2025屆北師大長春附屬學校數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆北師大長春附屬學校數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設aR，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得極小值3．已知，則點關于平面的對稱點的坐標是（）A. B.C. D.4．從編號為1~120的商品中利用系統(tǒng)抽樣的方法抽8件進行質(zhì)檢，若所抽樣本中含有編號66的商品，則下列編號一定被抽到的是（）A.111 B.52C.37 D.85．過橢圓右焦點作x軸的垂線，并交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點.若以線段AB為直徑的圓與有2個公共點，則C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.6．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與至少有一個紅球C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球D.至少有一個黑球與都是紅球7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標原點，為雙曲線在第一象限上的點，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.8．函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.9．圓關于直線對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.10．圓與圓的位置關系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切11．焦點坐標為的拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.12．命題若，且，則，命題在中，若，則.下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面直角坐標系內(nèi)動點M（）與定點F（4，0）的距離和M到定直線的距離之比是常數(shù)，則動點M的軌跡是___________14．已知數(shù)列滿足，，若為等差數(shù)列，則___________，若，則數(shù)列的前項和為___________.15．已知橢圓的右頂點為，直線與橢圓交于兩點，若，則橢圓的離心率為___________.16．已知平面的法向量分別為，，若，則的值為___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知以點為圓心的圓與直線相切，過點的動直線l與圓A相交于M，N兩點（1）求圓A的方程（2）當時，求直線l方程18．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線方程的標準方程.（1）經(jīng)過點，兩點的橢圓；（2）與雙曲線－＝1有相同的漸近線且經(jīng)過點的雙曲線.19．（12分）設函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：恒成立.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，，，（1）求證：；（2）求直線PB與平面MQB所成角的正弦值21．（12分）（1）敘述正弦定理；（2）在△中，應用正弦定理判斷“”是“”成立的什么條件，并加以證明.22．（10分）已知圓，直線過定點.（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點，且，求此時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】運用兩直線平行的充要條件得出l1與l2平行時a的值，而后運用充分必要條件的知識來解決即可解：∵當a=1時，直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是﹣，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當兩條直線平行時，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件故選A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關系2、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導數(shù)的值的正負的關系，可判斷A,B的結(jié)論;根據(jù)函數(shù)的極值點和函數(shù)的導數(shù)的關系可判斷、的結(jié)論【詳解】函數(shù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；根據(jù)函數(shù)的導數(shù)圖象，函數(shù)在時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點，故錯誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)處取得極小值，故正確，故選：3、C【解析】根據(jù)對稱性求得坐標即可.【詳解】點關于平面的對稱點的坐標是，故選：C4、A【解析】先求出等距抽樣的組距，從而得到被抽到的是，從而求出答案.【詳解】120件商品中抽8件，故，因為含有編號66的商品被抽到，故其他能被抽到的是，當時，，其他三個選項均不合要求，故選：A5、A【解析】求得以為直徑的圓的圓心和半徑，求得直線的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列不等式，化簡后求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的左焦點，右焦點，上頂點，，所以為直徑的圓的圓心為，半徑為.直線的方程為，由于以線段為直徑的圓與相交，所以，，，，，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A6、C【解析】列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，逐項判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，故錯誤；B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，故錯誤；C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，故正確D：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，這兩個事件是對立事件，故錯誤；故選：C7、D【解析】由雙曲線的定義可設，，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到，而，結(jié)合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故，對三角形，用余弦定理，得到，結(jié)合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選：D【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于常考題型.8、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因為，當且僅當時取等號，所以函數(shù)的值域為故選：C9、C【解析】先求出圓的圓心坐標，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標準方程為，因為圓關于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當且僅當，即時取等號，故選：C.10、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因為，所以兩圓相交.