浙江省杭州市杭州四中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

浙江省杭州市杭州四中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)點是點，，關(guān)于平面的對稱點，則（）A.10 B.C. D.382．“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3．等差數(shù)列的首項為正數(shù)，其前n項和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（）A.若有最大值，則數(shù)列的公差小于0B.若，則使的最大的n為18C.若，，則中最大D.若，，則數(shù)列中的最小項是第9項4．若，，，則a，b，c與1的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.5．已知，，若，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.6．已知命題“若，則”，命題“若，則”，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.7．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.8．若函數(shù)，則單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.9．橢圓的短軸長為（）A.8 B.2C.4 D.10．展開式中第3項的二項式系數(shù)為（）A.6 B.C.24 D.11．若實數(shù)x，y滿足不等式組，則的最小值為（）A. B.0C. D.212．已知實數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若兩條直線與互相垂直，則a的值為______.14．已知點，平面過，，三點，則點到平面的距離為________.15．在單位正方體中，點E為AD的中點，過點B，E，的平面截該正方體所得的截面面積為______.16．若方程表示的曲線是圓，則實數(shù)的k取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，，，n為正整數(shù).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；（3）若關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實數(shù)m的取值范圍；18．（12分）橢圓的左、右焦點分別為，短軸的一個端點到的距離為，且橢圓過點過且不與兩坐標軸平行的直線交橢圓于兩點，點與點關(guān)于軸對稱.（1）求橢圓的方程（2）當(dāng)直線的斜率為1時，求的面積；（3）若點，求證：三點共線.19．（12分）已知，直線過且與交于兩點，過點作直線的平行線交于點（1）求證：為定值，并求點的軌跡的方程；（2）設(shè)動直線與相切于點，且與直線交于點，在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由20．（12分）某外語學(xué)校的一個社團中有7名同學(xué)，其中2人只會法語；2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學(xué)校交流訪問（1）在選派的3人中恰有2人會法語的概率；（2）在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）已知，曲線與曲線相交于A，B兩點，求.22．（10分）如圖所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）證明：；（2）若點E是棱的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】寫出點坐標，由對稱性易得線段長【詳解】點是點，，關(guān)于平面的對稱點，的橫標和縱標與相同，而豎標與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A2、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：由，得，反之不成立，如，，滿足，但是不滿足，故“”是“”的充分不必要條件故選：B3、B【解析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對于選項A，∵有最大值，∴等差數(shù)列一定有負數(shù)項，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差小于0，故選項A正確；對于選項B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項B錯誤；對于選項C，∵，，∴，，故中最大，故選項C正確；對于選項D，∵，，∴，，故數(shù)列中的最小項是第9項，故選項D正確.故選：B.4、C【解析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，并求其導(dǎo)數(shù)，判斷該函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此作出該函數(shù)的大致圖象，由圖象可判斷a，b，c與1的大小關(guān)系.【詳解】令，則當(dāng)時，，當(dāng)時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,而，由可知，故作出函數(shù)大致圖象如圖：由圖象易知，，故選：C.5、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因為，所以，即，解得.故選：A.6、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題的真假，利用特殊值法可判斷命題的真假，結(jié)合復(fù)合命題的真假可判斷出各選項中命題的真假.【詳解】對于命題，由于函數(shù)為上的增函數(shù)，當(dāng)時，，命題為真命題；對于命題，若，取，，則，命題為假命題.所以，、、均為假命題，為真命題.故選：D.【點睛】本題考查簡單命題和復(fù)合命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.8、C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，令解不等式即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)，所以，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.9、C【解析】根據(jù)橢圓的標準方程求出，進而得出短軸長.【詳解】由，可得，所以短軸長為.故選：C.10、A【解析】根據(jù)二項展開式的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式中第3項，所以展開式中第3項的二項式系數(shù)為.故選：A.11、A【解析】畫出可行域，令，則，結(jié)合圖形求出最小值，即可得解；【詳解】解：畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由，解得，即，令，則．結(jié)合圖形可知當(dāng)過點時，取得最小值，且，即故選：A12、A【解析】將化成，即可求出的最小值【詳解】由可化為，所以，解得，因此最小值是故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】兩直線斜率均存在時，兩直線垂直，斜率相乘等于-1，據(jù)此即可求解.【詳解】由題可知，.故答案為：4.14、【解析】先求得平面ABC的一個法向量，然后由求解.【詳解】因為，，，，所以，設(shè)平面ABC的一個法向量為，則，即，令，則，所以則點到平面的距離為，故答案：15、【解析】根據(jù)題意，取的中點，連接、、、，分析可得四邊形為平行四邊形，則要求的截面就是四邊形，進而可得為菱形，連接、，求出、的長，計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，取的中點，連接、、、，易得，，則四邊形為平行四邊形，過點，，的截面就是，又由正方體為單位正方體，則，則為菱形，連接、，易得，，則，即要求截面的面積為，故答案為：16、【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析（3）【解析】（1）將所給等式變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；（2）假設(shè)存在，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出矛盾，故說明假設(shè)錯誤。從而證明原結(jié)論；（3）求出n=1,2,3,4時的情況，再結(jié)合時，，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由已知可知，顯然有，否則數(shù)列不可能是等比數(shù)列；因為，，故可得，由得：，即有，所以數(shù)列等比數(shù)列，且；【小問2詳解】假設(shè)存在，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，即，而是奇數(shù)，故上式左側(cè)是奇數(shù)，右側(cè)是一個偶數(shù)，不可能相等，故數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；【小問3詳解】關(guān)于正整數(shù)n的不等式，即，當(dāng)n=1時，；當(dāng)n=2時，；當(dāng)n=3時，；當(dāng)n=4時，，并且當(dāng)時，，因關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，故.18、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)已知求出即得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程求出弦長和三角形的高即得解；（3）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到韋達定理，再利用平面向量證明.【小問1詳解】解：由題得，所以橢圓方程為，因為橢圓過點所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題得,所以直線的方程為即，聯(lián)立直線和橢圓方程得，所以,點到直線的距離為.所以的面積為.【小問3詳解】解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，設(shè)，所以，由題得，，所以，所以，所以,又有公共點,所以三點共線.19、（1）證明見解析，（）（2）存在，【解析】(1)根據(jù)題意和橢圓的定義可知點的軌跡是以A，為焦點的橢圓，且，，進而得出橢圓標準方程；(2)設(shè)，聯(lián)立動直線方程和橢圓方程并消元得出關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)根的判別式可得點P和Q的坐標，結(jié)合，利用平面向量的坐標表示列出方程組，即可解出點M的坐標.【小問1詳解】圓A：，∵，∴，又，∴∴，∴，故∴點的軌跡是以A，為焦點的橢圓，且，∴，故：（）；【小問2詳解】由，得∴，故，設(shè)，則，，故，，由可得：由對，恒成立∴故存在使得以為直徑的圓恒過定點20、（1）（2）分布列見解析；【解析】（1）利用組合的知識計算出基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；（2）確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可計算出每個取值對應(yīng)的概率，進而得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】名同學(xué)中，會法語的人數(shù)為人，從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會法語共有種選法；選派的人中恰有人會法語的概率.【小問2詳解】由題意可知：所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望為21、（1），（2）2【解析】（1）消參數(shù)即可得曲線的普通方程，利用極坐標方程與直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系式，從而曲線的直角坐標方程；（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理得，即可得的值.【小問1詳解】由，消去參數(shù)，得，即，所以曲線的普通方程為.由，得，即，所以曲線的直角坐標方程為【小問2詳解】將代入，整理得，則，令方程的兩個根為由韋達定理得，所以.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直