人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第十五章 分式壓軸訓(xùn)練（單元復(fù)習(xí) 5類(lèi)壓軸）

第十五章分式壓軸訓(xùn)練0101壓軸總結(jié)目錄TOC\o"1-3"\h\u壓軸題型一求使分式為正(負(fù))數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍 1壓軸題型二求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值 4壓軸題型三與分式有關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題 9壓軸題型四與分式方程有關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題 18壓軸題型五與分式及分式運(yùn)算有關(guān)的新定義型問(wèn)題 24002壓軸題型壓軸題型一求使分式為正(負(fù))數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍例題：（23-24八年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）已知分式的值是非負(fù)數(shù)，那么x的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）若分式的值為正，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．且2．（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·期中）若分式的值為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．3．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）若分式的值為正數(shù)，則x的取值范圍是．4．（23-24八年級(jí)上·山東威?！るA段練習(xí)）若分式的值為正，則的取值范圍為．5．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）當(dāng)?shù)娜≈捣秶嵌嗌贂r(shí)：(1)分式的值為負(fù)數(shù)？(2)分式的值為正數(shù)？(3)分式的值為負(fù)數(shù)？壓軸題型二求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值例題：（2024七年級(jí)下·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于非負(fù)整數(shù)，使得是一個(gè)正整數(shù)，則可取的個(gè)數(shù)有（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）若分式的值是正整數(shù)，則可取的整數(shù)有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)2．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）若及都是正整數(shù)，則所有滿(mǎn)足條件的的值的和是．3．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）若分式的值為整數(shù)，則整數(shù)x的值為．4．（23-24八年級(jí)上·北京海淀·階段練習(xí)）若代數(shù)式的值為正整數(shù)，則整數(shù)x的值為．5．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）若x取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的x的值有個(gè)．6．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下列材料：通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可以化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“真分式”．如，，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類(lèi)似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如．解決下列問(wèn)題：(1)分式是（填“真分式”或“假分式”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)先化簡(jiǎn)，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．壓軸題型三與分式有關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題例題：（2024九年級(jí)下·安徽·專(zhuān)題練習(xí)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；；按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式：；(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并驗(yàn)證其正確性．鞏固訓(xùn)練1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題．(1)直接寫(xiě)出第5個(gè)等式：________________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：________________（用含n的等式表示），并證明．2．（24-25九年級(jí)上·安徽宣城·開(kāi)學(xué)考試）；；；…(1)根據(jù)上面?zhèn)€等式存在的規(guī)律寫(xiě)出第個(gè)等式；(2)用含的代數(shù)式表示出第個(gè)等式，并證明．3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）觀察下面一列分式：，，，，…（其中）．(1)根據(jù)上述分式的規(guī)律寫(xiě)出第6個(gè)分式；(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫(xiě)出第n（n為正整數(shù)）個(gè)分式，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．4．