江蘇啟東中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

江蘇啟東中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)a，b，c，若a＞b，則下列不等式成立的是（）A B.C. D.2．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.3．?dāng)?shù)列2，，9，，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.4．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.5．已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則（）X123Pa2a3aA. B.C. D.6．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公比為，則（）A. B.C. D.8．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A. B.C. D.9．在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點(diǎn)，下列敘述正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面10．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為（）A. B.C. D.11．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A B.4C.3 D.212．設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（）A. B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在處切線的斜率為_____14．已知斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，M為y軸上一點(diǎn)且滿足|MA|=|MB|，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是___________.15．過點(diǎn)，且周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______16．某人實(shí)施一項(xiàng)投資計(jì)劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個(gè)項(xiàng)目.已知2020年他的工資是10萬元，預(yù)計(jì)未來十年每年工資都會(huì)逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當(dāng)年的投資收益自動(dòng)轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計(jì)劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應(yīng)有__________萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，（1）設(shè)，，，用向量表示，并求出的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且B，A，C成等差數(shù)列.（1）求A的大??；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).20．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍21．（12分）已知拋物線：，直線過定點(diǎn).（1）若與僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；（2）若與交于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB（其中О為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運(yùn)算結(jié)果是否有為定值的？并說明理由.22．（10分）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上的等軸雙曲線；（2）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，且它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)；（3）經(jīng)過點(diǎn)拋物線

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閍＞b，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若a＞b，又，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C.2、A【解析】求得圓心到直線的距離，根據(jù)題意列出的不等關(guān)系式，即可求得的范圍.【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.3、C【解析】用檢驗(yàn)法，由通項(xiàng)公式驗(yàn)證是否符合數(shù)列各項(xiàng)，結(jié)合排除法可得【詳解】第一項(xiàng)為正數(shù)，BD中求出第一項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，排除，而AC均滿足，A中，，排除A，C中滿足，，，故選：C4、B【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.5、C【解析】根據(jù)分布列性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，解得，所以；故選：C6、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可知，則，所以，即可得到的關(guān)系，利用橢圓的定義進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，如圖所示，所以，設(shè)，，則，所以，故選：D.7、D【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，所以.故選：D8、A【解析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題9、D【解析】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用面面垂直的性質(zhì)可判斷BC選項(xiàng)；利用面面垂直的判定可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，平面，若平面，因?yàn)椋瑒t平面平面，事實(shí)上，平面與平面相交，假設(shè)不成立，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，而過作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，則，，，則平面，若平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，而過點(diǎn)作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，平面，平面，，，平面，因?yàn)槠矫?，因此，平面平面平面，D對(duì).故選：D.10、C【解析】先根據(jù)題意對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可【詳解】因?yàn)橛尚〉酱笈帕械囊唤M數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為，所以這一組數(shù)的中位數(shù)為，故選：C11、C【解析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由為純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C12、C【解析】由橢圓的定義得：，，結(jié)合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算得，即可得到切線的斜率【詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為1，故答案為：114、【解析】設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，，，解得..由于，所以是垂直平分線與軸的交點(diǎn)，垂直平分線方程為，令得，由于，所以.也即的縱坐標(biāo)的取值范圍是.故答案為：15、【解析】方法一：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長(zhǎng)最小，由線段的中點(diǎn)為圓心，其長(zhǎng)一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長(zhǎng)最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小，即圓心為線段的中點(diǎn)，半徑則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為16、24【解析】根據(jù)條件求得每一年投入在最終結(jié)算時(shí)的總收入，利用錯(cuò)位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，2022年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，，2030年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，則結(jié)算時(shí)的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則，故答案為：24三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)向量加減法運(yùn)算法則可得，根據(jù)計(jì)算可得的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】，因?yàn)椋砜傻?，所以【小?詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋运援惷嬷本€與所成角的余弦值為18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標(biāo)以及平面的一個(gè)法向量，證明結(jié)合面，即可求證；（2）求出的坐標(biāo)以及平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因?yàn)槊婷?，面面，，面，所以平面，因?yàn)槊妫?，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，可得，令，則，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槊?，所以平?【小問2詳解】，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，令，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.19、（1）（2）【解析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合內(nèi)角和定理得出A的大??；（2）先由余弦定理，結(jié)合，，得到的關(guān)系式，再由的面積為，得到的關(guān)系式，兩式聯(lián)立可求出，進(jìn)而可確定結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)锽，A，C成等差數(shù)列，所以，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，，由余弦定理可得：；又的面積為，所以，所以，所以,所以周長(zhǎng)為.20、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負(fù)，分別求單調(diào)性；（2）由（1）所求的單調(diào)性，結(jié)合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，若對(duì)任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當(dāng)時(shí)，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，，不滿足對(duì)任意的恒成立.所以綜上所述：.21、（1）或或（2）為定值，而，，均不為定值【解析】（1）過拋物線外一定點(diǎn)的直線恰好與該拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則分兩類分別討論，一是直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，二是直線與拋物線相切；（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，分別表示出，，，為直線斜率的形式，便可得出結(jié)果.【小問1詳解】過點(diǎn)的直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線可能與拋物線的對(duì)稱軸平行，也可能與拋物線相切，下面分兩種情況討論：當(dāng)直線可能與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，則有：當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，由于點(diǎn)在軸上方，且在拋物線外，則存在兩條直線與拋物線相切：易知：是其中一條直線另一條直線與拋物線上方相切時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：則有：解得：故此時(shí)的直線的方程為：綜上，直線的方程為：或或【小問2詳解】若與交于A，B兩點(diǎn)，分別設(shè)其坐標(biāo)為，，且由（1）可知直線要與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率存在且不為，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：，即有：根據(jù)韋達(dá)定理可得：，則有：，下面分別說明各項(xiàng)是否為定值：，故運(yùn)算結(jié)果為定值；，故運(yùn)算結(jié)果不為定值；，故運(yùn)算結(jié)果不為定值；，故運(yùn)算結(jié)果不為定值.綜上，可得：為定值，而，，均不為定值22、（1）（2）（3）或【解析】（1）由已知求得，再由等軸雙曲線