高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項和一導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修5

2.5等比數(shù)列的前n項和(一)【教學(xué)目標(biāo)】1.駕馭等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路.2.會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡潔問題．【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情景老師首先提出問題：通過學(xué)生對課本的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生通過觀看《2.5等比數(shù)列的前n項和(一)》課件“情景導(dǎo)入”部分，通過相互溝通，讓學(xué)生在感受生動好玩的歷史故事的同時對等比數(shù)列的求和及求和公式有形象的相識.二、自主學(xué)習(xí)教材整理等比數(shù)列的前n項和閱讀教材P55～P57第12行，完成下列問題．等比數(shù)列的前n項和公式三、合作探究化問題1對于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的兩邊可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，對這兩個式子作怎樣的運算能解出S64?提示：比較兩式易知，兩式相減能消去同類項，解出S64，即S64＝eq\f(1－264,1－2)＝264－1.探究點1等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用命題角度1前n項和公式的干脆應(yīng)用例1求下列等比數(shù)列前8項的和：(1)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…；(2)a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，q<0.提示：(1)因為a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，所以S8＝eq\f(\f(1,2)[1－\f(1,2)8],1－\f(1,2))＝eq\f(255,256).(2)由a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，可得eq\f(1,243)＝27·q8.又由q<0，可得q＝－eq\f(1,3).所以S8＝eq\f(27[1－－\f(1,3)8],1－－\f(1,3))＝eq\f(1640,81).名師點評：比數(shù)列前n項和，要確定首項、公比或首項、末項、公比，應(yīng)特殊留意q＝1是否成立．命題角度2通項公式、前n項和公式的綜合應(yīng)用例2在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.提示：由題意，得若q＝1，則S3＝3a1＝6，符合題意．此時，q＝1，a3＝a1＝2.若q≠1，則由等比數(shù)列的前n項和公式，得S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(21－q3,1－q)＝6，解得q＝－2.此時，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.綜上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.名師點評：(1)應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式時，首先要對公比q＝1或q≠1進行推斷，若兩種狀況都有可能，則要分類探討．(2)當(dāng)q＝1時，等比數(shù)列是常數(shù)列，所以Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，等比數(shù)列的前n項和Sn有兩個公式．當(dāng)已知a1，q與n時，用Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)比較便利；當(dāng)已知a1，q與an時，用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)比較便利．探究點2等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用例3借貸10000元，月利率為1%，每月以復(fù)利計息，王老師從借貸后其次個月起先等額還貸，分6個月付清，試問每月應(yīng)支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精確到整數(shù))提示：方法一設(shè)每個月還貸a元，第1個月后欠款為a0元，以后第n個月還貸a元后，還剩下欠款an元(1≤n≤6，n∈N*)，則a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由題意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝eq\f(1.016×102,1.016－1).因為1.016≈1.061，所以a≈eq\f(1.061×102,1.061－1)≈1739(元)．故每月應(yīng)支付1739元．方法二一方面，借款10000元，將此借款以相同的條件存儲6個月，則它的本利和為S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)，另一方面，設(shè)每個月還貸a元，分6個月還清，到貸款還清時，其本利和為S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝eq\f(a[1＋0.016－1],1.01－1)＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝eq\f(1.016×102,1.016－1)≈1739(元)．故每月應(yīng)支付1739元．名師點評：解決此類問題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項數(shù)，所謂復(fù)利計息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計算公式為S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．四、當(dāng)堂檢測1．等比數(shù)列1，x，x2，x3，…的前n項和Sn等于()A.eq\f(1－xn,1－x) B.eq\f(1－xn－1,1－x)C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)，x≠1，,n，x＝1)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)，x≠1，,n，x＝1))2．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項和為Sn，則eq\f(S4,a2)等于()A．2B．4C.eq\f(15,2)D.eq\f(17,2)3．等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，若a1＝81，a5＝16，則它的前5項的和是()A．179B．211C．243D．2754．某廠去年產(chǎn)值為a，安排在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10%，從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為________．提示：1．C2.C3.B4.11a(1.15－1)五、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些學(xué)問內(nèi)容?提示：1．在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”．2．前n項和公式的應(yīng)用中，留意前n項和公式要分類探討，即當(dāng)q≠1和q＝1時是不同的公式形式，不行忽視q＝1的狀況．3．一般地，假如數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采納錯位相減的方法求和．六、課例點評本著新課改的教學(xué)理念，考慮到學(xué)生的心理特點以及初、中學(xué)教學(xué)的連接，讓學(xué)生初步了解“數(shù)學(xué)來源于生活”，創(chuàng)設(shè)問題情境，意在營造和諧、主動的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生的