2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第10講：第五章平面向量及解三角形章節(jié)總結(jié)(精講)(學(xué)生版+解析)

第10講：第五章平面向量及解三角形章節(jié)總結(jié)目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：典型例題講解 1題型一：用基底表示向量 1題型二：平面向量共線定理及推論 2題型三：平面向量共線（垂直）的坐標(biāo)表示 4題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍） 5題型五：平面向量的模（含最值，范圍） 7題型六：向量的夾角 8題型七：投影向量 8題型八：利用正、余弦定理解三角形 10題型九：三角形形狀問題 12題型十：三角形個(gè)數(shù)問題 13題型十一：三角形周長（邊長）問題 14題型十二：三角形面積問題 15第二部分：新定義題 17第一部分：典型例題講解題型一：用基底表示向量1．（22-23高一下·江西南昌·期中）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，且線段EF交AC于點(diǎn)P．若，則（

）A． B．C． D．2．（23-24高一下·全國·期中）在中，，，若點(diǎn)滿足，以作為基底，則等于（）A． B．C． D．3．（23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖，在中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等邊三角形的邊長為2，為的中心，，垂足為，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．題型二：平面向量共線定理及推論1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知是不共線的向量，且，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線 C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線2．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知是不共線的向量，且，若三點(diǎn)共線，則（

）A． B．1 C．2 D．43．（2024·陜西西安·一模）在中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．4．（多選）（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為線段上一點(diǎn)，且有，則下列命題正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為5．（23-24高一下·山東青島·階段練習(xí)）如圖，在中，，為線段上的動點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值為．6．（23-24高一下·全國·期末）如圖，在梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若，則的值為.

7．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，交兩點(diǎn)不重合）.若，，則的最小值為.8．（2024高一下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．(1)請用向量表示向量；(2)過點(diǎn)的直線與，所在直線分別交于點(diǎn)，，且滿足，，求證：．題型三：平面向量共線（垂直）的坐標(biāo)表示1．（2024·四川南充·二模）已知平面向量，，若向量與共線，則（

）A．－2 B． C．2 D．52．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，，且，則（

）A． B． C． D．13．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，不共線，向量，，且，則．4．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)不共線的向量，，，若與共線，則．5．（23-24高一下·四川眉山·階段練習(xí)）（1）化簡：；（2）設(shè)是不共線的兩個(gè)向量.若與共線，求實(shí)數(shù)k的值.6．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，.(1)若，求；(2)若，求.7．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知向量.(1)當(dāng)為何值時(shí)，與垂直?(2)當(dāng)為何值時(shí)，與平行?8．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）已知.(1)求與夾角的余弦值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍）1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在邊長為2的菱形中，，點(diǎn)是內(nèi)一動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）在中，滿足，，，則（

）A．49 B．0 C．576 D．1683．（2024·湖南邵陽·二模）“四葉回旋鏢”可看作是由四個(gè)相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，.點(diǎn)在線段與線段上運(yùn)動，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·北京房山·一模）如圖．已知矩形中，，，分別是，的中點(diǎn)，則．

5．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）圓是銳角的外接圓，，則的取值范圍是．6．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，．若P為線段AB上一動點(diǎn)，則的最小值為．

7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在菱形ABCD中，，若點(diǎn)M在線段AD上運(yùn)動，則的取值范圍為．8．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).(1)設(shè)，求的值；(2)若，，求的值.題型五：平面向量的模（含最值，范圍）1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（

）A．7 B． C． D．2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量滿足，且，則（

）A．1 B．2 C． D．3．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（

）A． B． C．2 D．4．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知向量，夾角為，，若對任意，恒有，則函數(shù)的最小值為．5．（2022高一·全國·專題練習(xí)）已知向量，，滿足：，且，則的取值范圍是．6．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習(xí)）已知向量滿足．(1)求向量與夾角的余弦值；(2)求的值．7．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）在直角梯形中，已知，，，動點(diǎn)、分別在線段和上，且，．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)求向量的夾角；(3)求的取值范圍．8．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，．(1)求與夾角；(2)若與垂直，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求的取值范圍．題型六：向量的夾角1．（2024·陜西商洛·三模）已知非零向量滿足，則（

）A．45° B．60° C．120° D．150°2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，則與夾角的大小為.3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，，．(1)求；(2)若，求向量與的夾角．4．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知向量．(1)若，求的值；(2)若，求與的夾角的余弦值．5．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，且，，與交于點(diǎn).(1)用，表示，；(2)求的值；(3)求的值.6．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在邊長為4的等邊中，，D為邊AC的中點(diǎn)，BD與AM交于點(diǎn)N．(1)求證：；(2)求的值．題型七：投影向量1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知，，則在的方向上的投影向量是．(結(jié)果寫坐標(biāo))4．（23-24高一下·廣東中山·階段練習(xí)）已知向量滿足，則向量在上的投影向量為.5．（23-24高三下·福建泉州·階段練習(xí)）已知，，且，則在上的投影向量為題型八：利用正、余弦定理解三角形1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖所示，平面四邊形的對角線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，，，，，當(dāng)變化時(shí)，對角線的最大值為（

）A． B． C．4 D．62．（2024·陜西西安·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且的面積，（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024高三·全國·專題練習(xí)）中，角所對的邊分別為，若，且，則角5．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，滿足外接圓的半徑為，則．6．（2024高三·上海·專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，.7．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若是邊上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求的取值范圍.

