2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何8.1直線的傾斜角斜率與直線的方程學(xué)案新人教A版

PAGE第八章平面解析幾何8.1直線的傾斜角、斜率與直線的方程必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.直線的傾斜角(1)定義:當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們以x軸為基準(zhǔn),x軸與直線l的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為.

(2)直線的傾斜角α的取值范圍為.

2.直線的斜率(1)定義:一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=tanα,傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率.(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k=y23.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件點(diǎn)斜式過(guò)點(diǎn)(x0,y0),斜率為k

與x軸不垂直的直線斜截式在y軸上的截距為b,斜率為k

兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)

與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式在x軸、y軸上的截距分別為a,b(a,b≠0)

不過(guò)原點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式—Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面內(nèi)全部直線1.特別直線的方程:(1)過(guò)點(diǎn)P(x1,y1),垂直于x軸的直線方程為x=x1;(2)過(guò)點(diǎn)P(x1,y1),垂直于y軸的直線方程為y=y1;(3)y軸的方程為x=0;(4)x軸的方程為y=0.2.直線的傾斜角α和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)直線的傾斜角越大,其斜率越大.()(2)過(guò)點(diǎn)M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直線的傾斜角是45°.()(3)若直線的斜率為tanα,則其傾斜角為α.()(4)經(jīng)過(guò)隨意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.()(5)直線的截距即是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.()2.直線2x·sin210°-y-2=0的傾斜角是()A.45° B.135° C.30 D.150°3.假如A·C<0,且B·C<0,那么直線Ax+By+C=0不通過(guò)第象限.

4.(2024山東德州高三診測(cè))過(guò)直線l:y=x上的點(diǎn)P(2,2)作直線m,若直線l,m與x軸圍成的三角形的面積為2,則直線m的方程為.

5.(2024云南麗江高三月考)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,1),且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程為.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)直線的傾斜角與斜率【例1】(1)已知曲線y=13x3-x2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,作曲線在點(diǎn)P處的切線,則切線傾斜角的取值范圍為(A.0,3π4 B.0,π2∪3π4,π C.3π4,π D.π2,(2)已知點(diǎn)A(2,3),B(-3,-2),若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1),且與線段AB始終沒(méi)有交點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是()A.34,2 B.-∞,34∪(2,+∞) C.34,+∞ D.(-∞,2)(3)若直線l的斜率為k,傾斜角為α,且α∈π6,π4∪2π3,π,則k的取值范圍是解題心得直線的斜率與傾斜角的區(qū)分與聯(lián)系直線l的斜率k直線l的傾斜角α區(qū)分當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),l的斜率k不存在當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),l的傾斜角α為π聯(lián)系①k=tanα,α∈0,②當(dāng)α∈0,π2時(shí),α越大,l的斜率越大;當(dāng)α∈π2,π時(shí),α越大,l的斜率越大.③全部直線都有傾斜角,但不是全部直線都存在斜率對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(多選)若直線l1:ax-y-b=0,l2:bx-y+a=0,ab≠0,a≠b,則下列圖形可能正確的是()(2)直線xcosα+3y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是()A.0,5π6C.π6,π(3)已知點(diǎn)A(2,-3),B(-3,-2),直線l的方程為-kx+y+k-1=0,且與線段AB相交,則直線l的斜率k的取值范圍為()A.(-∞,-4]∪34,+∞ B.-∞,-14∪34,+∞C.-4,34 D.34,4考點(diǎn)求直線的方程【例2】(1)過(guò)點(diǎn)P(3,-1),且在兩坐標(biāo)軸上截距的肯定值相等的直線有條,方程為.

(2)已知一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-3),并且它的傾斜角等于直線x-3y=0傾斜角的2倍,則這條直線的方程是.

(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中點(diǎn)M在y軸上,BC的中點(diǎn)N在x軸上,則直線MN的方程為.