故選：A.11、D【解析】依次確定選項中各個拋物線的焦點坐標即可.【詳解】對于A，的焦點坐標為，A錯誤；對于B，的焦點坐標為，B錯誤；對于C，焦點坐標為，C錯誤；對于D，的焦點坐標為，D正確.故選：D.12、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題的真假，根據(jù)大角對大邊及正弦定理可判斷命題的真假，再根據(jù)復合命題真假的判斷方法即可得出結(jié)論.【詳解】解：若，且，則，當時，，所以，當時，，所以，綜上命題為假命題，則為真命題，在中，若，則，由正弦定理得，所以命題為真命題，為假命題，所以為真命題，，，為假命題.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)直接法，即可求軌跡.【詳解】解：動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，根據(jù)題意得，點的軌跡就是集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得所以，動點的軌跡是長軸長、短軸長分別為12、的橢圓故答案為：14、①.##②.【解析】利用遞推關系式，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得公差，進而得到；利用遞推關系式可知數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，采用裂項相消的方法可求得前項和.【詳解】由得：，解得：；為等差數(shù)列，設其公差為，則，解得：，；由知：數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列；，又，，數(shù)列的前項和，.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關系求解數(shù)列中的項、裂項相消法求和的問題；解題關鍵是能夠根據(jù)遞推關系式得到數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，由此可通過裂項相消的方法求得所求數(shù)列的和.15、【解析】求出右頂點坐標，然后推出的縱坐標，利用已知條件列出方程，求解橢圓的離心率即可【詳解】解：橢圓的右頂點為，直線與橢圓交于，兩點，若，可知，不妨設在第一象限，所以的縱坐標為：，可得：，即，可得，，所以故答案為：16、【解析】由平面互相垂直可知其對應的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標運算求解即可.【詳解】∵，∴平面的法向量互相垂直，∴，即，解得,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；（2）根據(jù)相交弦長公式，求出圓心到直線的距離，設出直線方程，再根據(jù)點到直線的距離公式確定直線方程【詳解】（1）由題意知到直線的距離為圓A半徑r，所以，所以圓A的方程為（2）設的中點為Q，則由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知，設動直線l方程為：或，顯然符合題意由到直線l距離為1知得所以或為所求直線方程【點睛】本題考查圓的標準方程及直線與圓的相交弦長問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題18、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，，從而可求出橢圓的標準方程，（2）由題意設雙曲線的共漸近線方程為,再將的坐標代入方程可求出的值，從而可求出雙曲線方程【小問1詳解】因為，所以P、Q分別是橢圓長軸和短軸上的端點，且橢圓的焦點在x軸上，所以，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設與雙曲線共漸近線的方程為,代入點，解得m=2,所以雙曲線的標準方程為19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）當時，，求出，可得答案；（2）設，，，，，設，求出利用單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】當時，，則，所以單調(diào)遞增，又，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以.【小問2詳解】設，若，則，若，則，設，則，所以單調(diào)遞增，又，當時，，上單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以，綜上，恒成立.【點睛】本題考查了求函數(shù)值域或最值的問題，一般都需要通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來處理，特別的要根據(jù)所求問題，適時構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，再利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問題是常用方法，考查了學生分析問題、解決問題的能力.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形可得，再由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，即可求證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求線面角.【小問1詳解】因為Q為AD的中點，，所以，又因為平面底面ABCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以【小問2詳解】由題可知QA、QB、QP兩兩互相垂直，以QA為x軸、QB為y軸、QP為z軸建立空間坐標系，如圖，根據(jù)題意，則，，，，，由M是棱PC的中點可知，，設平面MQB的法向量為，，，則，即令，則，，故平面MQB的一個法向量為，所以，所以直線PB與平面MQB所成角的正弦值為21、（1）正弦定理見解析；（2）充要條件，證明見解析【解析】（1）用語言描述正弦定理，并用公式表達正弦定理（2）利用“大角對大邊”的性質(zhì)，并根據(jù)正弦定理進行邊角互化即可【詳解】（1）正弦定理：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值之比相等且等于這個三角形外接圓的直徑，即.（2）是充要條件.證明如下：充分性：又故有：必要性：又綜上，是的充要條件22、（1）或；（2）或.【解