空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示導(dǎo)學(xué)案 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1.4空間向量應(yīng)用1.4.1空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示姓名:班級(jí)：日期：月日一：學(xué)習(xí)目標(biāo)能用向量表示點(diǎn)，直線和平面理解直線的方向向量與平面的法向量掌握直線的方向向量與平面的法向量的求法二：思維框架三：自學(xué)預(yù)習(xí)點(diǎn)的位置向量在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量OP來表示.我們把向量OP稱為點(diǎn)P的位置向量.空間直線的向量表示式在直線L上任取一點(diǎn)P，一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得OP=OA+ta;反之亦然，此時(shí)點(diǎn)P與實(shí)數(shù)t形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系a是直線L的方向向量，在直線L上取AB=a，取空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使OP=OA+ta①，將AB=a代入①式，得OP=OA+tAB②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.性質(zhì)：由此可知空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.空間平面的向量表示式取空間任意一點(diǎn)O，可以得到，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得OP=xa+yb③我們把③式稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式。性質(zhì)：空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定平面的法向量直線l⊥平面α．取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·AP=0}.四:課堂探究探究一：求直線的方向向量例1：在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=a,AD=b,AA'=c,O是BD'與B'例2在四棱錐P—ABCD中，ABCD是平行四邊形，E在PC上，且CE=3EP,設(shè)AB=a,AD=b,AP=c，以{a,b,c}為空間的一個(gè)基底，求直線AE的一個(gè)方向向量.探究二：求平面的法向量例3.已知長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，BC=3，CC'=2，M為AB中點(diǎn).以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD'所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，（1）求平面BCC'B'的一個(gè)法向量．（2）求平面MCA'的一個(gè)法向量點(diǎn)撥：（1）平面BCC'B'與y軸垂直，其法向量可以直接寫出；（2）平面MCA'可以看出由MC,MA',CA'中的兩個(gè)向量所確定，運(yùn)用法向量與它們垂直關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算求得法向量。*歸納方法：求平面的法向量，通常只需要求出平面的一個(gè)法向量，求直線的方向向量也是如此。求平面法向量的方法：設(shè)出平面的法向量n=(x,y,z)求出平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的a={a1，b1，c1}，b={a2，根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程n解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量。探究三：確定空間中點(diǎn)的位置已知點(diǎn)A（4，1，3），B（2，—5，1），C為線段AB上一點(diǎn)且ACAB=1點(diǎn)撥：求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)，一般要根據(jù)具體的題目條件恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量式列出方程組，把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，列方程組可得點(diǎn)的坐標(biāo)。五：課堂歸納1、空間中點(diǎn)、直線和平面的