（22-23八年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）觀察下列各式：，，，(1)由此推測(cè)________(2)請(qǐng)你用含字母m的等式表示一般規(guī)律（m表示整數(shù)）(3)請(qǐng)直接用（2）的規(guī)律計(jì)算的值．5．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：___________________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．6．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）有下列等式：①，②，③，④，……按照以上規(guī)律，解決下面問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第⑤個(gè)等式：____________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含正整數(shù)n的等式表示），并說(shuō)明猜想的正確性．7．（23-24九年級(jí)下·安徽合肥·階段練習(xí)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：___________________________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：______________________________（用含n的等式表示），并證明．壓軸題型四與分式方程有關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題例題：（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）解方程：①的解．②的解．③的解．④的解．……(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫(xiě)出⑤，⑥個(gè)方程及它們的解；(2)請(qǐng)你用一個(gè)含正整數(shù)n的式子表示上述規(guī)律，并求出它的解．鞏固訓(xùn)練1．（22-23八年級(jí)下·江蘇常州·期中）先閱讀下面的材料，然后回答問(wèn)題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程的兩個(gè)解是．(2)解方程：，可以變形轉(zhuǎn)化為的形式，寫(xiě)出你的變形求解過(guò)程，運(yùn)用（1）的結(jié)論求解．(3)方程的解為．2．（23-24八年級(jí)下·甘肅天水·階段練習(xí)）解方程：①的解是；②的解是；③的解是；④的解是；(1)請(qǐng)完成上面的填空；(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫(xiě)出第⑤個(gè)方程和它的解；(3)請(qǐng)你用一個(gè)含正整數(shù)的式子表述上述規(guī)律，并寫(xiě)出它的解?3．（21-22八年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）閱讀理解：下列一組方程：①，②，③，…小明通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)了其中蘊(yùn)含的規(guī)律，并順利地求出了前三個(gè)方程的解，他的解過(guò)程如下：由①得或；由②得或；由③得或，(1)問(wèn)題解決：請(qǐng)寫(xiě)出第四個(gè)方程______________；(2)規(guī)律探究：若n為正整數(shù)，則第n個(gè)方程是____________其解為_(kāi)____________；(3)變式拓展：若n為正整數(shù)，關(guān)于x的方程的一個(gè)解是，求n的值．4．（21-22八年級(jí)上·云南昭通·期末）先閱讀下面的材料，然后回答問(wèn)題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)觀察上述方程的解，猜想關(guān)于x的方程的解是；(2)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程的解是；(3)由（2）可知，在解方程時(shí)，可以變形轉(zhuǎn)化為的形式求值，按要求寫(xiě)出你的變形求解過(guò)程．(4)利用（2）的結(jié)論解方程：．壓軸題型五與分式及分式運(yùn)算有關(guān)的新定義型問(wèn)題例題：（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱(chēng)這個(gè)分式為“和諧分式”如，，則和都是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是：______（填序號(hào)）；①；②；③；④．(2)將“和諧分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形為：______．(3)當(dāng)x取什么整數(shù)時(shí)，“和諧分式”的值為整數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：，例：．根據(jù)這種運(yùn)算法則，完成下列各題：(1)計(jì)算：；(2)計(jì)算：；(3)計(jì)算：．2．（22-23九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）定義：若兩個(gè)分式的差為2，則稱(chēng)這兩個(gè)分式屬于“友好分式組”．(1)下列3組分式：①與；②與；③與．其中屬于“友好分式組”的有____________（只填序號(hào)）；(2)若正實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，求證與屬于“友好分式組”；(3)若均為非零實(shí)數(shù)，且分式與屬于“友好分式組”，求分式的值．3．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）定義：形如的式子，若，則稱(chēng)為“勤業(yè)式”；若，則稱(chēng)為“求真式”；若的值為整數(shù)，則稱(chēng)為“至善式”．(1)下列式子是“求真式”的有______（只填序號(hào)）；①

②

