漢譯英-運(yùn)用運(yùn)動學(xué)分析錐齒輪輪系的曲線圖

運(yùn)用運(yùn)動學(xué)分析錐齒輪輪系的曲線圖M.Uyguroglu和H.Demirel,Gazimagusa，北塞浦路斯土耳其共和國

收錄于2004年2月3日，修訂于2004年11月22日

發(fā)表時間：2005年5月4日施普林格出版社2005年綜述：非導(dǎo)向和導(dǎo)向的圖形技術(shù)用于錐齒輪輪系運(yùn)動學(xué)分析。在這兩種技術(shù)中，輪系運(yùn)動的齒輪結(jié)構(gòu)都是由一個圖像來表示的。雖然非導(dǎo)向圖是簡單的描繪，它們僅用于確定的基本電路的載波節(jié)點。但是，導(dǎo)向圖比非導(dǎo)向圖可以提供更多的信息，因為每一個有向圖行代表一對互補(bǔ)的變數(shù)。在本文中，對這兩種技術(shù)進(jìn)行比較并且通過對CincinnatiMilacron公司生產(chǎn)的T3機(jī)器人的鉸接式機(jī)構(gòu)進(jìn)行的運(yùn)動學(xué)分析，已經(jīng)證明了導(dǎo)向圖形技術(shù)的優(yōu)點。1介紹在近年來，圖理論對機(jī)器人的錐齒輪傳動的應(yīng)用已經(jīng)建立起來。兩種不同的圖形技術(shù)被用于機(jī)器人的錐齒輪傳動:無導(dǎo)向和導(dǎo)向圖技術(shù)。無導(dǎo)向圖形技術(shù)是由Freudenstein[1]首先提出的，該技術(shù)利用了基本電路的概念。這種技術(shù)由Freudenstein和Yang[2]更詳細(xì)地闡述,而后由Tsai[3]將電腦算法與舊有的機(jī)制融合，最終發(fā)展起來的。定向的線性圖技術(shù)自從六十年代早期[4]-[7]就被應(yīng)用于電網(wǎng)和包括機(jī)械系統(tǒng)一維運(yùn)動在內(nèi)的其他類型的集總物理系統(tǒng),。周[8]等人已經(jīng)將這些技術(shù)應(yīng)用在三維系統(tǒng)。最重要的工作是在1992年，Tokad引出了一個導(dǎo)數(shù)在一般的小型數(shù)學(xué)模型關(guān)于三維的剛體運(yùn)動[9]。通過這個導(dǎo)數(shù)、這個系統(tǒng)的方法,即所謂的網(wǎng)絡(luò)模型的方法,建立了三維機(jī)械系統(tǒng)的模板。Uyguroglu[10]和Tokad[11]闡述了網(wǎng)絡(luò)模型方法對機(jī)器人的錐齒輪傳動的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的分析。這種新的圖技術(shù)已經(jīng)被應(yīng)用在錐齒輪傳動的相對角速率的導(dǎo)向的關(guān)系。在本文中,比較了非導(dǎo)向圖技術(shù)和線性導(dǎo)向圖技術(shù)對錐齒輪傳動的運(yùn)動學(xué)分析的不同并且對導(dǎo)向圖技術(shù)比非導(dǎo)向圖技術(shù)的優(yōu)勢做了展示。這種圖形技術(shù)理論是通過對CincinnatiMilacron公司的T3鉸接式機(jī)器人所應(yīng)用的運(yùn)動學(xué)分析說明的。2機(jī)器人的錐齒輪傳動通常一個機(jī)器人機(jī)械臂是一種開環(huán)運(yùn)動鏈,因為它簡單,易于構(gòu)建。然而,它要求致動器位于尾軸,因此這也增加了關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的慣性。實際上許多機(jī)械手是建立在一種半閉環(huán)配置的執(zhí)行機(jī)構(gòu)來降低慣性載荷。例如,CincinnatiMilacronT3使用的由閉環(huán)錐齒輪傳動裝置構(gòu)成的三轉(zhuǎn)動腕關(guān)節(jié)。2.1功能表現(xiàn)圖1中指出的是CincinnatiMilacron公司T3機(jī)器人的功能表現(xiàn)。這個機(jī)器人有7個構(gòu)件,6個轉(zhuǎn)動副和3個齒輪副。這是三個齒輪副分別為(7,3)(2)、(6級、5級),(2)和(4、5)(3)。在這個表示法中,前兩個編號指明齒輪副和第三編號識別載體并保持齒輪之間恒定的中心距。構(gòu)件2、6和7是輸入裝置。輸入構(gòu)件的旋轉(zhuǎn)通過齒輪4、5、6和7傳到末端手爪。機(jī)器人末端執(zhí)行器由構(gòu)件3驅(qū)動，由構(gòu)件4執(zhí)行。轉(zhuǎn)動軸的位置對應(yīng)如下:軸a:轉(zhuǎn)動副1–2,1–7和1–6.軸b:轉(zhuǎn)動副2–5和2–3.軸c:轉(zhuǎn)動副3–4.這種機(jī)構(gòu)有三個自由度。