8．（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對的邊，點(diǎn)在邊上，且滿足，．(1)求的值；(2)若，求．題型九：三角形形狀問題1．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知的三內(nèi)角所對的邊分別是，設(shè)向量，若，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且，設(shè)的面積為，若，則此三角形的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形4．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，，，則有一解B．若，則一定是銳角三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是等腰三角形5．（多選）（23-24高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列說法正確的是（

）A．若，則是鈍角三角形B．若，則C．若，則是銳角三角形D．若，則一定為銳角三角形6．（多選）（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，則一定是等腰三角形B．若，則為銳角三角形C．若，則一定是等邊三角形D．若，則是等腰三角形題型十：三角形個(gè)數(shù)問題1．（多選）（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且已知，則（

）A．若，且有兩解，則的取值范圍是B．若，且恰有一解，則的取值范圍是C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是2．（多選）（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）在中，，，（a為常數(shù)），若滿足條件的三角形有且僅有兩個(gè)，則a的取值可能為（

）A．7 B．14 C．15 D．163．（多選）（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）滿足下列條件的三角形有兩個(gè)解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，4．（多選）（23-24高一下·湖北·期中）在中，角所對的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是.6．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）下列條件判斷三角形解的情況，正確的是（填序號）；①，，，有兩解；②，，，有一解；③，，，無解；④，，，有一解．題型十一：三角形周長（邊長）問題1．（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為．2．（2024高三·廣東·專題練習(xí)）已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是.3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）銳角的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，則的取值范圍為．4．（23-24高一下·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a，b，c，，D為邊AC上一點(diǎn)，滿足且，則的最小值為．5．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．6．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，，，函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為.(1)求m的值；(2)銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，求的周長l的取值范圍.7．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點(diǎn)，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.8．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知．(1)求函數(shù)圖象的對稱軸方程；(2)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若且，求周長的取值范圍．題型十二：三角形面積問題1．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）在等邊三角形的三邊上各取一點(diǎn)，，，滿足，，，則三角形的面積的最大值是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在銳角中，、、分別是角、、所對的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若，則面積S的取值范圍.4．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知中，在線段上，．(1)若，求的長；(2)求面積的最大值．5．（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.(1)求；(2)若內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.6．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角的大?。?2)是邊上一點(diǎn)，且，求面積的最大值．7．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.(1)在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：出與共線的單位向量；(3)已知，，為函數(shù)的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.3．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）對于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．(1)設(shè)，且，若是向量組，，的“長向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你的結(jié)論并說明理由；(3)已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列，，，…，滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對稱，與（且）關(guān)于點(diǎn)對稱，求的最小值．4．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）n個(gè)有次序的實(shí)數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，其中稱為該向量的第i個(gè)分量.特別地，對一個(gè)n維向量，若，稱為n維信號向量.設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且.(1)直接寫出4個(gè)兩兩垂直的4維信號向量；(2)證明：不存在10個(gè)兩兩垂直的10維信號向量；(3)已知k個(gè)兩兩垂直的2024維信號向量，，…，滿足它們的前m個(gè)分量都是相同的，求證：.5．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”它的答案是：“當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)．已知a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)求角；(2)若，求的值；(3)若，求的取值范圍．6．（23-24高一下·山東濱州·開學(xué)考試）定義非零向量若函數(shù)解析式滿足，則稱為向量的“伴生函數(shù)”，向量為函數(shù)的“源向量”．(1)已知向量為函數(shù)的“源向量”，若方程在上有且僅有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知點(diǎn)滿足，向量的“伴生函數(shù)”在時(shí)取得最大值，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，求的取值范圍；(3)已知向量的“伴生函數(shù)”在時(shí)的取值為．若在三角形中，，，若點(diǎn)為該三角形的外心，求的最大值.第10講：第五章平面向量及解三角形章節(jié)總結(jié)目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：典型例題講解 1題型一：用基底表示向量 1題型二：平面向量共線定理及推論 4題型三：平面向量共線（垂直）的坐標(biāo)表示 10題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍） 13題型五：平面向量的模（含最值，范圍） 18題型六：向量的夾角 24題型七：投影向量 24題型八：利用正、余弦定理解三角形 31題型九：三角形形狀問題 37題型十：三角形個(gè)數(shù)問題 41題型十一：三角形周長（邊長）問題 44題型十二：三角形面積問題 52第二部分：新定義題 60第一部分：典型例題講解題型一：用基底表示向量1．（22-23高一下·江西南昌·期中）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，且線段EF交AC于點(diǎn)P．若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】，將用表示，再根據(jù)E，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，求得λ即可得答案．【詳解】由E為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，得，設(shè)，由E，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，得，解得，所以.故選：B2．（23-24高一下·全國·期中）在中，，，若點(diǎn)滿足，以作為基底，則等于（）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合圖形，將和分別用和，和表示，代入方程即可求解.【詳解】如圖，因，則，即，解得：.故選：A.3．（23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖，在中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用平面向量線性運(yùn)算及共線向量關(guān)系即可求解.【詳解】由題意知.故選：C.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等邊三角形的邊長為2，為的中心，，垂足為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接并延長，交于點(diǎn)，根據(jù)為的中心，易得為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】解：如圖所示：