③(2)若，，請(qǐng)判斷為“勤業(yè)式”還是“求真式”，并說(shuō)明理由；(3)若，，且x為整數(shù)，當(dāng)為“至善式”時(shí)，求x的值．4．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱(chēng)這個(gè)分式為“和諧分式”．如若，則和都是“和諧分式”．(1)下列式子中，屬于“和諧分式”的是________（填序號(hào)）：①；②；③；④；⑤(2)將“和諧分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為．(3)應(yīng)用先化簡(jiǎn)，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．5．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期中）閱讀理解:定義：若分式和分式滿(mǎn)足（為正整數(shù)），則稱(chēng)是的“差分式”．例如：我們稱(chēng)是的“差分式”，解答下列問(wèn)題：(1)分式是分式的“差分式”．(2)分式是分式的“差分式”．①（含的代數(shù)式表示）；②若的值為正整數(shù)，為正整數(shù)，求的值．(3)已知，分式是的“差分式”（其中為正數(shù)），求的值．6．（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期中）定義：如果兩個(gè)分式A與B的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱(chēng)A是B的“差常分式”，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為A關(guān)于B的“差常值”．如分式，，，則A是B的“差常分式”，A關(guān)于B的“差常值”為2．(1)已知分式，，判斷C是否是D的“差常分式”，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，若是，請(qǐng)證明并求出C關(guān)于D的“差常值”．(2)已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E關(guān)于F的“差常值”為2，求的值；(3)已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M關(guān)于N的“差常值”為1．若x為整數(shù)，且M的值也為整數(shù)，求滿(mǎn)足條件的x的值．

第十五章分式壓軸訓(xùn)練0101壓軸總結(jié)目錄TOC\o"1-3"\h\u壓軸題型一求使分式為正(負(fù))數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍 1壓軸題型二求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值 4壓軸題型三與分式有關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題 9壓軸題型四與分式方程有關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題 18壓軸題型五與分式及分式運(yùn)算有關(guān)的新定義型問(wèn)題 24002壓軸題型壓軸題型一求使分式為正(負(fù))數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍例題：（23-24八年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）已知分式的值是非負(fù)數(shù)，那么x的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求分式值為正（負(fù)）數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍、求不等式組的解集【分析】本題考查分式值的正負(fù)性問(wèn)題，也考查了解一元一次不等式．根據(jù)的值是非負(fù)數(shù)得到且，進(jìn)而能求出x的取值范圍．【詳解】解：∵，∴且，∴且．故選：D．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）若分式的值為正，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．且【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求分式值為正（負(fù)）數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍【分析】本題考查不等式的解法和分式值的正負(fù)條件．解不等式時(shí)當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)需改變不等號(hào)的方向，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)時(shí)，兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)不需改變不等號(hào)的方向．根據(jù)題意，因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，分母不能為0，所以分母是正數(shù)，主要分子的值是正數(shù)則可，從而列出不等式求解即可．【詳解】解：由題意得，，且，∵分式的值為正，∴，∴，∴且．故選：D．2．（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·期中）若分式的值為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．【答案】且【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件、求分式值為正（負(fù)）數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍【分析】本題主要考查了分式有意義的條件、分式值為負(fù)數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍；根據(jù)分式的分母不能為0得出，再根據(jù)分式的值為負(fù)數(shù)得出，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，分式的值為負(fù)數(shù)，，，，的取值范圍是且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】3．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）若分式的值為正數(shù)，則x的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求分式值為正（負(fù)）數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性、分式的值為正數(shù)可得，，由此即可得．【詳解】∵分式的值為正數(shù)，，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為正數(shù)，正確列出不等式是解題關(guān)鍵．