3無導(dǎo)向圖姓技術(shù)表示在無導(dǎo)向圖姓技術(shù)表示中，以下步驟進(jìn)行：(1)根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)的功能原理:(i)標(biāo)記每個構(gòu)件的號碼(1、2、3、…)(ii)對同軸轉(zhuǎn)動副的軸進(jìn)行標(biāo)記(a、b、c、…)(2)對于圖像:(i)通過相應(yīng)的數(shù)的節(jié)點代表各個環(huán)節(jié)。(ii)通過填寫相應(yīng)的節(jié)點確定固定連接(參考)圖1.CincinnatiMilacron公司T3機(jī)器人的功能原理(iii)通過一條粗實線連接相應(yīng)的節(jié)點連接表示一對齒輪嚙合的兩個環(huán)節(jié)。(iv)轉(zhuǎn)向?qū)Χ咧g的聯(lián)系被表示通過一條細(xì)實線連接相應(yīng)的節(jié)點表示一個轉(zhuǎn)動副的兩個環(huán)節(jié):根據(jù)其軸副的標(biāo)簽標(biāo)記每個轉(zhuǎn)動副的邊際(a,b,c,……)。圖2遵循圖1中所應(yīng)用的這些步驟的機(jī)理。3.1基本回路方程值得注意的是在圖2中,每個輪系邊緣都有一個相關(guān)的基本回路。每個基本回路由一個專為齒輪副邊緣(粗實線)與轉(zhuǎn)動副邊緣(細(xì)實線)連接邊緣的端點。在圖2的基本回路中。線路1:(4–5)(5–2)(2–3)(3–4).線路2:(5–6)(6–1)(1–2)(2–5).電路3:(7–3)(3–2)(2–1)(1–7).在每一個基本回路,有一個確切的節(jié)點連接不同的軸副。它被稱為轉(zhuǎn)移節(jié)點或者表示載體副。在圖2中轉(zhuǎn)移節(jié)點是:回路1:節(jié)點3(軸副b,c)?；芈?:節(jié)點2(軸副a,b)?；芈?:節(jié)點2(軸副a,b)。令齒輪副的節(jié)點為i和j并且的轉(zhuǎn)移節(jié)點為k。則相應(yīng)的載體副為(i,j)(k)。然后鏈接i,j,k,組成一個簡單的周轉(zhuǎn)輪系,則這個輪系的的基本回路方程為：(i,j)(k),ωik=njiωjk,（1）其中ωik和ωjk分別表示齒輪i和j與轉(zhuǎn)動節(jié)點k,的角速度。nji表示齒輪j和i之間的齒輪傳動比,也就是說,nji=Nj/Ni其中Nj和Ni分別表示齒輪j和i的齒數(shù)。如果一個正向旋轉(zhuǎn)的齒輪j考慮轉(zhuǎn)動節(jié)點k的作用產(chǎn)生一種正向旋轉(zhuǎn)的齒輪i，那么齒輪傳動比為nji=+Nj/Ni,否則nji=-Nj/Ni。通過定義可知，對于所有的i和j都有ωij=-ωjiij=1/nji（2）圖1顯示的CincinnatiMilacronT3機(jī)器人包含三個齒輪副。因此三個基本回路方程可以寫成圖2為CincinnatiMilacronT3機(jī)器人無導(dǎo)向圖形表示(4,5)(3);ω43=n54ω53,（3）(5,6)(2);ω52=n65ω62,（4）(3,7)(2);ω32=n73ω72,（5）其中n54=-N5/N4;n65=-N6/N5andn73=N7/N3。聯(lián)立方程(3)及(5),求出角速度ω43和ω32，需要分析等價的開環(huán)鏈(開環(huán)鏈?zhǔn)峭ㄟ^從機(jī)械系統(tǒng)拆卸齒輪獲得的),andω53ω52和ω72;;ω62這些未知的角速率可以通過代換成ω21，ω61和ω71這三個輸入量。下列同軸條件可廣泛應(yīng)用于計算未知的角速率。3.2同軸條件讓i;j和k是三同軸構(gòu)件,那么在這3個構(gòu)件之間的相對角速率可以表示為如下的同軸條件:ωij=ωik-ωjk;（6）其中ωij是構(gòu)件i相對與構(gòu)件就的相對旋轉(zhuǎn)角速度。對機(jī)器人的錐齒輪傳動我們可以得到:ω53=ω52-ω32;（7）ω62=ω61-ω21;（8）ω72=ω71-ω21:（9）把公式（9）代入公式（5）中得到ω32=n73(ω71-ω21)，（10）把公式（8）代入公式（4）中得到ω52=n65(ω61-ω21)（11）最終把公式（7）（10）（11）代入公式（3）中得到ω43=n54ω53=n54(ω52-ω32)=n54n65(ω61-ω21)-n73(ω71-ω21).（12）因此從這個分析,系統(tǒng)的無導(dǎo)向圖形表示法是只用于確定齒輪副。基本回路方程(3)-(5)是由這些齒輪推導(dǎo)出來的。同軸條件公式(7)-(9)不能從圖表中得到。4導(dǎo)向圖形表示法下列步驟可用于導(dǎo)向圖表示:(i)由相應(yīng)的數(shù)的節(jié)點代表各個構(gòu)件。