專題124一次函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系（舉一反三）（滬科版）（原卷版）

專題12.4一次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1一次函數(shù)與一元一次方程的解】 1【題型2兩個一次函數(shù)與一元一次方程】 2【題型3利用一次函數(shù)的變換求一元一次方程的解】 3【題型4一次函數(shù)與二元一次方程（組）的解】 4【題型5不解方程組判斷方程組解的情況】 4【題型6一次函數(shù)與一元一次不等式的解集】 6【題型7兩個一次函數(shù)與一元一次不等式】 6【題型8一次函數(shù)與一元一次不等式組的解集】 8【題型9一次函數(shù)與不等式組中的陰影區(qū)域問題】 9【題型10絕對值函數(shù)與不等式】 11【知識點(diǎn)1一次函數(shù)與一元一次方程、不等式的關(guān)系】1.任何一個一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）．當(dāng)函數(shù)值為0時，即kx+b=0就與一元一次方程完全相同．結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為0時，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值．2.解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)值大（?。┯?時，求自變量相應(yīng)的取值范圍.【題型1一次函數(shù)與一元一次方程的解】【例1】（2023春·天津·八年級統(tǒng)考期末）已知方程ax+b=0的解為x=-32，則一次函數(shù)y=ax+A．(3,0) B．(-23,0) C．(-2,0) D．(-32【變式11】（2023秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=kx+b的部分函數(shù)值如表所示，則關(guān)于x的方程x…--1…y…53-…【變式12】（2023春·四川綿陽·八年級校聯(lián)考期末）已知關(guān)于x的方程ax﹣b＝1的解為x＝﹣2，則一次函數(shù)y＝ax﹣b﹣1的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式13】（2023秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)2,4，4,1，則方程【題型2兩個一次函數(shù)與方程組、不等式組】方程組的解與相應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是相對應(yīng)的。找到函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，也就找到了對應(yīng)方程組的解，反之一樣。對于不等式組的解集也可以通過其對應(yīng)的函數(shù)圖象來解決?！绢}型2兩個一次函數(shù)與一元一次方程】【例2】（2023春·青海西寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y1=k1x+b與y2=k

【變式21】（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）若一次函數(shù)y=kx+b與y=mx的圖象交于點(diǎn)2,4，則關(guān)于x的方程2【變式22】（2023春·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線y=-x與y=kx+b交于點(diǎn)P

【變式23】（2023春·福建廈門·八年級廈門市松柏中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1，l2分別是函數(shù)y=

（1）關(guān)于x的方程k1x+（2）若x=m，x=n分別為方程k1x+b1=3和【題型3利用一次函數(shù)的變換求一元一次方程的解】【例3】（2023春·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A-【變式31】（2023春·福建福州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象為直線l，則關(guān)于x的方程a【變式32】（2023秋·江蘇南京·八年級?？茧A段練習(xí)）若一次函數(shù)y＝kx+b（k為常數(shù)且k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），則關(guān)于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解為．【變式33】（2023秋?廬陽區(qū)校級期中）將直線y＝kx﹣2向下平移4個單位長度得直線y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解為x＝3，則k＝2，m＝﹣6．【題型4一次函數(shù)與二元一次方程（組）的解】【例4】（2023春·江西宜春·八年級江西省宜豐中學(xué)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，已知k為整數(shù)，若函數(shù)y=2x-1與y=A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式41】（2023春·北京東城·八年級北京二中校考期中）用圖象法解某二元一次方程組時，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象（如圖所示），則所解的二元一次方程組是（

）A．x+y=2x-2y=1 B【變式42】（2023?德城區(qū)二模）若以關(guān)于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）都在直線y=-12x+b﹣1上，則常數(shù)A．12 B．1 C．﹣1 D．【變式43】（2023春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線y=ax+b和直線y=kx交于點(diǎn)P，若二元一次方程組y=kx【題型5不解方程組判斷方程組解的情況】【例5】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）【活動回顧】：八年級下冊教材中我們曾探究過“以方程x+y=5的解為坐標(biāo)（x的值為橫坐標(biāo)、y的值為縱坐標(biāo)）的點(diǎn)的特性”，了解了二元一次方程的解與其圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系．發(fā)現(xiàn)：以方程x

示例：如圖1，我們在畫方程x-y=0的圖象時，可以取點(diǎn)A(-1,-1)和（1）請你在圖2所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出二元一次方程組x-y=12x（2）觀察圖象，上述兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為________，由此得出這個二元一次方程組的解是________；【拓展延伸】：（3）已知二元一次方程ax+by=7的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)A(1,2)和（4）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+3圖象l1和一次函數(shù)y=x-【變式51】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·八年級統(tǒng)考期末）函數(shù)y=ax+b與函數(shù)yA．無數(shù)解 B．無解 C．唯一解 D．不能確定【變式52】（2023秋?泰興市校級期末）已知關(guān)于x，y的方程組y（1）當(dāng)k，b為何值時，方程組有唯一一組解；（2）當(dāng)k，b為何值時，方程組有無數(shù)組解；（3）當(dāng)k，b為何值時，方程組無解．【變式53】（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線l1：y＝x＋1與直線l2：y＝mx＋n相交于點(diǎn)P(1，b)．（1）求b的值；（2）不解關(guān)于x，y的方程組y=（3）直線l3：y＝nx＋m是否也經(jīng)過點(diǎn)P？請說明理由．（4）直接寫出不等式x+1≥mx+n的解集．【題型6一次函數(shù)與一元一次不等式的解集】【例6】（2023秋·安徽馬鞍山·八年級?？计谥校┮阎淮魏瘮?shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過一、二、三象限，且與x軸交于點(diǎn)(-2，【變式61】（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）已知一次函數(shù)y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)，x與y的部分對應(yīng)值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是()x210123y321012A．x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1【變式62】（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)y=ax+b（a、b是常數(shù)，a≠0）函數(shù)圖象經(jīng)過(1，4)，(2，2)兩點(diǎn)，下面說法中：（1）a=2，b=2；（2）函數(shù)圖象經(jīng)過(1，0)；（3）不等式ax+b＞0的解集是x＜1；（4）不等式ax+b＜0的解集是x＜1；正確的說法有．（請寫出所有正確說法的序號）【變式63】（2023秋·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2,0)，則關(guān)于x的不等式【題型7兩個一次函數(shù)與一元一次不等式】【例7】（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y1=kx+b與y

