浙江省溫州十校聯(lián)合體2023-2024學年高二下學期6月期末聯(lián)考數(shù)學試題

2023學年第二學期溫州十校聯(lián)合體期末聯(lián)考高二年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分（共58分）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的補集及交集運算可得.【詳解】由補集可得，又,所以.故選：D.2.的展開式中的常數(shù)項是（）A.120 B.60 C.60 D.120【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)二項式定理計算得到答案.【詳解】的展開式通項為：，取得到常數(shù)項為：.故選：【點睛】本題考查了二項式定理求常數(shù)，意在考查學生的計算能力和應用能力.3.已知圓臺的高為8，上?下底面圓的半徑分別為2和8，則圓臺的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓臺的母線長，根據(jù)圓臺的表面積公式計算即可求得答案.【詳解】如圖所示，由題知，，，則.故圓臺的表面積.故選：D4.已知向量，在上的投影向量記為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的模長公式進行計算【詳解】，故.故選：C5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)得,可以求出的值,再根據(jù)即可求值.【詳解】根據(jù)題意:,則,因為,所以,所以,所以.故選:A6.已知數(shù)列的前項和，則“”是“為等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列、充要條件的定義判斷可得答案.【詳解】若，當時，，所以，當時，，所以，可得，即，可得是公比為2首項等比數(shù)列；若為等比數(shù)列，可得當時，，所以，即，則“”是“為等比數(shù)列”的充要條件.故選：C.7.若函數(shù)有4個零點，則正數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】當時，分析函數(shù)單調(diào)性及最值，得當時有且僅有一個零點，則當時，有3個零點，結(jié)合圖象分析得，解不等式即可.【詳解】當時，是減函數(shù)，且，故當時有且僅有一個零點，由題意得，當時，有3個零點，，，令，即，結(jié)合圖象分析得，即，解得.故選：.8.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C.是奇函數(shù) D.【答案】B【解析】【分析】利用賦值判斷A，令可判斷C，令，結(jié)合條件求出函數(shù)周期可判斷BD.【詳解】令，則，解得，故A正確；令，則，即，因為不恒為0，所以，且定義域為，故函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；令，則，因為不恒為0，且，所以只能，從而，周期4，顯然，故B錯誤D正確.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），下列結(jié)論正確的是（）AB.為純虛數(shù)C.對應的點位于第四象限D(zhuǎn).【答案】BC【解析】【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的模即可判斷A；根據(jù)復數(shù)的乘法運算即可判斷BD；根據(jù)共軛復數(shù)的定義及復數(shù)的幾何意義即可判斷C.【詳解】，則，故A錯誤；為純虛數(shù)，故B正確；，對應的點為，位于第四象限，故C正確；，，故D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.當時，在處的切線方程為B.當時，恒成立C.若恰有一個零點，則D.若恰有兩個零點，則【答案】ABD【解析】【分析】求導，根據(jù)點斜式即可求切線方程判斷A，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解B，構(gòu)造函數(shù)，由導數(shù)求解單調(diào)性，即可得直線與的交點個數(shù)，進而判斷CD.【詳解】對于A，當時，，，則，,故切線方程是，即，故A正確；對于B，當時，，，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，故，故B正確，對于CD，令，則，記，則，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，故，又，而，故當時，此時直線與有兩個不相等的交點，當或時，直線與有1個交點，故C錯誤，D正確，故選：ABD.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．11.如圖，是棱長為1正方體的表面上一個動點，為棱的中點，為側(cè)面的中心.下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.與平面所成角的余弦值為C.若點在各棱上，且到平面的距離為，則滿足條件的點有9個D.若點在側(cè)面內(nèi)運動，且滿足，則存在點，使得與所成角為【答案】AC【解析】【分析】建立以為原點空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，可得，即可判斷A；設(shè)與平面所成的角為，由，即可判斷B；由正方體各個頂點到平面的距離與比較，即可判斷C；點在側(cè)面內(nèi)運動，且滿足，可得點在側(cè)面內(nèi)，以為圓心，為半徑的一段圓弧上運動，而當點于或重合時與所成角為，即可判斷D.【詳解】對A，如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，則，所以，即，所以平面，故A正確；對B，設(shè)與平面所成的角為，則，故B錯誤；對C，因為正方體的棱長為1，所以正的邊長為，正方體的對角線，設(shè)到平面的距離為，由，則，則，則到平面的距離為，因為，所以在以為頂點的棱上，滿足條件的點共有3個，又與平面所成角的正弦值為，所以到平面的距離為，因為，所以在棱上都存在滿足條件的點，同理在都存在滿足條件的點，而棱到平面最近的距離為，所以不存在滿足條件的點，所以滿足條件的點共有9個，故C正確；對D，設(shè)，則，又，所以，即，則點在側(cè)面內(nèi)，以為圓心，為半徑的一段圓弧上運動，而當點和或重合時與所成角為，故D錯誤.