專題06一次二次方程（原卷版）

主題二方程與不等式專題06一次二次方程目錄一覽知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準(zhǔn)把握重難點）考點回歸（梳理基礎(chǔ)考點，清晰明了，便于識記）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一一元二次方程的解?考向二解一元二次方程直接開平方法?考向三解一元二次方程配方法?考向四解一元二次方程公式法?考向五解一元二次方程因式分解法?考向六配方法的應(yīng)用?考向七根的判別式?考向八根與系數(shù)的關(guān)系最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2.會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等；3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；4.能利用一元二次方程解決實際應(yīng)用問題，并根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理．

本考點內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右，預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型，為避免丟分,學(xué)生應(yīng)扎實掌握。一元二次方程1.一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2.一般形式：（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項、一次項和常數(shù)項，分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因為當(dāng)時，不含有二次項，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．一元二次方程的解1.一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．2.一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這是一元二次方程（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．，．直接開平方法形如或（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．配方法1.將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．2.用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．公式法1.把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程（a≠0）的求根公式．2.用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．3.用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出的值（若，方程無實數(shù)根）；③在的前提下，把a、b、c的值代入公式進(jìn)行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②．因式分解法1.因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（）判斷方程的根的情況．一元二次方程（a≠0）的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系1.當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；2.當(dāng)時，方程有1個（兩個相等的）實數(shù)根；3.當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．根與系數(shù)關(guān)系1.若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：是方程的兩根時，，，反過來可得，，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．2.若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：是一元二次方程（a≠0）的兩根時，，，反過來也成立，即，．3.常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．利用一元二次方程解決實際問題列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．增長率等量關(guān)系1.增長率=增長量÷基礎(chǔ)量．2.設(shè)為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；當(dāng)為平均下降率時，則有．利潤等量關(guān)系1.利潤=售價－成本．2.利潤率=×100％．面積問題1.類型1：如圖1所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．2.類型2：如圖2所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．3.類型3：如圖3所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．圖1圖2圖3碰面問題（循環(huán)問題）1.重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m?！?支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分.∴m=n（n－1）2.不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m。∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場.∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.∴m=n（n－1）?考向一一元二次方程的解解題技巧/易錯易混/特別提醒緊扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解1．（2023?綿陽）若x＝3是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，下面對a的值估計正確的是（）A．＜a＜1 B．1＜a＜ C．＜a＜2 D．2＜a＜2．（2023?棗莊）若x＝3是關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝6的解，則2023﹣6a+2b的值為．3．（2023?株洲）已知實數(shù)m、x滿足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4．①若，則x2＝；②若m、x1、x2為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對（x1，x2）有個．?考向二解一元二次方程直接開平方法解題技巧/易錯易混/特別提醒一元二次方程的常見解法及適用情形：一般形式：直接開平方法形如的方程，可直接開方求解，則，因式分解法可化為的方程，用因式分解法求解，則，配方法若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為，再直接開方求解公式法利用求根公式：4．（2022?臺灣）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，求2a+b之值為何？（）A．9 B．﹣3 C．6+ D．﹣6+5．（2020?揚州）方程（x+1）2＝9的根是．?考向三解一元二次方程配方法6．（2023?新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝17．（2022?無錫）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0；（2）解不等式組：．8．（2022?徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；（2）解不等式組：．?考向四解一元二次方程公式法9．（2023?臺灣）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的兩解為a、b，且a＞b，求a值為何（）A． B． C． D．10．（2022?東營）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2?考向五解一元二次方程因式分解法11．（2022?包頭）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則x1?x22的值為（）A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或612．（2022?云南）方程2x2+1＝3x的解為13．（2022?貴陽）（1）a，b兩個實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示．用“＜”或“＞”填空：ab，ab0；（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法；它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．?考向六配方法的應(yīng)用14．（2023?連云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y為實數(shù)），則W的最小值為．15．（2022?樂山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，則m﹣n＝．?考向七根的判別式解題技巧/易錯易混/特別提醒1.當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；2.當(dāng)時，方程有1個（兩個相等的）實數(shù)根；3.當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．16．（2023?眉山）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜317．（2023?鞍山）若關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣a＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是18．（2023?揚州）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為?考向八根與系數(shù)的關(guān)系19．（2023?錦州）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜ B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≤且k≠020．（2023?岳陽）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，且x1+x2+x1?x2＝2，則實數(shù)m＝．21．（2023?南充）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．（1）求證：無論m為何值，方程總有實數(shù)根；（2）若x1，x2是方程的兩個實數(shù)根，且+＝﹣，求m的值．?考向九一元二次方程的應(yīng)用解題技巧/易錯易混/特別提醒列一元二次方程解實際問題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程．其中分析實際問題是解決問題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實際問題．22．（2023?重慶）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個，并按計劃逐月增長，預(yù)計八月份將提供崗位1815個，設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為23．（2023?牡丹江）張師傅去年開了一家超市，今年2月份開始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利達(dá)到7200元，從3月到5月，每月盈利的平均增長率都相同，則每月盈利的平均增長率是．24．（2023?東營）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．（1）當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？（2）羊圈的面積能達(dá)到650m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由．1．（2023?赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝172．（2023?福建）根據(jù)福建省統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）A．43903.89（1+x）＝53109.85 B．43903.89（1+x）2＝53109.85 C．43903.89x2＝53109.85 D．43903.89（1+x2）＝53109.853．（2023?廣西）據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（）A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7 C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.24．（2023?黑龍江）如圖，在長為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，則小路的寬是（）A．5m B．70m C．5m或70m D．10m5．（2023?鎮(zhèn)江）若x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一個根，則m＝．6．（2023?寧夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為．7．（2023?邵陽）某校截止到2022年底，校園綠化面積為1000平方米．為美化環(huán)境，該校計劃2024年底綠化面積達(dá)到1440平方米．利用方程思想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長率為x，則依題意列方程為1000（1+x）2＝1440．8．（2023?巴中）（1）計算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．（2）求不等式組的解集．（3）先化簡，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．9．（2022?齊齊哈爾）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．10．（2023?無錫）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；（2）解不等式組：．11．（2023?青海）為豐富學(xué)生課余生活，提高學(xué)生運算能力，數(shù)學(xué)小組設(shè)計了如下的解題接力游戲：（1）解不等式組：；（2）當(dāng)m?。?）的一個整數(shù)解時，解方程x2﹣2x﹣m＝0．12．（2023?齊齊哈爾）解方程：x2﹣3x+2＝0．13．（2023?鹽城）課堂上，老師提出了下面的問題：已知3a＞b＞0，M＝，N＝，試比較M與N的大小．小華：整式的大小比較可采用“作差法”．老師：比較x2+1與2x﹣1的大?。∪A：∵（x2+1）﹣（2x﹣1）＝x2+1﹣2x+1＝（x﹣