4．（23-24八年級(jí)上·山東威海·階段練習(xí)）若分式的值為正，則的取值范圍為．【答案】且【知識(shí)點(diǎn)】求分式值為正（負(fù)）數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍【分析】本題考查的是分式性質(zhì)，根據(jù)分式為正數(shù)的條件列出不等式，解不等式得到答案．【詳解】解：分式的值為正，，，解得，且故答案為：且．5．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）當(dāng)?shù)娜≈捣秶嵌嗌贂r(shí)：(1)分式的值為負(fù)數(shù)？(2)分式的值為正數(shù)？(3)分式的值為負(fù)數(shù)？【答案】(1)(2)(3)或【知識(shí)點(diǎn)】求分式值為正（負(fù)）數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍、求一元一次不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題考查的是分式的值為正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，字母的取值范圍，一元一次不等式組的應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵；（1）由分式的值為負(fù)數(shù)可得，再解不等式即可；（2）由分式的值為正數(shù)可得或，再解不等式組即可；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論可得分式的值為負(fù)數(shù)時(shí)的范圍．【詳解】（1）解：，，，，時(shí)，分式值為負(fù)數(shù)．（2）∵分式的值為正數(shù)，∴或，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，不等式組無(wú)解，綜上：當(dāng)時(shí)；分式的值為正數(shù)，（3）∵由（2）得：當(dāng)時(shí)；分式的值為正數(shù)，∴分式的值為負(fù)數(shù)時(shí)，則或；壓軸題型二求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值例題：（2024七年級(jí)下·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于非負(fù)整數(shù)，使得是一個(gè)正整數(shù)，則可取的個(gè)數(shù)有（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)變形，解題時(shí)要能熟練掌握并理解．依據(jù)題意，由，再結(jié)合為正整數(shù)，為非負(fù)整數(shù)，進(jìn)而可以得解．【詳解】解：由題意，，且為正整數(shù)，為非負(fù)整數(shù)，必為正整數(shù)．為的正因數(shù)，可能為，，，，為非負(fù)整數(shù)，可能為，，．又為正整數(shù)，或或均符合題意，共種可能．故選：A．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）若分式的值是正整數(shù)，則可取的整數(shù)有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值【分析】本題主要考查了分式的值，利用已知條件得到關(guān)于m的不等式，再利用有理數(shù)的整除的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：若分式的值是正整數(shù)，且為整數(shù)，則是6的約數(shù)，．∴或或或，即的值為8或5或4或3，共4個(gè)．2．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）若及都是正整數(shù)，則所有滿(mǎn)足條件的的值的和是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值【分析】本題考查了使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意建立不等式并求解是解題關(guān)鍵．根據(jù)為整數(shù)，且的值也為正整數(shù)，列出不等式，求出的取值范圍，再枚舉求出符合題意的的值，即可求解．【詳解】解：∵及都是正整數(shù)，∴，即，解得：，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故所有滿(mǎn)足條件的的值有：、、，∴所有滿(mǎn)足條件的的值的和是．故答案為：．3．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）若分式的值為整數(shù)，則整數(shù)x的值為．【答案】或或或【知識(shí)點(diǎn)】求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值【分析】本題考查了求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值問(wèn)題，將分式化為，分別代值計(jì)算，即可求解；掌握這類(lèi)典型問(wèn)題的解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，分式的值為整數(shù)，且x是整數(shù)，或或或，解得：或或或，故答案：或或或．4．（23-24八年級(jí)上·北京海淀·階段練習(xí)）若代數(shù)式的值為正整數(shù)，則整數(shù)x的值為．【答案】3或7/7或3【知識(shí)點(diǎn)】求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值【分析】分子為正整數(shù)5，若分式值為正整數(shù)，且x為整數(shù)，則等于1或5，從而問(wèn)題可解．【詳解】解：的值為正整數(shù)，或，或，故答案為：3或7．【點(diǎn)睛】本題考查了分式求值，根據(jù)題意得出等于1或5是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）若x取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的x的值有個(gè)．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值【分析】先將假分式分離可得出，根據(jù)題意只需是6的整數(shù)約數(shù)即可．【詳解】解：由題意可知，是6的整數(shù)約數(shù)，∴解得：，其中x的值為整數(shù)有：共4個(gè)．