A．x>-1 B．x>2 C．x<-1 D【變式71】（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）直線y1=kx+2k+3和直線y2=-2x【變式72】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線y1=kx+b與x軸交于點(diǎn)A1,0，直線y2

(1)觀察圖象，直接寫出不等式kx+(2)若不等式3x+m>kx【變式73】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y1=-12x+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C

(1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象，直接寫出y2>y(3)若M是線段OA上的點(diǎn)，且△COM的面積為9，求直線CM【題型8一次函數(shù)與一元一次不等式組的解集】【例8】（2023春·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）已知：同一個坐標(biāo)系中分別作出了一次函數(shù)y=k1x+b1和y=k2x+b2的圖象，分別與

(1)關(guān)于x的方程k1x+b1=0的解是_______；關(guān)于(2)請直接寫出關(guān)于x的不等式k1(3)請直接寫出關(guān)于x的不等式組k1(4)求△ABC【變式81】（2023秋·浙江·八年級期末）如圖，直線y=kx+b(k≠0)經(jīng)過A(-1,-2)和【變式82】（2023秋·四川成都·八年級校聯(lián)考期末）已知直線y1=kx+1(k<0)與直線【變式83】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=﹣x﹣2與y=2x+m的圖象相交于點(diǎn)P（n，﹣4），則關(guān)于x的不等式組{2x+【題型9一次函數(shù)與不等式組中的陰影區(qū)域問題】【例9】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀，我們知道，在數(shù)軸上，x=1表示一個點(diǎn)，而在平面坐標(biāo)系中，x=1表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程2xy+1=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖形，就是一次函數(shù)y=2x+1的圖象，它也是一條直線，如圖1，可以得出，直線x=1與直線y=2x+1的交點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，3）就是方程組x=1,2在直角坐標(biāo)系中，x≤1表示一個平面區(qū)域，即直線x=1以及它的左側(cè)的部分，如圖2；y≤2x+1，也表示一個平面區(qū)域，即直線y=2x+1以及它下方的部分，如圖3．回答下列問題：（1）在直角坐標(biāo)系（如圖4）中，用作圖的方法求方程組x=-2,（2）用陰影表示x≥-2,【變式91】（2023?黃岡中學(xué)自主招生）如圖，表示陰影區(qū)域的不等式組為（）A．2x+y≥53C．2x+y≥5【變式92】（2023秋?包河區(qū)期中）圖中所示的陰影部分為哪一個不等式的解集（）A．x﹣y≤﹣5 B．x+y≥﹣5 C．x+y≤5 D．x﹣y≤5【變式93】（2023春·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次方程xy=0的一個解x=1y=1可以用一個點(diǎn)（1，1）表示，二元一次方程有無數(shù)個解，以方程xy=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的全體叫作方程xy=0的圖象．一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個二元一次方程的圖象都是一條直線，我們可以把方程xy=0的圖象稱為直線直線xy=0把坐標(biāo)平面分成直線上方區(qū)域，直線上，直線下方區(qū)域三部分，如果點(diǎn)M（x0，y0）的坐標(biāo)滿足不等式xy≤0，那么點(diǎn)M（x0，y0）就在直線xy=0的上方區(qū)域內(nèi)．特別地，x=k（k為常數(shù)）表示橫坐標(biāo)為k的點(diǎn)的全體組成的一條直線，y=m（m為常數(shù)）表示縱坐標(biāo)為m的點(diǎn)的全體組成的一條直線．請根據(jù)以上材料，探索完成以下問題：（1）已知點(diǎn)A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直線3x2y=4上的點(diǎn)有；請再寫出直線（2）已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足不等式組0≤x≤4,0≤y≤3（3）已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足不等式組0≤x≤10≤y≤22【題型10絕對值函數(shù)與不等式】【例10】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y＝2-x下面是小東的探究過程．（1）化簡函數(shù)解析式，當(dāng)x≤2時，y＝；當(dāng)x>2時，y＝．（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，請在所給坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝2-x（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：．【變式101】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）某學(xué)習(xí)小組在綜合與實踐活動中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系課題時，對函數(shù)y=下面是該學(xué)習(xí)小組的探究過程，請補(bǔ)充完整；(1)下表是y與x的幾組對應(yīng)值，請將表格補(bǔ)充完整：x…012345…y…m0n23…表格中m的值為__________，n的值為___________．(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)并畫出此函數(shù)的圖像：（提示：先用鉛筆畫圖確定后用簽字筆畫圖）(3)請觀察函數(shù)的圖像，直接寫出如下結(jié)論；①當(dāng)自變量x________時，函數(shù)y隨x的增大而增大；②方程x+1-3=2的解是③不等式x+1<4的解集為【變式102】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式——利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)——運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程．結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，探究函數(shù)y=(1)列表：x…101234…y…234b21…請根據(jù)表格中的信息，可得a=__________，b=(2)①根據(jù)（1）中結(jié)果，請在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這