連接并延長，交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹行?，所以為的中點(diǎn)．又為的中點(diǎn)，，，故選：B．5．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算分析求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，整理得，即.故選：A.題型二：平面向量共線定理及推論1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知是不共線的向量，且，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線 C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】C【分析】由題意，根據(jù)平面向量的基本定理，結(jié)合選項(xiàng)依次計(jì)算即可求解.【詳解】A：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，無解，所以假設(shè)不成立，故A錯(cuò)誤；B：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，無解，所以假設(shè)不成立，故B錯(cuò)誤；C：，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，解得，所以假設(shè)成立，故C正確；D：，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，無解，所以假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選：C2．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知是不共線的向量，且，若三點(diǎn)共線，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合三點(diǎn)共線，得到，列出方程組，即可求解.【詳解】由向量，可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，即，所以，解得.故選：C.3．（2024·陜西西安·一模）在中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量共線定理的推論得到，解得即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是線段上一點(diǎn)，即、、三點(diǎn)共線，所以，解得.故選：A4．（多選）（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為線段上一點(diǎn)，且有，則下列命題正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】由題意得，結(jié)合三點(diǎn)共線即可判斷AB，由基本不等式即可判斷CD.【詳解】因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)，所以，而點(diǎn)線段上面，所以，故A錯(cuò)，B對，由基本不等式得，解得，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，C對，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，D對.故選：BCD.5．（23-24高一下·山東青島·階段練習(xí)）如圖，在中，，為線段上的動點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值為．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合共線向量的推論求出的關(guān)系，再借助對勾函數(shù)性質(zhì)求出最小值.【詳解】在中，由為線段上的動點(diǎn)，，得，則，則，又，于是，因?yàn)辄c(diǎn)共線，因此，解得，令，則，，顯然對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1.故答案為：16．（23-24高一下·全國·期末）如圖，在梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若，則的值為.

【答案】/【分析】利用向量運(yùn)算得，然后利用三點(diǎn)共線列方程求解即可.【詳解】由題意得，，因?yàn)椋珼，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，解得.故答案為：7．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，交兩點(diǎn)不重合）.若，，則的最小值為.【答案】.【分析】先用表示，利用已知代入表達(dá)式，結(jié)合D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線可得，然后妙用“1”可解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，，所以，所以，因?yàn)镈，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，結(jié)合已知可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，取等號；即的最小值為，故答案為：8．（2024高一下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．(1)請用向量表示向量；(2)過點(diǎn)的直線與，所在直線分別交于點(diǎn)，，且滿足，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性表示與運(yùn)算法則，用表示向量即可；（2）由，，三點(diǎn)共線可設(shè)，結(jié)合已知條件得，又為上一點(diǎn)，且，故，由平面向量基本定理得，即可證明．【詳解】（1）因?yàn)?，，又，故得，所以．?）由，，三點(diǎn)共線可設(shè)，又，，，為上一點(diǎn)，且，，，所以．題型三：平面向量共線（垂直）的坐標(biāo)表示1．（2024·四川南充·二模）已知平面向量，，若向量與共線，則（

）A．－2 B． C．2 D．5【答案】B【分析】直接利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解．【詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線，所以，解得．故選：B．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，解?故選：B.3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，不共線，向量，，且，則．【答案】【分析】依題意可得，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，即，又，不共線，所以，可以作為平面內(nèi)的一組基底，所以，解得.故答案為：4．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)不共線的向量，，，若與共線，則．【答案】【分析】利用共線向量定理，結(jié)合平面向量基本定理列式計(jì)算得解.【詳解】向量，不共線，則不是零向量，由與共線，得，即因此，解得，所以.故答案為：5．（23-24高一下·四川眉山·階段練習(xí)）（1）化簡：；（2）設(shè)是不共線的兩個(gè)向量.若與共線，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)向量減法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)共線向量定理列出方程組解出即可；也可以利用向量共線時(shí)相應(yīng)系數(shù)比相等建立方程解出即可.【詳解】（1）（2）由于與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，而不共線，因此，解得k的值是.法二：由題意：，解得，6．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)3；(2).【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.【詳解】（1）向量，，由，得，所以.（2）向量，，由，得，所以.7．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知向量.(1)當(dāng)為何值時(shí)，與垂直?(2)當(dāng)為何值時(shí)，與平行?【答案】(1)(2)【分析】（1）首先由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示出與，由向量垂直的充要條件列方程求解即可.（2）由向量平行的充要條件列方程求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，，若可得，即，得，即時(shí)，與垂直.（2）當(dāng)時(shí)，有，解得，即時(shí)，與平行.8．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）已知.(1)求與夾角的余弦值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用向量的夾角公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：由向量，可得且，則.（2）解：由向量，可得，因?yàn)椋傻?，即，解?題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍）1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在邊長為2的菱形中，，點(diǎn)是內(nèi)一動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖建系，可求得A,B,C,D的坐標(biāo)，設(shè)，則可得的表達(dá)式，根據(jù)x的范圍，即可求得答案.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，故，即的取值范圍是.故選：A2．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）在中，滿足，，，則（