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分式的值是整數(shù)的條件，分離假分式是解此題的關(guān)鍵，通過(guò)分離假分式得到，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單6．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下列材料：通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可以化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“真分式”．如，，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類(lèi)似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如．解決下列問(wèn)題：(1)分式是（填“真分式”或“假分式”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)先化簡(jiǎn)，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．【答案】(1)真分式(2)(3)化簡(jiǎn)得；【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷、求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值、分式加減乘除混合運(yùn)算、分式加減混合運(yùn)算【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)及分式的分離整數(shù)法，理解材料并掌握分式的運(yùn)算是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)真分式的定義判斷即可；（2）根據(jù)材料給出的方法運(yùn)算即可；（3）先化簡(jiǎn)，再將分式化為帶分式，最后再求解，注意分式有意義的條件．【詳解】（1）解：因?yàn)榉质降姆肿哟螖?shù)0小于分母次數(shù)1，所以分式是真分式，故答案為：真分式；（2）；（3），∵，∵是整數(shù)，∴或，解得：，，或，∵，，或時(shí)，原分式無(wú)意義，∴，即當(dāng)時(shí)，該式的值為整數(shù)．壓軸題型三與分式有關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題例題：（2024九年級(jí)下·安徽·專(zhuān)題練習(xí)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；；按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式：；(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并驗(yàn)證其正確性．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析【分析】此題考查了數(shù)字類(lèi)規(guī)律探究，分式的加減運(yùn)算；（1）根據(jù)前5個(gè)等式規(guī)律寫(xiě)出第6個(gè)等式；（2）根據(jù)前5個(gè)等式猜想出第個(gè)等式并驗(yàn)證．【詳解】（1）解：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：，可得第6個(gè)等式為：，故答案為：；（2）由題意可猜想得，第個(gè)等式為：，證明：，第個(gè)等式為：．鞏固訓(xùn)練1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題．(1)直接寫(xiě)出第5個(gè)等式：________________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：________________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】分式乘方、異分母分式加減法【分析】此題考查的是歸納總結(jié)能力，分式的運(yùn)算法則等知識(shí)，抓住題目中的相似點(diǎn)找到其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察前幾個(gè)式子，然后進(jìn)行仿寫(xiě)，即可得到答案；（2）對(duì)題目中給的等式進(jìn)行比較、歸納，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律為，再利用分式的減法和乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，得到左邊等于右邊，即可得到驗(yàn)證．【詳解】（1）解：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；則第5個(gè)等式為故答案為：（2），證明如下：∵左邊，右邊，∴左邊=右邊．故原等式成立．2．（24-25九年級(jí)上·安徽宣城·開(kāi)學(xué)考試）；；；…(1)根據(jù)上面?zhèn)€等式存在的規(guī)律寫(xiě)出第個(gè)等式；(2)用含的代數(shù)式表示出第個(gè)等式，并證明．【答案】(1)；(2)，證明見(jiàn)解析．【知識(shí)點(diǎn)】異分母分式加減法、數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索【分析】（）根據(jù)前個(gè)等式特點(diǎn)寫(xiě)出第個(gè)等式；（）根據(jù)第（）結(jié)論歸納出第個(gè)等式的規(guī)律；此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，分式的運(yùn)算，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，得出規(guī)律，利用規(guī)律，解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；；；∴第個(gè)等式；（2）解：；；；；第個(gè)等式；證明：左邊右邊．3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）觀察下面一列分式：，，，，…（其中）．(1)根據(jù)上述分式的規(guī)律寫(xiě)出第6個(gè)分式；(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫(xiě)出第n（n為正整數(shù)）個(gè)分式，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】分式的規(guī)律性問(wèn)題【分析】此題主要考查了分式的規(guī)律性問(wèn)題以及數(shù)字規(guī)律的探索問(wèn)題，得出分子與分母的變化規(guī)律即可解題．