(ii)通過填寫節(jié)點確定固定連接(參考)。(iii)兩個構(gòu)件之間的轉(zhuǎn)動副主要表現(xiàn)通過一條定向的粗實線表示一個可控的真實或者虛擬的最終端口,這個轉(zhuǎn)動副與測量角速度和時間有關(guān)。每個粗實線對應(yīng)其相應(yīng)的軸副(a、b、c……)。這里通過圖3顯示。(iv)重粗實線構(gòu)成了樹枝的圖形(包含了所有節(jié)點和不含電回路)[7]。(v)導(dǎo)向圖形表示的齒輪副關(guān)系通過圖4顯示。在圖四顯示的齒輪中相對速度和力矩之間的關(guān)系為ωik,其中Mjk,和Mjk,分別為齒輪i和齒輪j(vi)為了確定齒輪副的載體副(載體節(jié)點)我們開始從代表了齒輪在網(wǎng)格劃分和樹型圖中的一個節(jié)點到其他節(jié)點。在這條路線上的具有不同軸的標(biāo)簽的節(jié)點,就是相對兩邊齒輪副的轉(zhuǎn)移節(jié)點。(vii)任何的細(xì)實線添加到樹型圖都會形成了一個有一個細(xì)實線和幾個粗實線的基本回路。(viii)基本回路的數(shù)量等于細(xì)實線的數(shù)量。圖3為導(dǎo)向圖表示的轉(zhuǎn)動副圖4為導(dǎo)向圖表示的齒輪副連接關(guān)系圖5為導(dǎo)向圖技術(shù)表示的的CincinnatiMilacron公司T3機(jī)器人。它包含了用導(dǎo)向圖形技術(shù)表示的重組的轉(zhuǎn)動副和齒輪副。4.1運(yùn)動學(xué)和靜力學(xué)的瞬間分析在運(yùn)動學(xué)分析圖1顯示的機(jī)器人的錐齒輪傳動中,我們的目的是為了表達(dá)相對于輸入的角速度ω21、ω61和ω71，有相同的角速度ω32、ω43和ω52。值得注意的是相對于參考節(jié)點的測量速度是輸入速度并且這個測量速度通過圖5的顯示可以很容易的看到。另一方面,在靜力學(xué)的瞬間分析中，我們的目的是為了將相同時刻M32、M43和M52表示成輸入時刻M21、M61和M71。(a)如圖可知方程在圖5中,轉(zhuǎn)載乘節(jié)點如下:路徑I（7路徑II(6a1a路徑III(5b2b因此，可以列出如下齒輪副方程：[ω72,M32,]=[0n37[ω62,M52,]=[[ω53,M43,通過圖5中的細(xì)實線，我們可以發(fā)現(xiàn)如下基本的回路方程：圖5為導(dǎo)向圖形技術(shù)表示的CincinnatiMilacron公司的T3機(jī)器人ω,72,=ω71-ω21（17）ω,62=ω61-ω21（18）ω,53=ω52-ω32（19）ω,52=ω52（20）ω,32=ω32（21）ω,43=ω43（22）從節(jié)點可以推導(dǎo)以下基本最簡方程:M71=-M,72;(23)M61=-M,62;(24)M21=M,72+M,62;(25)M52=-M,52+M,53;(26)M32=-M,32+M,53;(27)M43=-M,43:(28)注意公式(17)-(19)作為同軸條件定理在無導(dǎo)向圖形技術(shù)中已經(jīng)給出了。（b）運(yùn)動學(xué)分析將公式（17）和（21）帶入公式（14）中ω,32=n73ω,72;ω32=n73(ω71-ω21).(29)將公式（18）和（20）帶入公式（15）中ω,52=n65ω,62;ω52=n65(ω61-ω21).(30)將公式（19）和（22）帶入公式（16）中ω,43=n54ω,53;ω43=n54(ω52-ω32).(31)通過公式（29）和公式（31）我們可以得到ω43如下：ω43=n54(ω52-ω32)=n54(n65(ω61-ω21)-n73(ω71-ω21))=n54(n73-n65)ω21+n54n65ω61-n54n73ω71.(32)因此，矩陣形式如下：ω32ω43ω或者更緊湊的形式，ω0=Nωi;(34)其中ω0=[x32x43x52]T為輸出角速度，ωi=[ω21ω61ω71]T為輸入角速度，N為齒輪傳動比系數(shù)矩陣。（c）靜力學(xué)分析將公式（14）代入公式（23）中M71=-M,72=M,32/n37=n73M,32.(35)M71=n73(M,53-M32).（36）M71=n73(M,53-M32).（36）然后將公式（16）和（28）代入公式（36）中M71=n73(-M,32-n54M,43)=n73(-M32+n54M43).(37)顯而易見，從公式（24）和（15）中我們可以得到：M61=-M,62=n65M,52.(38)將公式（26）代入公式（38）中M61=n65(-M52-M,53).(39)通過公式（16）、（）和（），我們可以將M61寫成如下：M61=n65(-M52+n54M,43)=n65(-M52-n54M43).