）A．49 B．0 C．576 D．168【答案】A【分析】由三角形三邊長滿足勾股定理可判斷和，再用向量數(shù)量積的定義式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹偷膴A角等于，所以，故選：A.3．（2024·湖南邵陽·二模）“四葉回旋鏢”可看作是由四個(gè)相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，.點(diǎn)在線段與線段上運(yùn)動，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出，，，四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出向量，的坐標(biāo)，即可表示出，進(jìn)而可求得其范圍．【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，易知，，，當(dāng)在線段上運(yùn)動，設(shè)，其中，所以，，則，因?yàn)?，所以，?dāng)在線段上運(yùn)動，設(shè)，則，且,則，故，，則，因?yàn)?，所以，綜上，的取值范圍為.故選：C.4．（2024·北京房山·一模）如圖．已知矩形中，，，分別是，的中點(diǎn)，則．

【答案】【分析】用、作為一組基底表示出，，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】依題意，，所以.故答案為：5．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）圓是銳角的外接圓，，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算與銳角三角形外接圓的相關(guān)性質(zhì)即可求解.【詳解】依題意，設(shè)中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則垂直平分，垂直平分，則.以為圓心，1為半徑作圓，則在該圓的四分之一圓弧上變化，如下圖，為中垂線交點(diǎn)，連接，由三角形為銳角三角形，根據(jù)臨界位置及圖形可知，而，所以，則范圍是．故答案為：.6．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，．若P為線段AB上一動點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，故，所以，則當(dāng)時(shí)，取得最小值.

故答案為：.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在菱形ABCD中，，若點(diǎn)M在線段AD上運(yùn)動，則的取值范圍為．【答案】．【分析】解法一：建立平面直角坐標(biāo)系，求的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示求再求其范圍；解法二：根據(jù)數(shù)量積的定義，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求的范圍.【詳解】解法一：，記的交點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，則，故，又則．解法二：，如圖2所示，當(dāng)M在線段AD上運(yùn)動時(shí)可得，即，又，所以．故答案為：8．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).(1)設(shè)，求的值；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算可得，由此可得；（2）利用基底表示出，根據(jù)向量數(shù)量積定義和運(yùn)算律可求得結(jié)果.【詳解】（1），，，.（2）由（1）知：，，.題型五：平面向量的模（含最值，范圍）1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（

）A．7 B． C． D．【答案】D【分析】借助投影向量定義可計(jì)算出，結(jié)合向量模長公式計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，向量在向量上的投影向量為，則，解得，則，故．故選：D.2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量滿足，且，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)得，進(jìn)而得，即可得.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：B3．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由，即得到點(diǎn)共圓，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，所以，又，所以，所以點(diǎn)共圓，要使的最大，即為直徑，在中，由余弦定理可得，又由正弦定理，即的最大值等于，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由向量之間的夾角確定點(diǎn)共圓，再由正弦和余弦定理求解即可.4．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知向量，夾角為，，若對任意，恒有，則函數(shù)的最小值為．【答案】/【分析】先根據(jù)向量的夾角、模長及恒成立求出，將表示成關(guān)于t的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值即可求解．【詳解】∵，∴，整理可得，∵對任意，上式恒成立，∴；由題意知，∴，∴．∴．故答案為：.5．（2022高一·全國·專題練習(xí)）已知向量，，滿足：，且，則的取值范圍是．【答案】[1,5]【分析】先表示出，再利用數(shù)量積的性質(zhì)，求出的范圍即可.【詳解】∵，∴，，∴，即∴，，即.故答案為：.6．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習(xí)）已知向量滿足．(1)求向量與夾角的余弦值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)夾角的計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以向量與夾角的余弦值為；（2）由，所以．7．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）在直角梯形中，已知，，，動點(diǎn)、分別在線段和上，且，．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)求向量的夾角；(3)求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出和；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律即可求解.（2）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得出即可解答.（3）先根據(jù)表示出；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得出；最后根據(jù)即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，依題意知，，，.則，.因?yàn)?，?所以.因此.因?yàn)椋?，，所以，，所?（2）由（1）知.因?yàn)?，，所以?則.因?yàn)椋?，，所以，故向量的夾角為.（3）由（2）可知：，.則.因?yàn)椋?，，所?由題意知，，所以的取值范圍是，∴的取值范圍是．8．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，．(1)求與夾角；(2)若與垂直，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)條件得，再利用向量夾角公式，即可求出結(jié)果；（2）設(shè)，根據(jù)條件建立方程組，即可求出結(jié)果；（3）由（1）和（2）得到，根據(jù)條件可轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到的距離，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所以，故，又，所以，即與夾角為.（2）因?yàn)?，設(shè)，因?yàn)榕c垂直，且，所以，解得，或，所以或.（3）由（1）（2）知，，所以，可看成點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又，且到原點(diǎn)的距離為所以的最大值為，最小值為．題型六：向量的夾角1．（2024·陜西商洛·三模）已知非零向量滿足，則（