（1）根據(jù)已知分式的分子與分母的次數(shù)與系數(shù)關(guān)系進(jìn)而得出答案；（2）利用（1）中數(shù)據(jù)變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：觀察各分式的規(guī)律可得第6個(gè)分式為．（2）解：根據(jù)題意得：第n（n為正整數(shù)）個(gè)分式為．理由：∵分母的底數(shù)為y，次數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)，分子的底數(shù)是x，次數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，且第偶數(shù)個(gè)分式的系數(shù)為負(fù)，∴第n（n為正整數(shù)）個(gè)分式為．4．（22-23八年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）觀察下列各式：，，，(1)由此推測(cè)________(2)請(qǐng)你用含字母m的等式表示一般規(guī)律（m表示整數(shù)）(3)請(qǐng)直接用（2）的規(guī)律計(jì)算的值．【答案】(1)(2)(3)0【知識(shí)點(diǎn)】分式加減乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查數(shù)字的變化類(lèi)以及分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，求出所求式子的值．（1）根據(jù)題目中的例子的計(jì)算方法可以解答本題；（2）根據(jù)（1）中的例子可以寫(xiě)出含m的等式；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律進(jìn)行分式的混合運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：由（）可得；（3）解：．5．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：___________________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析．【知識(shí)點(diǎn)】分式的規(guī)律性問(wèn)題、分式加減乘除混合運(yùn)算【分析】此題考查的是歸納總結(jié)能力，抓住題目中的相似點(diǎn)找到其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察前幾個(gè)式子，然后進(jìn)行仿寫(xiě)，即可得到答案；（2）對(duì)題目中給的等式進(jìn)行比較、歸納，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律為，第n個(gè)等式，左邊第一項(xiàng)的分母為，分子是，第二項(xiàng)是，等式右邊為．代入再進(jìn)行驗(yàn)證正確性即可．【詳解】（1）解：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，則第5個(gè)等式為：；故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，則：第n個(gè)等式為：；證明：等式左邊，等式右邊，∴左邊右邊．6．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）有下列等式：①，②，③，④，……按照以上規(guī)律，解決下面問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第⑤個(gè)等式：____________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含正整數(shù)n的等式表示），并說(shuō)明猜想的正確性．【答案】(1)(2)第n個(gè)等式為：（n為正整數(shù)），證明見(jiàn)解析．【知識(shí)點(diǎn)】分式加減乘除混合運(yùn)算、數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索【分析】本題主要考查了運(yùn)算規(guī)律的探究、分式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握“從具體到一般的探究方法”是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題干前4個(gè)運(yùn)算式的提示，直接寫(xiě)出第⑤個(gè)即可；（2）根據(jù)題干前4個(gè)運(yùn)算式的提示，歸納出第n個(gè)等式，然后通過(guò)計(jì)算即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：①，②，③，④，所以⑤為：故答案為（2）解：由（1）歸納可得：第n個(gè)等式為：（n為正整數(shù)），證明如下：．7．（23-24九年級(jí)下·安徽合肥·階段練習(xí)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：___________________________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：______________________________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索、分式加減乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查的是運(yùn)算規(guī)律的探究，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題干信息提示可得第5個(gè)等式；（2）根據(jù)前面5個(gè)等式發(fā)現(xiàn)并歸納變與不變的地方，再根據(jù)變化的規(guī)律總結(jié)歸納即可．【詳解】（1）解：第5個(gè)等式：；（2）第n個(gè)等式：；

