計(jì)算方法公式總結(jié)

計(jì)算方法公式總結(jié)緒論絕對(duì)誤差,為準(zhǔn)確值,為近似值。絕對(duì)誤差限，ε為正數(shù),稱為絕對(duì)誤差限相對(duì)誤差通常用表示相對(duì)誤差相對(duì)誤差限或有效數(shù)字一元函數(shù)y=f（x)絕對(duì)誤差相對(duì)誤差二元函數(shù)y=f(x1，x2）絕對(duì)誤差相對(duì)誤差機(jī)器數(shù)系注：1.β≥2，且通常取2、4、6、82。n為計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)3。指數(shù)p稱為階碼（指數(shù)）,有固定上下限L、U4.尾數(shù)部,定位部5.機(jī)器數(shù)個(gè)數(shù)機(jī)器數(shù)誤差限舍入絕對(duì)截?cái)嘟^對(duì)舍入相對(duì)截?cái)嘞鄬?duì)秦九韶算法方程求根，,為f（x）=0的m重根。二分法迭代法k=0、1、2……為迭代序列，為迭代函數(shù)，局部收斂注:如果知道近似值,可以用近似值代替根應(yīng)用定理3判斷是否局部收斂牛頓迭代法注：牛頓迭代對(duì)單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。牛頓迭代法對(duì)初值要求很高,要保證初值在較大范圍內(nèi)也收斂,加如下四個(gè)條件注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構(gòu)造一個(gè)區(qū)間[ε，M(ε）]，其中,在這個(gè)區(qū)間內(nèi)驗(yàn)證這四個(gè)條件。如果知道根的位置，構(gòu)造［ε，M（ε）］時(shí)應(yīng)該包括根,即ε+常數(shù)線性方程組求解有兩種方法：消去法和迭代法高斯消去法利用線性代數(shù)中初等行變換將增廣矩陣轉(zhuǎn)化為等價(jià)上三角矩陣。注意：第一行第一列為0，將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續(xù)初等行變換。對(duì)角占優(yōu)矩陣則稱A為按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣則稱A為按列嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣則稱A是對(duì)稱正定的.當(dāng)A是上面三種情況時(shí)，用高斯消去法消元時(shí),不用換行.追趕法是高斯消元法的一種特例列主元高斯消元法當(dāng)，即第k次消元把k~n行第k列絕對(duì)值最大的行（s行)調(diào)到第k行，再進(jìn)行高斯消元。迭代序列構(gòu)造第三個(gè)等式為迭代序列,B為迭代矩陣.迭代收斂判別充分條件：迭代矩陣范數(shù)小于1，結(jié)論:Ax=b有唯一解x*充要條件:迭代矩陣譜半徑小于1,Jacobi迭代法其中（low）為下三角，為上三角,為對(duì)角線元素迭代格式：迭代矩陣收斂性判據(jù)：求出最大值小于1(J的譜半徑小于1)即迭代格式收斂.Gauss—Seidel迭代法迭代格式迭代矩陣：常數(shù)矩陣：收斂性判據(jù)：求出最大值小于1（G的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.結(jié)論：當(dāng)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的插值法用插值多項(xiàng)式p(x）代替被插函數(shù)f(x)插值多項(xiàng)式：，n+1個(gè)點(diǎn)插值區(qū)間：，插值點(diǎn)滿足求插值多項(xiàng)式P（x），即求多項(xiàng)式系數(shù)的過(guò)程為插值法帶入可知求系數(shù)的插值點(diǎn)行列式為范德蒙行列式,不為0，有唯一解。即n+1插值條件對(duì)應(yīng)的不超過(guò)n次的插值函數(shù)P（x）只有一個(gè)。一次線性插值Lagrange插值多項(xiàng)式插值余項(xiàng)非插值節(jié)點(diǎn)上Lagrange插值多項(xiàng)式為被插函數(shù)f（x)的近似值帶導(dǎo)數(shù)插值條件的余項(xiàng)估計(jì)注：推導(dǎo)過(guò)程用羅爾中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)第二條性質(zhì)用于可以證明階數(shù)不大于n的f（x）的插值余項(xiàng)為0.差商和Newton插值法記憶方法:先記分母，最后一個(gè)減去第一個(gè)，對(duì)應(yīng)的分子第一項(xiàng)是最后一個(gè)臨近k元素的差商，第二項(xiàng)是第一個(gè)臨近k個(gè)元素的差商。牛頓插值多項(xiàng)式通常記作Nn（x）分段樣條插值分段二次樣條插值討論n為奇偶情況時(shí)的三個(gè)點(diǎn)余項(xiàng)估計(jì)式三次樣條插值函數(shù)第一類邊界條件（端點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)已知）D0等于第一個(gè)式子,dn等于第二個(gè)式子自然邊界條件（端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)已知二階導(dǎo)數(shù)和M0，Mn=0）曲線擬合最小二乘原理函數(shù)關(guān)于n個(gè)點(diǎn)線性無(wú)關(guān)注：線性無(wú)關(guān)的函數(shù)為才是最小二乘多項(xiàng)式注:記住公式即可.數(shù)值積分和數(shù)值微分為求積節(jié)點(diǎn),為求積系數(shù)。插值求積公式梯形公式Simpson公式Cotes公式截?cái)嗾`差代數(shù)精度當(dāng)f(x)為不超過(guò)m次多項(xiàng)式時(shí)上式成立,f（x）為m+1多項(xiàng)式時(shí)上式不成立。則稱為求積公式有m次代數(shù)精度。梯形公式代數(shù)精度為1，Simpson公式代數(shù)精度為3,Cotes公式代數(shù)精度為5截?cái)嗾`差梯形公式Simpson公式Cotes公式Gauss求積公式求積公式代數(shù)精度為2n+1［—1，1］上的兩點(diǎn)Gauss公式(3次代數(shù)精度）［-1,1]上的三點(diǎn)Gauss公式（5次代數(shù)精度）記住,的關(guān)系，查表即可復(fù)化梯形公式2階，復(fù)化Simpson公式4階，復(fù)化Cote公式6階計(jì)算機(jī)通過(guò)不斷把區(qū)間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可給定精度ε，時(shí)因而可以取為的近似值.梯形Simpson數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分截?cái)嗾`差中點(diǎn)公式:常微分方程數(shù)值解法Euler方法歐拉公式(單步顯式公式)求出