《增長(zhǎng)速度的比較、函數(shù)的應(yīng)用》

4.5增長(zhǎng)速度的比較4.6函數(shù)的應(yīng)用（二）4.7數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：生長(zhǎng)規(guī)律的描述第四章

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度，結(jié)合實(shí)例理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程，學(xué)會(huì)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)教材要點(diǎn)學(xué)科素養(yǎng)學(xué)考高考考法指津高考考向函數(shù)的平均變化率數(shù)學(xué)運(yùn)算水平1水平21.幾類函數(shù)的平均變化率的計(jì)算。2.平均變化率在實(shí)際生活中的應(yīng)用。3.能夠從三類函數(shù)模型入手，建立量與量之間的關(guān)系。4.根據(jù)實(shí)際問題中增長(zhǎng)量的變化情況，會(huì)選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并會(huì)用待定系數(shù)法求出其函數(shù)解析式。【考查內(nèi)容】1.高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查重點(diǎn)是平均變化率的運(yùn)算。2.高考對(duì)本節(jié)的考查重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，近幾年高考對(duì)函數(shù)的應(yīng)用側(cè)重考查導(dǎo)數(shù)（以后學(xué)習(xí)）在實(shí)際問題中的應(yīng)用，因此命制指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用的選擇題、填空題是一種趨勢(shì)，需給子重視?！究疾轭}型】選擇題、填空題、解答題【分值情況】5分平均變化率的應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算水平2水平2平均變化率的大小比較數(shù)學(xué)運(yùn)算水平2水平2幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型數(shù)學(xué)建模水平2水平2函數(shù)模型的應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)建模水平1水平2函數(shù)的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)建模水平2水平2知識(shí)點(diǎn)一常見的增長(zhǎng)模型(一)教材梳理填空一、自學(xué)教材·注重基礎(chǔ)1．線性函數(shù)模型線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k＞0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變．2．指數(shù)函數(shù)模型能利用____________________表達(dá)的函數(shù)模型叫指數(shù)函數(shù)模型．指數(shù)函數(shù)模型的特點(diǎn)是隨自變量的增大，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度越來越快，常形象地稱為指數(shù)爆炸．3．對(duì)數(shù)函數(shù)模型能用____________________表達(dá)的函數(shù)模型叫做對(duì)數(shù)函數(shù)模型，對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)是________________，函數(shù)值增長(zhǎng)速度__________.4．冪函數(shù)模型冪函數(shù)y＝xn(n＞0)的增長(zhǎng)速度介于指數(shù)增長(zhǎng)和對(duì)數(shù)增長(zhǎng)之間．知識(shí)點(diǎn)一常見的增長(zhǎng)模型(一)教材梳理填空一、自學(xué)教材·注重基礎(chǔ)狀元隨筆函數(shù)模型的選取(1)當(dāng)描述增長(zhǎng)速度變化很快時(shí)，常常選用指數(shù)函數(shù)模型．(2)當(dāng)要求不斷增長(zhǎng)，但又不會(huì)增長(zhǎng)過快，也不會(huì)增長(zhǎng)到很大時(shí)，常常選用對(duì)數(shù)函數(shù)模型．(3)冪函數(shù)模型y＝xn(n＞0)則可以描述增長(zhǎng)幅度不同的變化，n值越小(n≤1)時(shí)，增長(zhǎng)較慢；n值較大(n＞1)時(shí)，增長(zhǎng)較快．知識(shí)點(diǎn)二

數(shù)學(xué)建模(一)教材梳理填空一、自學(xué)教材·注重基礎(chǔ)1．審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．2．建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．3．解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．4．還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義．知識(shí)點(diǎn)二

數(shù)學(xué)建模(一)教材梳理填空一、自學(xué)教材·注重基礎(chǔ)狀元隨筆

一、自學(xué)教材·注重基礎(chǔ)基本知能小試

解析：指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度快于冪函數(shù)．冪函數(shù)增長(zhǎng)速率快于對(duì)數(shù)函數(shù)．A2．某商品價(jià)格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價(jià)格與原來價(jià)格比較，變化的情況是(

)A．減少7.84%B．增加7.84%C．減少9.5%D．不增不減解析：設(shè)某商品原來價(jià)格為a，依題意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的價(jià)格與原來價(jià)格比較，減少7.84%.A一、自學(xué)教材·注重基礎(chǔ)基本知能小試3．某同學(xué)最近5年內(nèi)的學(xué)習(xí)費(fèi)用y(千元)與時(shí)間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是(

)A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b解析：由散點(diǎn)圖和四個(gè)函數(shù)的特征可知，可選擇的模擬函數(shù)模型是y＝ax2＋bx＋c.B一、自學(xué)教材·注重基礎(chǔ)基本知能小試

題型一幾類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異解析二、提升新知·注重綜合例1、(1)下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是(

)A．y＝2018xB．y＝x2018C．y＝log2018xD．y＝2018x(1)比較冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快．A題型一幾類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異解析二、提升新知·注重綜合(2)四個(gè)自變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________．(2)以爆炸式增長(zhǎng)的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量y2的增長(zhǎng)速度最快，畫出它們的圖像(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化．y2狀元隨筆(1)由題意，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快．(2)觀察變量y1，y2，y3，y4的變化情況→找出增長(zhǎng)速度最快的變量→該變量關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化變式訓(xùn)練二、提升新知·注重綜合題型一幾類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異1.分析指數(shù)函數(shù)y＝2x與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x在區(qū)間[1，＋∞)上的增長(zhǎng)情況．解析：指數(shù)函數(shù)y＝2x，當(dāng)x由x1＝1增加到x2＝3時(shí)，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x，當(dāng)x由x1＝1增加到x2＝3時(shí)，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.5850.由此可知，在區(qū)間[1，＋∞)上，指數(shù)函數(shù)y＝2x隨著x的增長(zhǎng)函數(shù)值的增長(zhǎng)速度快，而對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的增長(zhǎng)速度緩慢．變式訓(xùn)練二、提升新知·注重綜合題型一幾類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異狀元隨筆在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝2x和y＝log2x的圖像，從圖像上可觀察出函數(shù)的增長(zhǎng)變化情況．如圖：題型二