解題心得1求解直線方程的兩種方法干脆法依據(jù)已知條件,選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式,干脆寫出直線方程待定系數(shù)法①設(shè)所求直線方程的某種形式;②依據(jù)條件建立所求參數(shù)的方程(組);③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù);④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程2.謹(jǐn)防三種失誤(1)應(yīng)用點(diǎn)斜式方程和斜截式方程時(shí),要留意探討斜率是否存在.(2)應(yīng)用截距式方程時(shí),要留意探討直線是否過(guò)原點(diǎn),即截距是否為0.(3)應(yīng)用一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)確定直線的斜率時(shí),留意探討B(tài)是否為0.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)在等腰三角形MON中,|MO|=|MN|,點(diǎn)O(0,0),M(-1,3),點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上,則直線MN的方程為()A.3x-y-6=0 B.3x+y+6=0C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0(2)過(guò)點(diǎn)A(1,3),且斜率是直線y=-4x的斜率的13的直線方程為.(3)過(guò)點(diǎn)P(6,-2),且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程為.

考點(diǎn)直線方程的應(yīng)用(多考向探究)考向1與基本不等式及函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合的最值問(wèn)題【例3】已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),如圖所示,求△AOB的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.解題心得求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題.先設(shè)出直線方程,建立目標(biāo)函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.變式發(fā)散(1)若本例條件不變,求|OA|+|OB|的最小值及此時(shí)l的方程.(2)若本例條件不變,求PA·PB的最大值及此時(shí)直線l考向2與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問(wèn)題【例4】設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的范圍為0,π4,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為()A.-1,-12 B.[-1,0]C.[0,1] D.12,1解題心得解決與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問(wèn)題,一般是利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值等于切線的斜率來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3曲線xy-x+2y-5=0在點(diǎn)A(1,2)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()A.9 B.496 C.92 D第八章平面解析幾何8.1直線的傾斜角、斜率與直線的方程必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.(1)正向向上0°(2)0°≤α<180°3.y-y0=k(x-x0)y=kx+by-y考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2.B由題意得斜率k=2sin210°=-2sin30°=-1,故傾斜角為135°.故選B.3.三由已知得直線Ax+By+C=0在x軸上的截距-CA>0,在y軸上的截距-CB>0,故直線經(jīng)過(guò)第一、其次、第四象限,4.x-2y+2=0或x=2①若直線m的斜率不存在,則直線m的方程為x=2,此時(shí)直線m,直線l和x軸圍成的三角形的面積為2,符合題意;②若直線m的斜率存在,則由題意可知其斜率k≠0,設(shè)直線m的方程為y-2=k(x-2)(k≠0),令y=0,得x=2-2k,依題意有12×2-2k×2=2,即1-1k=1,解得k=12,故直線m的方程為y-2=12(x-2),即x-2y+2=0.綜上可知,直線5.x-4y=0或x+y-5=0設(shè)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為a.若a=0,則直線l過(guò)點(diǎn)(0,0)和(4,1),所以直線l的方程為y=14x,即x-4y=0若a≠0,則直線l的方程為xa+因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(4,1),所以4a+解得a=5,所以直線l的方程為x5+y5=1,即x+y-綜上可知,直線l的方程為x-4y=0或x+y-5=0.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)B(2)A(3)[-3,0)∪3(1)∵y'=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴切線的斜率k≥-1,∴切線的傾斜角α∈0,π2∪3π4,π.故選B.(2)由已知得kAP=3-12-1=2,kBP=-2-1-3-1=34.