證明如下：等式左邊，等式右邊，左邊右邊，等式成立．壓軸題型四與分式方程有關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題例題：（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）解方程：①的解．②的解．③的解．④的解．……(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫(xiě)出⑤，⑥個(gè)方程及它們的解；(2)請(qǐng)你用一個(gè)含正整數(shù)n的式子表示上述規(guī)律，并求出它的解．【答案】(1)第⑤個(gè)方程：解為第⑥個(gè)方程：解為(2)第個(gè)方程：解為．【分析】本題主要考查了解分式方程：（1）等號(hào)左邊的分母都是，第一個(gè)式子的分子是1，第二個(gè)式子的分子是2，那么第5個(gè)式子的分子是5，第6個(gè)式子的分子是6．等號(hào)右邊被減數(shù)的分母是，分子的等號(hào)左邊的分子的2倍，減數(shù)是1，第一個(gè)式子的解是，第二個(gè)式子的解是，那么第5個(gè)式子的解是第6個(gè)式子的解是．（2）由（1）得第個(gè)式子的等號(hào)左邊的分母是，分子是，等號(hào)右邊的被減數(shù)的分母是，分子是，減數(shù)是1，結(jié)果是【詳解】（1）解：①的解．②的解．③的解．④的解……①，②，③，④（1）第⑤個(gè)方程：的解為第⑥個(gè)方程：的解為（2）解：第個(gè)方程：的解為方程兩邊都乘得解得檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程的解為．鞏固訓(xùn)練1．（22-23八年級(jí)下·江蘇常州·期中）先閱讀下面的材料，然后回答問(wèn)題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程的兩個(gè)解是．(2)解方程：，可以變形轉(zhuǎn)化為的形式，寫(xiě)出你的變形求解過(guò)程，運(yùn)用（1）的結(jié)論求解．(3)方程的解為．【答案】(1)，(2)，，過(guò)程見(jiàn)解析(3)，【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索、解分式方程【分析】（1）從數(shù)字找規(guī)律，即可解答；（2）先將原方程進(jìn)行變形可得：，然后利用（1）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）利用換元法將原方程化為：，然后利用（1）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于的方程的兩個(gè)解是，，故答案為：，；（2）解：，，，或，，，經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的根；（3）解：令，則原方程可化為：，，，，或，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的根，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，分式方程的解，規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)下·甘肅天水·階段練習(xí)）解方程：①的解是；②的解是；③的解是；④的解是；(1)請(qǐng)完成上面的填空；(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫(xiě)出第⑤個(gè)方程和它的解；(3)請(qǐng)你用一個(gè)含正整數(shù)的式子表述上述規(guī)律，并寫(xiě)出它的解?【答案】(1)(2)的解是；(3)的解是．【知識(shí)點(diǎn)】分式的規(guī)律性問(wèn)題、解分式方程【分析】本題考查分式方程的解以及規(guī)律的探索，熟練掌握分式方程的解的求法并觀察出方程的解與分子的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由題意把方程兩邊都乘以把分式方程化為整式方程，然后求解即可；（2）由題意先觀察①②③④中的方程及其解，根據(jù)前四個(gè)方程的規(guī)律可得第⑤個(gè)方程及其解；（3）根據(jù)題干中各個(gè)方程的規(guī)律，可寫(xiě)出含正整數(shù)n的方程，求解即可．【詳解】（1）解：，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，為方程的解，故答案為：．（2）解：由題意得：⑤的解是；故答案為：的解是；（3）解：由題意得：第個(gè)式子及其解為：的解是．3．（21-22八年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）閱讀理解：下列一組方程：①，②，③，…小明通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)了其中蘊(yùn)含的規(guī)律，并順利地求出了前三個(gè)方程的解，他的解過(guò)程如下：由①得或；由②得或；由③得或，(1)問(wèn)題解決：請(qǐng)寫(xiě)出第四個(gè)方程______________；(2)規(guī)律探究：若n為正整數(shù)，則第n個(gè)方程是____________其解為_(kāi)____________；(3)變式拓展：若n為正整數(shù)，關(guān)于x的方程的一個(gè)解是，求n的值．【答案】(1)(2)，x=n或x=n+1(3)n=12或11【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程【分析】（1）根據(jù)已知分式方程的變化規(guī)律進(jìn)而得出第四個(gè)方程；（2）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出分子與后面常數(shù)的關(guān)系求出即可；（3）利用已知解題方法得出方程的解．【詳解】（1）第四個(gè)方程為：，即．故答案為：；（2）可得第n個(gè)方程為：，解得：x=n或x=n+1；故答案為：，x=n或x=n+1；（3）將原方程變形，，∴x+2=n或x+2=n+1，∴方程的解是x=n-2，或x=n-1，當(dāng)n-2=10時(shí)，n=12，當(dāng)n-1=10時(shí)，n=11，∴n=12或11．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的解，利用已知得出分式的解與其形式的規(guī)律是解題關(guān)鍵．4．（21-22八年級(jí)上·云南昭通·期末）先閱讀下面的材料，然后回答問(wèn)題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)觀察上述方程的解，猜想關(guān)于x的方程的解是；(2)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程的解是；(3)由（2）可知，在解方程時(shí)，可以變形轉(zhuǎn)化為的形式求值，按要求寫(xiě)出你的變形求解過(guò)程．(4)利用（2）的結(jié)論解方程：．【答案】(1)，(2)，(3)見(jiàn)解析(4)，【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程【分析】（1）根據(jù)已知材料即可得出答案；（2）根據(jù)已知材料即可得出答案；（3）把方程轉(zhuǎn)化成，由材料得出，，求出方程的解即可；（4）利用換元法，轉(zhuǎn)化為材料中的規(guī)律解答．