故選：AC.非選擇題部分（共92分）三?填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，事件“兩次向上點數(shù)之和為7”的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.【詳解】連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，則基本事件有共個，記“兩次向上點數(shù)之和為7”為事件，則包含的基本事件有，，，，，共個，所以.故答案為：13.在中，為所在平面內(nèi)的兩點，，，則的值為__________.【答案】12【解析】【分析】通過向量的線性運算，用向量分別表示，然后求出數(shù)量積.【詳解】因為在中，，所以為正三角形，因為,,所以，故答案為：12.14.橢圓的左焦點為，直線與橢圓和圓心為的圓相切于同一點，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】求導可得橢圓在的切線斜率為，進而可得點的軌跡方程為（），利用點到直線的距離公式即可求解最小值.【詳解】由可得，由于直線與橢圓相切于，故上半橢圓的方程為，求導得，因此，故橢圓在的切線斜率為，由于直線于圓也相切于，故圓心所在的直線斜率為1，且經(jīng)過點，故點的軌跡方程為（），，故的最小值為到的距離，故答案為：四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別是.（1）求角的大小；（2）若面積為，且周長為6，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，邊化角，再結(jié)合三角和角公式和誘導公式求解即可；（2）由面積公式求出，結(jié)合周長，得到，再用余弦定理得到，，代入求解即可．【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，因為所以因為，所以，所以，故【小問2詳解】由題意得因為，所以由余弦定理得，所以所以，解得.16.在七一“建黨節(jié)”來臨之際，某省教育系統(tǒng)開展以“爭知識標兵，做奮斗先鋒”為主題的法規(guī)知識競賽活動.為了了解本次競賽成績情況，從參與者中隨機抽取容量為100的樣本數(shù)據(jù)（滿分為100分），均在區(qū)間內(nèi)，將樣本數(shù)據(jù)按的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值，并估計抽取的100位參與者得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若本次活動共有5000人參加，用樣本平均值估計總體平均值.假設(shè)所有參與者得分，試估計得分在上的人數(shù).參考數(shù)據(jù)：若，則【答案】（1），估計抽取的100位參與者得分的平均值為75分（2）估計得分在上的人數(shù)約為人.【解析】【分析】（1）由頻率和為1解得，再根據(jù)頻率分布直方圖求出平均值；（2）取，標準差，利用正態(tài)分布的性質(zhì)可得答案.【小問1詳解】由題意得，解得，因為上的頻率分別為，所以樣本的平均值為，估計抽取的100位參與者得分的平均值為75分；【小問2詳解】取，則，可得標準差，，，，，估計得分在上的人數(shù)約為人.17.已知四棱錐為的中點，平面，.（1）若，證明：平面；（2）若，二面角的大小為，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理可得，且，即可得到，再由線面平行的判定定理，即可證明；（2）方法一：作交于，連接，由二面角的定義可得是二面角的平面角，再由勾股定理代入計算，即可求解；方法二：建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算以及二面角的公式代入計算，即可求解.【小問1詳解】證明：且為的中點，，平面平面，又且平面平面，平面，與共面，，又平面平面，平面.【小問2詳解】法1：如圖，作交于，連接.由得，，，且，是二面角的平面角，，又，，在中，，由，解得，.法2：如圖，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系.則，設(shè)，則，，設(shè)面的法向量為，由，令，可得設(shè)面的法向量為，由，令，可得.設(shè)二面角的大小為，則，.18.已知雙曲線的離心率為，右頂點為.為雙曲線右支上兩點，且點在第一象限，以為直徑的圓經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）證明：直線恒過定點；（3）若直線與軸分別交于點，且為中點，求的值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及頂點即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得韋達定理，由垂直得斜率關(guān)系，即可代入化簡求解，（3）根據(jù)中點坐標可得，即可根據(jù)三角形面積之比求解.【小問1詳解】右頂點，解得.【小問2詳解】設(shè)，可設(shè)直線.聯(lián)立，得則，即..以為直徑的圓經(jīng)過點即，化簡得當時，直線經(jīng)過點，不符條件，舍去..直線必過定點.【小問3詳解】由（2）知.,為中點，，代入得.由得.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法（1）引進參數(shù)法：先引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).19.已知奇函數(shù)，其中.（1）求值；（2）若對任意上恒成立，求的取值范圍；（3）記，證明：當時，.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，故，從而得到方程，化簡得到，求出；（2）當時，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，放縮得到對任意上恒成立，當時，可舉出反例，從而得到結(jié)論；（3）變形得到，即證：當時，，構(gòu)造，求導得到單調(diào)性和最值，得到結(jié)論.【小問1詳解】為奇函數(shù)，，即，化簡得，且，，，；【小問2詳解】由（1）