PD=PB?BD=2t?4；∴S=PD?QH=2t?4∴S=2當S=6時，若2t2?12t+16=6當S=6時，若?2t∴t=113．（23-24九年級上·吉林四平·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm．動點P，Q從A同時出發(fā)，且速度均為3cm/s，點P，Q分別沿折線AB?BC，AD?DC向終點C運動．設(shè)點P的運動時間為xs0<x<3

（1）當點P與點B重合時，x的值為______．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．（3）當PQ長度不變時，直接寫出x的取值范圍及PQ的長度．【思路點撥】（1）當點P與點B重合時，即AP=AB=3，再計算出x的值即可；（2）分類討論：當0<x≤1時、當1<x≤2時和當2<x≤3時，分別畫出圖形，再根據(jù)三角形面積公式計算即可，注意當1<x≤2時利用矩形面積減去三個小三角形面積計算；（3）由題意可知當點P在AB上運動或點Q在CD上運動時PQ長度一定發(fā)生變化，即討論1<x≤2即可，此時點P在BC上運動，點Q在AD上運動，過點P作PE⊥AD于E．根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可．【解題過程】（1）解：當點P與點B重合時，AP=AB=3，∴x=3故答案為：1；（2）解：分類討論，當0<x≤1時，如圖，

∴AP=AQ=3x，∴y=1當1<x≤2時，如圖，

∴AQ=3x，∴y=1當2<x≤3時，如圖，

∴DQ=3x?6，BP=3x?3，BC=QC=9?3x，∴y=AB?AD?=3×6?=?9綜上可知：y=9（3）解：由題意知，當點P在AB上運動或點Q在CD上運動時PQ長度一定發(fā)生變化，∴討論1≤x≤2即可，此時點P在BC上運動，點Q在AD上運動，如圖，作PE⊥AD于E．

∴AE=BP=3x?3，AQ=3x，EP=AB=3，∴EQ=AQ?AE=3x?3x?3∴PQ=E∴當PQ長度不變時，1≤x≤2，PQ長度為3214．（23-24九年級下·江西贛州·階段練習）如圖1，在正方形ABCD中，動點P，Q同時從點A出發(fā)，以相同的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點C運動．設(shè)運動時間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為（單位：cm2），y與x之間的函數(shù)圖象如圖2（1）正方形的邊長為______，點P的運動速度為______；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若P在AB上運動時，點P，Q的位置記為P1，Q1，若P在BC上運動時，點P，Q的位置記為P2，Q2，且點P從【思路點撥】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及三角形的面積公式即可求得正方形的邊長，從而求得速度；（2）根據(jù)動點的運用，分類討論，①當0≤x<4時，AP=AQ=x；②當4≤x≤8時，如圖所示，CQ=CP=8?x；圖形結(jié)合，根據(jù)幾何圖形面積的計算方法即可求解；（3）設(shè)點P運動到點P1處時，x=m(0<m<4)，則點Р運動到點P2處時，設(shè)六邊形P1BP2Q2D【解題過程】（1）解：由題意可得△ABD的面積為8，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°∴12解得AB=4cm，(負值舍去)∴正方形的邊長為4cm∴點P的運動速度為4÷4=1cm/s故答案為：4cm，1（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4cm，∠A=∠ABC=∠C=∠CDA=90°，線段BD∴BD=2∵點P、Q的速度為1cm/s，設(shè)運動時間為x∴點P從A→B的時間為4÷1=4(s)，從A→B→C的運動時間為點Q從A→D的時間為4÷1=4(s)，從A→D→C的運動時間為①當0≤x<4時，AP=AQ=x，∴S△ABD=1∴S四邊形∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?1②當4≤x≤8時，如圖所示，