）A．45° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直得到，再應(yīng)用數(shù)量積公式及夾角公式計(jì)算即可.【詳解】．所以，又，，由均為非零向量，則，且在到之間，故．故選：D．2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，則與夾角的大小為.【答案】【分析】先利用向量的運(yùn)算律求得及，然后利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄繚M足，所以，所以，即，所以，設(shè)與夾角為，則，又，所以.故答案為：3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，，．(1)求；(2)若，求向量與的夾角．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算與模長公式求解即可；（2）設(shè)出向量的夾角，利用向量的數(shù)量積化簡求解即可．【詳解】（1）因?yàn)椋?；?）向量，，可知，設(shè)與的夾角為，可知與的夾角為：，,．．，可得，可得，所以，解得．4．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知向量．(1)若，求的值；(2)若，求與的夾角的余弦值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示求出，再求出數(shù)量積即可.（2）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再求出夾角的余弦.【詳解】（1）向量，由，得，解得，又，所以.（2）向量，則，而，，因此，解得，則，，所以與的夾角的余弦值為.5．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，且，，與交于點(diǎn).(1)用，表示，；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）由數(shù)量積的定義求出，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；（3）依題意為向量與的夾角，求出，，再由夾角公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以，；?）因?yàn)?，，，所以，所?（3）依題意為向量與的夾角，又，，所以.6．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在邊長為4的等邊中，，D為邊AC的中點(diǎn)，BD與AM交于點(diǎn)N．(1)求證：；(2)求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過作交于，利用平行線的性質(zhì)可得答案；（2）將用表示，然后分別求出以及，利用夾角公式求解即可.【詳解】（1）過作交于，因?yàn)?，即，得，所以，則由可得；（2），，所以，，所以.題型七：投影向量1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得為的中點(diǎn)，為圓的直徑，進(jìn)而利用投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑耐饨訄A圓心，，所以由平行四邊形法則可得為的中點(diǎn)，為圓的直徑，因?yàn)?，所以為等邊三角形，，所以向量在向量上的投影向量為，故選：A2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量的定義求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為.故選：B.3．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知，，則在的方向上的投影向量是．(結(jié)果寫坐標(biāo))【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以在的方向上的投影向量是，故答案為?4．（23-24高一下·廣東中山·階段練習(xí)）已知向量滿足，則向量在上的投影向量為.【答案】【分析】由投影向量的公式計(jì)算可得.【詳解】，又在上的投影向量為，故答案為：.5．（23-24高三下·福建泉州·階段練習(xí)）已知，，且，則在上的投影向量為【答案】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量的投影計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由可知①，而，所以由可得②，由①②可得，解得，則，所以或者，又，則向量在上的投影向量是.故答案為：.題型八：利用正、余弦定理解三角形1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖所示，平面四邊形的對角線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，，，，，當(dāng)變化時(shí)，對角線的最大值為（

）A． B． C．4 D．6【答案】D【分析】設(shè)，利用余弦定理求得，表示出，進(jìn)而可求得，結(jié)合輔助角公式即可求得答案.【詳解】由題意，，設(shè)，則由余弦定理得：，由正弦定理得：，因?yàn)椋瑒t，在中，，時(shí)，的最大值為，取得最大值，故選：D2．（2024·陜西西安·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且的面積，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理及得到，從而求出，再由及正弦定理計(jì)算可得.【詳解】由余弦定理可得，所以，則．又因?yàn)椋?，所以，顯然，又，所以（負(fù)值舍去）．所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：C3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理及余弦定理解三角形即可得解.【詳解】在中，由正弦定理得，得.由余弦定理得，化簡整理得，得.故選：C4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）中，角所對的邊分別為，若，且，則角【答案】【分析】根據(jù)求出，根據(jù)得到即可求解.【詳解】，，，，，，，，，因?yàn)?，所以，或（舍），，因?yàn)椋?，，，，?故答案為：.5．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，滿足外接圓的半徑為，則．【答案】3【分析】根據(jù)求出，根據(jù)正弦定理即可求出.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，從而，又外接圓的半徑為，所以由正弦定理得．故答案為：.6．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，.【答案】【分析】由正弦定理可求出的外接圓半徑，借助于正弦定理進(jìn)行邊化角運(yùn)算可得，在中，，由兩角和的正弦公式展開代入的正余弦值計(jì)算，由輔助角公式即可求出結(jié)果.【詳解】解：，，設(shè)外接圓半徑為．則，得，則，其中，，．當(dāng)．即時(shí)，取得最大值，此時(shí)．所以.故答案為：7．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若是邊上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，化簡得到，進(jìn)而求得，即可求解.（2）不妨設(shè)，在中，利用正弦定理，化簡得到，根據(jù)題意，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，所以，又由，可得，所以，所以，解得或（舍去），因?yàn)?，所?（2）解：不妨設(shè)，則，在中，可得，因?yàn)槭卿J角三角形，所以且，則，所以，可得，所以，所以.