如圖(3)當(dāng)π6≤α<π4時(shí),33≤tanα<1,故33≤k<1.當(dāng)2π3≤α<π時(shí),-3≤tanα<0,故綜上可知,k∈[-3,0)∪33對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)AB(2)D(3)A(1)直線l1:ax-y-b=0可化為y=ax-b,直線l2:bx-y+a=0可化為y=bx+a.對(duì)于A,由l1得a>0,b<0,由l2得b<0,a>0,故A正確;對(duì)于B,由l1得a>0,b>0,由l2得b>0,a>0,故B正確;對(duì)于C,由l1得a<0,b<0,由l2得b>0,a>0,故C不正確;對(duì)于D,由l1得a<0,b<0,由l2得b<0,a>0,故D不正確.故選AB.(2)由已知得tanθ=-33cosα∵cosα∈[-1,1],∴-33≤-33cosα≤33,即-33≤tanθ≤33,解得θ∈(3)由-kx+y+k-1=0,即y-1=k(x-1),可知直線l恒過(guò)定點(diǎn)P(1,1),則kAP=-4,kBP=34作出直線AP,BP(圖略),可知當(dāng)直線l與線段AB相交時(shí),直線l的斜率k的取值范圍為(-∞,-4]∪34,+∞例2(1)3x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0(2)3x-y-33=0(3)5x-2y-5=0(1)①當(dāng)截距不為0,且截距相等時(shí),設(shè)直線方程為xa+ya=1(a≠0),將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線方程,解得a=2,所以直線方程為②當(dāng)截距不為0,且截距互為相反數(shù)時(shí),設(shè)直線方程為xb+y-b=1(b≠0),將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線方程,解得b=4,③當(dāng)截距為0時(shí),設(shè)直線方程為y=kx,將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線方程,解得k=-13,所以直線方程為x+3y=0綜上可知,直線有3條,方程為x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0.(2)由已知得直線x-3y=0的斜率為33,則其傾斜角為30°,故所求直線的傾斜角為60°,斜率為3,故所求直線的方程為y-(-3)=3(x-2),即3x-y-33=0(3)設(shè)C(x0,y0),則Mx0+52,因?yàn)辄c(diǎn)M在y軸上,所以x0+52=0,解得x0=-5.因?yàn)辄c(diǎn)N在x軸上,所以y0+32=0,解得y0=-3.所以M0,-52,N(1,0),所以直線MN的方程為x1+對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)C(2)4x+3y-13=0(3)2x+3y-6=0或x+2y-2=0(1)因?yàn)閨MO|=|MN|,點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上,所以直線MN的斜率與直線MO的斜率互為相反數(shù),所以kMN=-kMO=3,所以直線MN的方程為y-3=3(x+1),即3x-y+6=0.故選C.(2)依題意,所求直線的斜率為-4×13=-43.又所求直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3),因此所求直線方程為y-3=-43(x-1),即4x+3y-13(3)依題意,所求直線的截距肯定存在,設(shè)直線方程是xa+1+ya=1(a≠0),則6a+1+-2a=1,解得a=2或a=1,則直線的方程是x2+1+y2=1或x1+1+y例3解(方法1)依題意,設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a>0,b>0),將點(diǎn)P(3,2)的坐標(biāo)代入方程得3a+2b=1≥26ab,即ab≥24,當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b時(shí),等號(hào)成立,從而S△AOB=12ab≥12,故△AOB的面積的最小值為12,此時(shí)直線l的斜率k=-ba=-23,從而所求直線l的方程為2x+3y-12=0.(方法2)依題意,直線l的斜率k存在,且k<0,可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3)(k<0),則A3-2k,0,B所以S△AOB=12(2-3k)=1≥1=12×(12+12)=當(dāng)且僅當(dāng)-9k=4-k,即k=-23時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)直線l的方程為2x+3y-12所以△AOB的面積的最小值為12,此時(shí)直線l的方程為2x+3y-12=0.變式發(fā)散解(1)(方法1)由原例題方法1知3a+2b=1,a>因?yàn)閨OA|+|OB|=a+b,所以a+b=(a+b)3a+2b=5+3ba當(dāng)且僅當(dāng)3ba=2a即a=3+6,b=2+6時(shí),等號(hào)成立.所以|OA|+|OB|的最小值為5+26.此時(shí)直線l的方程為x3+6即6x+3y-6-36=0.(方法2)由原例題方法2知k<0,A3-2k,0,B故|OA|+|OB|=3-2k+2-3=5+-2k+(-3≥5+2-2k·(-3k當(dāng)且僅當(dāng)-2k=-3k,即k=-63時(shí),等號(hào)成立.故|OA|+|OB|的最小值為5+26.此時(shí)直線l的方程為y-2=-63(x-3),即6x+3y-6-36(2)由原例題方法2知A3-2k,0,B(0,2-3k),k<0.故PA·PB=-2k,-2·(-3,-3k)=6k+6k=--6k+(-6k)≤-2-當(dāng)且僅當(dāng)-