∴CQ=CP=8?x，∴S△ABD=12AB?AD=∴S四邊形∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?1綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?（3）解：設(shè)點P運動到點P1處時，x=m(0<m<4)，則點Р運動到點P2處時，設(shè)六邊形P1BP則S==?=?=?m?2∴當m=2時，六邊形P1BP15．（23-24九年級上·遼寧葫蘆島·階段練習）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=6cm，動點P以2cm/s的速度從點B出發(fā)，沿BC邊向終點C運動，過P作PQ⊥AB于點Q，以BP、BQ為鄰邊作平行四邊形PBQM，設(shè)點P的運動時間為ts，平行四邊形PBQM與（1）當點M落在AC邊上時，求t的值；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出自變量t的取值范圍．【思路點撥】（1）由題意可得BP=2tcm，根據(jù)勾股定理求得BQ=PQ=tcm，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得PB∥QM,PB=QM=2tcm，當點M在AC（2）分兩種情況：①當0<t≤2時，S=S?BPMQ；②當2<t≤3時，MQ,MP分別交AC于點G、點H，【解題過程】（1）解：∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC,∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵PQ⊥AB，∴∠PQB=90°，∴∠BPQ=∠B=45°，∴PQ=BQ，∵BP=2∴BQ∴BQ=PQ=tcm∵四邊形PBQM為平行四邊形，∴PB∥QM,PB=QM=2當點M在AC邊上時，如圖，∵PB∥QM，∴∠AMQ=∠ACB=90°．∵∠A=45°，∴△AQM為等腰直角三角形，∴AM∴AQ=2tcm∵AQ+BQ=AB，∴t+2t=6，∴t=2．（2）解：①當0<t≤2時，如圖，∴S=S②∵在Rt△ABC中，A∵AB=6cm∴2A∴AC=BC=32∴當2<t≤3時，如圖，MQ,MP分別交AC于點G、點H，∵BO=tcm∴AQ=6?t∵△AQG為等腰直角三角形，∴AQ∴QG=2∵QM=PB=2∴GM=QM?QG=2∵∠M=45°,∠MGH=90°，∴△GHM為等腰直角三角形，∴GM=GH，∴S=S綜上所述，S=t16．（2023·吉林·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠DAB=60°，點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A?D?C運動，過點P作射線AB的垂線，交射線AB于點Q，在點P運動過程中，設(shè)運動時間為t，△APQ與菱形ABCD重疊部分的面積為（1）寫出線段PD的長（用含t的式子表示）．（2）當PQ平分菱形面積時，求t的值．（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．【思路點撥】（1）分兩種情況：①當0<t≤2時，②當2<t≤4時，由題意可得出答案；（2）連接BD，過點D作DM⊥AB于點M，則四邊形DPQM為矩形，證明△DPO≌△BQOAAS，由全等三角形的性質(zhì)得出DP=BQ=（3）分三種情況：①當0<t≤2時，點P在邊AD上，如圖2；②當2<t≤3時，當點P在邊CD上，點Q在線段AB上，如圖3；③當3<t≤4時，當點P在邊CD上，點Q在線段AB的延長線上，如圖4．【解題過程】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=DC=4cm當0<t≤2時，PD=4?2t當2<t≤4時，PD=2t?4（2）解：連接BD，過點D作DM⊥AB于點M，則四邊形DPQM為矩形，∴DP=MQ，∵AD=AB=4cm，∠DAB=60°∴AM=2cm∵PQ平分菱形的面積，∴PQ經(jīng)過BD的中點O，∴OB=OD，∵四邊形ABCD是菱形，∴DC∥∴∠PDO=∠OBQ，∠DPO=∠BQO，∴△DPO≌△BQOAAS∴DP=BQ=2t?4∴2+2t?4+2t?4=4，∴t=5（3）解：分三種情況：①當0<t≤2時，點P在邊AD上，如圖2．∵AP=2tcm，∠A=60°∴AQ=12AP=t∴S∴S=3②當2<t≤3時，當點P在邊CD上，點Q在線段AB上，如圖3．由（2）可知，∵DP=2t?4∴AQ=2+2t?4=2t?2∴S=SS=1③當3<t≤4時，當點P在邊CD上，點Q在線段AB的延長線上，如圖4．∵AQ=2t?2cm，∴BQ=2t?6∵∠QBN=60°，∴QN=3∴S=S=?23綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=317．（23-24九年級下·吉林·階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，點E是AB的中點．動點P從點E出發(fā)，沿折線EA?AD?DC以2cm/s的速度運動，作∠PEQ=90°，EQ交邊DC或邊CB于點Q，連接PQ．當點Q與點B重合時，點P停止運動．設(shè)點P的運動時間為xsx>0（1）當x=1.5時，△PQE的形狀是______．（2）當點Q與點B重合時，求x的值．