8．（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對的邊，點(diǎn)在邊上，且滿足，．(1)求的值；(2)若，求．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換得到，再利用三角恒等變換得到，從而利用余弦定理列出關(guān)系式即可得解.（2）在中，確定三邊的長度關(guān)系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求.【詳解】（1）如圖，在中，由正弦定理知，所以，所以，因?yàn)?，所以，則①，由，則，因?yàn)椋?，則，在中，由余弦定理知，則②，由①②得，．（2）因?yàn)?，所以，，在中，由余弦定理知同理在中，，因?yàn)?，所以，則，由（1）知，，所以，在中，由余弦定理知，所以．題型九：三角形形狀問題1．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】利用正弦定理及三角恒等變換化簡求出角即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，所以，在中，，所以，所以，所以，因?yàn)椋裕瑒t，所以，所以為直角三角形，故選：B．2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知的三內(nèi)角所對的邊分別是，設(shè)向量，若，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用平面向量平行的條件得，再利用余弦定理可得邊的關(guān)系，即可得解.【詳解】由題意，向量，且，則，故，整理得到，故，故或，即或，故的形狀為等腰或直角三角形.故選：D.3．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且，設(shè)的面積為，若，則此三角形的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先由三角形面積公式數(shù)量積定義得，結(jié)合化簡得，即，由此即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，又，所以此三角形的形狀為等邊三角?故選：C.4．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，，，則有一解B．若，則一定是銳角三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是等腰三角形【答案】C【分析】利用正弦定理判斷A，利用余弦定理判斷B，利用正弦定理與余弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的和差公式判斷CD，從而得解.【詳解】對于A，，則，可知，此時(shí)有兩解，故A錯(cuò)誤；對于B，由余弦定理得，，所以，但只能說明為銳角，或有可能為鈍角，故B錯(cuò)誤；對于C，由正弦定理得，得，則，再由正弦定理得，所以一定是等腰三角形，故C正確；對于D，由余弦定理可得，得，得，得，則或，故或，所以是等腰三角形或直角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．（多選）（23-24高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列說法正確的是（

）A．若，則是鈍角三角形B．若，則C．若，則是銳角三角形D．若，則一定為銳角三角形【答案】ABD【分析】對于，由正弦定理可得，設(shè)，，，結(jié)合余弦定理即可判斷；對于，在中根據(jù)正弦定理即可判斷；對于，由向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得為銳角，無法判斷和；對于，由兩角和的正切公式可得，所以，即可判斷.【詳解】對于A：在中，由正弦定理可得，設(shè)，，，且邊最大，由余弦定理可得，所以角為鈍角，所以是鈍角三角形，故正確；對于B：在中，因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理得，所以，故正確；對于C：因?yàn)椋?，所以角為銳角，但無法判斷角和角，故不正確；對于D：在中，，則，所以，因?yàn)槿切沃凶疃嘀挥幸粋€(gè)鈍角，所以，，，即三個(gè)角都為銳角，故正確.故選：.6．（多選）（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，則一定是等腰三角形B．若，則為銳角三角形C．若，則一定是等邊三角形D．若，則是等腰三角形【答案】CD【分析】利用正弦定理化邊為角結(jié)合二倍角的正弦公式即可判斷A；利用余弦定理即可判斷B；利用正弦定理化邊為角即可判斷C；利用正弦定理化邊為角結(jié)合兩角和的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理即可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，所以，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；對于B，由正弦定理可得，則，則為銳角，但是兩角無法判斷其是否為銳角，如當(dāng)時(shí)，，，為鈍角三角形，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以，所以，且，所以，所以為等邊三角形，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，即，則，又因?yàn)?，所以或（舍去），所以為等腰三角形，故D正確.故選：CD.題型十：三角形個(gè)數(shù)問題1．（多選）（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且已知，則（

）A．若，且有兩解，則的取值范圍是B．若，且恰有一解，則的取值范圍是C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是【答案】AD【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)成，結(jié)合正弦、余弦定理可判斷三角形有幾個(gè)解和特殊三角形所要滿足的條件.【詳解】選項(xiàng)：由正弦定理，，且，則，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：①，則；②且，則綜上或，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)：①為最大邊：，且，此時(shí)；②為最大邊：，且，此時(shí)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)：，且，所以，選項(xiàng)正確；故選；．2．（多選）（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）在中，，，（a為常數(shù)），若滿足條件的三角形有且僅有兩個(gè)，則a的取值可能為（

