內蒙古包頭市示范名校2025屆高二上數學期末質量檢測模擬試題含解析

內蒙古包頭市示范名校2025屆高二上數學期末質量檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若，，，則（）A. B.C. D.2．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為A. B.C. D.3．記等差數列的前n項和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.414．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.5．已知直線，，點是拋物線上一點，則點到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.6．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（）A. B.C. D.7．下列直線中，傾斜角為銳角的是（）A. B.C. D.8．已知直線與橢圓：（）相交于，兩點，且線段的中點在直線：上，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．已知等比數列的前n項和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.9010．曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.12．如圖甲是第七屆國際數學家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數列為，令，為數列的前項和，則（）A.8 B.9C.10 D.11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正三棱柱的底面邊長和高均為2，點為側棱的中點，連接，，則點到平面的距離為______.14．我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難人微”.事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：與相關的代數問題可以轉化為點與點之間距離的幾何問題.結合上述觀點，可得方程的解是__________.15．某校組織了一場演講比賽，五位評委對某位參賽選手的評分分別為9，x，8，y，9．已知這組數據的平均數為8.6，方差為0.24，則______16．某地區(qū)有3個疫苗接種定點醫(yī)院，現有10名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個醫(yī)院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）數列中，，且.（1）證明；數列是等比數列.（2）若，求數列的前n項和.18．（12分）在中，，，為邊上一點，且（1）求；（2）若，求19．（12分）已知點，直線，圓.（1）若連接點與圓心的直線與直線垂直，求實數的值；（2）若直線與圓相交于兩點，且弦的長為，求實數的值20．（12分）已知橢圓：經過點，設右焦點F，橢圓上存在點Q，使QF垂直于x軸且.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于D，G兩點.是否存在直線使得以DG為直徑的圓過點E（-1，0）?若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.21．（12分）已知等差數列滿足，前7項和為（Ⅰ）求的通項公式（Ⅱ）設數列滿足，求的前項和.22．（10分）如圖，在四棱錐中中，平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據向量線性運算法則計算即可.【詳解】故選：C2、A【解析】每個同學參加的情形都有3種，故兩個同學參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A3、A【解析】設等差數列的公差為d，首先根據題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設等差數列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.4、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D5、C【解析】由拋物線的定義可知點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點為，準線為，所以根據拋物線的定義可得點到直線的距離等于，所以點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離，故選：C.6、B【解析】不妨設點為第一象限的交點，結合橢圓與雙曲線的定義得到，進而結合余弦定理得到，即，令然后結合三角函數即可求出結果.【詳解】不妨設點為第一象限的交點，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當時，有最大值，最大值為，故選：B.【點睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)7、A【解析】先由直線方程找到直線的斜率，再推導出直線的傾斜角即可.【詳解】選項A：直線的斜率，則直線傾斜角為，是銳角，判斷正確；選項B：直線的斜率，則直線傾斜角為鈍角，判斷錯誤；選項C：直線的斜率，則直線傾斜角為0，不是銳角，判斷錯誤；選項D：直線沒有斜率，傾斜角為直角，不是銳角，判斷錯誤.故選：A8、A【解析】將直線代入橢圓方程整理得關于的方程，運用韋達定理，求出中點坐標，再由條件得到，再由，，的關系和離心率公式，即可求出離心率.【詳解】解：將直線代入橢圓方程得，，即，設，，，，則，即中點的橫坐標是，縱坐標是，由于線段的中點在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A9、B【解析】設為等比數列，由此利用等比數列的前項和為能求出結果【詳解】設，等比數列的前項和為為等比數列，為等比數列，解得故選：B10、A【解析】利用切點和斜率求得切線方程.【詳解】由，有曲線在點處的切線方程為，整理為故選：A11、B【解析】取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，即可根據線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，所以，平面的一個法向量為設AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B12、B【解析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，進而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項和，所以，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求點面距離的公式可以直接求出.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，為的中點，由已知，，，，，所以，，設平面的法向量為，，即：，取，得，，則點到平面的距離為.故答案為：.14、【解析】根據題意，列方程計算即可【詳解】因為，所以，可轉化為點到點和點的距離之和為，所以點在橢圓上，則，解得.故答案為：15、1【解析】根據平均數和方差的計算公式，求得，則問題得解.【詳解】由題可知：整理得：；，整理得：，聯立方程組得，解得或，對應或，故.故答案為：1.16、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問題，需要除以平均組數的全排列.【詳解】根據題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類：第一類是2，4，4，第二類是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：22050三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據遞推公式，結合等差數列的定義、等比數列的定義進行證明即可；（2）運用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數列是首項為0，公差為1的等差數列，∴，∴，從而，∴數列是首項為2，公比為2的等比數列；【小問2詳解】由（1）知，則，∴，∴.18、（1）；（2）【解析】（1）在△中，由余弦定理，即可求.（2）在中，由正弦定理，即可求.【詳解】（1）在△中，，，，由余弦定理得：，∴（2）在中，，，，由正弦定理得：，即，∴19、（1）3（2）實數的值為和【解析】（1）由直線垂直，斜率乘積為可得值；（2）求出加以到直線的距離，由勾股定理求弦長，從而可得參數值【小問1詳解】圓，，，，，，【小問2詳解】圓半徑為，設圓心到直線的距離為，則又由點到直線距離公式得：化簡得：，解得：或所以實數的值為和.20、（1）；（2）存在，或.【解析】（1）根據題意，列出的方程組，求得，則橢圓方程得解；（2）對直線的斜率進行討論，當斜率存在時，設出直線方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理，轉化題意為，求解即可.小問1詳解】由題意，得，設，將代入橢圓方程，得，所以，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當斜率不存在時，即時，，為橢圓短軸兩端點，則以為直徑的圓為，恒過點，滿足題意；當斜率存在時，設，，，由得：，，解得：，，若以為直徑的圓過點，則，即，又，，，解得：，滿足，即，此時直線的方程為綜上，存在直線使得以為直徑的圓過點，的方程為或21、(1)(2).【解析】（1）根據等差數列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，進而求出通項