【詳解】（1）解：關(guān)于x的方程的解是：，，故答案為：，；（2）關(guān)于x的方程的解是：，，故答案為：，；（3），，，即，，解得：，；（4）令，則方程可化為，由（2）規(guī)律可得，，；即或，解得，．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，讀懂題意并靈活變形是解題的關(guān)鍵．壓軸題型五與分式及分式運(yùn)算有關(guān)的新定義型問(wèn)題例題：（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱(chēng)這個(gè)分式為“和諧分式”如，，則和都是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是：______（填序號(hào)）；①；②；③；④．(2)將“和諧分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形為：______．(3)當(dāng)x取什么整數(shù)時(shí)，“和諧分式”的值為整數(shù)．【答案】(1)①③④(2)(3)或或或或或【分析】此題考查分式的變形計(jì)算，同分母分式加法逆運(yùn)算，（1）根據(jù)同分母分式加法將各分式變形，即可判斷；（2）根據(jù)同分母分式加法將各分式變形；（3）根據(jù)（2）所求可得當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，的值為整數(shù)，據(jù)此討論求解即可．【詳解】（1）解：①，②；③，④，∴①③④的分式是“和諧分式”，故答案為：①③④；（2）解：，故答案為：；（3）解：∵的值為整數(shù)，∴當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，的值為整數(shù)當(dāng)或或時(shí)，分式的值為整數(shù)，∴或或或或或．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：，例：．根據(jù)這種運(yùn)算法則，完成下列各題：(1)計(jì)算：；(2)計(jì)算：；(3)計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】異分母分式加減法【分析】本題考查的是新定義運(yùn)算的含義，分式的加減混合運(yùn)算，掌握分式的加減混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)新定義列式再通分計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義列式再通分計(jì)算即可；（3）根據(jù)新定義列式再通分計(jì)算即可；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．2．（22-23九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）定義：若兩個(gè)分式的差為2，則稱(chēng)這兩個(gè)分式屬于“友好分式組”．(1)下列3組分式：①與；②與；③與．其中屬于“友好分式組”的有____________（只填序號(hào)）；(2)若正實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，求證與屬于“友好分式組”；(3)若均為非零實(shí)數(shù)，且分式與屬于“友好分式組”，求分式的值．【答案】(1)②③(2)見(jiàn)解析(3)或【知識(shí)點(diǎn)】異分母分式加減法、同分母分式加減法、分式的求值【分析】本題考查了分式的加減運(yùn)算，求解分式的值，熟練掌握分式加減法的法則，對(duì)新定義的理解是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)給出的“友好分式組”定義把每一組的分式相減看結(jié)果來(lái)判斷；（2）根據(jù)a，b互為倒數(shù)，得ab=1，把代入計(jì)算出結(jié)果即可；（3）根據(jù)分式與屬于“友好分式組”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分別把①②代入分式求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：①②；③則∴屬于“友好分式組”的有②③．故答案為：②③（2）∵a，b互為倒數(shù)，∴，，∴∴與屬于“友好分式組”（3）∵a，b均為非零實(shí)數(shù)，且分式與屬于“友好分式組”，或把①代入把②代入∴的值為或3．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）定義：形如的式子，若，則稱(chēng)為“勤業(yè)式”；若，則稱(chēng)為“求真式”；若的值為整數(shù)，則稱(chēng)為“至善式”．(1)下列式子是“求真式”的有______（只填序號(hào)）；①

②

③(2)若，，請(qǐng)判斷為“勤業(yè)式”還是“求真式”，并說(shuō)明理由；(3)若，，且x為整數(shù)，當(dāng)為“至善式”時(shí)，求x的值．【答案】(1)①③；(2)為“勤業(yè)式”，理由見(jiàn)解析；(3)x的值為0或1或．【知識(shí)點(diǎn)】整式的加減運(yùn)算、分式加減乘除混合運(yùn)算、分式化簡(jiǎn)求值、分式方程的實(shí)際應(yīng)用【分析】（1）先比較A、B的大小，再根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可得解；（2）先比較A、B的大小，再根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可得解；（3）先求得，由為“至善式”，得為整數(shù)，從而有或或或，求解符合條件的x的值即可．【詳解】（1）解：∵∴，∴為“求真式”，故①符合題意，∵∴為“勤業(yè)式”，故②不符合題意，∵，∴即，∴為“求真式”，故③不符合題意．故答案為：①③；（2）解：為“勤業(yè)式”，理由如下：∵，∴，∴為“勤業(yè)式”；（3）解：∵，，且x為整數(shù)，∴∵為“至善式”，∴的值為整數(shù)，即為整數(shù)，∴為整數(shù)，∴或或或，解得或（舍去）或或，∴x的值為0或1或．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義情境下的分式的運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)，分式的值，分式方程等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4