）A．7 B．14 C．15 D．16【答案】BC【分析】根據(jù)三角形有兩解的條件，判斷的范圍，即可得出正確選項(xiàng).【詳解】由題意，當(dāng)滿足，即時(shí)，滿足條件的三角形有且僅有兩個(gè)，因?yàn)?，所以，而，所以的取值可能?4，15.故選：BC3．（多選）（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）滿足下列條件的三角形有兩個(gè)解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【分析】利用正弦定理，逐項(xiàng)判斷計(jì)算作答【詳解】對于A，，又，只有一解，不合題意；對于B，，又，則有兩解，符合題意；對于C，，則不存在，無解，不合題意；對于D，，又，則有兩解，符合題意.故選：BD4．（多選）（23-24高一下·湖北·期中）在中，角所對的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【分析】用與點(diǎn)A到邊BC的距離及的長比較大小可判斷A，B，C；求三角形各邊及角可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，點(diǎn)A到邊BC的距離是1，∵，∴三角形有兩解；選項(xiàng)B，點(diǎn)A到邊BC的距離是2與b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；選項(xiàng)C，點(diǎn)A到邊BC的距離是，三角形無解；選項(xiàng)D，根據(jù)已知可解出，，∴三角形有唯一解.故選：BD.5．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)利用正弦定理，結(jié)合三角形有1個(gè)解的條件即可求解.【詳解】根據(jù)題意，，，由正弦定理得：，則，三角形只有一個(gè)解，則或，則或，即或，所以的取值范圍是.故答案為：.6．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）下列條件判斷三角形解的情況，正確的是（填序號）；①，，，有兩解；②，，，有一解；③，，，無解；④，，，有一解．【答案】④【分析】對于①，由正弦定理求得，可判斷三角形解的個(gè)數(shù)；對于②，由正弦定理求得，結(jié)合三角形中大邊對大角性質(zhì)，可判斷三角形解的個(gè)數(shù)；對于③，由正弦定理，結(jié)合，可得解的個(gè)數(shù)；對于④，由正弦定理得，結(jié)合可得三角形的解有一個(gè)，由此可得答案.【詳解】對①：由正弦定理，所以，又因?yàn)椋杂幸唤?，故①錯(cuò)誤；對②：正弦定理，所以，又因?yàn)?，所以，則三角形的解有兩解，故②錯(cuò)誤；對③：由正弦定理，所以，又因?yàn)榍?，可得有一解，所以三角形的解有一個(gè)，故③錯(cuò)誤；對于④，由正弦定理，所以，又因?yàn)榍?，可得有一解，所以三角形的解有一個(gè)，故④正確，故答案為：④.題型十一：三角形周長（邊長）問題1．（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為．【答案】【分析】先利用兩角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理對題目條件進(jìn)行化簡得出：；再結(jié)合和余弦定理得出的值即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，?，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得：.因?yàn)?，所以，整理得：，則，所以，故答案為：.2．（2024高三·廣東·專題練習(xí)）已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)用余弦定理化簡得到，再結(jié)合正弦定理化簡得出，從而可得，從而可得，令，，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，得．由余弦定理得，所以，即．由正弦定理得，因?yàn)椋瑒t，所以，即．因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，所以．又在上單調(diào)遞增，所以，則．因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，，所以，由正弦定理得，令，因?yàn)椋裕谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）銳角的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的和差公式得到，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)與銳角三角形的特點(diǎn)推得的取值范圍，再次利用正弦定理的邊角變換轉(zhuǎn)化所求為，從而得解.【詳解】因?yàn)?，則，所以，由正弦定理得，又，故，因?yàn)樵阡J角中，，所以或，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合題意；綜上，，又，而，所以，則的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是，利用，結(jié)合銳角三角形內(nèi)角的特點(diǎn)求得的取值范圍，從而得解.4．（23-24高一下·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a，b，c，，D為邊AC上一點(diǎn)，滿足且，則的最小值為．【答案】18【分析】由條件可推得平分，利用三角形等面積轉(zhuǎn)化可得，求出代入所求式，整理后運(yùn)用基本不等式即可求得.【詳解】

如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則,,,又由可得,故得，則,故平分.因，故由可得，化簡得，即，，則，因，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立.故且時(shí)，取得最小值為18.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查與三角形的內(nèi)角平分線有關(guān)的等面積問題和基本不等式的應(yīng)用.解題思路在于由要能發(fā)現(xiàn)和證明平分，再利用三角形等面積替換得出，最后通過消元將所求式化成單變量解析式，拼湊運(yùn)用基本不等式即可求最值.5．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用三角恒等變換整理可得，即可得結(jié)果；（2）由（1）可知，分析可得，，根據(jù)正弦定理邊化角，利用三角恒等變換結(jié)合基本不等式分析求解.【詳解】（1）因?yàn)?，可得，且，所以．?）由（1）可知，，則，，因?yàn)椋?，可得，則，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為．6．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，，，函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為.(1)求m的值；(2)銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，求的周長l的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及倍角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可求實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式的關(guān)系進(jìn)行求解．【詳解】（1），，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，則．（2），，由于為銳角，所以由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以，的周長，7．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點(diǎn)，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合面積公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，進(jìn)而求解即可；（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，進(jìn)而得到，結(jié)合三角恒等變化公式化簡可得，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.【詳解】（1），，即，由正弦定理得，，，，，，由，得.（2）由（1）知，，因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，即，在中，，，?，，，，所以的取值范圍為.