指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解析二、提升新知·注重綜合例2、按照《國(guó)務(wù)院關(guān)于印發(fā)“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案的通知》(國(guó)發(fā)〔2016〕74號(hào))的要求，到2020年，全國(guó)二氧化硫排放總量要控制在1580萬噸以內(nèi)，要比2015年下降15%.假設(shè)“十三五”期間每一年二氧化硫排放總量下降的百分比都相等，2015年后第t(t＝0,1,2,3,4,5)年的二氧化硫排放總量最大值為f(t)萬噸．(1)求f(t)的解析式；(2)求2019年全國(guó)二氧化硫排放總量要控制在多少萬噸以內(nèi)(精確到1萬噸)．

題型二

指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解析二、提升新知·注重綜合例2、按照《國(guó)務(wù)院關(guān)于印發(fā)“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案的通知》(國(guó)發(fā)〔2016〕74號(hào))的要求，到2020年，全國(guó)二氧化硫排放總量要控制在1580萬噸以內(nèi)，要比2015年下降15%.假設(shè)“十三五”期間每一年二氧化硫排放總量下降的百分比都相等，2015年后第t(t＝0,1,2,3,4,5)年的二氧化硫排放總量最大值為f(t)萬噸．(1)求f(t)的解析式；(2)求2019年全國(guó)二氧化硫排放總量要控制在多少萬噸以內(nèi)(精確到1萬噸)．

二、提升新知·注重綜合方法總結(jié)題型二

指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)注意的問題(1)指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用類型．常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決．(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)的關(guān)鍵．關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．二、提升新知·注重綜合變式訓(xùn)練題型二

指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型1.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(

)(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年

C．2020年D．2021年

B題型三

函數(shù)模型的選擇問題二、提升新知·注重綜合解析例3、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？借助信息技術(shù)畫出函數(shù)y＝5，y＝0.25x,y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖像(圖1)．觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖像都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖像始終在y＝5的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求．題型三

函數(shù)模型的選擇問題二、提升新知·注重綜合解析例3、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？

題型三

函數(shù)模型的選擇問題二、提升新知·注重綜合解析例3、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？再計(jì)算按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]，利用信息技術(shù)畫出它的圖像(圖2)．題型三

函數(shù)模型的選擇問題二、提升新知·注重綜合解析例3、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？由圖像可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞減，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以，當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，y≤0.25x，說明按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不會(huì)超過利潤(rùn)25%.綜上所述，模型y＝log7x＋1確實(shí)能符合公司要求．題型三

函數(shù)模型的選擇問題二、提升新知·注重綜合狀元隨筆本例提供了三個(gè)不同增長(zhǎng)方式的獎(jiǎng)勵(lì)模型，按要求選擇其中一個(gè)函數(shù)作為刻畫獎(jiǎng)金總數(shù)與銷售利潤(rùn)的關(guān)系．由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬元，所以銷售人員的銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過公司總的利潤(rùn)．于是，只需在區(qū)間[10,1000]上，尋找并驗(yàn)證所選函數(shù)是否滿足兩條要求：第一，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，即最大值不大于5；第二，獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%，即y≤0.25x.不妨先畫出函數(shù)圖像，通過觀察函數(shù)圖像，得到初步的結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果.二、提升新知·注重綜合方法總結(jié)題型三

函數(shù)模型的選擇問題數(shù)學(xué)知識(shí)來源于客觀實(shí)際，服務(wù)于實(shí)際問題．?dāng)?shù)學(xué)是人們認(rèn)識(shí)世界、改造世界的工具，其中函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來描述．面臨一個(gè)實(shí)際問題，選擇合適的數(shù)學(xué)模型是一件非常重要的事情，根據(jù)三種不同的增長(zhǎng)模型的特點(diǎn)，選擇符合自己的模型，才能產(chǎn)生更大的經(jīng)濟(jì)效益．變式訓(xùn)練二、提升新知·注重綜合題型三

函數(shù)模型的選擇問題1.某皮鞋廠今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙．由于產(chǎn)品質(zhì)量好、款式新穎，前幾個(gè)月的銷售情況良好．為了推銷員在推銷產(chǎn)品時(shí)，接受訂單不至于過多或過少，需要估計(jì)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量．廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程．廠里也暫時(shí)不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人．假如你是廠長(zhǎng)，就月份x，產(chǎn)量為y給出三種函數(shù)模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你將利用哪一種模型去估算以后幾個(gè)月的產(chǎn)量？

變式訓(xùn)練二、提升新知·注重綜合題型三

函數(shù)模型的選擇問題1.某皮鞋廠今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙．由于產(chǎn)品質(zhì)量好、款式新穎，前幾個(gè)月的銷售情況良好．為了推銷員在推銷產(chǎn)品時(shí)，接受訂單不至于過多或過少，需要估計(jì)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量．廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程．廠里也暫時(shí)不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人．假如你是廠長(zhǎng)，就月份x，產(chǎn)量為y給出三種函數(shù)模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你將利用哪一種模型去估算以后幾個(gè)月的產(chǎn)量？

變式訓(xùn)練二、提升新知·注重綜合題型三

函數(shù)模型的選擇問題1.某皮鞋廠今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙．由于產(chǎn)品質(zhì)量好、款式新