（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．【思路點撥】（1）由題意得出當x=1.5時，點P在AD上，如圖，作QF⊥AB于F，則∠QFA=∠QFB=90°，證明△EAP≌△QFEAAS，得出PE=QE（2）求出當點Q與點B重合時，此時點P的運動的距離為6cm（3）分三個階段：當0<x≤1時，點P在EA上運動；當1<x≤2時，點P在AD上運動，作QF⊥AB于F；當2<x≤3時，點P在DC上運動，作PH⊥AB于H，分別利用矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式計算即可得出答案．【解題過程】（1）解：當x=1.5時，點P運動的距離為：2×1.5=3cm∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，AD=BC=2cm，AB=CD=4cm∵點E是AB的中點．∴AE=1∴當x=1.5時，點P在AD中點上，如圖，作QF⊥AB于F，則∠QFA=∠QFB=90°，∴四邊形CBFQ為矩形，∴QF=BC=AE，∵∠PEQ=90°，∴∠PEA+∠QEF=90°，∵∠PEA+∠APE=90°，∴∠QEF=∠APE，∴△EAP≌△QFEAAS∴PE=QE，∴△PQE的形狀是等腰直角三角形；（2）如圖，當點Q與點B重合時，∵∠PEQ=∠C=∠EBC=90°，∴四邊形CBEP是矩形，∴PC=EB=2cm∴DP=CD?PC=2cm∴此時點P的運動的距離為AE+AD+DP=2+2+2=6cm∴x=6÷2=3；（3）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，AD=BC=2cm，AB=CD=4cm∵點E是AB的中點．∴AE=1如圖，當0<x≤1時，點P在EA上運動，，此時PE=2x，∵∠PEQ=∠A=∠D=90°，∴四邊形ADQE是矩形，∴QE=AD=2cm∴y=S如圖，當1<x≤2時，點P在AD上運動，作QF⊥AB于F，則∠QFA=∠QFB=90°，∴四邊形CBFQ為矩形，∴QF=BC=2cm同（1）可得，△EAP≌△QFEAAS∴PE=QE，∴△PQE的形狀是等腰直角三角形，由題意得：AP+AE=2xcm∴AP=2x?2cm∴PE∴y=S如圖，當2<x≤3時，點P在DC上運動，作PH⊥AB于H，同理可得：四邊形DAHP為矩形，△EHP≌△QBEAAS∴HP=AD=2cm，PE=QE，AH=DP∵AD+AE+DP=2xcm∴DP=2x?4cm∴AH=DP=2x?4cm∴HE=AE?AH=2?2x?4∴PE∴y=S綜上所述，y=2x18．（2024·吉林四平·一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線BD=6，∠A=60°．點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到點B停止．過點P作PQ⊥AB，交折線AD?DB于點Q，以PQ、PB為邊作矩形PQEB，設(shè)矩形PQEB與△ABD重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為ts（1）用含t的代數(shù)式表示PB的長；（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（3）作射線CE，當CE截矩形PQEB所得的圖形存在軸對稱圖形時，直接寫出t的值．【思路點撥】（1）根據(jù)菱形性質(zhì)結(jié)合∠A=60°得到△ABD是等腰三角形，得到BD=6，根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)結(jié)合AP=t，即得BP=6?t；（2）分類討論：當0<t≤3時，點Q在AD上運動，設(shè)EQ交BD于點F，證明△AQP?△FBEASA，PQ=3t，得到EF=AP=t，BE=PQ=3t,根據(jù)S=S矩形PQEB?S△BFE計算即得；當3<t<6時，點Q（3）分類討論：設(shè)射線CE交AB于點G，過點C作CH⊥AB，交AB延長線于點H，根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)得到BH=3，CH=33，當0<t≤3時，若△EBG是等腰直角三角形，推出BH=33?3t，得到33?3t=3，解方程即得；當3<t<6時，設(shè)CG交PQ于點K【解題過程】（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴AB=AD=BD=6，∵AP=t，∴PB=6?t，（2）當0<t≤3時，如圖1，點Q在AD上運動，設(shè)EQ交BD于點F，∵矩形PQEB中，PQ=BE，∠QPB=∠PBE=∠E=90°，∴∠APQ=∠E=90°，∵∠ABD=∠A=60°，∴∠AQP=∠FBE=30°，∴△AQP?△FBEASA，PQ=∴EF=AP=t，BE=PQ=3∴S==PQ?PB?==?3當3<t<6時，如圖2，點Q在BD上運動，∵∠BQP=90°?∠ABD=30°，∴PQ=3∴S=SS=?（3）設(shè)射線CE交AB于點G，過點C作CH⊥AB，交AB延長線于點H，則∠CHB=90°，∵AD∥BC，∴∠CBH=∠A=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=1∴CH=3當0<t≤3時，如圖3，若△EBG是等腰直角三角形