8．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知．(1)求函數(shù)圖象的對稱軸方程；(2)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若且，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角恒等變換，可得的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案；（2）由求出B，由正弦定理求出的表達(dá)式，結(jié)合三角恒等變換化簡可得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)性質(zhì)求出其范圍，即可得三角形周長的取值范圍.【詳解】（1）由于，故，由，得故函數(shù)圖象的對稱軸方程為；（2）由，得，而,故，由于，則，則，則，而，則，即，故周長的取值范圍為.題型十二：三角形面積問題1．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）在等邊三角形的三邊上各取一點(diǎn)，，，滿足，，，則三角形的面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，設(shè)，，在、分別利用正弦定理表示出、，從而得到，利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出的最大值，即可求出三角形面積最大值.【詳解】因?yàn)?，，，所以，設(shè)，，則，，，在中由正弦定理，即，所以，在中由正弦定理，即，所以，所以（其中），所以，則，即三角形的面積的最大值是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是用含的式子表示出、，再利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出.2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在銳角中，、、分別是角、、所對的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面積公式結(jié)合正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求范圍即可.【詳解】且，,根據(jù)正弦定理得，,即，整理得，，，，解得，，，，,的面積為銳角三角形，，，，，，.故選：C.3．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若，則面積S的取值范圍.【答案】【分析】本題為正余弦定理的綜合運(yùn)用題型，先利用正余弦定理進(jìn)行角化邊得出角A，再根據(jù)已有條件選定面積公式為，面積變?yōu)殛P(guān)于邊c的函數(shù)，再利用角B和角C的關(guān)系進(jìn)行邊化角和角歸一即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理有，整理得，所以由余弦定理有，又，所以，又，所以由正弦定理有，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，所以，所以，則，所以，即，所以.故答案為：.4．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知中，在線段上，．(1)若，求的長；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用正弦定理求得，再利用余弦定理即可得解.（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式與三角形面積公式求得的最大值，進(jìn)而得解.【詳解】（1）因?yàn)樵诰€段上，，所以，又，，在中，，即，則，又，所以，則，在中，，所以．（2）在中，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．所以，即的最大值為．因?yàn)?，所以，故的最大值為?．（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.(1)求；(2)若內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角之間互化，再根據(jù)三角恒等變化化簡求值；（2）利用三角形面積公式得到，從而利用基本不等式求得，由此可得面積的最小值.【詳解】（1）由正弦定理可得，,所以，即，因?yàn)槭堑膬?nèi)角，所以，得，所以，所以.（2）因?yàn)?，平分，所以，又，則由，得，所以，又，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，故最小值為.6．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角的大?。?2)是邊上一點(diǎn)，且，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和關(guān)系以及誘導(dǎo)公式可求出，即可得；（2）根據(jù)線段比例和中分別利用余弦定理可得，再由即可得，利用基本不等式可求出，代入面積公式即可得面積的最大值.【詳解】（1）在中，由，根據(jù)正弦定理可得因?yàn)锽為三角形內(nèi)角可知，，且，所以，即因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，，故；所以，即.（2）是邊上一點(diǎn)，且，所以；如下圖所示：

中，由余弦定理可得，中，由余弦定理可得，因?yàn)?；所以可得整理可得，中，由余弦定理可得；?lián)立兩式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)所以所以面積的最大值為.7．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.(1)在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，選①，根據(jù)余弦定理可得，方程無解即△ABC不存在；選②，根據(jù)正弦定理可得，由可得，方程無解即△ABC不存在；選③，根據(jù)三角恒等變換可得，由（1）得，解得，可求出的周長.（2）由三角形的面積可得，再由正弦定理和兩角和的正弦公式可得，結(jié)合角C的取值范圍即可求解.【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)?，所以，化簡得：，所以，因?yàn)?，所以，選擇①，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，整理得，方程無實(shí)數(shù)解，所以不存在．選擇②，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，所以，整理得，方程無實(shí)數(shù)解，所以不存在．選擇③，由得：，所以，即，所以，因?yàn)橐?，，所以，所以，解得，所以存在且唯一，的周長為．（2）由（1）知，，面積，因?yàn)椋?，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，解得：，所以，所以，，，所以的取值范圍為，而面積.第二部分：新定義題1．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習(xí)）設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量的夾角為，定義一種運(yùn)算“”：．試求解下列問題，(1)已知向量滿足，求的值；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，求的值；(3)已知向量，求的最小值.【答案】(1)2(2)7(3)9【分析】（1）借助新定義計(jì)算即可得；（2）借助所給定義及三角函數(shù)間的關(guān)系，計(jì)算可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得；（3）由，代入數(shù)據(jù)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】（1）由已知，得，所以，即，又，所以，所以；（2）設(shè)，則，所以，，所以，又，所以；（3）由（2）得，故，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以的最小值的最小是9．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助所給定義及三角函數(shù)間的關(guān)系，計(jì)算得到.2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).(1)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時(shí)，求的值；(2)設(shè)，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與共線的單位向量；(3)已知，，為函數(shù)的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)，；(3)存在點(diǎn)，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)向量的伴隨函數(shù)求出，再將所求角用已知角表示，結(jié)合三角恒等變換即可求解；（2）化簡函數(shù)解析式，根據(jù)相伴特征向量的定義即可求得，繼而進(jìn)一步計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意確定的值，繼而得到函數(shù)，繼而得到，設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)向量的垂直關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題